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重难点专训08 洛必达法则在导数中的应用
法
解题方
及技巧提炼............................................................................................................................1
法
题型通
及变式提升............................................................................................................................2
洛必达法则的
题型一：
简单计算........................................................................................................................2
用洛必达法则
导数中的
题型二：利
处理
最值问题............................................................................................3
重难专题分层过关练............................................................................................................................5
巩固过关.................................................................................................................................................................5
创新提升.................................................................................................................................................................7
一、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
二、洛必达法则的适用情况
高中阶段求解参数取值范围时，常会用到 参数分离 的方法。但分离后有时会遇到特殊情况：分子
“
”
与分母的比值，可能是两个无穷小量的比、两个无穷大量的比，也可能是两个无限趋近于零的数的比。这
类比值的结果不确定
既可能是一个固定的数值，也可能不存在（即极限无意义）。如果想算出这类
——
比值的具体结果，就需要用到 洛必达法则 这一工具。
“
”
三、洛必达法则的三个法则形式
1、法则1（
型）：若函数
和
满足下列条件：
（1）设当
时，
及
；
（2）在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
（3）
；则：
.
2、法则2（
型）： 若函数
和
满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
(3)
，则：
.
3、法则3（
型）：若函数
和
满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；且
；
(3)
，则：
=
.
四、
型、
型、
型、
型、
型的处理
1、
型的转化：
或
；
2、
型的转化：
3、
型、
型、
型的转化：幂指函数类
题型一：洛必达法则的简单计算
典例1-1．计算极限
．
典例1-2．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的
两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的
方法.如：
，按此法则有
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
变式1-1．
．
变式1-2．计算极限
．
变式1-3．求下列极限：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
变式1-4．定义
．那么
在
上的取值范围是 ．
题型
用洛必达法则
导数中的
二：利
处理
最值问题
典例2-1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，
.
如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定式，并分别简记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分母分别
求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
典例2-2．已知函数
，
.若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为
．
变式2-1．已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
变式2-2．已知函数
，
.若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
变式2-3．已知函数
．当
时
，求
的取值范围．
变式2-4．设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
巩固过关
1．我们把分子､分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个无
穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对
分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．
，
恒成立，求
的取值范围
4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意
义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.
求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法
洛必达法则
——
该法则表述为：设函数
“
，
满足下列条件：
①
，
；
②在点a 处函数
和
的图像是连续且光滑的，即函数
和
在点a 处存在导数；
③
，其中A 是某固定实数；
则
.”
那么，假设有函数
，
.
(1)若
恒成立，求t 的取值范围；
5．洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，当
时，
.已知函数
，
.
(1)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
6．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，算法之一为：若函数
和
满足下列条件：
①
，
②在点a 的去心邻域内
与
可导，且
③
，那么
据此回答下面问题：
(1)求
的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数
的单调递减区间;
（ii）若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
7．
恒成立,求
的取值范围
创新提升
1．已知数列
满足
，
，
满足
，
满足
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)试比较
与
的大小，并说明理由．
(3)
是否能小于等于一个常数
？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．
2．洛必达法则是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数
“
”
，
的导数
都存在，且
，如果
是常数）时，
或
或
，且
（是常数），则
时，
．
已知函数
．
(1)证明：
时曲线
在点
处的切线与曲线
也相切；
(2)若函数
有两个零点
，函数
有两个零点
．
指出
的大致范围（不必说明理由），并求出
的取值范围；
3．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
，
，则
，
，若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为
，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成立，则称函数
为区间(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
4．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具
洛必达法则，法则中有一结论：若函数
——
，
的导函数分别为
，
，且
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)记
，
；求证：
.
