2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接十 直线与圆
--------------■高考命题·解读■-----------------
核心考点
五年考情
考点1.求圆的方程
2022·全国甲卷 2022·全国乙卷
考点2.直线与圆的位置关系
2022·新高考全国Ⅱ卷
2021·新高考全国Ⅱ卷
考点3.圆的弦长问题
2024·全国甲卷 2023·新课标Ⅱ卷
考点4.圆的最值问题
2025·全国一卷 2023·全国乙卷
2021·新高考全国Ⅰ卷
🎯【命题解读】（考前必看）
直线与圆是解析几何中的重要内容，高考主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆，常见
命题方向：
（1）圆的方程主要考查定义和性质；
（2）直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系；
（3）直线与圆、圆与圆的综合问题.
从数据来看，高考对直线与圆的考查方式及题目难度变化不大. “直线与圆的” 相关考点考查覆盖求圆的
方程、圆心半径确定、直线与圆的位置关系、弦长、切线、对称及最值问题，几乎涵盖圆的全部核心知识点.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 (人教A 版选择性必修第一册P58·T8)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l 与连接A(1，－2)，
B(2，1)两点的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α 与斜率k 的取值范围，并说明理由.
【解析】∵kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
直线l 与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，
∴kPA≤kl≤kPB，∴－1≤k≤1.又k＝tan α∈[－1，1]，
倾斜角α∈∪，∴斜率k 的范围为[－1，1]，
倾斜角α 的范围为∪.
【教材母题2】 (人教A 版选择性必修第一册P63·例4)已知△ABC 的三
个顶点A(－5，
0)，B(3，－3)，C(0，2)，求边BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线AM 所在直线的方程.
【解析】如图，过B(3，－3)，C(0，2)的两点式方程为＝，
整理得5x＋3y－6＝0.
这就是边BC 所在直线的方程．
边BC 上的中线是顶点A 与边BC 中点M 所连线段，由中点坐标公式，可得点M 的
坐标为，
即.过A(－5，0)，M 两点的直线方程为＝，整理可得x＋13y＋5＝0.
这就是边BC 上中线AM 所在直线的方程．
1
【教材母题3】 (人教A 版选择性必修第一册P77·例6)已知△ABC 的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－
1，0)，求△ABC 的面积.
【解析】如图，设边AB 上的高为h，
则S△ABC＝|AB|h.|AB|＝＝2.
边AB 上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．
边AB 所在直线l 的方程为＝，即x＋y－4＝0.
点C(－1，0)到直线l：x＋y－4＝0 的距离h＝＝.因此，S△ABC＝×2×＝5.
【教材母题4】 (人教A 版选择性必修第一册P79·T10)已知△ABC 的顶点A(5,1),边AB 上的中线CM 所在直线
方程为2x-y-5=0,边AC 上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0.求:
（1）顶点C 的坐标;
（2）直线BC 的方程.
【解析】(1)设C(m，n)，∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x－y－5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为
x－2y－5＝0，∴解得∴C(4，3)．
(2)设B(a，b)，则解得∴B(－1，－3)，∴kBC＝＝，
∴直线BC 的方程为y－3＝(x－4)，化为6x－5y－9＝0.
【教材母题5】 (人教A 版选择性必修第一册P91·例1)已知直线l：3x＋y－6＝0 和圆心为C 的圆x2＋y2－2y－
4＝0，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得的弦长.
【解析】圆C 的方程x2＋y2－2y－4＝0 可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C 的坐标为(0，
1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l 的距离d＝＝＜.
所以直线l 与圆C 相交，有两个公共点．
如图，由垂径定理，得|AB|＝2＝.
【教材母题6】 (人教A 版选择性必修第一册P94·例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁
分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km 的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，港口位于小岛中
心正北30 km 处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
【解析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
为了运算的简便，我们取10 km 为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位
置的坐标为(4，0)．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2＋y2＝4，
轮船航线所在直线l 的方程为＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
联立直线l 与圆O 的方程，得消去y，得25x2－72x＋80＝0.
由Δ＝(－72)2－4×25×80＜0，可知方程组无解．
所以直线l 与圆O 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
【教材母题7】 (人教A 版选择性必修第一册P84·例3)（一题多解）已知圆心为C 的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点,
且圆心C 在直线l:x-y+1=0 上,求此圆的标准方程.
解法一：设圆心C 的坐标为(a,b).因为圆心C 在直线l:x-y+1=0 上,所以a-b+1=0.①
因为A,B 是圆上两点,所以|CA|=|CB|.根据两点间距离公式,有
√(a−1)
2+(b−1)
2=√(a−2)
2+(b+2)
2,即a-3b-3=0.②
由①②可得a=-3,b=-2,所以圆心C 的坐标是(-3,-2).圆的半径r=|AC|=√(1+3)
2+(1+2)
2=5.
2
所以所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
解法二：如图,设线段AB 的中点为D.
