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期中测试压轴题考点训练（11-13 章）
一、单选题
1．如图所示，已知点F、E 分别在AB、AC 上，且AE=AF，当满足下列条件仍无法确定的
△ABE
ACF
△
≌
是（ ）
A．AB=AC
B．CF=BE
C．BF=CE
D．∠B＝∠C
【答案】B
【分析】由条件隐含条件是公共角∠A,AE=AF,然后再逐个添加条件，如果不符合判定法则，
即为答案．
【详解】解：结合已知条件：可发现A 选项满足SAS;C 选项和已知条件AE=AF，可说明
AB=AC,满足SAS 即C 可以；B 选项添加条件后变为SSA，但SSA 不能证明三角形全等，故B
错误；D 选项满足ASA;
故选B
【点睛】本题考查添加一个条件让三角形全等，SSA 不能证明三角形全等是解答本题的关
键．
2．如图，已知∠BAD= DAC=9°
∠
，AD AE,
⊥
且AB+AC=BE，则∠B 的大小是（ ）
A．42°
B．44°
C．46 °
D．48°
【答案】D
【详解】如图，延长BA 到F，使AF=AC，连接EF，
∵AB+AC=BE，
∴AB+AF=BE，即BF=BE，
∴∠F=∠BEF=
，
∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°，
∵∠BAD=∠DAC=9°，
∴∠FAE=180°-（∠BAD+∠DAE）=180°-（9°+90°）=81°，
∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°，
∴∠FAE=∠CAE，
在△AFE 和△ACE 中，
，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴∠F=∠ACE，
又∵∠ACE 为△ABC 的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，
∴∠F=∠B+18°，
∴∠B+18°=
，
解得∠B=48°．
故选D.
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性
质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的数学思想，根据题意作出如图所示的辅助线，
把AB、AC 转化到一条线上是解决本题的关键．
3．如图,
中,
，
垂直
的角平分线于
,
为
的中点,则图中
两个阴影部分面积之差的最大值为( )
A．1.5
B．3
C．4.5
D．9
【答案】C
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差=S△ADC，然后由DC⊥AC 时，△ACD 的面积最大
求出结论即可．
【详解】延长BD 交AC 于点H．设AD 交BE 于点O．
∵AD⊥BH，∴∠ADB=∠ADH=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°．
∵∠BAD=∠HAD，∴∠ABD=∠H，∴AB=AH．
∵AD⊥BH，∴BD=DH．
∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．
∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．
∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=
S△ADH
S△ABH．
∵AE=EC，∴S△ABE
S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．
∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．
∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为
3×3
．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是
学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
4．如图，在
中，点
在
上，点
在
上，如果
，
，
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的面积公式结合
，
求出AO 与DO 的比，再根据
，即可求得
的值．
【详解】∵
，
，且AD 边上的高相同，
AO
∴
：DO=3：2．
ACO
∵△
和△COD 中，AD 边上的高相同，
S
∴△AOC：S△COD= AO：DO=3：2，
∵
，
∴
.
