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专题05 三角函数与解三角形
题型概览
题型01 三角函数的概念与性质
题型02 三角恒等变换
题型03 解三角形
题型04 新定义
三角函数的概念与性质
1．（2025·河南·二模）若
是周期为π 的奇函数，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合选项，利用三角恒等变换的公式化简，应用三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，若
，则
为偶函数，不符合题意；
若
，则
，奇函数且周期为
，符合题意；
若
，则
为偶函数，不符合题意；
若
，则
周期为
，不符合题意.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的恒等变换的应用，着重考
查了推理与运算能力.
2．（2025·河南·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
等于（ ）
题型01
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，化简得到
，求得
，
过点
作
轴于点
，求得
，得到周期为
，结合三角函数周期的计算公式，即
可求解.
【详解】由
，可得
，
因为
，可得
，所以
，
过点
作
轴于点
，可得
且
，
所以
，可得函数
的周期为
，
所以
.
故选：B.
3．（2025·河南·二模）已知方程
在区间
上有两个不相等的实数根
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法结合函数与方程的关系转化为函数交点问题，再结合正弦函数的对称性求解即
可.
2
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【详解】因为
，所以
，故
，
而方程
在区间
上有两个不相等的实数根，
且令
，则
在区间
上有两个不相等的实数根，
故
，
，两个根为
，
则
与
在区间
上有两个不同的交点，
记两个交点横坐标为
，由正弦函数性质得
关于
对称，
则
，解得
，而
，
得到
，即
，故C 正确.
故选：C
4．（2025·河南·二模）在平面直角坐标系中，动点
在以原点为圆心，为半径的圆上，以
的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点
在以原点为圆心，
为半径的圆上，以
的角
速度按逆时针方向做匀速圆周运动.
、
分别以
、
为起点同时开始运动，经过
后，动点
、
的坐标分别为
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角函数的定义可得
，
，利用二倍角的余弦公式结合
二次函数的基本性质可求得
的最小值.
【详解】由三角函数的定义可知，
，
，
则
，
3
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因为
，其中
，
当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为
.
故选：C.
5．（2025·河南焦作·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用最值求
，再结合范围求出
，再利用二倍角公式求
即可.
【详解】由题意可知
，得
，
解得
，因
，则
，
因
，解得
或
（舍）
故
故选：D
6．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内没有最小值，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4
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【分析】由题设
在
上没有最小值，结合正弦函数图象的性质列不等式求参数范围.
【详解】由
，则
且
，
所以
在
上没有最小值，
若
，可得
，
若
且
，可得
，
，
所以
，
综上，
.
故选：D
7．（2025·河南·二模）已知函数
的图象上，相邻的一个最高点与一个最低点恰好
都在圆
上，则
的最小正周期为（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由圆上点的横坐标取值范围结合正弦函数的周期，最值求解可得.
【详解】
的最小正周期为
最大值点为
，相邻的最
小值点为
，代入圆方程，得
，
．
故选：B.
8．（2025·河南·二模）已知向量
，
，
5
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，
图象上相邻的最高点与最低点之间的距离
.
(1)求
的值及
在
上的单调递增区间；
(2)设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，求
的值域.
【答案】(1)
，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简函数，设函数的最小正周期为
，
则
，即可求出
，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由余弦定理得到
，再由基本不等式求出
的范围，即可得到
的范围，最后根据
正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）依题意可得
，
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为
，设函数的最小正周期为
，
6
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则
，解得
（负值已舍去），则
，解得
.
.
令
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
，
又
，故
在
上的单调递增区间为
.
（2）因为
，
，
由余弦定理
，
又
且
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，又
，所以
，
所以
，则
，
则
，所以
的值域为
.
9．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，将函数
的图像横坐
标缩短为原来的
倍，再向左平移
单位，得到函数
.则下列结论中正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．不等式
的解集为
7
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C．
在
上单调递增
D．函数
在
的零点为
且
，则
【答案】BD
【分析】由三角恒等变换化简
解析式，由解析式判断
的奇偶性得A 选项结果；由
函数图像变换得函数
解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项BCD.
【详解】
，
，为奇函数，A 选项错误；
函数
的图像横坐标缩短为原来的
倍，得函数
的图像，
再向左平移
单位，得到函数
的图像，
若
，即
，
则有
，解得
，B 选项正确；
时，
，
不是正弦函数的单调递增区间，C 选项错误；
时，有
，函数
在
的零点为
，
则有
，
，
，
所以
，D 选项正确.
