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解密07 空
几何中的向量方法
间
A 组 考点专练
一、选择题
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】以D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所
示.由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以AD1＝(－1，0，)，DB1＝(1，
1，).则cos〈AD1，DB1〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
2.如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC 的中点
O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于点M.则CD 与平面ACM 所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，
4，0)，M(0，2，2).
所以AC＝(2，4，0)，AM＝(0，2，2)，CD＝(－2，0，0).
设平面ACM 的法向量n＝(x，y，z)，
由n⊥AC，n⊥AM，
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可得令z＝1，得n＝(2，－1，1).
设CD 与平面ACM 所成的角为α，
则sin α＝＝.
3.如图，在棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为棱AA1，BB1的中点，M 为棱A1B1上一点，
且A1M＝λ(0<λ<2)，设N 为线段ME 的中点，则点N 到平面D1EF 的距离为( )
A.λ
B.
C.λ
D.
【答案】D
【解析】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD1所在直线为z 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，
则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，
ED1＝(－2，0，1)，EF＝(0，2，0)，EM＝(0，λ，1).
设平面D1EF 的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，得z＝2，则n＝(1，0，2)为平面D1EF 的一个法向量.
则点M 到平面D1EF 的距离d＝＝＝.
因为N 为线段EM 的中点，所以点N 到平面D1EF 的距离为，故选D.
4.(多选题)如图，四边形ABCD 是边长为1 的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝
1，G 为线段EC 上的动点，下列结论正确的是( )
A.EC⊥AF
B.该几何体外接球的表面积为3π
C.若G 为线段EC 的中点，则GB∥平面AEF
D.AG2＋BG2的最小值为3
【答案】ABC
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3
【解析】如图，几何体可补成正方体，以D 为原点，DA，DC，DE分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空
间直角坐标系D－xyz，由正方体的性质可知EC⊥AF，故A 正确；
该几何体的外接球即为正方体的外接球，所以外接球的直径为正方体的体对角线长，所以该几何体的外接
球的半径为，即外接球的表面积为3π，故B 正确；
连接HC，BG，由正方体性质可知，HC⊥平面AEF，所以HC即为平面AEF 的一个法向量，H(1，0，1)，
C(0，1，0)，所以HC＝(－1，1，－1)，若G 为线段EC 的中点，则G，B(1，1，0)，则GB＝，因为GB·HC
＝0，又GB⊄平面AEF，所以GB∥平面AEF，故C 正确；
设G(0，t，1－t)(0≤t≤1)，又B(1，1，0)，A(1，0，0)，所以AG＝(－1，t，1－t)，BG＝(－1，t－1，1－
t)，所以AG2＋BG2＝(－1)2＋t2＋(1－t)2＋(－1)2＋(t－1)2＋(1－t)2＝4t2－6t＋5，故当t＝时，AG2＋BG2取得
最小值为，故D 错误.故选ABC.
二、填空题
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则直线D1C1 与平面A1BC1 所成角的正弦值为
________.
【答案】
【解析】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，
则D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0).
∴D1C1＝(0，2，0)，A1C1＝(－1，2，0)，A1B＝(0，2，－1)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由
得令y＝1，得n＝(2，1，2)，
设直线D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则
sin θ＝|cos〈D1C1，n〉|＝＝＝，
即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
6.如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2 的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内
(包括圆周).若AM⊥MP，则点P 形成的轨迹长度为________.
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【答案】
【解析】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示.
则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，)，M，设P(x，y，0)，
∴AM＝，MP＝，由AM·MP＝0 得y＝，
∴点P 的轨迹方程为y＝.
根据圆的弦长公式，可得点P 形成的轨迹长度为2＝.
7.如图，在四棱锥P－ABCD 中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD
＝PB＝3，点E 在棱PA 上，且PE＝2EA，则平面ABE 与平面BED 所成二面角的余弦值为________.
【答案】
【解析】以点B 为坐标原点，分别以BC，BA，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系.
则B(0，0，0)，A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，E(0，2，1)，∴BE＝(0，2，1)，BD＝(3，3，0).
设平面BED 的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则取z＝1，得n＝，
平面ABE 的一个法向量为m＝(1，0，0)，
∴cos〈n，m〉＝＝.
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∵平面ABE 与平面BED 所成的二面角为锐角，
∴平面ABE 与平面BED 所成的二面角的余弦值为.
三、解答题
8.已知三棱锥M－ABC，MA＝MB＝MC＝AC＝2，AB＝BC＝2，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，
且BN＝BC.
(1)求证：BO⊥平面AMC；
(2)求二面角N－AM－C 的正弦值.
【解析】(1)连接OM.在△ABC 中，∵AB＝BC＝2，AC＝2，
∴∠ABC＝90°，BO＝，OB⊥AC.
在△MAC 中，∵MA＝MC＝AC＝2，O 为AC 的中点，
∴OM⊥AC，且OM＝.
在△MOB 中，∵BO＝，OM＝，MB＝2
，
∴BO2＋OM2＝MB2，∴OB⊥OM.