由A,B 两点的坐标为(1,1),(2,-2),可得点D 的坐标为(
3
2 ,−1
2),
直线AB 的斜率为kAB=−2−1
2−1 =-3.因此,线段AB 的垂直平分线l'的方程是y+1
2=1
3(x−3
2)
,
即x-3y-3=0.由垂径定理可知,圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上,
所以它的坐标是方程组{
x−3 y −3=0,
x−y +1=0 的解,解这个方程组,得{
x =−3,
y =−2,所以圆心C 的坐标是(-3,-2).
圆的半径r=|AC|=√(1+3)
2+(1+2)
2=5.所以所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
【🚀衔接高考】
(2022·全国甲卷) （一题多解）设点M 在直线2x+y-1=0 上,点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,则☉M 的方程为
.
【答案】 (x-1)2+(y+1)2=5
【解析】解法一：设☉M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则{
2a+b−1=0,
(3−a)
2+b
2=r
2,
a
2+(1−b)
2=r
2,
解得{
a=1,
b=−1,
r
2=5,
∴☉M 的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
解法二：设☉M 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M(-D
2 ,- E
2 ),
∴{
2·(−D
2 )+(−E
2 )−1=0,
9+3 D+ F =0,
1+ E+ F =0,
解得{
D =−2,
E =2,
F =−3,
∴☉M 的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5.
解法三：设A(3,0),B(0,1),☉M 的半径为r,则kAB=1−0
0−3=-1
3,AB 的中点坐标为(3
2,1
2),
∴AB 的垂直平分线方程为y-1
2=3(x-3
2),即3x-y-4=0.联立得{
3 x−y −4 =0,
2 x + y −1=0, 解得{
x =1,
y =−1,
所以M(1,-1),∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5,∴☉M 的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
【教材母题8】 (人教A 版选择性必修第一册P87·例5)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆
(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【解析】设点M 的坐标是(x,y),点A 的坐标是(x0,y0).由于点B 的坐标是(4,3),且M 是线段AB 的中点,
所以x= x0+ 4
2
,y= y0+3
2
.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.①
因为点A 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,所以点A 的坐标满足圆的方程,
即(x0+1)2+y0
2=4.②把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,
整理,得(x−3
2)
2
+( y −3
2)
2
=1.
3
这就是点M 的轨迹方程,它表示以(
3
2 , 3
2)为圆心,半径为1 的圆.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅲ卷)在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点.若⃗AC·⃗BC=1,则点C 的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
【答案】A
【解析】以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,设点A,B 分别为(-a,0),(a,0)
(a>0),点C 为(x,y),则⃗AC=(x+a,y),⃗BC=(x-a,y),所以⃗AC·⃗BC=(x-a)(x+a)+y·y=x2+y2-a2=1,整理得x2+y2=a2+1.因此点C
的轨迹为圆.故选A.
【教材母题9】 (人教A 版选择性必修第一册P88 习题2.4T2(2))求满足过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三点的圆的方程,
并画出图形.
【解析】设过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则由{
1+25−D+5 E+ F =0,
25+25+5 D+5 E+ F =0,
36+ 4 +6 D−2 E+ F =0,
求得{
D =−4 ,
E =−2,
F =−20,
则圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0.
【🚀衔接高考】
(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
【答案】 (x-2)2+(y-3)2=13 或(x-2)2+(y-1)2=5 或(x-4
3 )2+(y-7
3)2=65
9 或(x-8
5)2+(y-1)2=169
25
【解析】 依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0.
若过(0,0),(4,0),(-1,1),则{
F =0,
16+ 4 D+ F =0,
1+1−D+ E+ F =0,
解得{
F =0,
D =−4 ,
E =−6,
满足D2+E2-4F>0,
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13;
若过(0,0),(4,0),(4,2),则{
F =0,
16+ 4 D+ F =0,
16+ 4 + 4 D+2 E+ F =0,
解得{
F =0,
D =−4 ,
E =−2,
满足D2+E2-4F>0,
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;
4
若过(0,0),(4,2),(-1,1),则{
F =0,
1+1−D+ E+ F =0,
16+ 4 + 4 D+2 E+ F =0,
解得{
F =0,
D =−8
3 ,
E =−14
3 ,
满足D2+E2-4F>0,
所以圆的方程为x2+y2-8
3x-14
3 y=0,即(x−4
3)
2
+( y −7
3)
2
=65
9 ;
若过(-1,1),(4,0),(4,2),则{
1+1−D+ E+ F =0,
16+ 4 D+ F =0,
16+ 4 + 4 D+2 E+ F =0,
解得{
F =−16
5 ,
D =−16
5 ,
E =−2,
满足D2+E2-4F>0,
所以圆的方程为x2+y2-16
5 x-2y-16
5 =0,即(x−8
5)
2
+(y-1)2=169
25 .
【🚀新题预测】
（1）（2026·辽宁辽阳模拟）已知直线
经过圆
的圆心，则
的最小值为( )
A.-1
B.