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的面积及等积变换，利用同底等高的三角形面积相等是解题的
关键．
5．如图，∠DAC 与∠ACE 的平分线相交于点P，且PC＝AB+AC，若
，则∠B
的度数是（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
【答案】A
【分析】在射线AD 上截取
，连接PM，证明
，可得
，
，然后证明
，利用相似三角形的性质进行求解可得到结论．
【详解】解：如下图，在射线AD 上截取
，连接PM，
∵PA 平分
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
．
∵
，
∴
，
∴
．
∵PC 平分
，
∴
．
如下图，延长MB，PC 交于点G，
∵
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
180°- PCA=2 PCA-60°
∴
∠
∠
，
∴
，
∴
．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定
义，解决本题的关键是得到
．
6．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt
ABE
△
，连接 ED，
EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE
BCE
≌△
；②CE DE
⊥
；③BD=AF；
④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（ ）
A．①③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④
【答案】C
【分析】①易证∠CBE= DAE
∠
，即可求证：△ADE
BCE
≌△
；②根据①结论可得∠AEC= DEB
∠
，
即可求得∠AED= BEG
∠
，即可解题；③证明△AEF
BED
≌△
即可；④易证△FDC 是等腰直角三
角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF
BED
≌△
，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
【详解】∵AD 为△ABC 的高线，
CBE+ ABE+ BAD=90°
∴∠
∠
∠
，
Rt
∵
△ABE 是等腰直角三角形，
ABE= BAE= BAD+ DAE=45°
∴∠
∠
∠
∠
，AE=BE，
CBE+ BAD=45°
∴∠
∠
，
DAE= CBE
∴∠
∠
，
在△DAE 和△CBE 中，
ADE
BCE
∴△
△
≌
（SAS）；
故①正确；
②
ADE
BCE
∵△
≌△
，
EDA= ECB
∴∠
∠
，
ADE+ EDC=90°
∵∠
∠
，
EDC+ ECB=90°
∴∠
∠
，
DEC=90°
∴∠
，
CE DE
∴
⊥
；
故②正确；
③
BDE= ADB+ ADE
∵∠
∠
∠
，∠AFE= ADC+ ECD
∠
∠
，
BDE= AFE
∴∠
∠
，
BED+ BEF= AEF+ BEF=90°
∵∠
∠
∠
∠
，
BED= AEF
∴∠
∠
，
在△AEF 和△BED 中，
AEF
BED
∴△
△
≌
（AAS），
BD=AF
∴
；
故③正确；
④AD=BC
∵
，BD=AF，
CD=DF
∴
，
AD
BC
∵
⊥
，
FDC
∴△
是等腰直角三角形，
DE
CE
∵
⊥
，
EF=CE
∴
，
S
∴△AEF=S△ACE，
AEF
BED
∵△
≌△
，
S
∴△AEF=S△BED，
S
∴△BDE=S△ACE．
故④正确；
综上①②③④都正确，故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求
证△BFE
CDE
≌△
是解题的关键．
7．如图，把ΔABC 剪成三部分，边AB，BC，AC 放在同一直线上，点O 都落在直线MN 上，
直线MN∥AB．在ΔABC 中，若∠AOB=125°，则∠ACB 的度数为（ ）
A．70°
B．65°
C．60°
D．85°
【答案】A
【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O 到BC、AC、AB 的距离相等，得出O 为
三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．
【详解】如图1，过点O 作OD⊥BC 于D，OE⊥AC 于E，OF⊥AB 于F．
∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．
如图2：过点O 作OD'⊥BC 于D'，作OE'⊥AC 于E'，作OF'⊥AB 于F'．
由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2 中的点O 是三角形三
个内角的平分线的交点．
∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，
∴∠ACB=180°－110°=70°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题
的关键是判断出OD=OE=OF．
8．如图，AO OM
⊥
，
点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB，AB 为直角边，
B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰直角△OBF､等腰直角△ABE，连接EF 交OM 于P 点，当
点B 在射线OM 上移动时，PB 的长度为（ ）
A．
B．3
C．
D．不能确定
【答案】A
【分析】过点E 作EN BM
⊥
，垂足为点N，首先证明△ABO
BEN
≌△
，得到BO=NE；进而证明
△BPF
NPE
≌△
，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点E 作EN BM
⊥
，垂足为点N；
AOB= ABE= BNE=90°
∵∠
∠
∠
，
ABO+ BAO= ABO+ NBE
∴∠
∠
∠
∠
，
BAO= NBE
∴∠
∠
；
ABE
∵△
、△BFO 均为等腰直角三角形，
AB=BE
∴
，BF=BO；
在△ABO 与△BEN 中，
，
ABO
BEN
∴△
△
≌
（AAS），
BO=NE
∴
，BN=AO；
BO=BF
∵
，
BF=NE
∴
；
在△BPF 与△NPE 中，
，
BPF
NPE
∴△
△
≌
（AAS），
BP=NP=
∴
BN；
而BN=AO，
BP=
∴
AO=
×
＝
，为定值；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定及其性质,解题的关键是作辅助
线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析、判断或解答．
9．如图，点 P 在∠MAN 的角平分线上，点 B ，C 分别在 AM，AN 上，作 PR⊥AM，
PS⊥AN，垂足分别是 R，S．若∠ABP ∠ACP 180，则下面三个结论：① AS AR；
②PC∥AB；③△BRP≌△CSP ．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用HL 证明△APR
APS
≌△
，得到AS=AR，可判
断①；再根据∠ABP ACP
∠
180，得到∠ABP= PCS
∠
，再利用AAS 证明△BRP
CSP
≌△
可判
断③；再说明若要PC∥AB，则需要说明AC=PC，无法达成，从而可判断②.
