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专题03 三角函数与解三角形
3 大考点概览
考点01 三角恒等变换
考点02 三角函数的图像与性质
考点03 解三角形
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·二模）若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可.
【详解】因为
，
所以
．
故选D.
2．（2026·湖南岳阳·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】由平方关系分别求出
，利用
，由两角差的余弦公式求解.
【详解】因为
，所以
，所以
，
考点1
三角恒等变换
1
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因为
，
，所以
，
又
，所以
，
，
所以
，
所以
，
故选：C.
3．（2026·湖南怀化·一模）在
中，内角
的对边分别为
，则
一定为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在
中，
,
则
，即
，
则
，即得
,
由于
，故
，结合
，可得
，
即
一定为直角三角形，
二、填空题
4．（2026·湖南永州·一模）
___________．
【答案】
/
【分析】根据二倍角公式及诱导公式计算即可.
2
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【详解】原式
．
故答案为：
.
5．（2026·湖南永州·一模）
______.
【答案】
#
【分析】先乘以
再除以
，结合倍角公式化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：
6．（2026·湖南邵阳·二模）已知
，则
______.
【答案】
/
【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出
，化简目标式即可得.
【详解】由
，则
，
所以
.
考点2
三角函数的图像与性质
3
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一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
的图象关于点
中心对称
【答案】C
【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根
据单调性分析判断即可.
【详解】对于选项A：因为函数
的最小正周期
，
所以
，故A 正确；
对于选项B：因为
为最大值，
可知
是函数
的对称轴，所以
，故B 正确；
对于选项C：因为
，令
，可得
，
所以函数
在区间
上不单调，故C 错误；
对于选项D：因为
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故D 正确.
2．（2026·湖南·模拟预测）“
”是“
为第二象限角”的（ ）
4
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A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由正弦函数在各个象限的符号结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】若
，则
为第一象限、第二象限角或终边在
轴正半轴上；
若
为第二象限角，则
，
所以“
”是“
为第二象限角”的必要不充分条件．
3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知某圆锥的轴截面是顶角为
的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为
的扇形，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用圆锥的结构特征及弧长的求法得
，再逐项验证即可得.
【详解】设圆锥的母线长为，则圆锥的底面半径
，
因为侧面展开图的扇形弧长即圆锥底面的周长，所以
，即
，
因为
，所以
，又
，即
，
逐个验证各选项可知，当
时符合题意．
4．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，函数
的图象与
轴交于点
，与
直线
的两个交点为
，若
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．-1
【答案】C
【详解】由
，可知
，在
处函数单调递减，则
，
因为
时相邻两解差的绝对值的最小值为
，
所以
，解得
，则
，
所以
．
5．（2026·湖南株洲·一模）已知平面直角坐标系中三个点
，若函数
的
图象恰好只经过上面三个点中的两个，则
的值不可能为（ ）
A．10
B．14
C．18
D．22
【答案】D
【分析】将给定三个点的坐标依次代入每个选项对应的函数式验证即可.
【详解】A 选项，若
，
，
而
，
，
，
即
过
，不过
，符合题意，A 选项可能；
B 选项，若
，
，
6
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而
，
，
，
即
过
，
，不过
，符合题意，B 选项可能；
C 选项，若
，
，
而
，
，
，
即
过
，不过
，符合题意，C 选项可能；
D 选项，若
，
，
而
，
，
，
即
过
，不过
，
，不符合题意，D 选项不可能.
故选：D
二、多选题
6．（2026·湖南常德·一模）（多选）已知函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于直线
对称
C．将
的图象向左平移
个单位得到的函数为奇函数
D．函数
与
在
上有两个交点
【答案】ACD
【分析】选项A，直接利用周期公式计算即可；选项B，先求函数的对称轴，进一步分析即可；选项C，
7
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先通过平移变换得出新函数，再利用函数的奇偶性进行判断；选项D，将函数交点的个数问题转化为方程
根的个数问题，利用三角函数性质解方程即可得出结论.
【详解】由
，故A 选项正确；
由
，即
，令
，
解得：
，故B 选项不正确；
由
的图象向左平移
个单位得到函数：
，
由
的定义域为
关于原点对称，
且
，
所以
为奇函数，故C 选项正确；
令
，
则①
，解得：
，
又
，所以当
时，
，
②
，解得：
，
又
，所以当
时，
，
所以函数
与
在
上有两个交点，
故D 选项正确；
故选：ACD.