C.0
D.1
【答案】B
【解析】
可化为
，故圆心为
，
因直线
经过圆心，则
，则
，此二次函数开口朝上，对称轴方程为
，
故其最小值为
.故选B
（2）（2026·湖北十堰模拟）已知函数
的图象上,相邻的一个最高点与一个最低点恰好都在
圆
上,则
的最小正周期为( )
A.4
B.
C.2
D.
【答案】B
【解析】
,
.
的最小正周期为
最大值点为
,相邻的最小值点为
,代入圆方程,得
,
.故选B.
【教材母题10】(人教A 版选择性必修第一册P98T3)求直线l:3x-y-6=0 被圆C:x2+y2-2x-4y=0 截得的弦AB 的长.
【解析】将圆的方程x2+y2-2x-4y=0 化为标准方程,得(x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心坐标为(1,2),半径√5,
5
∴圆心到直线的距离d=|3−2−6|
√1+9
=√10
2 ,弦AB 的长|AB|=2√5−5
2
=√10.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0 与☉C:(x-1)2+y2=4 交于A,B 两点,写出满足“△ABC 面积为8
5”的m 的
一个值 .
【答案】2(答案不唯一,可以是±1
2,±2 中任意一个)
【解析】设直线x-my+1=0 为直线l,由条件知☉C 的圆心为C(1,0),半径R=2,
则圆心C 到直线l 的距离d=
2
√1+m
2,|AB|=2√R
2−d
2=2√
4−(
2
√1+m
2)
2
= 4|m|
√1+m
2.
由S△ABC=8
5,得1
2× 4|m|
√1+m
2×
2
√1+m
2=8
5,整理得2m2-5|m|+2=0,解得m=±2 或m=±1
2,故答案可以为2.
【教材母题11】 (人教A 版选择性必修第一册P102·T10)求点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ 为任意
实数)的距离的最大值.
【解析】将(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0 化为λ(3x+y-4)+(x+y-2)=0,因为λ 为任意实数,
所以{
3 x + y −4 =0,
x + y −2=0, 解得{
x =1,
y =1,
即直线(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0,恒过定点(1,1),
所以点P(-2,-1)到直线l 的距离的最大值为√(−2−1)
2+(−1−1)
2=√13.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.√2
C.√3 D.2
【答案】B
【解析】设点A(0,-1),直线l:y=k(x+1),得l 恒过定点B(-1,0),当AB⊥l 时,点A(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离最大,最大
值为√2.故选B.
【教材母题12】 (人教A 版选择性必修第一册P103·T20)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+
(m+1)y-7m-4=0.
（1）求证:直线l 恒过定点;
（2）直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.
(1)证明 直线l 的方程可化为(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,
联立{
2 x + y −7=0,
x + y −4 =0, 解得{
x =3,
y =1,故恒过定点(3,1).
(2)解 当直线l 过圆心C 时,直线被圆截得的弦长最长.
设P(3,1),C(1,2),当直线l⊥CP 时直线被圆截得的弦长最短,此时直线l 的斜率为k=-2m+1
m+1 ,kCP=-1
2,
由k·kCP=-1 得m=-3
4 ,此时l 的方程为2x-y-5=0,圆心C(1,2)到直线2x-y-5=0 的距离为d=|2−2−5|
√5
=√5,
6
最短弦长=2√r
2−d
2=4√5,故当l 过圆心时弦长最长,当l 的方程为2x-y-5=0 时最短,弦长最短时m=-3
4 ,最短弦长=4
√5.
【🚀衔接高考】
（1）(2024·全国甲卷)已知b 是a,c 的等差中项,直线ax+by+c=0 与圆x2+y2+4y-1=0 交于A,B 两点,则|AB|的最小
值为( )
A.1 B.2
C.4 D.2√5
【答案】C
【解析】根据题意有2b=a+c,即a-2b+c=0,所以直线ax+by+c=0 过点M(1,-2).
设圆x2+y2+4y-1=0 的圆心为C,连接CM,则AB⊥CM 时,|AB|最小,将圆的方程化为x2+(y+2)2=5,
则C(0,-2),所以|MC|=1,所以|AB|的最小值为2√5−| MC |
2=4.
（2）(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】B
【解析】圆的方程可化为(x-3)2+y2=9,故圆心的坐标为C(3,0),半径r=3.
如图,记点M(1,2),则当MC 与直线垂直时,直线被圆截得的弦的长度最小,此时|MC|=2√2,
弦的长度l=2√r
2−| MC |
2=2√9−8=2.
【教材母题13】 (人教B 版选择性必修第一册P113·例1) （一题多解）已知直线y=x+b,圆x2+y2=2,分别求直线
与圆相交、相切、相离时b 的取值范围.
解法一： 联立直线的方程与圆的方程,得方程组{
y = x +b,
x
2+ y
2=2,从方程组中消去y,整理得
2x2+2bx+b2-2=0,①这个方程的判别式Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=-4(b+2)(b-2).