【详解】解：∵点 P 在∠MAN 的角平分上，PR AM
⊥
， PS AN
⊥
，
PR=PS
∴
，
ARP= ASP=90°
∵∠
∠
，
∴在Rt
APR
△
和Rt
APS
△
中，
，
APR
APS
∴△
△
≌
（HL），
AS=AR
∴
，故①正确；
ABP
∵∠
ACP
∠
180，
ABP= PCS
∴∠
∠
，
又∵PR=PS，∠PRB= PSC=90°
∠
，
BRP
CSP
∴△
△
≌
（AAS），故③正确；
若∠MAP= CPA
∠
，则PC AB
∥
，
则需要AC=PC 得出∠PAN= CPA
∠
，
从而根据∠MAP= PAN
∠
，
得出∠MAP= CPA
∠
，
而题中没有条件说明AC=PC，故②错误；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和线段平行条件．辅助线是解决本题的关键．
10．如图，
，
，P 是射线
上的一个动点，连接
，以A 为直角顶点向
右作等腰直角
，在
上取一点C，使
，当P 在射线
上自O 向D 运
动时，
长度的变化（ ）
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．保持不变
【答案】D
【分析】过点
作
于
，
于
，先证明
，得
，
，利用等量代换即可求解．
【详解】解：过点
作
于
，
于
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的长度保持不变，故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关
键是构造全等三角形进行求解．
二、填空题
11．在矩形ABCD 中，连结AC，点E 从点B 出发，以每秒1 个单位的速度沿着B→A→C 的
路径运动，运动时间为t（秒）．过点E 作EF BC
⊥
于点F，在矩形ABCD 的内部作正方形
EFGH．当AB＝3，BC＝4 时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3 两部分，t 的值为
．
【答案】
或
或
或6．
【分析】分三种情况分别求解：①如图1，设直线AH 交BC 于M，当BM＝CM＝2 时，直线
AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3 两部分．②如图2，设直线长AH 交CD 于M 交BC 的延长
线于K，当CM＝DM 时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3 两部分，③如图3，当点E
在线段AC 上时，设直线AH 交CD 于M，交BC 的延长线于N．当CM＝DM 时，直线AH 将
矩形ABCD 的面积分成1：3 两部分．
【详解】解：如图1，设直线AH 交BC 于M，当BM＝CM＝2 时，直线AH 将矩形ABCD 的
面积分成1：3 两部分．
EH BM
∵
∥
，
∴
，
∴
，
t
∴＝
．
如图2，设直线长AH 交CD 于M 交BC 的延长线于K，当CM＝DM 时，直线AH 将矩形
ABCD 的面积分成1：3 两部分，
D
∵∠＝∠MCK＝90°，∠AMD＝∠KMC，
ADM
KCM
∴△
△
≌
（ASA），
AD
∴
＝CK＝4，
EH BK
∵
∥
，
∴
，
∴
，
t
∴＝
．
如图3，当点E 在线段AC 上时，设直线AH 交CD 于M，交BC 的延长线于N．当CM＝DM
时，直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3 两部分，
D
∵∠＝∠MCN＝90°，∠AMD＝∠NMC，
ADM
NCM
∴△
△
≌
（ASA），
AD
∴
＝CN＝4．
在Rt
ABC
△
中，AC＝
＝5，
EF AB
∵
∥
，
∴
，
∴
，
EF
∴
＝
（8
t
﹣），
EH CN
∵
∥
，
∴
，
∴
，
解得t＝
．
如图4，当E 点AC 上，且正方形EFGH 在AC 的左边时，
由
，
∴
，
解得t＝6．
综上所述，满足条件的t 的值
或
或
或6．
故答案为：
或
或
或6．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题，涉及到全等三角形的判定和性质、矩形的性质、
平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的数学思想，属于中考压轴
题．
12．如图，在
中，
，
，
，点P，Q 分别是边AB，BC 上
的一个动点，点P 从
以每秒3 个单位长度的速度运动，同时点Q 从
以每
