重难点03：突破导数构造瓶颈：含原函数
与导函数混合题型的解题“杀手锏”
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、“和差型”构造原函数....................................................................3
题型二、“乘积型”构造原函数....................................................................4
题型三、“商型”构造原函数........................................................................5
题型精析・方法突破提能力................................................................................6
在解决含原函数f(x)与导函数f'(x)的问题时，构造辅助函数是核心思路。其本质
是通过 “凑导” 的方式，将待解的等式/不等式转化为某个新函数F(x)的导函数
F'(x)，再利用导数的几何意义、单调性、极值、最值求解。
无论题目是求解析式、证明不等式，还是判断零点，都可遵循 “定结构→构函数→
析导数→用性质” 四步流程，具体如下：
步骤 1：定结构 —— 题目中会给出含f(x)与f'(x)的等式或不等式，首先忽略无
关信息（如定义域、初始值），聚焦含f'(x)和f(x)的核心项，判断其属于哪类模型
（参考下文 “和差型”，“乘积型”，“商型”）。
步骤 2：构函数 —— 根据步骤 1 匹配的模型，直接调用固定辅助函数（无需推
导，记熟即可），若模型类似，则调整辅助函数的形式。
步骤 3：析导数 —— 将题目中含f(x))与(f'(x)的等式/不等式，代入F'(x)
的表达式，转化为关于F'(x)的等式/不等式，明确F'(x)的符号（判断单调性）、解析
式（求原函数）或零点（判断极值）。
步骤 4：用性质 —— 根据题目要求（求解析式、证明不等式、判断零点），结合
F'(x)得出的F(x)性质（单调性、最值、解析式），完成解题。
知识网络・核心根基深扎牢
一、解题思路
构造函数：“和差型”
模型1：对于不等式f'(x)+g'(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)+g(x)
模型2：对于不等式f'(x)−g'(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)−g(x)
模型3：对于不等式f'(x)>k（或<k）构造函数F(x)=f(x)−kx
构造函数：“乘积型”
模
型
4
：
对
于
不
等
式
f'(x)g(x)+g'(x)f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)g(x)
模型5：对于不等式xf'(x)+f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=xf(x)
模型6：对于不等式(x+a)f'(x)+f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=(x+a)f(x)
模型7：对于不等式xf'(x)+nf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=x
nf(x)
模型8：对于不等式f'(x)+f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=e
xf(x)
模型9：对于不等式f'(x)+nf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=e
nxf(x)
模型10：对于不等式f'(x)+f(x)>a（或<a）构造函数F(x)=e
x(f(x)−a)
模
型
11
：
对
于
不
等
式
sin xf'(x)+cosxf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=sin xf(x)
模
型
12
：
对
于
不
等
式
cosxf'(x)−sinxf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=cosxf(x)
特殊模型1：对于不等式f'(x)+lna∙f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=a
xf(x)
特殊模型2：对于不等式f'(x)lnx+f(x)
x
>0（或<0）构造函数F(x)=lnxf(x)
构造函数：“商型”
模型13：对于不等式f'(x)g(x)−g'(x)f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
g(x)
模型14：对于不等式xf'(x)−f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
x
模型15：对于不等式(x+a)f'(x)−f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
x+a
模型16：对于不等式xf'(x)−nf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
x
n
模型17：对于不等式f'(x)−f(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
e
x
模型18：对于不等式f'(x)−nf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
e
nx
模型19：对于不等式f'(x)−f(x)>a（或<a）构造函数F(x)=f(x)+a
e
x
二、构造技巧
模型20：对于不等式sinxf'(x)−cosxf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
sinx
模型21：对于不等式cosxf'(x)+sinxf(x)>0（或<0）构造函数F(x)=f(x)
cosx
【答案】 C
【分析】 观察题干条件f '( x)> x−1，对应模型2，构造g( x)= f ( x)−1
2 x
2+ x，利
用单调性求解。
【详解】令g( x)= f ( x)−1
2 x
2+ x，对g( x)求导，得g'( x)= f '( x)−x +1。
因为f '( x)> x−1，所以g'( x)>0，即g( x)在R上为增函数。
不等式f ( x)< 1
2 x
2−x +1可化为f ( x)−1
2 x
2+ x<1，即g( x)<g(2)。
由g( x)单调递增得x<2，所以不等式的解集为{x| x<2}
故选：C.