当且仅当-2<b<2 时,Δ>0,方程①有两个不相等的实数解,此时直线与圆有两个公共点,直线与圆相交;
当且仅当b=2 或b=-2 时,Δ=0,方程①有两个相等的实数解,此时直线与圆只有一个公共点,直线与圆相切;
当且仅当b<-2 或b>2 时,Δ<0,方程①没有实数解,此时直线与圆没有公共点,直线与圆相离.
解法二： 因为圆的半径r=√2,圆心O(0,0)到直线y=x+b 的距离为d=|b|
√2
.
当且仅当d<r,即|b|
√2
<√2,-2<b<2 时,直线与圆相交;
当且仅当d=r,即|b|
√2
=√2,b=2 或b=-2 时,直线与圆相切;
当且仅当d>r,即|b|
√2
>√2,b<-2 或b>2 时,直线与圆相离.
7
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国乙卷)已知实数x,y 满足 x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y 的最大值是( )
A.1+3√2
2
B.4 C.1+3√2 D.72
【答案】C
【解析】将方程x2+y2-4x-2y-4=0 化为(x-2)2+(y-1)2=9,其表示圆心为(2,1),半径为3 的圆.
设z=x-y,即x-y-z=0,由题意得|2−1−z|
√2
≤3,解得1-3√2≤z≤1+3√2,故z=x-y 的最大值为1+3√2,故选C.
（2）(2022·新高考Ⅱ卷) （一题多解）设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB 关于y=a 对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1
有公共点,则a 的取值范围是 .
【答案】 [
1
3 , 3
2]
【解析】解法一：由题意知点A(-2,3)关于直线y=a 的对称点为A'(-2,2a-3),
所以kA'B=3−a
2
,所以直线A'B 的方程为y=3−a
2
x+a,即(3-a)x-2y+2a=0.
由题意知直线A'B 与圆(x+3)2+(y+2)2=1 有公共点,易知圆心为(-3,-2),半径为1,
所以
|−3(3−a)+(−2)×(−2)+2 a|
√(3−a)
2+(−2)
2
≤1,整理得6a2-11a+3≤0,解得1
3≤a≤3
2,所以实数a 的取值范围是[
1
3 , 3
2].
解法二：易知(x+3)2+(y+2)2=1 关于y 轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,
由题意知该对称圆与直线AB 有公共点.直线AB 的方程为y=a−3
2
x+a,即(a-3)x-2y+2a=0,
又对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,所以|3(a−3)+(−2)×(−2)+2 a|
√(a−3)
2+(−2)
2
≤1,
整理得6a2-11a+3≤0,解得1
3≤a≤3
2,所以实数a 的取值范围是[
1
3 , 3
2].
解法三：易知(x+3)2+(y+2)2=1 关于y 轴对称的圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=1,
由题意知该对称圆与直线AB 有公共点.设直线AB 的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+3+2k=0,
因为对称圆的圆心为(3,-2),半径为1,所以|5k +5|
√k
2+(−1)
2≤1,解得-4
3 ≤k≤-3
4 ,又k=a−3
2
,所以-4
3 ≤a−3
2
≤-3
4 ,
解得1
3≤a≤3
2,所以实数a 的取值范围是[
1
3 , 3
2].
【教材母题14】 (人教B 版选择性必修第一册P121 习题2-3A·T4)若P(x,y)是圆C:(x-3)2+y2=1 上的任意一点,求
P(x,y)到直线x-y+1=0 的距离的最大值和最小值.
【解析】由圆C:(x-3)2+y2=1,可得圆心C(3,0),半径r=1,∴圆心C(3,0)到直线x-y+1=0 的距离
d=|3−0+1|
√2
=2√2,∴P(x,y)到直线x-y+1=0 的距离的最大值和最小值分别为2√2+1,2√2-1.
【🚀衔接高考】
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16 上,点A(4,0),B(0,2),则( )
8
A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2
【答案】ACD
【解析】设圆(x-5)2+(y-5)2=16 的圆心为M(5,5),由题意知直线AB 的方程为x
4 + y
2 =1,即x+2y-4=0,则圆心M 到直线
AB 的距离d=|5+2×5−4|
√5
= 11
√5>4,所以直线AB 与圆M 相离,所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4+d=4+ 11
√5
,又4+ 11
√5<5+√
125
5
=10,故A 正确;
易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d-4= 11
√5-4,又11
√5-4<√
125
5
-4=1,故B 不正确;
过点B 作圆M 的两条切线,切点分别为N,Q,如图所示,连接MB,MN,MQ,则当∠PBA 最小时,点P 与N 重合,|PB|=
√| MB|
2−| MN |
2=√5
2+(5−2)
2−4
2=3√2;当∠PBA 最大时,点P 与Q 重合,|PB|=3√2,故C,D 都正确.综上,选
ACD.