故选：BD
8
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10．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
的图象是由函数
的图象向右平移
个
单位得到，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
【答案】AD
【分析】首先求出函数解析式
，由周期
知A 正确；整体代
入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确.
【详解】因为
，向右平移
个单位得
，
对于选项A：则最小正周期为
，故A 选项正确；
对于选项B：令
，解得
，
所以单调递增区间为
，故B 选项错误；
对于选项C：令
，解得
，故C 选项错误；
对于选项D：令
，解得
所以函数
的对称中心为
，
故D 选项正确.
故选：AD.
9
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11．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
的最小正周期为
，则下列
结论正确的是（ ）
A．直线
是函数
图象的一条对称轴
B．函数
在区间
上的最大值为2
C．函数
在区间
上单调递增
D．将函数
图象上所有的点向左平移
个单位，得到
的图象
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期求出
的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】因为函数
的最小正周期为
，所以
，解得
，
所以
，
则
，所以直线
是函数
图象的一条对称轴，故A
正确；
当
，则
，所以当
，即
时
取得最大值
，故B 正确；
当
，则
，因为
在
上不单调，
所以
在区间
上不单调，故C 错误；
将函数
图象上所有的点向左平移
个单位得到
，故D 正确.
故选：ABD
10
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12．（2025·河南鹤壁·二模）已知向量
(1)当
时，求
的值;
(2)若函数
的最大值为
，求a 的值.
【答案】(1)
.
(2)
.
【分析】（1）由向量的数量积定义即可得到
的解析式，再将
代入即可求出结果.
（2）由数量积定义得
的解析式，再设
，即可将表达式转变为
，
再根据单调性即可求得结果
【详解】（1）当
时，
,
所以
（2）由题干得：
设
，则
设
，所以
.
因为
，所以当
时，
取得最大值，
即
，解得
.
11
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13．（2025·河南新乡·二模）（多选）将函数
图象上每个点的横坐标伸长为原
来的4 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ACD
【分析】求出变换之后的
解析式，依次代入选项判断可得结果.
【详解】依题意可得
，
因为
，故A 正确；
，故B 错误；
由
，可知点
为对称中心，由
，可知在
处取最小值，故C，D 均
正确.
故选：ACD
14．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
其中
，
，则（ ）
A．若
存在最小正周期
且
，则
B．若
，则
存在最小正周期
且
12
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C．若
，
，则
的所有零点之和为2
D．若
，
，则
在
上恰有2 个极值点
【答案】AD
【分析】由
求出
可判断A；若
，当
时，
，可判断B；
当
，
时，化简
，即所以
的所有零点之和，
即
与
的交点的横坐标之和，画出图象可判断C；当
，
，则
，对
求导，令
，则
，则
在
的极值点
个数，即
图象的交点个数，画出图象可判断D.
【详解】对于A，若
存在最小正周期
且
，则
，解得：
，故A 正确；
对于B，若
，当
时，
，
所以
，故B 不正确；
对于C，令
，则
，
当
，
时，
，
，
13
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，
所以
，即
，
所以
的所有零点之和，即
与
的交点的横坐标之和，
如下图，
与
的有3 个交点（从左到右）为
，
且
与
的关于
对称，
故
，
，则
，故
，C 不正确；
对于D，当
，
，则
，
即
，
因为
，
，令
，则
，
则
，则
在
的极值点个数，
即
图象的交点个数，如下图，
14
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故
图象有2 个交点，故D 正确.
故选：AD.
15．（2025·河南·二模）（多选）已知
（
，
，
）的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
在
内有3 个极值点
D．
在区间
上的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据函数的部分图象求得
，
，
值，可得函数解析式，进而根据正弦函数
的图象和性质即可逐一判断得解.
【详解】对于AB，根据函数
的部分图象知，
，
，
，故AB 正确，
对于C，由五点法画图知，
，解得
，
15
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由于
，所以
，
.
令
，则
，
时，
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
故
在
内有2 个极值点，分别为
，
，故C 错误，
对于D，
，可得：
，
故当
此时
取最大值
，故D 正确.
故选：ABD.