秒1 个单位长度的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运
动过程中，设运动时间为t 秒，若
为直角三角形，则t 的值为 ．
【答案】
或
或
【分析】先利用直角三角形的性质可得
，
，再根据点P，Q 的运动
路径和速度求出的取值范围为
，然后分
和
两种情况，分
别利用直角三角形的性质求解即可得出答案．
【详解】解：
在
中，
，
，
，
，
，
点
从点
运动到点
所需时间为
（秒），最后返回到点
所需时间为
（秒）；
点
从点
运动到点
所需时间为
（秒），
当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图，当
时，
为直角三角形，
①当
时，
，
，
，
，
在
中，
，即
，
解得
，符合题设；
②当
时，
，
在
中，
，即
，
解得
，不符题设，舍去；
（2）如图，当
时，
为直角三角形，
①当
时，
，
，
，
，
在
中，
，即
，
解得
，符合题设；
②当
时，
，
在
中，
，即
，
解得
，符合题设；
综上，的值是
或
或
，
故答案为：
或
或
．
【点睛】本题考查了含
角的直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识点，
正确判断出的取值范围，并分情况讨论是解题关键．
13．在四边形
中，
与
的角平分线交于点
，
，过点
作
交
于点
，
，
，连接
，
，则
．
【答案】4
【分析】根据∠DEC 的度数以及角平分线的定义算出∠A+ ABC=230°
∠
，再结合AD BF
∥
，得
出∠CBF=50°，利用
算出∠BFC=90°，最后根据
和
算出
结果.
【详解】解：∵
，
EDC+ ECD=180°-115°=65°
∴∠
∠
，
又∵
与
的角平分线交于点
，
ADC+ BCD=65°×2=130°
∴∠
∠
，
A+ ABC=360°-130°=230°
∴∠
∠
，
AD BF
∵
∥
，
A+ ABF=180°
∴∠
∠
，
CBF=230°-180°=50°
∴∠
，
∵
，
BCE=40°
∴∠
，
BFC=90°
∴∠
，
∵
，BF＞0，
∴
，
解得：x=2，
即CE=2×2=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了多边形的内角和，平行线的性质，三角形的面积，角平分线的定义，
有一定难度，解答本题的关键是通过角的运算得到∠BFC=90°.
14．P 是△ABC 内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，则∠APC 的度
数为 ．
【答案】142°
【分析】在AC 的延长线上截取AF=AB，连BF，PF，延长AP 交BC 于D，交BF 于E，证得
△APB
APF
≌△
，则AP 为BF 的垂直平分线，由∠PBA=8°可得∠CBF=30°= CBP
∠
，
∠BFP=60°= BPF
∠
，可得BC 平分PF，进一步可求出∠APC 的度数．
【详解】在AC 的延长线上截取AF＝AB，连BF，PF，延长AP 交BC 于D，交BF 于E，
在△APB 和△APF 中，
，
∴△APB≌△APF（SAS），
∴AB＝AF，PB＝PF，∠AFP＝∠ABP＝8°，
∴AP 垂直平分BF，∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝30°°，∠FPE＝∠CAP+∠AFP＝30°
AEP= FEP=90°
∴∠
∠
，
PBF= PFB=60°
∴∠
∠
∵∠PBC＝30°
∴∠CBF＝30°＝∠PBC，∠BPF＝∠BFP＝∠PBF=60°，
∴三角形BPF 是等边三角形，BC 平分∠PBF
∴BC 垂直平分PF
PC=PF
∴
∴∠CPF＝∠CFP＝8°
∴∠DPC＝38°
∴∠APC＝142°；
故答案为：142°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定和性质，解题的
关键是作辅助线，证明△APB
APF
≌△
．
15．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB＋BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB
＝ （用含α 的式子表示）
【答案】
【分析】在AC 上截取AD=AB，易证△ABI
ADI
≌△
，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得
DI=DC，
设∠DCI=β，则∠ADI= ABI=2β
∠
，然后用三角形内角和可推出β 与α 的关系，进而求得
∠AIB.