【🚀新题预测】
（1）（2026·福建厦门1 月检测）记曲线
，若直线
与
曲线C 相切，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】当
，
，
，则
，
当
，
，
，则
，
当
，
，则
，
当
，
，
，则
，
显然
，直线
的斜率为-1，如下图示，
9
则原点到直线的距离
，所以
.故选C
（2）（2026·河北邢台1 月检测）已知直线
，Q 是圆
上的一
动点，则点Q 到直线l 的距离d 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】直线
，可化为
，
由
，解得
，
，所以l 过定点
，
又因为点Q 在圆O 上，且
，圆O 的圆心为
，半径
，
所以当
，且Q，O，P 三点共线时，点Q 到直线l 的距离d 最大，
最大为
，此时
，所以直线l 的斜率为1，即
，无解，
故直线l 不存在，所以
；当直线l 与圆O 相交或相切时，点Q 到直线l 的距离d 最小，最小为0，
故点Q 到直线l 的距离d 的取值范围为
.故选B.
【教材母题15】 (苏教版选择性必修第一册P67·T12)对于圆C:x2+y2=r2,直线l:ax+by=r2,分别根据下列条件,判断
直线l 与圆C 的位置关系:
（1）点P(a,b)在圆C 上;
（2）点P(a,b)在圆C 外.
【解析】(1)当点P(a,b)在圆C 上时, a2+b2=r2.因为圆心到直线l 的距离d=
r
2
√a
2+b
2=r,故直线l 与圆C 相切.
（2）当点P(a,b)在圆C 外时,a2+b2>r2.因为圆心到直线l 的距离d=
r
2
√a
2+b
2<r,故直线l 与圆C 相交.
【🚀衔接高考】
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0 与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A 在圆C 上,则直线l 与圆C 相切 B.若点A 在圆C 内,则直线l 与圆C 相离
C.若点A 在圆C 外,则直线l 与圆C 相离 D.若点A 在直线l 上,则直线l 与圆C 相切
10
【答案】ABD
【解析】圆心C(0,0)到直线l 的距离d=
r
2
√a
2+b
2.若点A(a,b)在圆C 上,则a2+b2=r2,所以d=
r
2
√a
2+b
2=|r|,则直线l 与
圆C 相切,故A 正确;若点A(a,b)在圆C 内,则a2+b2<r2,所以d=
r
2
√a
2+b
2>|r|,则直线l 与圆C 相离,故B 正确;
若点A(a,b)在圆C 外,则a2+b2>r2,所以d=
r
2
√a
2+b
2<|r|,则直线l 与圆C 相交,故C 错误;
若点A(a,b)在直线l 上,则a2+b2-r2=0 即a2+b2=r2,所以d=
r
2
√a
2+b
2=|r|,直线l 与圆C 相切,故D 正确.故选ABD.
【教材母题16】 (湘教版选择性必修第一册P99·例6)证明圆C1:x2+y2-4x-16=0 与圆C2:x2+y2+2y-4=0 内切,并求
它们的公切线方程.
【解析】将圆C1的方程化成标准方程,得(x-2)2+y2=20,则圆心坐标为(2,0),半径r1=√20=2√5,
将圆C2的方程化成标准方程,得x2+(y+1)2=5,则圆心坐标为(0,-1),半径r2=√5.两圆心之间的距离
d=√2
2+1
2=√5=r1-r2,因此两圆内切(如图).
为求公切线方程,需要求切点坐标,切点是两圆唯一的公共点,
其坐标即为方程组
{
x
2+ y
2−4 x−16=0,①
x
2+ y
2+2 y −4 =0,②的解,由②-①,得4x+2y+12=0,即y=-2x-6.③
将③代入②,整理得x2+4x+4=0.解此方程,得唯一解x=-2,代入③,得y=-2,
故切点坐标为(-2,-2).切点(-2,-2)到圆C1的圆心(2,0)的方向向量为(2-(-2),0-(-2))=(4,2),并且与切线方向垂直,
故向量(4,2)是切线的法向量,因此可设切线的一般式方程为4x+2y+C=0.将切点(-2,-2)的坐标代入上述方程,
解得C=12.因此,所求切线方程为2x+y+6=0.
【🚀衔接高考】
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一条直线的方程 .
【答案】x=-1 或7x-24y-25=0 或3x+4y-5=0(答案不唯一,只需写出上述三个方程中的一个即可)
【解析】如图,因为圆x2+y2=1 的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16 的圆心为A(3,4),半径r2=4,
11
所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况:
①易知公切线l1的方程为x=-1.
②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l 对称.易知过两圆圆心的直线l 的方程为y=4
3 x,
由{
x =−1,
y = 4
3 x 得{
x =−1,
y =−4
3 ,由对称性可知公切线l2过点(−1,−4
3).
设公切线l2的方程为y+4
3 =k(x+1),则点O(0,0)到l2的距离为1,所以1=|k −4
3|
√k
2+1
,解得k= 7
24 ,
所以公切线l2的方程为y+4
3 = 7
24 (x+1),即7x-24y-25=0.
③还有一条公切线l3与直线l:y=4
3 x 垂直,设公切线l3的方程为y=-3
4 x+t,
易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1,所以1=
|t|
√(−3
4)
2
+(−1)
2,
解得t=5
4 或t=-5
4 (舍去),所以公切线l3的方程为y=-3
4 x+5
4 ,即3x+4y-5=0.