16．（2025·河南开封·二模）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）
时相对于平衡位置的高度（单位：
）由关系式
确定，则下列说法正确的是
（ ）
A．小球在开始振动（即
）时在平衡位置上方
处
B．每秒钟小球能往复振动
次
C．函数
的图象关于直线
对称
D．小球从
到
时运动的路程是
16
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【答案】ACD
【分析】由
可判断A；求得周期可求频率判断B；利用
可判断C；求得
，
可判断D.
【详解】当
时，
，故A 正确；
小球往复振动的周期为
，所以每秒钟小球能往复振动
次，故B 错误；
因为
，所以函数
的图象关于直线
对称，故C 正确；
由
，又
，
，
所以小球从
到
时运动的路程是
，故D 正确.
故选：ACD.
17．（2025·河南周口·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
，
为偶函数
【答案】ACD
【分析】先化简后得到
，然后代入可判断A 和B 选项.求出
的单调递减区
间可判断C. 由图像判断D 正确.
17
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【详解】
所以
，所以
所以A 选项正确.
又因为
,
所以选项B 错误.
当
时，
，
单调递增，
所以
单调递减，所以选项C 正确.
由
图像可知，
当
向左或向右平移时，可以使
轴为对称轴，所以
，使得
为偶函数.选项D 正
确.
故选：ACD.
18．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
，则（ ）
18
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A．
与
的值域相同
B．
与
的值域相同
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数图象的平移即可判断AB，代入，结合三角函数的性质，判断正负，即可求解
C，利用作差法，结合二倍角公式，即可求解D.
【详解】对于A，
，
故
的图象可看作
的图象向右平移
个单位长度得到的，左右平移不影响值域，故A 正确；
对于B，
，
，
，
故
的图象可看作
的图象向左平移
个单位长度得到的，左右平移不影响值
域，故B 正确；
对于C，
，
，
由
，
，
可知
，
，
，
，
，
19
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所以
，
，
，故C 错误；
对于D，
，
，
，
而
，故
，故
，故D 正确.
故选:ABD
19．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
，则（ ）
A．
是一个周期函数
B．
，
C．方程
在区间
上有4 个不同的解
D．
，使得
【答案】BC
【分析】由
是偶函数，不是周期函数可判断A 项，计算
可判断B 项，解
方程
，分别研究
、
、
时方程的解的个数可判断C 项，由
可得
且
，研究两个方程的公共解的个数可判断D 项.
20
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【详解】对于A 项，因为
是偶函数，不是周期函数，
是偶函数，也是周期函数，
故
不是周期函数，故A 项错误；
对于B 项，因为
，
，
，故B 项正确；
对于C 项，当
时，方程
可化为
.
当
时，
，此时
满足方程；
当
时，此时
或
满足方程；
当
时，
，此时
满足方程，故C 项正确；
对于D 项，令
，则
，
；令
，则
，
，因为等号不
能同时取得，故D 项错误.
故选：BC.
三角恒等变换
20．（2025·河南·二模）函数
的最小正周期为 .
【答案】
/
【分析】根据二倍角的余弦公式可得
，结合公式
计算
的周期即可求
解.
【详解】
，
因为
的最小正周期为
，
故
的最小正周期为
.
故答案为：
题型02
21
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21．（2025·河南·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
22．（2025·河南·二模）已知
，则
【答案】
/
【分析】由
，结合两角和的余弦公式化简条件可求得
，再利用
二倍角的余弦公式求
即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
所以
.
22
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故答案为：
23．（2025·河南开封·二模）已知
，则
．
【答案】
【分析】利用诱导公式和余弦的倍角公式，整理化简即可.
【详解】
.
故答案为：
.
24．（2025·河南·二模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
【答案】C
【分析】利用二倍角的正切公式以及两角差的正切公式化简已知等式，消去
，得到关于
的方程即可求解.
【详解】由
，得
①，
由
，得
，
即
，
所以
②，
由①②得
，化简得
，
所以
.
故选：C.
25．（2025·河南·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
23
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【答案】A
【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解.
【详解】由已知得
，即
（
），
则
.从而
.
故选：A.
26．（2025·河南·二模）若
，且
与
存在且唯一，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】B
【分析】由
，得
，由
，得
，
，则有
，
与
存在且唯一，得
，解得
，即
，再由
，可求出
，计算
的值即可.
【详解】
，由
，得
，即
，
所以
，有
，
所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，
24
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因为满足条件的
与
存在且唯一，所以
唯一，
若
，
有两解，其中一解
中有钝角，此情况不存在.