∵AC∩OM＝O，AC⊂平面AMC，OM⊂平面AMC，
∴OB⊥平面AMC.
(2) 由(1)知OB，OC，OM 两两垂直，以点O 为坐标原点，分别以OB，OC，OM 所在直线为x 轴，y 轴，
z 轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图.
∵MA＝MB＝MC＝AC＝2，AB＝BC＝2，
∴A(0，－，0)，B(，0，0)，M(0，0，)，C(0，，0).
∵BN＝BC，∴N，
∴AN＝，AM＝(0，，)，OB＝(，0，0).
设平面MAN 的法向量为n＝(x，y，z)，
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则
令y＝，则z＝－1，x＝－5，得n＝(－5，，－1).
∵BO⊥平面AMC，∴OB＝(，0，0)为平面AMC 的一个法向量.
∴n＝(－5，，－1)与OB＝(，0，0)所成角的余弦值
cos〈n，OB〉＝＝.
∴所求二面角的正弦值为＝＝.
9.在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF⊥平面ABEG，且
DG⊥GE，DF∥GE，AB＝2AG＝2DG＝2DF＝2.
(1)求证：FG⊥平面BEF.
(2)求二面角A－BF－E 的大小.
【解析】(1) ∵平面DGEF⊥平面ABEG，且BE⊥GE，
∴BE⊥平面DGEF.
又FG⊂平面DGEF，∴BE⊥FG.
由题意得FG＝FE＝，
∴FG2＋FE2＝GE2，则FE⊥FG.
又BE，EF 是平面BEF 内的两条相交直线.
故FG⊥平面BEF.
(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，2，0)，F(0，1，1)，
FA＝(1，－1，－1)，FB＝(1，1，－1)，FE＝(0，1，－1).
设平面AFB 的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则⇒⇒
令x1＝1，n＝(1，0，1).
由(1)可知平面EFB 的法向量为m＝GF＝(0，1，1).
∴cos〈n，m〉＝＝＝，因此两平面法向量的夹角为，
由图可知，二面角A－BF－E 为钝二面角，所以二面角A－BF－E 的大小为.
B 组 专题综合练
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10.已知矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝3，在AD 上取一点E 满足2AE＝ED.现将△CDE 沿CE 折起使点D 移
动至P 点处，使得PA＝PB.
(1)求证：平面PCE⊥平面ABCE；
(2)求二面角B－PA－E 的余弦值.
【解析】(1)依题意得：PE＝PC＝2，分别取线段AB，CE 的中点O，M，连接△POM 的三边(如图).
则PM⊥CE，
由PA＝PB，得PO⊥AB，①
又OM 为梯形ABCE 的中位线，∴OM∥BC，
由BC⊥AB，得OM⊥AB，②
又PO∩OM＝O，
从而AB⊥平面POM，则AB⊥PM.
在平面ABCE 中，AB 与CE 相交.
∴PM⊥平面ABCE，故平面PCE⊥平面ABCE.
(2)过点O 作PM 平行线为z 轴，分别以OA，OM 为x，y 轴建立空间直角坐标系.
则A(1，0，0)，B(－1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，2，)，
∴PA＝(1，－2，－)，BA＝(2，0，0)，AE＝(0，1，0)，
设n＝(x，y，z)为平面PAB 的法向量，则即令y＝1，得n＝(0，1，－)，
同理：平面PAE 的法向量m＝(，0，1)，
∴cos〈m，n〉＝＝－，
根据图形知二面角B－PA－E 为钝角，
∴二面角B－PA－E 的余弦值为－.
11.如图，在四棱锥E－ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝2BC＝2CD.△EAB 是
以AB 为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB⊥平面ABCD.点F 满足：EF＝λEA(λ∈[0，1]).
(1)试探究λ 为何值时，CE∥平面BDF，并给予证明；
(2)在(1)的条件下，求直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值.
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【解析】(1)当λ＝时，CE∥平面FBD.
证明如下：连接AC，交BD 于点M，连接MF，
因为AB∥CD，所以AM∶MC＝AB∶CD＝2∶1.
又EF＝EA，所以FA∶EF＝2∶1.
所以AM∶MC＝AF∶EF＝2∶1.
所以MF∥CE.
又MF⊂平面BDF，CE⊄平面BDF，
所以CE∥平面BDF.
(2)取AB 的中点O，连接EO，OD.则EO⊥AB.
又因为平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，EO⊂平面ABE，
所以EO⊥平面ABCD，
因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD.
由BC⊥CD，及AB＝2CD，AB∥CD，得OD⊥AB，
由OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
因为△EAB 为等腰直角三角形，AB＝2BC＝2CD，
所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，
所以O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1).
所以AB＝(2，0，0)，BD＝(－1，1，0)，EA＝(－1，0，－1)，
EF＝EA＝，F，所以FB＝.
设平面BDF 的法向量为n＝(x，y，z)，
则有所以取x＝1，得n＝(1，1，2).
设直线AB 与平面BDF 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈AB，n〉|＝＝＝.
故直线AB 与平面BDF 所成角的正弦值为.
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