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解密08
与
案例
统计
统计
A 组 考点专练
一、选择题
1.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼
梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学
生共有60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
【答案】C
【解析】法一 设调查的100 位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝
70，
所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为＝0.7.故选C.
法二 用Venn 图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：
易知调查的100 位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该
校学生总数比值的估计值为＝0.7.
2.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(
)
A.0.01
B.0.1
C.1
D.10
【答案】C
【解析】10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1.故选C.
3.给出如下列联表
患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
非高血压
30
50
80
总计
50
60
110
P(K2≥10.828)≈0.001，P(K2≥6.635)≈0.010，参照公式k＝，得到的正确结论是( )
A.有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病无关”
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2
B.有99%以上的把握认为“高血压与患心脏病有关”
C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病无关”
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“高血压与患心脏病有关”
【答案】B
【解析】由列联表中的数据可得K2的观测值
k＝≈7.486＞6.635，
根据参考数据P(K2≥6.635)≈0.01，P(K2≥10.828)≈0.001，
所以有1－0.01＝99%的把握认为高血压与患心脏病有关，即有99%以上的把握认为高血压与患心脏病有关.
4.(多选题)某企业对本企业1 644 名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，下列结论成立的是(
)
疫情防控期间某企业复工职工调查
A.x＝0.384
B.从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178
C.不到80 名职工倾向于继续申请休假
D.倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986 名
【答案】BD
【解析】由图表知x%＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x＝34.8，则A 错.在家办公的人员占17.8%，B 正确.
由1 644×5.1%＞1644×5%＝82.2＞80，∴超过80 名职工倾向于休假，故C 错误.又1 644×(17.8%＋
42.3%)≈988，所以超过986 名职工倾向于在家办公或在公司办公，D 正确.综上可知，正确的结论为BD.
5.(多选题)某校进行了一次创新作文大赛，共有100 名同学参赛，经过评判，这100 名参赛者的得分都在
[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是( )
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A.得分在[40，60)之间的共有40 人
B.从这100 名参赛者中随机选取1 人，其得分在[60，80)的概率为0.5
C.估计得分的众数为55
D.这100 名参赛者得分的中位数为65
【答案】ABC
【解析】根据频率和为1，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，
得分在[40，60)的频率是0.40，估计得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A 正确；
得分在[60，80)的频率为0.5，可得从这100 名参赛者中随机选取一人，
得分在[60，80)的概率为0.5，B 正确；
根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为＝55，即估计得分的众数为55，C 正确；
由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位数位于[60，70)内，所以中位数的估计值为60＋≈63.3.
二、填空题
6.为了响应中央号召，某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物x(单位：ppm)与当天私家
车路上行驶的时间y(单位：小时)之间的关系，从某主干路随机抽取10 辆私家车，根据测量数据的散点图
可以看出x 与y 之间具有线性相关关系，其回归直线方程为y＝0.3x－0.4，若该10 辆车中有一辆私家车的
尾气排放污染物为6(单位：ppm)，据此估计该私家车行驶的时间为________小时.
【答案】1.4
【解析】由y＝0.3x－0.4，取x＝6，得y＝0.3×6－0.4＝1.4，∴估计该私家车行驶的时间为1.4 小时.
7.由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A 地
区200 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为m，中位数为n，
则m－n＝________.
【答案】360
【解析】第一块小矩形的面积S1＝0.3，第二块小矩形的面积S2＝0.4，故n＝2 000＋＝3 000；又第四、五
块小矩形的面积均为S＝0.06，故a＝[1－(0.3＋0.4＋0.06×2)]＝0.000 09，所以m＝1 000×0.3＋3 000×0.4
＋5 000×0.18＋(7 000＋9 000)×0.06＝3 360，故m－n＝360.
8.“关注夕阳、爱老敬老”——某马拉松协会从2013 年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x
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年(2013 年是第一年)与捐赠的现金y(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y＝
mx＋0.35，则预测2021 年捐赠的现金大约是________万元.
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
【答案】6.65
【解析】由已知，得x＝＝4.5，y＝＝3.5，所以样本中心点的坐标为(4.5，3.5)，代入y＝mx＋0.35 中，得
3.5＝4.5m＋0.35，解得m＝0.7，所以y＝0.7x＋0.35.取x＝9，得y＝0.7×9＋0.35＝6.65，故预测2021 年捐
赠的现金大约是6.65 万元.