所以
，解得
，经检验符合题意，所以
，
因为
，所以
，所以
，
则
，解得
，
所以
．
故选：B．
27．（2025·河南·二模）若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用等比中项公式，结合三角恒等变换求解即得.
【详解】由题意可得
，
即
，
即
，
，解得
.
故选：B.
28．（2025·河南·二模）已知
，
，则
（ ）
25
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用和角的正弦公式将
展开，再用商数关系弦化切即可求解.
【详解】因为
，
将式子的左右两侧同时除以
，可得
，
即
.
故选：D
29．（2025·河南·二模）已知
是第三象限角，
，则
.
【答案】
【分析】先根据条件求出
，
的值.法1：根据
求值；
法2：根据
求出
的值，再求
的值.
【详解】法1：因为
，所以
，因为
是第三象限角，所以
，则
.
法2：因为
，所以
，因为
是第三象限角，所以
，则
26
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，所以
30．（2025·河南郑州·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件
得
，进而
，再用两角和的正切公式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
，
所以
，即
，
故
．
故选：D.
31．（2025·河南新乡·二模）设
是关于
的方程
的一个实根，其
中
为常数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用二倍角的正切公式求出
关于
的表达式，再由
结合二
倍角的正切公式可得出关于
的等式，化简后可得出
的值.
27
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，则
，
，
整理得
，故
.
故选：D.
32．（2025·河南·二模）已知
，则
.
【答案】
【分析】由
，利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可求解.
【详解】
.
故答案为：
.
33．（2025·河南·二模）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简
，再结
合基本不等式求解即可.
【详解】由题意可得
，
28
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由
知，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
的最大值为
.
故选：B．
解三角形
34．（2025·河南鹤壁·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理可得
，利用三角恒等变换可求得
，可求
.
【详解】根据正弦定理，原等式可化为
，
进一步化为
，则
，
所以
，又
，所以
，所以
，
又因为
，
.
故选：B.
35．（2025·河南·二模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边
，
，
交
于点
.
题型03
29
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(1)求
；
(2)求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由锐角三角函数求出
、
，又
，利用两角和的余弦公式求出
，最后由余弦定理计算可得；
（2）解法1：首先求出
，再由
，利用面积公式计算可得；解法2：首
先得到
，再由
计算可得.
【详解】（1）由已知，
，
，
因为
，
所以
，
所以在
中由余弦定理可得
30
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.
（2）解法1：因为
，
又因为
，
所以
，
即
，
解得
.
解法2：因为
，所以
，
又
，
，
所以
，
又因为
，所以
，则
，
所以
.
36．（2025·河南·二模）2025 年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了
无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名
塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点
A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D 四点在同一个铅垂平面内），在点C 处测得
点A 的仰角为
，在点D 处测得点A，B 的仰角分别为
，
，测得
，则按
此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
31
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A．68m
B．70m
C．72m
D．74m
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解.
【详解】令直线
的延长线交于点
，则
.
依题意，
，
，
而
,
所以
，解得
，
又
，
所有
，
而
，
所以
.
故选：C.
37．（2025·河南焦作·二模）在
中，内角
的对边分别为
，若
的平分线
交
于点
，且
，则
．
32
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【答案】
【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出
，再根据余弦定理可求解.
【详解】由面积相等，可得
，
即
，
化简得
，
又
.
由余弦定理可得
.
故答案为：
.
38．（2025·河南·二模）若
为等边
内一点，
，
，
，则
.
【答案】
/
【分析】在
中，由正弦定理可得
，再在
中，利用正弦定理化简可得
，进而可得
与
，即可得解.
【详解】
如图所示，设等边三角形
的边长为
，
又
，
，
，
则
，
，
，
33
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在
中，由正弦定理可得
，
化简可得
，即
，
在
中，由正弦定理
，
化简可得
，即
，
又在
中可知，
，
则
，
，
即
，
故答案为：
.
39．（2025·河南·二模）如图，
内一点
满足
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的长.
【答案】(1)
34
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(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求出
，再利用余弦定理求出
，利用同角三角函数基
本关系式求出
，最后利用两角差的正弦公式计算即可
（2）设
，在
与
采用余弦定理与正弦定理，然后利用
与
的关系
列出关于
的方程，解出
即可
【详解】（1）
，此时
.