综上,所求直线方程为x=-1 或7x-24y-25=0 或3x+4y-5=0.
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读1】(人教B 版选择性必修第一册P74 习题2-1CT2 拓展)曼哈顿距离
（1）定义:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点,则定义|x2-x1|+|y2-y1|为“直角距离”、“折线距离”或“曼哈顿距离”,
记作d(P,Q)=|x2-x1|+|y2-y1|.
（2）性质:①已知直线AB,AC 平行于坐标轴,且|AB|=|AC|=m,则线段BC 上任意一点D(含端点)与点A 的曼哈顿距
离为定值.(线段BC 称为A 的“等曼哈顿距离线段”,简称“等曼线”.)
②动点P(x1,y1)到定点Q(x2,y2)的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形.(该正方形的对角线平行于坐标轴.)
③等曼线所在直线的斜率为-1 或1.
证明 ①如图所示,过D 作DE⊥AB,垂足为E,
d(A,D)=|AE|+|DE|=|AE|+|BE|=|AB|=m.②③证明(略).
【🚀新题预测】
12
(2026·山东青岛模拟)设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P 为抛物线
C:x2=2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p= ;若斜率为3
2的直线l 过点Q,点M 是直线l 上
一动点,则d(P,M)的最小值为 .
【答案】2 ；3
2
【解析】令P(m, m
2
2 p),则d(P,Q)=|m-3|+|
m
2
2 p −0|≥m
2
2 p -m+3= 1
2 p (m-p)2+3- p
2 ,∴3- p
2 =2,解得p=2,
即当p=2 时,d(P,Q)取得最小值;由题知直线l 的点斜式方程为y=3
2x-9
2,与抛物线方程联立得
x2-6x+18=0,Δ=(-6)2-4×18=-36<0,
∴直线l 与C 无交点.
如图,过点P 作PN∥x 轴,交直线l 于点N,过点M 作ME⊥PN,垂足为E,d(P,M)=|PE|+|EM|≥|PE|+|EN|=|PN|,
当点M,N 重合时取等号.设P(n, n
2
4 ),则N(
n
2
6 +3, n
2
4 ),∴|PN|=n
2
6 -n+3=1
6(n-3)2+3
2≥3
2,∴d(P,M)min=3
2.
【阅读2】 (人教A 版选择性必修第一册P89T9,湘教版选择性必修第一册P104 例2 拓展)阿波罗尼斯圆:平面内
到两个定点A,B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点M 的轨迹是圆.
证明 以直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系,并设A(a,0),B(b,0)(a≠b),M(x,y).因为| MA |
| MB| =λ≠1,
所以√( x−a)
2+ y
2
√( x−b)
2+ y
2=λ,所以(x-a)2+y2=λ2(x-b)2+λ2y2,所以(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(2λ2b-2a)x+(a2-λ2b2)=0,
所以x2+y2+(2 λ
2b−2a)x
1−λ
2
+a
2−λ
2b
2
1−λ
2
=0,所以(x + λ
2b−a
1−λ
2 )
2
+y2= λ
2(a−b)
2
(1−λ
2)
2 ,所以点M 的轨迹是圆.
【🚀新题预测】
(2026·辽宁沈阳模拟)已知O 是坐标原点,A(3,0),动点P(x,y)满足|PO|=2|PA|,则x +√3 y
√x
2+ y
2的最大值为( )
A.1
2 B.√3
2
C.1 D.√3
【答案】D
【解析】设P(x,y),由题意|PO|=2|PA|,可得√x
2+ y
2=2√( x−3)
2+ y
2,
整理可得x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4,
其圆心的坐标(4,0),半径r=2, x +√3 y
√x
2+ y
2表示⃗OP=(x,y)与⃗OD=(1,√3)的夹角的余弦值的2 倍,
13
要使得x +√3 y
√x
2+ y
2取得最大值,有⃗OP与圆(x-4)2+y2=4 相切,切点在第一象限,此时∠POx=π
6 ,∠DOx=π
3 ,
可得x +√3 y
√x
2+ y
2的最大值为2cos∠DOP=2·cos π
6 =√3.
【阅读3】(人教A 版选择性必修第一册P89T10 拓展)圆的参数方程:若点P(x,y)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上的任
一点,则点P 的坐标(x,y)可写成{
x =a+r cosθ ,
y =b+r sinθ (θ 为参数).
证明 如图,CA∥x 轴,PP1⊥AC,P1为垂足,∠PCA=θ,
则x=xC+|CP1|=a+rcos θ,y=yC+|PP1|=b+rsin θ,即{
x =a+r cosθ ,
y =b+r sinθ (θ 为参数).
【🚀新题预测】
(2026·山西太原模拟)过点P(a,b)作圆x2+y2=1 的切线PA,A 为切点,|PA|=1,则a+2b 的最大值是( )
A.√2 B.√3
C.√5 D.√10
【答案】D
【解析】根据题意,设圆x2+y2=1 的圆心为O,则|PO|2=|PA|2+|OA|2=1+1=2,∴a2+b2=2.