【1-1】已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若f
′ (x)≤1恒成立，且f (0)=0，则
f (x)≤x的解集为（ ）
A．R
B．(−∞,0)
C．[1,+ ∞)
D．[0,+∞)
【1-2】已知函数f (x)的定义域为R，f (−1)=1，f
′ (x)为f (x)导函数，且对任意x∈R，均
有f
′ (x)>1，则f (2 x +3)>2 x +5的解集为（ ）
A．(−2,+∞)
B．(−∞,−1)
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、“和差型”构造原函数
典例探究
【典型例题】已知定义在
R 上的函数f ( x)满足f (2)=1，且f ( x)的导函数f '( x)> x−1，则不等式
f ( x)< 1
2 x
2−x +1的解集为（）
A. {x|−2< x<2} B. {x| x>2}
C. {x| x<2} D. {x| x<−2)或( x>2}
举一反三
C．(−∞,−2)
D．(−∞,+∞)
【1-3】已知f'(x)是函数f(x)(x∈R)的导数，且∀x∈R，f'(x)>2，f(3)=9，
则不等式f(x)>2x+3的解集为（）
A. ( ∞,2)
−
B. (2,+∞) C. ( ∞,3)
−
D. (3,+∞)
【答案】C
【分析】根据题意，结合条件求导可得f (x)在(0,+ ∞)上为减函数，由其单调性即可
判断a、b、c的大小关系.
【详解】由已知可得：x
2f
′ (x)+2 xf (x)=ln x，令g(x)= x
2f (x)，
则g
′ (x)= x
2f
′ (x)+2 xf (x)=ln x，
且f (x)= g(x)
x
2 ,f
′ (x)= x g
′ (x)−2g(x)
x
3
= xln x−2g(x)
x
3
，
再令ℎ(x)= xln x−2g(x)，则ℎ
′ (x)=1+ln x−2 g
′ (x)=1−ln x，
∴当x∈(0,e)时，ℎ
′ (x)>0，即函数ℎ(x)在(0,e)上为增函数，
当x∈(e,+ ∞)时，ℎ
′ (x)<0，即函数ℎ(x)在(e,+∞)上为减函数，
∴ℎ(x)≤ℎ(e)=e−2 g (e)=e−2e
2f (e)=0，
∴f
′ (x)≤0在(0,+ ∞)上恒成立，∴f (x)在(0,+ ∞)上为减函数；
∵2<e<3，∴f (2)>f (e)>f (3)，即b>c>a.
故选：C.
题型二、“乘积型”构造原函数
典例探究
【典型例题】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在(0, + ∞)上的可导函数f (x)，满
足f
′ (x)+ 2f (x)
x
= ln x
x
2 ，且f (e)= 1
2e，若a= f (3)，b= f (2)，c = f (e)，则a、b、c的大
小关系是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
【2-1】（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知函数f (x)的定义域为(0,+ ∞)，满足
f (x)+2 x f
′ (x)>0（f
′ (x)为f (x)的导函数），设a= f (1)，b=ef (e
2)，c =2f (4)，则
（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．b>c>a
【2-2】f ( x)是定义在R 上的可导函数，且满足x f
′( x)+ f ( x)>0．对任意正数a，b，若
a>b，则必有（ ）
A．af (b)>bf (a)
B．af (a)>bf (b)
B．C．af (a)<bf (b)
D．af (b)<bf (a)
【2-3】（24-25 高二下·河南南阳·期末）定义在R上的偶函数f (x)的导函数为f
′ (x)，当x ≥0
时，恒有f (x)+ x
2 f
′ (x)>0，则不等式x
2f (x)<(2 x −3)
2f (2 x −3)的解集为（ ）
A．(−∞,3)
B．(1,3) C．(−∞,1)∪(3,+∞)
D．(3,+ ∞)
【2-4】已知定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)为偶函数，且当x>1，有
x f
′ (x)+ f (x)>f
′ (x)，若f (2)=1，则不等式f (x)<
1
x−1的解集是（ ）
A．(1,2)
B．(−∞,0)
C．(0,1)∪(2,+ ∞)
D．(−∞,0)∪(1,2)
【2-5】设函数f (x)是R上可导的偶函数，且f (2)=3，当x>0，满足2f (x)+ x f
′ (x)>2，则
x
2f (x)>12的解集为（ ）
A．(−2,2)
B．(−∞,−3)∪(3,+∞)
C．(−∞,−2)∪(2,+ ∞)
D．(−3,3)
举一反三
题型三、“商型”构造原函数
典例探究
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合各选项的信息构造函数g(x)= f (x)+2
e
x
，利用导数探讨
函数单调性即可判断作答.