7．（2026·湖南邵阳·一模）已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法
正确的是（ ）
8
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A．
B．若
，则
C．把函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象，则
为偶函数
D．若函数
的导函数为
，则
的图象关于点
对称
【答案】ABD
【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可.
【详解】对于选项A,由图像可知振幅
,
所以
.解得
.将点
代入
即
,解得
.所以
.故A 正确.
对于选项B,已知
,即
.
所以
.故B 正确.
9
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对于选项C,
向左平移
个单位.
得
.显然
是奇函数不是偶函数.故C 错误.
对于选项D,
令
解得对称中心的横坐标
.
当
时,
.即
的图像关于点
对称.故选项D 正确.
故选:ABD.
三、填空题
8．（2026·湖南怀化·一模）已知函数
的两个相邻零点间的距离为
，则
__________.
【答案】
或
【分析】令
可得
，结合正切函数周期性可得
，代入求解即可.
【详解】令
，可得
，
因为函数
的两个相邻零点间的距离为
，则
，解得
，
若
，则
，可得
；
若
，则
，可得
；
综上所述：
或
9．（2026·湖南岳阳·一模）若
是函数
的一个零点，且
，则
的最小值为
10
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__________.
【答案】
【分析】利用和差化积公式可得
，再根据正弦函数以及余弦函数零点得出关于
的方程，利用求根公式得出最小值即可.
【详解】依题意可知
由
，
可得
；
即
或
，
当
时，可得
，此时
；
当
时，可得
，此时
；
又因为
，且求
的最小值，
所以对于
可知当
时，
，
整理可得
，解得
，
因为
，所以
；
对于方程
，当
时，方程为
，
11
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整理可得
，解得
，因为
，取
；
显然
,
因此可得
的最小值为
.
故答案为：
10．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若
，点
与
分别在直线
两侧，且
，则
长度的最大值为__________．
【答案】
/
【分析】设
，利用余弦定理及三角恒等变换将
表示为
的函数，再利用正弦函数的性质求出
最大值.
【详解】在
中，
，设
，则
，
，
在
中，
，则
，
由余弦定理得
，
因
，则
，
故当
，即
时，
，所以
的最大值为
.
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四、解答题
11．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示．
(1)求
的解析式，并写出
的单调递减区间；
(2)若
，且
，求
的值．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得
的值，再代入
求得
的值，从而可得函
数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可；
（2）结合（1）中函数求出
，进而得到
，根据二倍角公式和角的范围求解.
【详解】（1）由图象可知
，∴
，
又∵
，∴
，
代入
可知
，即
，
又因为
，所以
，
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可知当
时，
单调递减，
所以
的单调递减区间为
．
（2）
，又∵
，
所以由二倍角公式可得：
，解得
，
又∵
，∴
，
所以
．
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·一模）在
中，内角
的对边分别为
，则
一定为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，
所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角
之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在
中，
,
考点3
解三角形
14
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则
，即
，
则
，即得
,
由于
，故
，结合
，可得
，
即
一定为直角三角形，
2．（2026·湖南永州·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，且满足
，则（ ）
A．角
为锐角
B．2
C．2
D．
的最大值为
【答案】D
【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A 的结果可判断B；由同角的三角
函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D.
【详解】由
，得
，
，所以
，
对于A，由
，得
，所以
为钝角，故A 错误；
对于B，由
，得
，即
，故B 错误；
对于C，由
，结合正弦定理可得
，
所以
，即得
，
因为
为钝角，
为锐角，两边除以
，得
，故C 错误；
对于D，由
，即
，
，
，
因为
，所以
，
15
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所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，即
的最大值为
，故D 正确.
故选：D.
3．（2026·湖南永州·一模）已知
分别为
内角
的对边，若
，
，
动点
满足
的大小与
的大小相等，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据降幂公式结合余弦定理可得
，根据面积可得
，可知点
在抛物线上，
结合抛物线的性质分析求解.
【详解】因为
，
整理可得
，则
，可知
为等边三角形．
设点
到直线
的距离为
，则
，可得
，
如图，过点
作
，垂足为
，则
，
过点
作
，垂足为
，可知点
在以
为焦点，
所在直线为准线的抛物线上，
可知当点
为抛物线顶点（即为
的中点）时，
取得最小值，此时
，
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所以
的最小值为
．
故选：C.
4．（2026·湖南湘潭·二模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，且
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
．因为
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，
则
的面积
，
则
面积的最大值为
．
故选：A.
