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微专题02 三角函数的范围与最值
【秒杀总结】
一、三角函数
中
的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即
；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即
；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为
周期加半周期的整数倍，即
；
4、
在区间
内单调
且
5、
在区间
内不单调
内至少有一条对称轴，
6、
在区间
内没有零点
且
7、
在区间
内有
个零点
．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不
等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2024·江苏泰州·高三统考期末）函数
，若
恰有
6 个不同实数解，正实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）设函数
1
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若
恰有5 个不同零点，则正实数
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2024·广东·统考模拟预测）已知函数
，则下述结论中错误的是（ ）
A．若
在
有且仅有
个零点，则
在
有且仅有
个极小值点
B．若
在
有且仅有
个零点，则
在
上单调递增
C．若
在
有且仅有
个零点，则
的范围是
D．若
图像关于
对称，且在
单调，则
的最大值为
例4．（2024·河南·高三校联考期末）在
中，角
所对的边分别为
，
，若表示
的面积，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·山西临汾·校考模拟预测）在
中，点D 在
上，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2024·山东德州·高三校考阶段练习）已知
中，角A，B，C 对应的边分别为a，b，c，D 是
AB 上的四等分点（靠近点A）且
，
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2
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例7．（2024·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形
中，
，角
的平分线交
于
点
，若
，则三角形
面积的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
例8．（2024·山东·高三校联考阶段练习）如图，在
中，
，点P 在边BC 上，且
．
(1)若
，求PB﹔
(2)求
面积的最小值．
例9．（2024·山东青岛·高三统考期末）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
．
(1)若
，求C；
(2)若
，且
，求
的最小值．
例10．（2024·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
是
上的一点，且
，求
的最小值．
【过关测试】
3
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一、单选题
1．（2024·江苏南京·高三期末）已知函数
在区间
上恰有两个最大值，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）如图，四边形
中
，
，
若
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·浙江杭州·高三统考期末）设函数
．若
为函数
的零
点，
为函数
的图象的对称轴，且
在区间
上有且只有一个极大值点，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．12
4．（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
若
，则下列4 个结论中正确的有（ ）个.
①
；②
的取值范围为
；
③
的取值范围为
；
④
的最小值为
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数
，
，若函数
在
上存在
最大值，但不存在最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
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6．（2024·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数
在区间
上的最小值
恰为
，则所有满足条件的
的积属于区间（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在
中，内角
的对边分别为
，则下列说法中正确
的有（ ）
A．若
，则
面积的最大值为
B．若
，则
面积的最大值为
C．若角
的内角平分线交
于点
，且
，则
面积的最大值为3
D．若
为
的中点，且
，则
面积的最大值为
8．（2024·山西·高三期末）函数
，则以下说法正确的有（ ）
A．若
，则
在
内恰有3 个零点
B．若
，则
在
内恰有3 个极值点
C．若
在
内有最小值点，则
D．若
在区间
单调，则
三、填空题
9．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数
，
，下述五个
结论：①若
，且
在
有且仅有5 个零点，则
在
有且仅有3 个极大值点；②若
，且
在
有且仅有4 个零点，则
在
有且仅有3 个极小值点；③若
，且
在
有且仅有5 个零点，则
在
上单调递增
；④若
，且
在
有且仅有4 个零点，则
的范围是
；⑤若
的图象关于
对
称，
为它的一个零点，且在
上单调，则
的最大值为11.其中所有正确结论的编号是
5
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.
10．（2024·四川成都·高三石室中学开学考试）函数xoy
，已知
在区间
恰有三个零点，则
的范围为 .
11．（2024·河南南阳·高三统考期末）如图，点
为
内一点，
，
，
，
过点
作直线分别交射线
，
于
，
两点，则
的最大值为 ．
12．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形
中，
，
，
，
，则
面积的最大值为 .
13．（2024·天津·高三统考期末）已知函数
满足
.若
在
上恰好有一个最小值和一个最大值，则
；若
在
上恰好有两个零点，
则
的取值范围是 .
16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）在
中，
，
，当
取最大值时，
．
17．（2024·重庆·高三校联考阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，
，，满足
，
，则
，
的面积最大值为 ．
18．（2024·全国·高三成都七中校联考开学考试）
的外心为
，三个内角
、
、
所对的边分别
为
、
、，
，
，则
面积的最大值是
19．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数
，对
6
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都有
，且
是
的一个零点.若
在
上有且只有一个零点，
则
的最大值为 .
20．（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）在锐角三角形
中，角
所对的边为
，
且
.若点
为
的垂心，则
的最小值为 ．
21．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，且
，
是函数
的两个零点，
，若函数
在区间
上至少有
个零点，则实数
的最小值为 ．
22．（2024·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知
内角分别为
，且满足
，则
的最小值为 .
23．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知
为
的内切圆圆心，
，
，
成等
差数列，则
的最小值等于 .
24．（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）在
中，角
，角A 的平分线AD 与
BC 边相交于点D，则
的最小值为 .
25．（2024·全国·模拟预测）在
中，
，D 为边BC 上一点，满足
且
，则
面积的最小值为 ．
26．（2024·河北唐山·模拟预测）已知
为
与
的交点，若
为等边三角
形，则正数
的最小值为 ．
四、解答题
27．（2024·山西运城·统考模拟预测）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.
（1）求证：
；
（2）若
是锐角三角形，
，求的范围.
28．（2024·全国·高三专题练习）在
中，
．
7
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（1）D 为线段
上一点，且
，求
长度；
（2）若
为锐角三角形，求
面积的范围．
29．（2024·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）请从①
；②
；③
这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并加以解答．（如未作出选
择，则按照选择①评分）
在
中，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，若__________．
(1)求角B 的大小；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围．
30．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，在
中，
是
上的点，
．
(1)若
，求证：
；
(2)若
，求
面积的最大值．
31．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形
中，
为边
的中点．
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(1)若
，求
的面积；
(2)求
的最大值．
32．（2024·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形
中，
，
，
，
.
(1)若
，求
；
(2)求
的最大值.
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