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思想03 运用函数与方程的思想方法解题
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................7
题型一：运用函数的思想研究问题
7
题型二： 运用方程的思想研究问题
8
题型三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
10
题型四：运用函数与方程的思想研究其他问题
12
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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、
综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，
二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和
描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、
处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化
归思想等．
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1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分
布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方
程问题．例如，方程
解的个数可以转化为函数
的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，
转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构
造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．
2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），
进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切
线问题时，设出切点横坐标
，得到切线斜率
，切线方程为
， 从而
将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标
的方程问题．
3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有
解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、 转化不等
式问题．例如，不等式
或
恒成立，可以转化为
或
．也可以考虑参变
分离再求函数的最值．
4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都
有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函
数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持
不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问
题获得解决．
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1．（2024 年北京高考数学真题）设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
2．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
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4．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
5．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
(1)若
，且
，求
的最小值；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若
当且仅当
，求
的取值范围．
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题型一：运用函数的思想研究问题
【典例1-1】已知函数
.
(1)判断
的零点个数；
(2)求曲线
与曲线
公切线的条数.
【典例1-2】若
的定义域为
，数列
满足
，则称
为
的“
倍点列”.
(1)若
为
的“2 倍点列”，求
的前
项和
；
(2)若
为
的“1 倍点列”且
，求证：
为定值；
(3)若
，判断是否存在
，使得
为
的“
倍点列”，并证明你的
结论.
【变式1-1】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
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（2）记
，若函数
与
的图象有三个不同交点，求实数
的取值范围.
【变式1-2】已知函数
.
（1）若函数
在
处的切线与直线
垂直，求实数
的值.
（2）若函数
存在两个极值点，求实数
的取值范围.
1．已知函数
.
（1）若
，试判断
的符号；
（2）讨论
的零点的个数.
2．已知函数
其中
.
（1）当
时，求曲线
在原点处的切线方程；
（2）若函数
在
上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.
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题型二： 运用方程的思想研究问题
【典例2-1】已知函数
，
，其中
求函数
的单调区间；
若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明
；
证明当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线．
【典例2-2】已知函数
在点
处的切线方程为
求函数
的解析式；
若
，且过点
可作曲线
的三条切线，求实数m 的取值范围．
【变式2-1】已知函数
和
有相同的最大值．
求实数a；
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设直线
与两条曲线
和
共有四个不同的交点，其横坐标分别为
，证明：
【变式2-2】已知函数
Ⅰ若
在
，
处导数相等，证明：
；
Ⅱ若
，证明：对于任意
，直线
与曲线
有唯一公共点．
1．已知函数
当
时，若直线
与曲线
相切，求b；
若直线
与曲线
恰有两个公共点，求
题型三：运用函数与方程的思想研究不等式问题
【典例3-1】定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
数列”．
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已知等比数列
满足：
，
，求证：数列
为“
数列”；
已知数列
满足：
，
，其中
为数列
的前n 项和．
①求数列
的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“
数列”
，对任意正整数k，当
时，都有
成立，
求m 的最大值．
【典例3-2】设函数
求
的单调区间；
已知a，
，曲线
上不同的三点
，
，
处的切线都经过点
证明：
若
，则
若
，
，则
注：
是自然对数的底数
【变式3-1】已知
，函数
若
，证明：当
时，
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若函数
存在极小值点
证明：
【变式3-2】已知函数
若
，求
极值；
求函数
的单调区间；
若函数
有两个极值点
，
，求证：
1．已知函数
讨论函数
零点个数；
若
恒成立，求a 的取值范围．
2．已知函数
当
时，求函数
的单调区间；
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若
有3 个零点
，
，
，其中
求实数a 的取值范围；
求证：
题型四：运用函数与方程的思想研究其他问题
【典例4-1】设双曲线
的左、右焦点分别为
是
上一点，且
．若
的面积为16，则
的离心率为 ．
【典例4-2】等差数列
中，
为
的前n 项和，
，若不等式
，对任意的
恒成立，则实数k 的取值范围为 .
【变式4-1】在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF 的边长都是2，且所在的平面互相
垂直.可以滚动的弹珠M，N 分别从A，F 出发沿对角线AC，FB 匀速移动，已知弹珠N 的速度是弹珠M 的
速度的3 倍，且当弹珠N 移动到B 处时试验终止，则弹珠M，N 间的最短距离是 .
【变式4-2】如图，在正方体
中，过
的平面分别交棱
于点
.给出下列四个
结论：
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①四边形
一定是平行四边形；
②四边形
可能是正方形；
③四边形
为菱形时，其面积最小；
④四边形
为矩形时，其面积最大.
其中所有正确结论的序号是 .
1．已知双曲线
：
和椭圆
：
.过点
的动直线交
于A，B 两点，过点Р 的
动直线
交
于M，N 两点，若四条直线
的斜率之和为定值，则定点Q 为
.
2．设椭圆
的上顶点为
，过
任作两条互相垂直的直线分别交椭圆
于
，
两点，则直线
过定点 ．
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