在
中，
，
又
，故
所以
（2）设
，在
中，
.
在
中，
，代入得：
.
又
，故
.
即
，解得：
，所以
.
40．（2025·河南·二模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
35
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(1)求角A；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据数量积的定义及正弦定理得
，
.再结合三角形的性质
建立方程求解即可；
（2）根据正弦定理及面积公式直接求解即可.
【详解】（1）在
中有
.
即
.
因为
，由正弦定理可得
，即
.
同理
，
由正弦定理可得
，即
.
在
中有
.
解得
，
，
.
由
，得：
.
（2）
面积
，代入
，
，整理得：
.
由（1）知
，
，即
，
.
中，由正弦定理可得
，即
.
36
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所以
.
41．（2025·河南·二模）在
中，
，则
的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【分析】在
中，
，由余弦定理知，
，两式相加，
利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该
的形状．
【详解】
在
中，
，
又由余弦定理知，
，
两式相加得：
，
（当且仅当
时取“
”
，又
，
（当且仅当
时成立），
为
的内角，
，
，又
，
的形状为等边△．
故选：
．
42．（2025·河南·二模）在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的
重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，
某地计划将如图所示的四边形荒地
改造为绿化公园，并拟计划修建主干路
与
.为更好
的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，
平分
，则
（ ）
37
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，则
，根据余弦定理及二倍角公式求得
，根据
的范围
即可得解.
【详解】设
，则
，设
，则
.
故在
中，由余弦定理可得
，
而
，故
，解得
，
在直角三角形
中，
为锐角，故
，故
.
故选：A.
43．（2025·河南·二模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得
，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由
可得：
，所以
，
38
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所以
，
，
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由正弦定理可得
，
所以
，
故
，
又
，所以
，
所以
，又
，所以
，
所以
，所以
的取值范围为
.
44．（2025·河南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
.
(1)若
，
，求
的大小；
(2)若
求四边形ABCD 面积的最大值.
39
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中，利用余弦定理可得
，由等腰三角形可得
，然后在
中利用正弦定理即可求解；
（2）利用勾股定理求得
，然后四边形面积分成
即可求解.
【详解】（1）在
中，
，
，所以
，
由余弦定理可得，
，即
，
又
，所以
，
在
中，由正弦定理可得
，得
，
因为
，所以
，所以
.
（2）在
中，
，所以
，
所以，四边形ABCD 的面积
，
当
时，
，即四边形ABCD 面积的最大值为
.
45．（2025·河南·二模）在
中，已知
.
(1)求证：
；
(2)若D 为AB 的中点，且
，
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
40
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【分析】（1）由
，利用两角和与差的正弦函数化简求解；
（2）由D 为AB 的中点，得到
，再两边平方得到CA，CB 的一个关系式，由
，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB 的一个关系式，然后利用（1）的结论
求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
，
因为
，所以
；
（2）因为D 为AB 的中点，且
，
，
所以
，
两边平方得
，
，
即
，
又
，
即
，
由（1）知
，
解得
，又
，且
，
所以
，则
.
46．（2025·河南·二模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
41
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，且
，则（ ）
A．
，
，成等比数列
B．
C．
，
，
成等差数列
D．若
，则
【答案】AD
【分析】根据正弦定理角化边化简已知，并结合等比数列的定义可判断A；由正弦定理的边角转化
与三角形角度关系即可判断B；假设
，
，
成等差数列，得
，结合余弦定理可判断C；
由边之间的关系确定三边长度，再利用平方关系求
，利用面积公式可得三角形面积，即可判
断D.
【详解】
，由正弦定理可得
，且
，则
，
，成等比数列，故
正确；
将
，利用正弦定理化简得：
，即
，
，利用正弦定理化简得：
，
，
，
，故B 错误；
若
，
，
成等差数列，则
，且
，可得
，
则由余弦定理可得
，故C 错误；
若
，可得
，
，则
，由
，可得
，所以
，故D 正确.
故选：AD.
47．（2025·河南·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
42
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，
.
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系可求
，进而利用正弦定理以及
求得
的值；
（2）由题意利用余弦定理可得
，解得的值；
（3）利用二倍角公式可求
，
的值，利用同角三角函数基本关系可求
的值，进而
利用两角和的正弦公式求解即可.