令a=√2cos θ,b=√2sin θ,θ∈[0,2π),则a+2b=√2cos θ+2√2sin θ=√10sin(θ+φ),
其中tan φ=1
2,所以a+2b 的最大值为√10.
【阅读4】(人教B 版选择性必修第一册P116T1、P113 例2,北师大版选择性必修第一册P39T5,湘教版选择性必
修第一册P97 例4,苏教版选择性必修第一册P72 问题与探究拓展)圆的极点、极线:
（1）点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 上的一点,则在P 处的切线方程为x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
证明 如图.C(−D
2 ,−E
2),
所以⃗CP=(x0+ D
2 , y0+ E
2),任取l 上一点Q(x,y),则⃗PQ=(x-x0,y-y0),则由相切可知⃗PQ·⃗CP=0,
所以(x-x0)(x0+ D
2 )+(y-y0)( y0+ E
2)=0,即x0x+ D
2 (x-x0)-x0
2+y0y+ E
2 (y-y0)-y0
2=0,①
14
由P 在C 上可知x0
2+y0
2+Dx0+Ey0+F=0,②由①②消去x0
2+y0
2可得
x0x+ D
2 (x-x0)+y0y+ E
2 (y-y0)+Dx0+Ey0+F=0,即x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
（2）点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 外的一点,过点P 作圆C 的切线,切点为A,B,则AB 的直线方程为
x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
证明 解法一 作出过P 的圆C 的两条切线的切点A(x1,y1),B(x2,y2),
则P(x0,y0)在圆C 的A 点处的切线x1x+y1y+D x + x1
2
+E y + y1
2
+F=0 上,
即x1x0+y1y0+D x0+ x1
2
+E y0+ y1
2
+F=0,且P(x0,y0)在圆C 的B 点处的切线x2x+y2y+D x + x2
2
+E y + y2
2
+F=0,
即x2x0+y2y0+D x0+ x2
2
+E y0+ y2
2
+F=0,可见,A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0,
而此方程为直线方程,所以直线AB 的方程为
x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
法二作出过P 的圆C 的两条切线的切点A(x1,y1),B(x2,y2),显然A,B,P,C 四点共圆,以PC 为直径.
设此圆上任一点Q(x,y),则⃗PQ=(x-x0,y-y0),⃗CQ=(x + D
2 , y + E
2),由相切可知:⃗PQ·⃗CQ=0,
则(x-x0)(x + D
2 )+(y-y0)( y + E
2)=0,即x2+D x−x0
2
-x0x+y2+E y −y0
2
-y0y=0.
与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 作差得Dx+Ey+F-D x−x0
2
+x0x-E y −y0
2
+y0y=0,
此即直线AB 的方程,整理为x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
（3）点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 内一点,过P 作圆的弦AB,再作A,B 两点处的圆的切线,两切线交点为Q,
则Q 的轨迹为x0x+y0y+D· x + x0
2
+E· y + y0
2
+F=0.
15
证明 设Q(a,b),则由探究2 结果可知Q 的切点弦AB 为ax+by+D x +a
2
+E y +b
2
+F=0,P(x0,y0)在弦AB 上,
所以ax0+by0+D x0+a
2
+E y0+b
2
+F=0,将a,b 分别换为x,y,可得Q 的轨迹方程为
x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0,可见,Q 点轨迹是一条直线,这条直线上任意一点的切点弦恒过定点P.
【🚀新题预测】
(2025·保定模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l:x=4,P 为直线l 上的动点,过P 作圆O 的两条切线,切点分别为A,B,则直
线AB 恒过定点 .
【答案】(1,0)
【解析】设P(4,m),A(x1,y1),B(x2,y2),则两切线方程分别为x1x+y1y=4,x2x+y2y=4.
因为两条切线均过点P,所以有4x1+my1=4,4x2+my2=4,从而直线AB 方程为4x+my=4,
所以直线AB 恒过定点(1,0).
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版选择性必修第一册P52)在平面直角坐标系中,设直线l 的倾斜角为α.
（1）已知直线l 经过O(0,0),P(√3,1),α 与O,P 的坐标有什么关系?
（2）类似地,如果直线l 经过P1(-1,1),P2(√2,0),α 与P1,P2的坐标又有什么关系?
（3）一般地,如果直线l 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α 与P1,P2的坐标有怎样的关系?
【解析】(1)如图(1),向量⃗OP=(√3,1),且直线OP 的倾斜角为α.由正切函数的定义,有tan α= 1
√3=√3
3 .
图(1) 图(2)
(2)如图(2),⃗P2 P1=(-1-√2,1-0)=(-1-√2,1).平移向量⃗P2 P1到⃗OP,则点P 的坐标为(-1-√2,1),且直线OP 的倾斜角也是
α.由正切函数的定义,有tan α=
1
−1−√2=1-√2.
