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专题 01 集合，常用逻辑用语与不等式
5大考点概览
考点01集合间的基本关系
考点02集合的基本运算
考点03常用逻辑用语
考点04一元二次不等式
考点05基本不等式
考点1 集合间的基本关系
一、单选题
1．（2026·湖南湘潭·二模）设不等式 的解集为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可.
【详解】由 ，
得 ， ， ， ．
故选：A.
2．（2026·湖南怀化·二模）已知集合 ， ．若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合 ，再根据并集的定义可得.
【详解】由 ，解得 ，所以 .
因为 ，所以 ，如图：
所以 ．3．（2026·湖南岳阳·二模）已知集合 ，则 中的元素个数是
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】求得 ，再求出 ，即可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，共8个元素.
4．（2026·湖南永州·三模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 .
考点2 集合的基本运算
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ， ，
.
2．（2026·湖南衡阳·二模）已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ，解得 ，所以 ，
所以 .
3．（2026·湖南·二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，所以 ．
4．（2026·湖南·三模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得 ，再由交集的定义求解即可.
【详解】由 解得， ，
由 解得， ，
故得 ．
5．（2026·湖南邵阳·二模）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合 ，根据对数函数定义域求出集合 ，再根据并集的
概念求解即可.【详解】 ， ，
所以 ，即 .
6．（2026·湖南常德·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 等价于 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 .
7．（2026·湖南永州·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合 ，再根据交集运算求解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：C.
考点3 常用逻辑用语
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·二模）设 ， 为非零实数，则“ ”是 “ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可.
【详解】由题意当 时，满足 ，但 ，故充分性不满足；
当 时，满足 ，但 ，故必要性不满足；
所以“ ”是 “ ”成立的既不充分也不必要条件.
2．（2026·湖南·二模）在 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分
也不必要条件
【答案】C
【详解】充分性：若 ，代入可得 ，
因此 可以推出 ，充分性成立
必要性： 因为 是 的内角，因此 的范围是 ，
在此范围内只有 ，因此 可以推出 ，必要性成立
所以在 中，“ ”是“ ”的充要条件．
3．（2026·湖南永州·三模）已知数列 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等比数列通项公式计算求解结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为数列 是公比为 的等比数列，若 ，则 ，
即 ，由于 ，即 ，解得： 或 ，若 ，则 ，
由于 ， ，则 ，即 成立，
综上“ ”是“ ”的必要不充分条件
4．（2026·湖南永州·二模）已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，且
，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据线线、线面和面面的基本关系即可下结论.
【详解】如图， ，
若 ，则 与 相交或异面，不一定垂直；
若 ，则 不一定成立.
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D
二、多选题
5．（2026·湖南郴州·三模）下面说法正确的是（ ）
A．设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，若 ，则
B．命题“ ”的否定形式是“ ”C．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
D．函数 的图象关于点 成中心对称
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，命题“ ”的否定形式是“ ”，故B正确；
对于C，当 时，可得 ，所以“ ”是“ ”的充分条件；
当 时，可得 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的不必要条件；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，
，
所以函数 的图象关于点 成中心对称，故D正确.
考点4 一元二次不等式
一、单选题
1．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足 ，不等式 恒成立，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】A【详解】因为不等式 恒成立，
所以 .
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以实数m的取值范围是 ．
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知集合 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合 ，根据对数函数定义域求出集合 ，再根据并集的
概念求解即可.
【详解】 ， ，
所以 ，即 .
3．（2026·湖南怀化·二模）已知集合 ， ．若 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先通过解一元二次不等式得集合 ，再根据并集的定义可得.
【详解】由 ，解得 ，所以 .因为 ，所以 ，如图：
所以 ．
4．（2026·湖南永州·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合 ，再根据交集运算求解.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：C.
5．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域化简集合 ，解不等式化简集合 ，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意， 且 ， ，
所以 .
故选：C
考点5 基本不等式一、单选题
1．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足 ，不等式 恒成立，则
实数m的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】A
【详解】因为不等式 恒成立，
所以 .
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，所以 ，所以 ，
所以实数m的取值范围是 ．
2．（2026·湖南邵阳·二模）已知 是 内的一点，且 ， .若 ，
和 的面积分别为1， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B．9 C．15 D．20
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得 的面积，依题意求出 的值，
利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】因 ，则 ，
则 ，于是 ，
， 和 的面积分别为1， ， ，
， ， ，
，
当且仅当 时，即 ，等号成立，
的最小值是 .
3．（2026·湖南湘潭·二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，
且 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ．因为 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
则 的面积 ，则 面积的最大值为 ．
故选：A.
二、多选题
4．（2026·湖南怀化·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．存在 ， ，使得
B．记 的值域为A，对任意 ，存在 ，使得
C．若 ，则 的最大值为
D．若 ，则 的最小值为
【答案】ACD
【分析】通过导数来判断函数单调性，进而判断函数图像的走势来解决问题.
【详解】对于A选项， ，当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
在 上单调递增，存在 ， ，使得 ，A正确．
对于B选项，由函数解析式可知 为奇函数，得到 的极大值为 ，
的极小值为 ，且当 时， ，当 时， ，
根据函数图像走势可知，所以 的值域为 ．
取 ，不存在 ，使得 ，B错误．
对于C选项，不妨设 ，则 ，即 ， ．
设函数 ，
那么由 ，可知 的图象关于直线 对称，
将 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
可得 与 的值域相同，令 ，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，且 ，(当且仅当 时，等号成立)
当 时，函数 单调递减，且 ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，
综上， 的最大值为 ，即 的最大值为 ，C正确．
对于D选项，不妨设 ，
则 ，
变形可得 ，
所以 ，
当 时， ， ，要使得 取得最小值，则 ．
若 ，则 ，
解得 ，或
即 ,(当且仅当 时，等号成立)
若 ，则 ，
解得 或
即 ,(当且仅当 时，等号成立)
当 时， ， ，
而 ，矛盾，舍去．
综上， 的最小值为 ，D正确．
5．（2026·湖南邵阳·二模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
， ，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若 是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C． 的最大值为
D．若点 是 的外心，且 ， ，则
【答案】ACD
【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得 ，进而可得 ；B利用正弦定理可得
，再利用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得
，解方程即可.
【详解】A：因为 ，则 ，可得
，
因为 ，则 ， ，可得 ，所以 ，故A正确；
B：由正弦定理 ，得 ， ，
则 ，解得 ，
因为 是边AC的中点，则 ，且 ，
可得 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，故B错误；
C：因为
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故C正确；
D：因为 ， ，则 ，即 ， ， ，因为 ，则 ，
即 ，解得 ，故D正确.