【详解】（1）因为
，所以
，又
，
所以由正弦定理可得：
，即
，解得
（2）因为
，
，
，
化简可得：
，解得
(负值舍去)，
（3）因为
，
，
因为
，
为锐角，可得
，
43
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所以
48．（2025·河南·二模）在
中，内角
的对边分别为
，
，
且
，则
面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】先由已知条件结合余弦定理和
求出
，再由余弦定理
结合基本不等式求出
最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.
【详解】因为
，
所以由余弦定理
，得
，
所以
，又
，
则
，
所以由余弦定理以及基本不等式得：
，
即
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
面积的最大值为
，
故答案为：
.
49．（2025·河南·二模）设钝角
三个内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
.
【答案】
44
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【分析】利用余弦定理表示出
，再利用同角三角函数的平方关系，得到
，建立
方程，求出b 的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案.
【详解】由余弦定理得，
，
而由
，得
，
因为
是钝角三角形，且
，故A 为锐角，所以
，
所以
，解得
或
，
当
时，即
，
，由大边对大角得：最大角为C，
，故C 为锐角，不符合题意；
当
时，即
，
，由大边对大角得：最大角为B，
，故B 是钝角，符合题意，
故答案为：
50．（2025·河南·二模）在
中，
.
(1)求角
；
(2)若
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）若
，求
的面积.
【答案】(1)
45
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(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得
，进而根据和差角公式可
得
，即可求解；
（2）根据余弦定理，结合题中条件可得
，
，再由余弦定理求解（ⅰ），利用三角
形面积公式求解（ⅱ）.
【详解】（1）因为
，即
，
由正弦定理可得
，
，
即
，可得
，
且
，则
，可得
，
又因为
，所以
.
（2）（ⅰ）∵
，由余弦定理，
，又∵
（*），
整理得：
，即
，代入（*）可得
，
由余弦定理，
；
（ⅱ）∵
，由（ⅰ）得：
，
46
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解得
，
∴
.
51．（2025·河南·二模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)2；
(2)15.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及二倍角公式化简即得.
（2）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换求出
，再利用三角形面积公式计算
即得.
【详解】（1）在
中，
，由正弦定理得
.
（2）由
及正弦定理，得
，即
，
则
，即
，
而
，则
，又
，即
，解得
，
，
，由
的面积为
，得
，
则
，又
，解得
，又
，则
，解得
，
所以
的周长为
.
47
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52．（2025·河南·二模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
，
．
(1)求
的面积；
(2)求AB 边上的高的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦定理边化角求出
，再利用三角形面积公式计算即得.
（2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出的最小值即可求出AB 边上的高的最大值.
【详解】（1）在
中，由
，得
，解得
，
由
及正弦定理，得
，
即
，则
，而
，解得
，
所以
的面积
.
（2）由余弦定理，得
，即
，
当且仅当
时取等号，
设h 为AB 边上的高，则
，即
，
所以AB 边上的高的最大值为
.
53．（2025·河南·二模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
.
【答案】
【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化为角，再根据三角形内角和定理以及三角函数公式化
简等式，最后求出角
的值.
48
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【详解】已知
，由正弦定理可得：
，
得到
.
因为
，所以
，那么
.
根据诱导公式
，可得
.
所以
.
可得
.
因为
，所以
，得到
.
即
，可得
.
又因为
，所以
.
故答案为：
.
54．（2025·河南开封·二模）已知直线
与圆
相交于
，
两点，
为圆
上不同于
，
的一点．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．
(1)求角
；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
或
；
(2)
【分析】（1）根据弦长公式得
，再利用正弦定理得到
的大小；
（2）根据余弦定理得
，再对
或
讨论即可.
49
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【详解】（1）圆心
到直线的距离
，圆
的半径
，
所以
，
又
为
外接圆
上一点，所以
，
解之得
，因为
，
所以
或
；
（2）由余弦定理得：
，
即
，即
，
①当
时，
，
此时
，
②当
时，
，
因为为最大边，所以
，与
矛盾，所以不成立，舍去，
综上所述，
的面积为
.
55．（2025·河南郑州·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，
，
边上的中线
，
相交于点
．
（i）求
；
（ii）求
．
50
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【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及辅助角公式得到关于
的方
程进而得解；
（2）（i）通过
求向量的模长即可得结果；（ii）通过余弦定理求出
，（法
一）根据重心的性质求出
和
，最后通过余弦定理可得结果；（法二）通过求
得到结果.