【详解】解：如图所示，在AC 上截取AD=AB，连接DI，
点I 是△ABC 的角平分线的交点
所以有∠BAI= DAI
∠
，∠ABI= CBI
∠
，∠ACI= BCI
∠
，
在△ABI 和△ADI 中，
ABI
ADI
∴△
△
≌
（SAS）
DI=BI
∴
又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC
DI=DC
∴
DCI= DIC
∴∠
∠
设∠DCI= DIC=β
∠
则∠ABI= ADI=2 DCI=2β
∠
∠
在△ABC 中，
BAC+2 ABI+2 DCI=180°
∠
∠
∠
，即
，
∴
在△ABI 中，
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全
等三角形是解题的关键.
16．如图，把△ABC 纸片沿MN 折叠，使点C 落在四边形ABNM 的内部时，则∠1、∠2 和
∠C 之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .
【答案】2 C= 1+ 2
∠
∠
∠
【分析】根据三角形内角和定理得出∠C′=180°- C′MN- C′NM
∠
∠
，再由图形翻折变换的性质
即可得出结论．
【详解】解：在△C′MN 中，
C′+ C′MN+ C′NM=180°
∵∠
∠
∠
，
C′=180°- C′MN- C′NM
∴∠
∠
∠
，
由折叠的性质得：∠1+2 C′MN=180°
∠
，∠2+2 C′NM=180°
∠
，
1+2 C′MN+ 2+2 C′NM=360°
∴∠
∠
∠
∠
，∠C= C′
∠，
1+ 2=360°-2 C′MN-2 C′NM=2
∴∠
∠
∠
∠
（180°- C′MN- C′NM
∠
∠
）=2 C′
∠，
2 C= 1+ 2
∴∠
∠
∠．
故答案为2 C= 1+ 2
∠
∠
∠．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
17．如图，直线
直线
于点
，点
、点
是直线
上的点，作
直线
且
，作
直线
于点
，在射线
上取一点
，使
，
的
延长线交直线
于点
．若
，则
.
【答案】1
【分析】过点A 作
,且
连接FK,DK,证明
≌
得到
则
即
是等腰直角三角形，
,
则
根据对顶角相等得到
在
和
中，
即可得到
证明
≌
,则
又
即可求出
的长度.
【详解】如图：过点A 作
,且
连接FK,DK,
在
和
中
≌
则
即
是等腰直角三角形，
,
根据对顶角相等得到
在
和
中，
DF,
在
和
中，
≌
,
则
又
故答案为1.
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与
性质等，难度较大，解题的关键是作出辅助线.
18．如图，△ABC 的三边AB、BC、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交
点，将△ABC 分成三个三角形，则
︰
︰
等于 ．
【答案】6：8：3
【分析】由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、
CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.
【详解】
解：过点P 作PD BC
⊥
于D，PE CA
⊥
于E，PF AB
⊥
于F
P
∵是三条角平分线的交点
PD=PE=PF
∴
AB=30
∵
，BC=40，CA=15
∴
︰
︰
=30 40 15=6 8 3
∶
∶
∶∶
故答案为6 8 3.
∶∶
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的
距离相等.难度不大，作辅助线是关键.
19．如图所示，∠AOB＝60°，点P 是∠AOB 内一定点，并且OP＝2，点M、N 分别是射线
OA，OB 上异于点O 的动点，当△PMN 的周长取最小值时，点O 到线段MN 的距离为
．
【答案】1
【分析】根据题意作点P 关于OB 的对称点P'，点P 关于OA 的对称点P''，连接P'P''与OA，
OB 分别交于点M 与N 则P'P''的长即为△PMN 周长的最小值；连接OP'，OP''，过点O 作
OC P'P''
⊥
，在Rt
OCP'
△
中求出OC 即可．
【详解】解：作点P 关于OB 的对称点P'，点P 关于OA 的对称点P''，连接P'P''与OA，OB
分别交于点M 与N
则P'P''的长即为△PMN 周长的最小值，
连接OP'，OP''，过点O 作OC P'P''
⊥
于点C
由对称性可知OP＝OP'＝OP''，
OP
∵
＝2，∠AOB＝60°，
P'
∴∠＝∠P''＝30°，OP′＝OP''＝2，
OC
∴
＝
＝1；
故答案为：1．
【点睛】本题考查利用轴对称求最短距离问题，注意掌握通过轴对称确定△PMN 周长取最
小值的位置是解题的关键．
20．如图，四边形ABCD 中，AD//BC，AD=AB=2，∠B=120°，∠ADC=150°，现以对角线AC
为边向点D 一侧作等边△ACE，则四边形ABCE 的面积= .