三、解答题
9.2019 年10 月1 日是中华人民共和国成立70 周年纪念日.70 年砥砺奋进，70 年波澜壮阔，感染、激励着一
代又一代华夏儿女，为祖国的繁荣昌盛努力拼搏，奋发图强.为进一步对学生进行爱国教育，某校社会实践
活动小组，在老师的指导下，从学校随机抽取四个班级160 名同学对这次国庆阅兵受到激励情况进行调查
研究，记录的情况如下图：
(1)如果从这160 人中随机选取1 人，此人非常受激励的概率和此人是很受激励的女同学的概率都是，求
a，b，c 的值；
(2)根据“非常受激励”与“很受激励”两种情况进行研究，判断是否有95%的把握认为受激励程度与性别
有关.
附：参考数据
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】(1)由题意知＝＝，且a＋b＋c＝120.
解之得a＝20，b＝60，c＝40.
(2)由题意可得2×2 列联表：
非常受激励
很受激励
合计
男
20
60
80
女
20
40
60
合计
40
100
140
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∴K2的观测值k＝
＝≈1.17.
由于1.17＜3.841，
∴没有95%的把握认为受激励程度与性别有关.
10.某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50 天的日用水量数据，
得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0，0.1)
[0.1，
0.2)
[0.2，
0.3)
[0.3，
0.4)
[0.4，
0.5)
[0.5，
0.6)
[0.6，
0.7]
频数
1
3
2
4
9
26
5
使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表
日用
水量
[0，0.1)
[0.1，0.2)
[0.2，0.3)
[0.3，0.4)
[0.4，0.5)
[0.5，0.6]
频数
1
5
13
10
16
5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在
区间中点的值作代表).
【解析】(1)所求的频率分布直方图如下：
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(2)由题可知使用节水龙头后50 天的用水量在[0.3，0.4)的频数为10，所以可估计在[0.3，0.35)的频数为5，
故用水量小于0.35 m3的频数为1＋5＋13＋5＝24，其频率为＝0.48.
因此，估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50 天的日用水量的平均数为
x1＝(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48(m3).
该家庭使用了节水龙头后50 天的日用水量的平均数为
x2＝(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35(m3).
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3).
B 组 专题综合练
11.(多选题)刘女士的网店经营坚果类食品，2019 年各月份的收入、支出(单位：百元)情况的统计如图所示，
下列说法中正确的是( )
A.4 至5 月份的收入的变化率与11 至12 月份的收入的变化率相同
B.支出最高值与支出最低值的比是5∶1
C.第三季度平均收入为5 000 元
D.利润最高的月份是3 月份和10 月份
【答案】ACD
【解析】对于A，4 至5 月份的收入的变化率为＝－20，11 至12 月份收入的变化率为＝－20，故相同，A
正确.
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7
对于B，支出最高值是2 月份60 百元，支出最低值是5 月份的10 百元，故支出最高值与支出最低值的比
是6∶1，故B 错误.
对于C，第三季度的7，8，9 月每个月的收入分别为40 百元，50 百元，60 百元，故第三季度的平均收入
为＝50(百元)，故C 正确.
对于D，利润最高的月份是3 月份和10 月份都是30 百元，故D 正确.
12.某公司为了预测下月产品销售情况，找出了近7 个月的产品销售量y(单位：万件)的统计表：
月份代码t
1
2
3
4
5
6
7
销售量y(万件)
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
但其中数据污损不清，经查证∑yi＝9.32，∑tiyi＝40.17，＝0.55.
(1)请用相关系数说明销售量y 与月份代码t 有很强的线性相关关系；
(2)求y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)；
(3)公司经营期间的广告宣传费xi＝(单位：万元)(i＝1，2，…，7)，每件产品的销售价为10 元，预测第8 个
月的毛利润能否突破15 万元，请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)
参考公式及数据：≈2.646，相关系数r＝，当|r|>0.75 时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程y
＝bt＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝y－bt.
【解析】(1)由统计表中的数据和附注中的参考数据得
t＝4，∑ (ti－t)2＝28，＝0.55，
则∑ (ti－t)(yi－y)＝∑tiyi－t∑yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r＝≈≈0.99，
因为0.99>0.75，
所以销售量y 与月份代码t 有很强的线性相关关系.
(2)由y＝≈1.331 及(1)得b＝＝≈0.103.
a＝y－bt≈1.331－0.103×4≈0.92，
所以y 关于t 的回归方程为y＝0.10t＋0.92.
(3)当t＝8 时，代入回归方程得y＝0.10×8＋0.92＝1.72(万件)，
第8 个月的毛利润为z＝10×1.72－≈17.2－2×1.414＝14.372(万元).
由14.372<15，预测第8 个月的毛利润不能突破15 万元.
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