【详解】（1）由正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
∴
．
∵
∴
，即
．
（2）（i）∵
，
∴
．
（ii）在
中，由余弦定理得
，
即
（法一）由题知
是
的重心，
51
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∴
，∴
，
在
中，由余弦定理得
．
（法二）又
，
∴
．
∴
．
56．（2025·河南·二模）已知在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足
，
，且
，则
．
【答案】
/
【分析】由
，
，再由
，余弦定理可得
．
【详解】因为
，
所以由正弦定理可得
，且
，
故
，
，
，
所以由余弦定理可得
．
故答案为：
.
57．（2025·河南·二模）如图1，在半径为2 的扇形
中，
，
是弧
上的动点（不
含
，
），过点
作
，交
于点
.当
的面积取得最大值时，将扇形
沿着
折起到
，使得平面
平面
（如图2 所示）.
52
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(1)求图2 中
的长度；
(2)求图2 中直线
与
所成角的余弦值；
(3)探究在图2 中的线段
上是否存在点
，使得四面体
内切球的半径为
？并说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由正弦定理得到
，再由面积公式得到
，进而可求解；
（2）建系，求得直线方向向量，代入夹角公式即可；
（3）求得四面体表面积，设四面体
内切球的半径为
，结合则四面体
的体积
，求解即可.
【详解】（1）图中，因为
，
，所以
，
53
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设
，则
，
在
中，由正弦定理，得
，
即
，所以
.
所以
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值，
此时
，所以
的长度为
.
（2）如图，以
为坐标原点，以
所在直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
设直线
与
所成的角为
，
54
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则
，
所以直线
与
所成角的余弦值为
.
（3）由（2）知
，
，
，
，
所以
，
，
，
所以四面体
的表面积为
设四面体
内切球的半径为
，
则四面体
的体积
，
解得
，因为
，所以
，
所以在线段
上不存在点
，使得四面体
内切球的半径为
.
58．（2025·河南新乡·二模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
内切圆的半径；
(3)若
为
的垂心，且点
在
内，直线
与
交于点
，且
，求
55
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的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得
，再由余弦定理求角的大小；
（2）由
及面积公式得
、
，再由内切圆半径
即可得；
（3）设
，
，进而得到
、
，最后有
即可求最大值.
【详解】（1）因为
，
所以
.
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知
，代入数据得
.
因为
的面积
，
所以
内切圆的半径
.
（3）如图，设
，
，则
，且
.
56
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因为
，所以
.
由正弦定理得
，所以
，
所以
，其中
，
故
的最大值为
.
59．（2025·河南焦作·三模）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于
点，
，且
，记
．
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)记
，若
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设
，则
，在
和
中，利用余弦定理分别表示
57
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，即可得证.
（2）在
和
中，利用正弦定理结合
即可证明.
（3）若
，根据三角形相似得
，与已知矛盾；若
，则
，结合
已知得
，利用二倍角余弦公式化简得
，求解即可.
【详解】（1）设
，则
．
由余弦定理得
，
所以
，所以
．
（2）在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
由（1）知
，又
，所以
．
（3）若
，则
，得
，与已知矛盾．
若
，则
，
所以
化为
，即
，
整理得
，即
，解得
．
60．（2025·河南周口·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求B；
58
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(2)若
，过点B 作
，D 为垂足，求BD 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果；
（2）由三角形的面积公式可得
，再由余弦定理结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由
及正弦定理，得
，
所以
，
又
，
则
，
化简可得
，又
，
，
所以
，所以
，又
，所以
.
（2）设
，由三角形的面积公式可得
，解得
，
又
，
当且仅当
时，等号成立，
又
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
故
，即
的最大值为
.
61．（2025·河南·二模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
59
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【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得出
，结合
的取值范围可得出
，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，即
，
因为
、
，则
，故
，则
，故
.
故“
”是“
”的充分必要条件.
故选：C.
62．（2025·河南·二模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
边上的中线长为
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到
，再利用正弦定理边化角即可得证；
（2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由余弦定理，得
，
故
，即
，当且仅当
时等号成立，
由正弦定理可得
，
又
，故
，即
.
（2）
60
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设
为
的中点，则有
，
两边平方得，
，
即
，
故
，即
，当且仅当
时等号成立，
所以
的最大值为4.
