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专题 03 三角函数与解三角形
3大考点概览
考点01三角恒等变换
考点02三角函数的图像与性质
考点03解三角形
考点1 三角恒等变换
运算
一、单选题
1．（2026·湖南衡阳·二模）已知角 的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，
则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】由三角函数的定义可得 ，所以 ．
2．（2026·湖南永州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
，则（ ）
A．角 为锐角 B．
C． D． 的最大值为
【答案】D
【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角
函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D.
【详解】由 ，得 ，
，所以 ，对于A，由 ，得 ，所以 为钝角，故A错误；
对于B，由 ，得 ，即 ，故B错误；
对于C，由 ，结合正弦定理可得 ，
所以 ，即得 ，
因为 为钝角， 为锐角，两边除以 ，得 ，故C错误；
对于D，由 ，即 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ，故D正确.
故选：D.
3．（2026·湖南湘潭·二模）若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
故选D.二、多选题
4．（2026·湖南怀化·二模）已知 ，则 的值可能为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
【答案】BCD
【分析】根据正弦函数性质可得 或 ，分类讨论，结合三角恒等变换运
算求解即可.
【详解】因为 ，
则 或 ，
即 或 ．
若 ，则 ；
若 ，则 ，
可得 ， ，
则 ，
若 ，解得 ；
若 ，解得 ．
5．（2026·湖南常德·二模）已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用弦化切计算逐项判断即可.
【详解】对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D对.
6．（2026·湖南邵阳·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C． 的最大值为
D．若点 是 的外心，且 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得 ，进而可得 ；B利用正弦定理可得 ，再利
用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得 ，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得 ，解方程即可.
【详解】A：因为 ，则 ，可得
，
因为 ，则 ， ，可得 ，所以 ，故A正确；
B：由正弦定理 ，得 ， ，
则 ，解得 ，
因为 是边AC的中点，则 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，故B错误；
C：因为
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故C正确；
D：因为 ， ，则 ，即 ， ， ，
因为 ，则 ，
即 ，解得 ，故D正确.7．（2026·湖南永州·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 上有1个零点
B． 的周期为
C． 的值域为
D．要得到 的图象，可将函数 图象向左平移 个单位长度
【答案】ABC
【分析】 ，根据 的范围得出 的零点，即可判断A项；由已知化简可得
，即可判断B项；由已知可得 ，换元根据导
函数求解 在 上的值域，即可判断C项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可
判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得， .
因为 ，所以 ，
当 时，即 时，有 ，
所以 在区间 上有1个零点，故A项正确；
对于B项，由已知可得，
，
所以， 的周期 ，故B项正确；对于C项，
.
令 ，
则 .
令 ，得 ，所以 在 上单调递增；
令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
且 ，
.
所以当 时， 有最小值 ；当 时， 有最大值1.
所以 的值域为 ，故C项正确；
对于D项， ，
将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度得到函数，故D项错误.
故选：ABC.
三、填空题
8．（2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
且 ，则 的最小值为_____.
【答案】
【分析】本题主要利用三角形内角和与三角恒等变换，求出角 ，再利用余弦定理建立等量关系，将 转
化为关于 的表达式，进而利用二次函数的性质求出 的最小值.
【详解】在 中， ，则 ，由诱导公式可知
，
所以由 ，可得 ，
即 ，
化简得 ，因为 ，所以 ，
因此 ，又因为 ，所以 .
在 中，由余弦定理可知 ，已知 ， ，
则 ，所以 ，
当 时， 取最小值为 ，因此 的最小值为 .
9．（2026·湖南邵阳·二模）已知 ，则 ______.【答案】 /
【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出 ，化简目标式即可得.
【详解】由 ，则 ，
所以 .
考点2 三角函数的图像与性质
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）如图，这是函数 的部分图象，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】因为 的图象过点 ，所以 ．
因为点 落在 单调递减区间对应的图象上，所以 ， ．
因为 ，所以 ．因为 的图象过点 ，所以 ，
则 ， ，解得 ， ．
由图可得 ，解得 ，结合 ，得 ．
2．（2026·湖南岳阳·二模）若函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的
，然后再将图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数 为奇函数，则 可能的取
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用图象平移得到新的函数，再根据函数的奇偶性求解即可.
【详解】函数 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 得
再将图象向右平移 个单位长度得
又因为函数 为奇函数，所以
当 时， .
