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重难点专训08 洛必达法则在导数中的应用
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................2
题型一：洛必达法则的简单计算........................................................................................................................2
题型二：利用洛必达法则处理导数中的最值问题............................................................................................5
重难专题分层过关练..........................................................................................................................10
巩固过关...............................................................................................................................................................10
创新提升...............................................................................................................................................................15
一、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
二、洛必达法则的适用情况
高中阶段求解参数取值范围时，常会用到 “参数分离” 的方法。但分离后有时会遇到特殊情况：分
子与分母的比值，可能是两个无穷小量的比、两个无穷大量的比，也可能是两个无限趋近于零的数的比。
这类比值的结果不确定 —— 既可能是一个固定的数值，也可能不存在（即极限无意义）。如果想算出这
类比值的具体结果，就需要用到 “洛必达法则” 这一工具。
三、洛必达法则的三个法则形式
1、法则1（
型）：若函数
和
满足下列条件：
（1）设当
时，
及
；
（2）在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
（3）
；则：
.
2、法则2（
型）： 若函数
和
满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
(3)
，则：
.
3、法则3（
型）：若函数
和
满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；且
；
(3)
，则：
=
.
四、
型、
型、
型、
型、
型的处理
1、
型的转化：
或
；
2、
型的转化：
3、
型、
型、
型的转化：幂指函数类
题型一：洛必达法则的简单计算
典例1-1．计算极限
．
【答案】
【详解】解：因为问题是
型未定式，
连续n 次施行洛必达法则，有
．
典例1-2．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的
两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的
方法.如：
，按此法则有
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
【答案】A
【详解】由题意可得
，
故选：A.
变式1-1．
．
【答案】1
【详解】
．
故答案为：1.
变式1-2．计算极限
．
【答案】
【详解】由洛必达法则知，
．
变式1-3．求下列极限：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)0
(3)1
【详解】（1）令
，则
由洛必达法则可得，
则
（2）令
，
则
由洛必达法则可得，
.
继续用洛必达法则可得，
.
则
=0
（3）
又
时，
，
则
由洛必达法则可得，
．
则
变式1-4．定义
．那么
在
上的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题可得
，
构造函数
，
则
恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
，
所以
在
单调递减，
因为
，
时，
，
所以
.
故答案为：
.
题型二：利用洛必达法则处理导数中的最值问题
典例2-1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，
.
如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定式，并分别简记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分母分别
求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
【答案】(1)①7，②2，③
(2)①1，②1，③1
(3)①
，②
【详解】（1）①对于
，当
时，分子
，分母
，属于
型，
；
②对于
，属于
型，
；
③对于
，属于
型，
.
（2）①
；
②
；
③
.
（3）①由
，则
，又
，
，得
，
.
②对
，
恒成立，
即
，
令
，则
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
所以当
和
时，
，当
时，
，
即
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，即
的取值范围为
.
典例2-2．已知函数
，
.若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为
．
【答案】
【详解】当
时，
，不等式
成立；
当
时，
，令
，依题意，
，
求导得
，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，则
，即
，
函数
在
上单调递增，由洛必达法则知
，
因此
恒成立，则
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
变式2-1．已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
【答案】
【详解】根据题目的条件，当
且
时，
得
，等价于
．
设
，
，
因为
，设
，
则
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，
即
在
上单调递减，当
在
上单调递增．
当
趋近时，
趋近
，当
趋近时，
趋近
，
所以
符合洛必达法则的条件，
即
，
所以当
时，
所以
的取值范围是
．
变式2-2．已知函数
，
.若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
【答案】
【详解】因为对任意
，不等式
恒成立，
即
在
内恒成立，
即
在
内恒成立，
①当
时，
，不等式成立；
②当
时，
，不等式成立；
③当
时，即
，
令
，
则
，
所以
在
内单调递增，
由洛必达法则得
，
所以
，故
的取值范围是
.
变式2-3．已知函数
．当
时
，求
的取值范围．
【答案】
【详解】由题意可知，当
时，即
等价于
．
设
，则
设
，则
，因为
，所以
，
即当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
满足洛必达法则，
所以
，
即当
时，
的取值范围是
．
变式2-4．设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为
，
，
所以
，
，
解得
，
所以
；
（2）由（1）可知，
时，
，此时，
；
故
时，
成立
时，
成立，
对
恒成立，
即
对
恒成立；
记
，则
，
记
，则
，
记
，则
，
∴当
0 时，
，
在
上单调递增；
，
所以
在
上单调递增；
；
∴
时，
0，即
在
上单调递增；
记
，
，
当
时，
，
符合洛必达法则条件，
∴
，
∴
时，
，
∴
．
【点睛】方法点睛：不等式
恒成立问题，往往通过
求解或转化为
或
求解.
巩固过关
1．我们把分子､分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型.两个无
穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对
分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】由题意得
，
故选：B
2．
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
3．
，
恒成立，求
的取值范围
【答案】
【详解】当
时，
;
当
时，不等式可化为
.
记
，
则
，
记
，则
，
当
时，则
; 当
时，则
.
因为
，并且
，所以
.
这时
符合题意.
综上可知，
的取值范围是
.
4．在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意
义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.
求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数
，
满足下列条件：
①
，
；
②在点a 处函数
和
的图像是连续且光滑的，即函数
和
在点a 处存在导数；
③
，其中A 是某固定实数；
则
.”
那么，假设有函数
，
.