【答案】
【详解】分析：根据四边形ABCE 的面积=△ACE 的面积+△ABC 的面积进行求解即可.
详解：如图，过点A 作AF CB
⊥
，交CB 的延长线于F.过E 点作EG AC
⊥
，垂足为G.
AD//BC
∵
，AD=AB=2，∠B=120°，
DAB=60°
∴∠
ABD
∴△
是等边三角形，
BD=2
∴
，∠ADB= ABD=60°
∠
B=120°
∵∠
，∠ADC=150°，
DBC=60°
∴∠
，∠BDC=90°，
DCB=30°
∴∠
，
BC=4,
∴
在Rt△ABF，∠ABF=60°，∴∠BAF=30°，
BF=1
∴
，AF=
,
AC=
∴
AG=
∴
,EG=
S
∴△ABC=
，S△ACE=
，
∴四边形ABCE 的面积= S△ACE + S△ABC=
.
故答案为
点睛：本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定．正确的作出辅助线是解
题的关键．
21．如图，在等腰直角
中，
，点
是
的中点，且
，将一块直角
三角板的直角顶点放在点
处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与
、
相交，
交点分别为
、
，则
．
【答案】1
【详解】连接CO，如图所示：
∵在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，点O 是AB 的中点，
CO=AO
∴
，∠A= OCB=45°
∠
，且∠AOC=90°，
DOE=90°
∵∠
，
AOD+ DOC= DOC+ COE=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
AOD= COE
∴∠
∠
，
在△ADO 和△COE 中
ADO
COE
∴△
△
≌
（ASA），
AD=CE
∴
，
CD+CE=CD+AD=AC=1
∴
，
故答案是：1．
22．如图，在
中，
，
，
是斜边
上两点，且
，过点A 作
，垂足是A，过点C 作
，垂足是C，交
于点
F，连接
，下列结论：①
；②
；③若
，
，则
；④
．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】先根据垂直定义和等角的余角相等证得
，
，再利用
可判断①正确；再证明
可判断②正确；利用全等三角形的面积相等可
判断③正确；根据全等三角形的性质和三角形的三边关系可判断④错误．
【详解】解：
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，则
，
在
和
中，
，故①正确；
，
，
，
，
在
和
中，
，
∴
，故②正确；
∵
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
中，
，
故④错误，
综上，正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等
角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明
是解答的
关键．
23．如图，已知∠AOB＝30°，OC 平分∠AOB，在OA 上有一点M，OM＝10 cm，现要在
OC，OA 上分别找点Q，N，使QM＋QN 最小，则其最小值为 ．
【答案】5cm
【分析】作M 关于OC 的对称点P，过P 作PN OA
⊥
于N，交OC 于Q，则此时QM+QN 的值
最小，则OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形性质求出PN 即
可．
【详解】解：作M 关于OC 的对称点P，过P 作PN OA
⊥
于N，交OC 于Q，则此时QM+QN
的值最小，
AOB=30°
∵∠
，OC 平分∠AOB，在OA 上有一点M，
OA
∴
、OB 关于OC 对称，
P
∴点在OB 上，
OP=OM=10
∴
cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
PN=
∵
OP=
×10=5cm，
QM+QN=PQ+QN=PN=5
∴
cm，
故答案为5cm．
【点睛】本题考查了含30 度角的直角三角形性质，轴对称以及最短路线问题，垂线段最短
的应用，关键是确定Q、N 的位置．
24．△ABC 中，最小内角∠B＝24°，若△ABC 被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其
中一种分割法，此时△ABC 中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC 中的最大内角
度数为 ．
【答案】117°或108°或84°．
【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC 中的最大内角的所有可能值.