二、多选题
5．（2026·湖南邵阳·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若
是边AC 的中点，则线段BD 的长的最小值为
17
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C．
的最大值为
D．若点
是
的外心，且
，
，则
【答案】ACD
【分析】A 根据题意利用三角恒等变换可得
，进而可得
；B 利用正弦定理可得
，再利
用平面向量结合基本不等式运算求解；C 整理可得
，进而分析最值；D
根据数量积的几何意义结合外心性质可得
，解方程即可.
【详解】A：因为
，则
，可得
，
因为
，则
，
，可得
，所以
，故A 正确；
B：由正弦定理
，得
，
，
则
，解得
，
因为
是边AC 的中点，则
，且
，
可得
，当且仅当
时取等号，
所以
，故B 错误；
C：因为
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，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
，故C 正确；
D：因为
，
，则
，即
，
，
，
因为
，则
，
即
，解得
，故D 正确.
三、填空题
6．（2026·湖南·模拟预测）如图所示，若
，点
与
分别在直线
两侧，且
，则
长度的最大值为__________．
【答案】
/
【分析】设
，利用余弦定理及三角恒等变换将
表示为
的函数，再利用正弦函数的性质求出
最大值.
【详解】在
中，
，设
，则
，
，
在
中，
，则
，
由余弦定理得
，
19
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因
，则
，
故当
，即
时，
，所以
的最大值为
.
四、解答题
7．（2026·湖南邵阳·一模）在
中，内角
的对边分别为
．已知
．
(1)若
，
，求
的外接圆的半径；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)1.
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得
，求得
，由勾股定理判断
为直
角三角形，即可求得
的外接圆的半径；
（2）由余弦定理可得
，结合题设条件推得的结论
，求得
，再利用三
角形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）在
中，由
和正弦定理可得：
，
再由余弦定理得：
，整理得
.
因为
，则
．因
，故
为直角三角形，
所以
的外接圆的半径为
.
（2）因为
，又
，所以
.
20
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由余弦定理，
，可得
，
又
，且
，代入化简，可得
.解得
，
则
的面积为
.
8．（2026·湖南岳阳·一模）在
中，内角
的对边分别为
，
，
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得
，再根据
求角B 即可；
（2）根据两角和差公式求
，再由正弦定理求出边，进而可得面积.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
且
，即
，
又因为
，则
，可得
，
且
，所以
；
则
，可得
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，
，
21
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则
，
又因为
，则
，
所以
.
9．（2026·湖南常德·一模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
且
，
，
均为整数.
(1)求
；
(2)设
的中点为
，
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得
，再由正切函数单调性可得
，即
.
法二：假设
，所以
，根据正切函数单调递增，所以
这与
矛盾，即可得出结论；
（2）由两角和的正切公式计算可得
，利用等量代换联立解方程组计算可得
，
，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出
，
，最后利用正
弦定理和余弦定理计算可得
.
【详解】（1）法一：
在
中，因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
22
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且
在
内单调递增，所以
，
又
为整数，所以
，即
.
法二：
在
中，因为
，所以
，
所以
为锐角，
，
假设
，所以
，
又
在
内单调递增，所以
，
又
，所以
，与
矛盾，
所以
，
又
为整数，所以
，即
.
（2）因为
，所以
，
即
，
且
，设
，
，由
，可得
由于
，
，
均为整数且
，
，解得
，或
，
解得
，即
，
；
（另解：
可化为
，
由
，
为正整数，且
，
所以
，
，即
，
）；
所以
，
.
在
中，由正弦定理得
，
23
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所以
，
.
在
中，由余弦定理得
；
所以
.
10．（2026·湖南株洲·一模）在
中，角
为锐角，
．
(1)求角
的大小；
(2)若点
为边
的中点，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，可得
，利用和差角公式展开化简求得
；
（2）根据（1）的结论及题设条件可得
，在
和
中分别利用正弦定理
列式求得答案.
【详解】（1）
，又
，
，
，
，
，
，
，又
为锐角，
.
（2）
，
，
在
中，
，①
24
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在
中，
，
，②
由①和②，得
，
，又
，
，
，
.
11．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求
的值；
(2)若
是边
上一点，
，
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合分式有意义得到
，根据二倍角公式、辅助角公式得到
，进而求出角
及
.
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【详解】（1）由题意知，
，即
，即
.
因为
，所以
，
即
，
25
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所以
，
又
，
，
所以
或
，所以
（舍）或
，
因为
，所以
，则
.
（2）
方法一：设
，则
，
，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
由
，可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，
联立解得
，
，
所以
的周长为
.
方法二：设
，则
，
，即
，
故
，故
，
所以
，可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
26
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即
，
联立解得
，
，所以
的周长为
.
27