【详解】令函数g(x)= f (x)+2
e
x
，求导得g
' (x)= f
' (x)−f (x)−2
e
x
>0，因此函数g(x)在
R 上单调递增，
于是得g(2022)> g(2021)，即f (2022)+2
e
2022
> f (2021)+2
e
2021
，整理得
f (2022)−ef (2021)>2(e−1)，B 正确.
故选：B
【3-1】已知函数f ( x)，对任意的x∈(−π
2 ,π
2 )，满足f
′( x)cos x + f ( x)sin x >0，
f
′( x)是f ( x)的导数，则下列不等式中成立的是（ ）．
A．
❑√2f(−π
3 )<f(−π
4 )
B．
❑√2f(
π
3 )<f(
π
4 )
C．f (0)>❑√2f(
π
4 )
D．f (0)>2f(
π
3 )
【3-2】若对可导函数f(x)，g(x)，当x [0,1]
∈
时恒有f′(x)·g(x)<f(x)·g′(x)，若已知α，β 是一个
锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F(x)＝f ( x)
g( x) (g(x)≠0)，则下列不等式正确的是( )
A．F(cosα)>F(cosβ)
B．F(cosα)<F(cosβ)
B．C．F(sinα)<F(cosβ)
D．F(sinα)>F(sinβ)
【3-3】已知函数y = f ( x)是奇函数，对于任意的x∈(0,π
2 ]满足
f
′( x)sin x −f ( x)cos x >0（其中f
′( x)是函数f ( x)的导函数），则下列不等式成立的是
（ ）
A．❑√3 f (−π
6 )<f (−π
3 )
B．f (π
3 )<❑√3 f (π
6 )
【典型例题】（21-22 高二下·河南商丘·阶段练习）若定义域为R 的函数f (x)的导函数
为f
′ (x)，并且满足f (x)<f
′ (x)−2，则下列正确的是（ ）
A．f (2022)−ef (2021)<2(e−1)
B．f (2022)−ef (2021)>2(e−1)
C．f (2022)−ef (2021)>2(e+1)
D．f (2022)−ef (2021)<2(e+1)
举一反三
C．f (π
4 )>−❑√2f (−π
6 )
D．❑√2f (−π
4 )<−f (π
2 )
【3-4】已知定义在
上的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【3-5】已知定义在
上的函数
满足：函数
为奇函数，且对
，
恒成立（
是函数
的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・1】已知函数y＝f（x）为定义在实数集R 上的奇函数，且当x
时，xf′（x）＜
（其中f′（x）时f（x）的导函数，若a
f（
），b＝（lg3）f
（lg3），c＝（log2
）f（log2
），则（ ）
A．c＜b＜a
B．c＞a＞b
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b
【突破提升训练・2】已知
是函数
的导函数，
，且对于任意的
有
．则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
题型精析・方法突破提能力
C．
D．
【突破提升训练・3】已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・4】已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，
设
，
，则
，
的大小关系为
A．
B．
C．
D．无法确定
【突破提升训练・5】已知函数
的定义域为
，
，若对任意
，都有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・6】已知定义在
上的函数
满足
为偶函数，且当
，有
，若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・7】已知
是定义在
上的奇函数，其导函数为
且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・8】设
是函数
定义在
上的导函数，满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・9】已知函数
及其导函数
的定义域的解集是均为R，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・10】已知函数
满足
，且
的导函数
，
则
的解集为
A．
B．
C．
或
D．
【突破提升训练・11】已知定义在
上的偶函数
的导函数为
，当
时，有
，且
，则使得
成立的
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・12】已知
是定义在
上的可导函数，且满足
，则（）
A．
B．
C．
为减函数
D．
为增函数
【突破提升训练・13】定义在
上的函数
导函数为
，且
对
恒成立，则
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・14】已知
是定义在
上的减函数，其导函数
满足
，则下列结论中正确的是
A．
恒成立
B．
C．当且仅当
，
D．当且仅当
，
【突破提升训练・15】已知函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【突破提升训练・16】函数
f ( x)的定义域是R，f (0)=2，对任意x∈R，f ( x)+ f '( x)<1，则不等式
e
x f ( x)>e
x+1的解集为（）
A. {x| x>0} B. {x| x<0}
C. {x| x<−1，或x>1} D. {x| x<−1，或0< x<1}