(1)若
恒成立，求t 的取值范围；
【答案】(1)
【详解】（1）若
恒成立，即
恒成立，
当
时，
，成立，
当
时，
，令
，
，令
，
，
当
时，
，当
时，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
，
所以当
时，
，即
单调递增，
由洛必达法则知：
，
所以当
时，
，所以
,
同理，当
时，可得
，所以
综上所述：t 的取值范围为
.
5．洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数
，当
时，
.已知函数
，
.
(1)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
【详解】（1）当
时，
，成立.当
时，由
可得
，
令
，
，
令
，则
，
令
，则
，
若
，则
单调递减，
单调递减，
，
在
上单调递减，
若
，则
单调递增，
，即
存在唯一
，使得
，且在
上，
单调递减，在
上，
单调递增，
且
，
在区间
上单调递减，且
在
上连续，
综上，
在区间
上单调递减.
所以
在
上单调递减，
.
由洛必达法则：
，
.
6．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，算法之一为：若函数
和
满足下列条件：
①
，
②在点a 的去心邻域内
与
可导，且
③
，那么
据此回答下面问题：
(1)求
的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数
的单调递减区间;
（ii）若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)1，证明见解析
(2)（i）
,
；（ii）
【详解】（1）
，
依据导数的定义：
（2）（i）因为
，定义域为R，
所以
，
令
，解之得：
，
所以
的单调递减区间为
，
（ii）因为
对任意
恒成立，且当
时，不等式显然成立，
所以，当
时，原式可转化为
恒成立，
令
，即
，
因为
，
令
，
，
当
时，
，
，
在
上单调递减，
所以
，
即
时
，
所以
在
上单调递减，
，
所以
，
当
时，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
综上可知：实数a 的取值范围为
7．
恒成立,求
的取值范围
【答案】
【详解】
，
记
，
，
则
，
记
，
则
，
而
，
所以,
在
单调递增,所以
，
所以,
在
单调递增,所以
，
即在
上
,所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
.
创新提升
1．已知数列
满足
，
，
满足
，
满足
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)试比较
与
的大小，并说明理由．
(3)
是否能小于等于一个常数
？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
，当且仅当
时取等号，理由见解析
(3)能，
【详解】（1）依题意得：
，
所以
是等差数列，
首项
，公差
，
所以
，从而
；
（2）由（1）得
，
构造函数
，则
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在区间
上单调递减，
所以
，
即
，当且仅当
时取等号，
所以
，当且仅当
时取等号，即
，
累加即得
，当且仅当
时取等号；
（3）
，
，
不妨设
，令
，
则
，
，
令
，由
，得
，
在
上单调递增，
由洛必达法则得
，从而
，所以
．
2．“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数
，
的导数
都存在，且
，如果
是常数）时，
或
或
，且
（是常数），则
时，
．
已知函数
．
(1)证明：
时曲线
在点
处的切线与曲线
也相切；
(2)若函数
有两个零点
，函数
有两个零点
．
指出
的大致范围（不必说明理由），并求出
的取值范围；
【答案】(1)证明见解析
(2)
，
的取值范围是
；【详解】（1）证明：
时，
，
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程是
，即
．
因为
，
所以曲线
在点
处的切线方程是
，即
．
所以
时曲线
在点
处的切线
与曲线
也相切．
（2）
．
由
，得
，
令
，则
与
的零点相同，
与
的零点相同，
又
，
时，
单调递增；
时，
单调递减；
时，
单调递增；
时，
单调递减，
所以
和
在
上都是增函数，在
上都是减函数，
所以
时，
时，
，
因为
有两个零点，即
有两个零点，
所以
，且
解得
．
当
时，
，
又
时
，
根据洛必达法则可知，
时
，
所以
时
，
所以
时，
在区间
和
上各有一个零点，所以
，
因此，若函数
各有两个零点，
的取值范围是
．
3．①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果
，
，则
，
，若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为
，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成立，则称函数
为区间(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
【答案】(1)①1；②
(2)是，证明见解析
【详解】（1）①根据洛必达法则，
；
②设
，两边同时取对数得，
，
设
，
，
∴
，∴
（2）∵
，
，
∴
，
，
，
∴
∴
，均有
，
∴
是区间
上的2 阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得
，
由①
，得
∴
，
.
方法二：
设
，
，
则
设
，
，则
∴
在
上单调递增，又
，∴
在
上恒成立，
∴
∴
在
上单调递增，∵
，
∴
在
上但成立，∴
，
∴
在
上单调递增，
又
∴
，
.
【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1 小题，构造函数
，根据洛必达法
则求出
，得解； 第2 小题，方法1 先证明
是区间
上的2 阶无穷递降函数，同理
可得
，根据洛必达法则可得
；方法2，利用导数可判断
在
上单调递增，再根据洛必达法则求出
，即可.
4．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)证明
不是区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)记
，
；求证：
.
【答案】(1)证明见详解；
(2) ；
(3)证明见详解.
【详解】（1）记
，
因为
，
所以
在区间
不恒成立，
所以，
不是区间
上的2 阶无穷递降函数.
（2）记
，则
，
因为
，
所以
，所以
.
（3）因为
，所以
，
所以
，
即对任意
，均有
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以，
时，
.
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要注意以下几点：
（1）认真研读定义所给主要信息，筛选出关键点；
（2）利用好定义所给的表达式及相关条件；
（3）含有参数时要注意分类讨论.