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．函数 在区间 上单调递增 D．函数 的图象关于点 中心对称
【答案】C
【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根据单调性分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为函数 的最小正周期 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：因为 为最大值，
可知 是函数 的对称轴，所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，令 ，可得 ，
所以函数 在区间 上不单调，故C错误；
对于选项D：因为 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故D正确.
4．（2026·湖南长沙·二模）已知 ，设函数 的零点个数为 ，则
（ ）
A．4049 B．4050 C．4051 D．4052
【答案】C
【分析】先利用图象的交点求出当 时， 的零点个数，再根据函数 的周期得出数列
为等差数列，求出数列 的通项公式，即可求出 .
【详解】 的零点个数即为方程 的解的个数，即为函数 与函数 的图象的交点个数.
函数 的最小正周期为 .所以 .
又 ，所以只分析当 时，两个函数图象的交点即可.
当 时， ，
结合图象可知，函数 与函数 的图象有一个交点，所以 .
当 时， ，
结合图象可知，函数 与函数 的图象有3个交点，所以 .
每增加1个单位， 增加 个单位，相应的 的图象也增加一个周期的图象，则交点
增加2个，
所以数列 是公差为2的等差数列，
所以 .
所以 .
二、多选题5．（2026·湖南·二模）关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 为偶函数
C． 是 的一个零点 D． 是 的一个周期
【答案】AD
【详解】分母不为0， ，解得 ，A正确．
定义域关于原点对称， ，满足奇函数定义，不是偶函数，B错误．
， 不是 的一个零点，C错误．
因为 ，所以 是 的一个周期，D正确．
6．（2026·湖南永州·二模）已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 上有1个零点
B． 的周期为
C． 的值域为
D．要得到 的图象，可将函数 图象向左平移 个单位长度
【答案】ABC
【分析】 ，根据 的范围得出 的零点，即可判断A项；由已知化简可得
，即可判断B项；由已知可得 ，换元根据导函数求解 在 上的值域，即可判断C项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可
判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得， .
因为 ，所以 ，
当 时，即 时，有 ，
所以 在区间 上有1个零点，故A项正确；
对于B项，由已知可得，
，
所以， 的周期 ，故B项正确；
对于C项，
.
令 ，
则 .
令 ，得 ，所以 在 上单调递增；令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递减.
且 ，
.
所以当 时， 有最小值 ；当 时， 有最大值1.
所以 的值域为 ，故C项正确；
对于D项， ，
将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度得到函数
，故D项错误.
故选：ABC.
三、填空题
7．（2026·湖南常德·二模）函数 的值域为___________．
【答案】
【分析】先将函数平方，转化为关于 的函数，再利用换元法，转化为关于 的函数，利用导数求出
的值域，进而得出函数 的值域．
【详解】因为 ，所以 ，所以定义域为 ，由题可知， ，
令 ，不妨设 ，
则 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，则 在 单调递增，
当 时， ，则 在 单调递减，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
考点3 解三角形
一、单选题
1．（2026·湖南常德·二模）已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， 的面积
，角 的平分线交 于 点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得 ，由等面积法以及三角形的面
积公式代入计算可得 ，再由余弦定理代入计算，即可得到结果
【详解】 ，化简得 ，再由正弦定理，得 ，
又 ，
代入得 ，整理得 ．
又 ， 为 的内角，则 ，即 ．
因为 为 的平分线，所以 ， ，
在 中， ．①
又 ，
∴ ，
则 ，
化简得 ，
又 ，∴ ．②
①代入②，得 ，解得 或 （舍去），
∴ ，
在 中，由余弦定理得 ，
∴ ．2．（2026·湖南邵阳·二模）已知 是 内的一点，且 ， .若 ，
和 的面积分别为1， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B．9 C．15 D．20
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得 的面积，依题意求出 的值，利用基本
不等式“1”的妙用求解.
【详解】因 ，则 ，
则 ，于是 ，
， 和 的面积分别为1， ， ，
， ， ，
，
当且仅当 时，即 ，等号成立，
的最小值是 .
3．（2026·湖南永州·二模）在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
，则（ ）
A．角 为锐角 B．
C． D． 的最大值为【答案】D
【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角
函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D.