63．（2025·河南·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案；
（2）设
，在
和
中由余弦定理可求出
，
，再代入三角形
的面积公式即可求出
，进而求出
的周长.
【详解】（1）由正弦定理得:
，
整理得
，
即
，
61
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因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）设
，则
，
在
中，由
，
，得
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，则
，
所以
的周长为
.
64．（2025·河南·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)判断
的形状；
(2)设
，且
是边
的中点，当
最大时，求
的面积．
【答案】(1)
为等腰三角形
(2)
【分析】（1）根据条件，利用倍角公式及平方关系得到
，进而得到
，即可求解；
（2）根据条件及余弦定理得到
，利用基本不等式得到
，
进而可得
，从而有当
最大时，
为正三角形，即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，即
62
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，
整理得
，所以
．
因为
，则
，所以
，
即
，则
为等腰三角形．
（2）由（1）及题设，有
，
所以
，当且仅当
时，等号成立．
又
为三角形内角，所以
，即
的最大值为
，
此时
，又
，所以
，
故
，可得三角形ACD 为直角三角形且
．
可得
为正三角形，
又
，所以当
最大时，
的面积
．
65．（2025·河南·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为.
若
，
，则
的最小值为 ；若
，则
的最大值为
.
【答案】 6 4
【分析】若
，根据三角形面积公式可得
，利用
，得解；若
，
63
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根据三角形面积公式可得
，结合余弦定理可得
，代入运算
得解.
【详解】若
，由
，
所以
，当且仅当
，即
时，取等号，
所以
的最小值为6.
若
，
，解得
,
由余弦定理得
，
整理得
，
，当
时，
取得最大值4.
故答案为：6，4.
新定义
66．（2025·河南·二模）如图，点
是以
为顶点的正方形边上的动点，
角
以
为始边，
为终边，定义
，则（ ）
题型04
64
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A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】当点
为第二象限内的点时
，可判断A 错误；利用角与点对称的关系以及
的定义可判断B 正确，易知
时，
，由基本不等式可知不等式
成
立，即C 正确，利用角平分线定理以及
的定义，可证明不等式
，可得D 正确.
【详解】对于A，当
时，易知
，依题意可知
，故A 错误；
对于B，因为角
以
为始边，
为终边，
，可得
以
为始边，
为终边，
；
所以
，故B 正确；
对于C，由
可得
，
由
，可得
，则不等式等价于
，
即可得
，显然该不等式成立，即C 正确；
对于D，设角
的终边与正方形在第一象限的边交于
，角
的终边与正方形在第一象限的
边交于
，如下图所示：
65
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设
，易知
平分
，
由角平分线定理可得
，因此可得
，即
，可得D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：判断D 选项时关键是根据角
与角
之间的关系得出
平分
，再
根据角平分线定理求得终边与正方形交点坐标的关系，再由
的定义可求解.
67．（2025·河南·二模）若
内一点
满足
，则称点
为
的
布洛卡点，
为
的布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点
为的布
洛卡点，
为
的布洛卡角．
(1)若
，且满足
，求
的大小．
(2)若
为锐角三角形．
（ⅰ）证明：
．
（ⅱ）若
平分
，证明：
．
66
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【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先判断
与
相似，进而得到
，应用余弦定理求出
的值
即可；
（2）（ⅰ）在
内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，针对
分别在
、
和
内，三次
应用余弦定理以及三角形的面积公式，且
表示出三角形的面积，由余
弦定理形式相加，再化简整理得：
，即可得证；（ⅱ）得出
与
的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，
平分
，将
代入，
化简整理即可得证.
【详解】（1）若
，即
，得
，
点
满足
，则
，
在
和
中，
，
，
所以
与
相似，且
，
所以
，即
，
由余弦定理得：
，且
，
，
得
，且
，
所以
；
（2）（ⅰ）在
内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
67
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，
，
，
三式相加可得：
①
在
内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在
和
内，同理：
，
，
三式相等：
，
因为
，由等比性质得：
②
由①②式可证得：
；
（ⅱ）因为
，
即
，
所以
，
在
中，
68
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分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得
，
，
将
代入得：
若
平分
，则
，
，
所以
③
又由余弦定理可得：
④
由③-④得：
所以
，
所以
.
【点睛】关键点点睛：根据
表示出三角形得面积，在
中，由余弦定理相加，得出
与
的等量关系，是解决本题的关键.
69
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70