【详解】①∠BAD＝∠BDA＝
（180°
24°
﹣
）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝
∠BDA＝39°，
如图1 所示：
∴∠BAC＝78°+39°＝117°；
②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2 所示：
∴∠DAC＝180°
2×48°
﹣
＝84°，
∴∠BAC＝24°+84°＝108°；
③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3 所示：
∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°
2×48°
﹣
＝84°；
∴其它分割法中，△ABC 中的最大内角度数为117°或108°或84°，
故答案为：117°或108°或84°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找
出所有情况.
25．如图，在平面直角坐标系中，
，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第二象限满足
，
，点D 在x 轴上在A 的右边，若
，
，则点
B 的坐标为 ．
【答案】
【分析】在
上取点E，使
，延长
交y 轴与点F，证明
可得
，
，再利用直角三角形的性质求得
，结合三角
形外角的性质可证明
，设
，可得
，
，即可得关于x
的方程，计算可求解x 值，即可求得
的长，进而可求解B 点坐标．
【详解】解：如图，在
上取点E，使
，延长
交y 轴与点F，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
∴
，
，，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，
三角形外角的性质的知识等综合运用，构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
26．等腰
，
，
，点
、
分别在
轴、
轴的正半轴上．
(1)如图，求证：
；
(2)如图
，若
，
，求
点的坐标；
(3)如图，点
，
，
两点均在
轴上，且
分别以
、
为腰在第一、
第二象限作等腰
、等腰
，
，
，连接
交
轴于
点，
的长度是否发生改变？若不变，求出
的值；若变化，求
的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
的长度不会发生改变，长度始终是，理由见解析
【分析】（1）根据
，
，得到
，即可证明
；
（2）过点
作
轴于点
，证明
，得到
，
，进而得到
．点
在第三象限，即可得到
；
（3）过点
作
，交
轴于点
，先证明
，得到
，
．根据点
，
，求出
，进入得到
，再证明
，得到
，即可求出
，从而得到
的长度始终
是，问题得解．
【详解】（1）证明：∵
，
，
，
∴
；
（2）解：如图
，过点
作
轴于点
，
则
，
在
和
中，
∴
，
，
，
．
∵点
在第三象限，
∴
；
（3）答：
的长度不会发生改变．
理由：如图，过点
作
，交
轴于点
，
则
，
∵
和
都是等腰直角三角形，
，
，
．
又
，
，
在
和
中，
∴
，
，
．
，
．
∵点
，
，
，
，
，
．
，
．
在
和
中，
∴
，
．
又
，
，
即
的长度始终是．
【点睛】本题为等腰直角三角形与平面直角坐标系结合综合题，综合性强，难度较大，考
查了平面直角坐标系，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质等知识，理解题
意，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点B(a，0)，点C(0，b)分别在x 轴，y
轴上，其中a，b 是二元一次方程
的解，且a 为不等式
的最大整数
解．
（1）证明：OB=OC；
（2）如图1，连接AB，过点A 作AD AB
⊥
交y 轴于点D，在射线AD 上截取AE=AB，连接
CE，取CE 的中点F，连接AF 并延长至点G，使FG=AF，连接CG，OA．当点A 在第一象限
内运动（AD 不经过点C）时，证明：∠OAF 的大小不变；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据
为不等式
的最大整数解，求解不等式，利用
推出
即可；
（2）求出
为等腰直角三角形即可；
【详解】（1）解：解不等式
得
∵
为不等式
的最大整数解
，
将
代入方程
得
，
，
；
（2）证明：连接
，
为
中点，
，
在
和
中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，即
的大小不变；
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了解不等式，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28．在
中，
点G 在直线BC 上，点E 在直线AB 上，且AG 与CE 相交于
点F，过点A 作边AB 的垂线AD，且
，
，
．
如图
，当点E 在
的边AB 上时，求
的度数；
如图
，当点E 在线段BA 的延长线上时，求证：
．
【答案】
；
见解析；
【分析】（1）根据垂直定义，证
≌
，得
，
，
；证得
，即
，可得结果；
（2）如图
，连接DE，根据垂直定义，先证
≌
，得
，
，证得
，即
，故
，
，故
平分
，求出
，
，故
，
所以
，可得
．
【详解】解：
如图
连接ED，
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
；
，
，
；
如图
，连接DE，
，
，
，
，
，
，
≌
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质的综合运用，添好辅助线是解题的关键.