【详解】由 ，得 ，
，所以 ，
对于A，由 ，得 ，所以 为钝角，故A错误；
对于B，由 ，得 ，即 ，故B错误；
对于C，由 ，结合正弦定理可得 ，
所以 ，即得 ，
因为 为钝角， 为锐角，两边除以 ，得 ，故C错误；
对于D，由 ，即 ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ，故D正确.
故选：D.
4．（2026·湖南湘潭·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，且
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 的面积 ，
则 面积的最大值为 ．
故选：A.
二、多选题
5．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，
，则（ ）
A．
B．若 ，则
C．若三角形ABC为锐角三角形，则 的取值范围是
D．若 ，则三角形ABC为直角三角形
【答案】ABD
【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB选项；根据题意结合三角函数值域可判断C选
项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D选项.
【详解】对于A：因为 ，所以 或 ，又 ，
故 ，若 ，又 ，则 ，与 矛盾，所以 ，故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，由正弦定理将上述等式化简为 ，
根据余弦定理 代入可得 ，将 代入得 ，解得
或 （舍），故B正确；对于C：由选项A可知 ，所以 ，
又 ，因为 为锐角三角形，
所以 ，
即 ，解得 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，由正弦定理及 得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
即 ，又 ，所以 为锐角，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故D正确．
6．（2026·湖南·二模）已知a、b、c分别为 的内角A、B、C的对边，且S为 的面积，R为
外接圆的半径，则下列说法正确的是（ ）
A． B．边BC上的中线
C． D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用三角形面积公式 和正弦定理 ，将等式两边转化为用边角表示
的形式进行推导；对于B，可考虑用中线长公式，将给出的表达式与标准中线长公式对比判断；对于C，
可利用余弦定理将边转化为角，再借助三角函数的性质进行推导；对于D，先利用正弦定理将边转化为角，
再通过三角函数的恒等变换化简式子，最后结合三角函数的取值范围或基本不等式求解.【详解】A选项：由正弦定理 ，可知 ，所以
，故A正确；
B选项：如图，D为BC中点，则 ，因为 ， ，
所以有 ，整理得 ，故B错误；
C选项：如图，过点A作 于点E．不妨设 最大，
，当且仅当 ， 时取等．C正确
D选项：因为 ，所以 ，
又由C选项知 ，所以
，当且仅当 时取等，故D
正确.
7．（2026·湖南邵阳·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
，则下列选项正确的是（ ）
A．B．若 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C． 的最大值为
D．若点 是 的外心，且 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得 ，进而可得 ；B利用正弦定理可得 ，再利
用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得 ，进而分析最值；D
根据数量积的几何意义结合外心性质可得 ，解方程即可.
【详解】A：因为 ，则 ，可得
，
因为 ，则 ， ，可得 ，所以 ，故A正确；
B：由正弦定理 ，得 ， ，
则 ，解得 ，
因为 是边AC的中点，则 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，故B错误；C：因为
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故C正确；
D：因为 ， ，则 ，即 ， ， ，
因为 ，则 ，
即 ，解得 ，故D正确.
三、填空题
8．（2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
且 ，则 的最小值为_____.
【答案】
【分析】本题主要利用三角形内角和与三角恒等变换，求出角 ，再利用余弦定理建立等量关系，将 转
化为关于 的表达式，进而利用二次函数的性质求出 的最小值.
【详解】在 中， ，则 ，由诱导公式可知
，
所以由 ，可得 ，
即 ，
化简得 ，因为 ，所以 ，因此 ，又因为 ，所以 .
在 中，由余弦定理可知 ，已知 ， ，
则 ，所以 ，
当 时， 取最小值为 ，因此 的最小值为 .
四、解答题
9．（2026·湖南长沙·二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
.
(1)求B；
(2)若D为 外一点，B，D分别位于直线 的两侧， ， ， ，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得 的值，则角B可求；
（2）结合直角三角形性质和正弦定理求出 ，列方程求得 ，再由两角和的正弦公式得 ，代入三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
则 ， ，所以 ．
（2）由（1）知， ， ，在 中，由正弦定理得， ，
所以 .
又 ， ， ，所以 ，
故 ，即 .
又 ，所以 ，所以 .
又 ，
所以 的面积为 .
10．（2026·湖南怀化·二模）在 中， 为 边上一点， ．
(1)若 ， ，求 的长；
(2)求 的值．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得， ， ，
根据余弦定理， ，
故 .
（2）因为 ，
所以 ， ， ．
设 ，则 ， ， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
则 ，
化简可得 ，
则 ．