16
图(3) 图(4)
(3)一般地,如图(3)(4),当向量⃗P1 P2的方向向上时,⃗P1 P2=(x2-x1,y2-y1).平移向量⃗P1 P2到⃗OP,则点P 的坐标为(x2-x1,y2-
y1),且直线OP 的倾斜角也是α,由正切函数的定义,有tan α= y2−y1
x2−x1
.
【探究2】(人教A 版选择性必修第一册P65)在方程Ax+By+C=0 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线:
①平行于x 轴? ②平行于y 轴? ③与x 轴重合? ④与y 轴重合?
提示:对于方程Ax+By+C=0.
①当A=0,BC≠0 时,方程为y=-C
B ,表示的直线平行于x 轴.
②当B=0,AC≠0 时,方程为x=-C
A ,表示的直线平行于y 轴.
③当A=C=0,B≠0 时,方程为y=0,表示x 轴.
④当B=C=0,A≠0 时,方程为x=0,表示y 轴.
【探究3】(人教A 版选择性必修第一册P65)在方程Ax＋By＋C＝0 中，A，B，C 为何值时，方程表示的直线：
①平行于x 轴？②平行于y 轴？③与x 轴重合？④与y 轴重合？
【解析】对于方程Ax＋By＋C＝0.
①当A＝0，BC≠0 时，方程为y＝－，表示的直线平行于x 轴．
②当B＝0，AC≠0 时，方程为x＝－，表示的直线平行于y 轴．
③当A＝C＝0，B≠0 时，方程为y＝0，表示x 轴．
④当B＝C＝0，A≠0 时，方程为x＝0，表示y 轴．
【探究4】 (人教A 版选择性必修第一册P74)如图,已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P 到直线l 的距离?
【解析】点P 到直线l 的距离,就是从点P 到直线l 的垂线段PQ 的长度,其中Q 是垂足.因此,求出垂足Q 的坐标,利
用两点间的距离公式求出|PQ|,就可以得到点P 到直线l 的距离.
设A≠0,B≠0.由PQ⊥l,以及直线l 的斜率为- A
B ,可得l 的垂线PQ 的斜率为B
A ,因此,垂线PQ 的方程为y-y0= B
A (x-x0),
即Bx-Ay=Bx0-Ay0.解方程组{
Ax + By +C =0,
Bx −Ay = B x0−A y0,①
得直线l 与PQ 的交点坐标,
17
即垂足Q 的坐标为(
B
2 x0−AB y0−AC
A
2+ B
2
, −AB x0+ A
2 y0−BC
A
2+ B
2
).
于是|PQ|=√(
B
2 x0−AB y0−AC
A
2+ B
2
−x0)
2
+(
−AB x0+ A
2 y0−BC
A
2+ B
2
−y0)
2
=√
( A x0+ B y0+C )
2
A
2+ B
2
=|A x0+ B y0+C |
√A
2+ B
2
.
因此,点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 的距离d=|A x0+ B y0+ C|
√A
2+ B
2
.
可以验证,当A=0,或B=0 时,上述公式仍然成立.
【探究5】 (人教A 版选择性必修第一册P75)我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法
求点到直线的距离?
【解析】如图,点P 到直线l 的距离,就是向量⃗PQ的模.
设M(x,y)是直线l 上的任意一点,n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量,则⃗PQ是⃗PM在n 上的投影向量,且|⃗PQ|
=|⃗PM·n|.设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0 上的任意两点,则⃗P1 P2=(x2-x1,y2-y1)是直线l 的方向向量.
把Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0 两式相减,得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.
由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直.
向量
1
√A
2+ B
2(A,B)就是与直线l 的方向向量垂直的一个单位向量.
我们取n=
1
√A
2+ B
2(A,B),从而⃗
PM·n=(x-x0,y-y0)·
1
√A
2+ B
2(A,B)=
1
√A
2+ B
2[A(x-x0)+B(y-y0)]=
1
√A
2+ B
2(Ax+By-Ax0-By0).
因为点M(x,y)在直线l 上,
所以Ax+By+C=0.所以Ax+By=-C.代入上式,
得⃗PM·n=
1
√A
2+ B
2(-Ax0-By0-C).
因此|PQ|=|⃗PQ|=|⃗PM·n|=|A x0+ B y0+ C|
√A
2+ B
2
.
【探究6】 (人教A 版选择性必修第一册P86)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 中的D,E,F 满足什么条件时,这个方程表示
圆?
【解析】配方得(x + D
2 )
2
+( y + E
2)
2
= D
2+ E
2−4 F
4
.
18
(1)当D2+E2-4F>0 时,可看出方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以(−D
2 ,−E
2)为圆心,1
2 √D
2+ E
2−4 F为半径的圆.
(2)当D2+E2-4F=0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实数解x=- D
2 ,y=- E
2 ,它表示一个点(−D
2 ,−E
2).
(3)当D2+E2-4F<0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 没有实数解,它不表示任何图形.
19