29．我们知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，角平分线有许多性质．
（1）如图1，在
的平分线
上截取线段
，分别以点O 和点C 为圆心、大于
的长为半径画弧，两弧相交于点E、F．画直线
，分别交
、
于点D．G 连
结
，
，则
形状一定是_____________________；
（2）如图2，在
中，
，
平分
，过点D 作
于M，连结
，若
，求证：
；
（3）如图3，点D 是
的平分线上一点，P 是边
上一点，若
，
，
点D 到
的距离为8，直接写出线段
的长．
【答案】（1）等腰三角形；（2）见详解；（3）21 或9
【分析】（1）证明OC 是DG 的中垂线，进而即可得到结论；
（2）过点D 作DN AC
⊥
，交AC 的延长线于点N，先证明Rt∆ADN≅Rt∆ADM，得AN=AM，从
而得MB=CN，再证明∆CDN≅∆BDM，可得∠DCN= ABD
∠
，进而即可得到结论；
（3）过点D 作DE AC
⊥
于点E，过点D 作DF AB
⊥
于点F，在Rt∆ADF 中，求出AF 的值，然后
分两种情况：当点P1在点F 得右边时，当点P2在点F 得左边时，别分求解，即可．
【详解】（1）∵分别以点O 和点C 为圆心、大于
的长为半径画弧，两弧相交于点
E、F，
EF OC
∴
⊥
且EF 平分OC，
OM
∵
平分∠AOB，
OM
∴
是∠AOB 的对称轴，
DP=GP
∴
，
又∵DG OC
⊥
，
OC
∴
是DG 的中垂线，
CD=CG
∴
，即
是等腰三角形，
故答案是：等腰三角形；
（2）过点D 作DN AC
⊥
，交AC 的延长线于点N，
AD
∵
是∠CAB 的平分线，DN AC
⊥
，DM AB
⊥
，
DN=DM
∴
，
又∵AD=AD，
Rt
∴
∆ADN≅Rt∆ADM（HL），
AN=AM
∴
，
∵
，
AM+MB+AN-CN=2AM
∴
，即MB=CN，
又∵∠CND= BMD=90°
∠
，DN=DM，
∴∆CDN≅∆BDM（SAS），
DCN= ABD
∴∠
∠
，
∴
；
（3）过点D 作DE AC
⊥
于点E，过点D 作DF AB
⊥
于点F，
由题意得：DE=8，
AD
∵
平分∠BAC，DE AC
⊥
，DF AB
⊥
DF=DE=8
∴
，
∴在Rt∆ADF 中，AF=
，
当点P1在点F 得右边时，
在Rt∆DFP1中，FP1=
，
AP
∴
1=AF+ FP1=15+6=21，
当点P2在点F 得左边时，
在Rt∆DFP2中，FP2=
，
AP
∴
2=AF- FP2=15-6=9，
综上所述：AP=21 或9．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定
和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
30．如图，等腰
中，
，点
在
边上，连接
并延长到
，连接
，
．
(1)如图①，若
，
，在
上取点
，连接
，使
，试证
明：
(2)如图②，若
，
，探究
，
，
的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若
，
，探究
，
，
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
，理由见解析
(3)
，理由见解析
【分析】（1）如图
中，证明
，可得结论；
（2）结论：
如图
中，作
交
于
只要证明
即可解决问题；
（3）结论：
如图
中，在
上取一点
，使得
只
要证明
即可解决问题．
【详解】（1）如图
中，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
；
（2）
．
理由如下：
如图
中，作
交
于
．
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）
．
理由如下：
如图
中，在
上取一点
，使得
．
，
，
，
作
于
，且
，
∴
∴
，
∴
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于全等三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性
质、勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题
