文档文本内容
三角函数化简与求值
考点1
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专题05 三角函数与解三角形
6 大考点概览
题型01 三角函数化简与求值
题型02 三角函数的性质
题型03 三角函数的图象
题型04 正（余）弦定理的基本应用
题型05 解三角形中的最值问题
题型06 正（余）弦定理与向量、函数等知识的交汇
1．（2026·湖北黄冈·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】利用诱导公式得
，
故利用二倍角公式得
.
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到
，结合余弦
的倍角公式，即可求解.
【详解】由
.
3．（2026·广东深圳·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
1
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【详解】由于
，则
，于是
.
4．（2026·内蒙古赤峰·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】根据两角和与差的正弦公式，联立方程组
的值，结合三角函数的基
本关系式，即可求解.
【详解】由
，可得
，又由
，
可得
，联立方程组，可得
，
则
.
5．（2026·辽宁抚顺·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】应用诱导公式及二倍角公式化简，再应用正弦值域得出
，最后结合同角三
角函数关系计算求值.
【详解】由题意得
，所以
·
.
因为
，所以
，所以
，且
，
所以
，可得
.
6．（2026·河南南阳·一模）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了
2
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晷影长与太阳天顶距
（
）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．
根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距
正切值的乘积，即
．对同一“表
高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为
，
，若第一次的“晷影长”是“表高”的2
倍，且
，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．
倍
B．
倍
C．
倍
D．
倍
【答案】B
【分析】由题意可得
，由
结合两角差的正切公式可得
，从而求得第二次
的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案.
【详解】由题可得
，又
，
所以
.即第二次的“晷影长”是“表高”
的
.
7．（2026·山西大同·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系求出
，再根据三角恒等变换即可求出答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
.
3
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8．（2026·河北邢台·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，
，则
，
，由余弦的和差公式可得：
，
，
展开得：
，
两式相减得：
，
则：
，即：
.
9．（2026·青海西宁·一模）已知
是第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，又
，
，
因为
是第二象限角，所以
，
，所以
，
，
所以
.
4
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10．（2026·广东汕头·一模）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含
的形式，再代入已知条件计算.
【详解】
，
11．（2026·河北衡水·一模）若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
，
因此
，所以
，
；所以
的取值范围是
.
12．（2026·广东中山·一模）若
，
是第三象限角，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】D
5
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【分析】运用同角三角函数关系求得
，运用两角和的正弦公式计算即可.
【详解】因为
，所以
，
因为若
是第三象限角，所以
，解得
，
.
同理因为
，所以
，
因为若
是第三象限角，所以
，解得
，
.
而
13．（2026·山东临沂·一模）已知锐角
，
满足
，则
的最大值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得
含的表示，即可根据基本不等式
求解最值.
【详解】由
得
，即
，由于
，
为锐角，故
，设
，则
6
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，
令
，当且仅当
时取
到等号.故
的最大值为
.
14．（2026·湖南邵阳·二模）已知
，则
______.
【答案】
/
【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出
，化简目标式即可得.
【详解】由
，则
，
所以
.
15．（2026·湖北襄阳·一模）已知
，若
，且
，
则
_______．
【答案】
【分析】利用
，根据和差化积公式得
，即
可由万能公式求解.
【详解】．∵
∴
7
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∴
,
由于
，故
，则
，
∴
∴
.
16．（2026·河北保定·一模）已知
，则
________.
【答案】
#
【分析】首先切化弦，根据平方关系得到
的二次方程，求解.
【详解】因为
，
，得
，
解得
或
（舍）.
17．（2026·山西晋城·一模）若
，则
__________．
【答案】3
【详解】
．
18．（2026·陕西商洛·一模）已知
，且
，则
___________．
【答案】
【分析】根据二倍角的余弦公式求得
，结合
及同角三角函数的平方关系求得
，
再根据两角和的正弦公式即可求解．
【详解】由
得
，解得
或
，
8
三角函数的性质
考点2
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又
，所以
，则
，
所以
．
19．（2026·河北张家口·一模）已知锐角
满足
，则
的值为______．
【答案】
【详解】已知
是锐角，且
，则
，设
，
则
，解得
，
，
．
1．（2026·山西晋城·一模）已知函数
的图象关于直线
对称，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，所以
，又
，所以
的最小值为
．
2．（2026·辽宁抚顺·一模）当
时，函数
取得最大值，则
的最
小值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
9
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【分析】使用辅助角公式化简
，代入
，利用最大值条件并给
赋值即可求解.
【详解】
，取
，
则
，由题意得
,即
，整理得
，
因为
，令
，则
，即
的最小值为1.
3．（2026·广东深圳·一模）函数
的最小正周期为
，其图象的对称中心
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意知，
，所以
，故
.令
，
，则
，
，所以该函数的对称中心为
，
，显然只有A 符合.
4．（2026·湖北黄冈·一模）函数
的图象关于点
对称，且直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，则正实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，求得最小正周期；根据正切函数
的对称性求得
，从而求得其最小值.
【详解】因为直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，所以函数
的最小正周期为
10
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，所以
，所以
.由函数
的图象关于点
对称，得
，
所以
.所以正实数
的最小值为
.
5．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数
，若函数
与
的
图象关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两函数图象关于直线
对称及
得到
，结合
的范围代入求解即
可.
【详解】由题意知
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
，解得
.
6．（2026·河南南阳·一模）已知函数
的周期为
，值域为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】由周期函数的定义得出
是周期为
的周期函数，再由二倍角公式结合正弦函数的值
域可判断.
【详解】
，
所以函数的周期不是
，A，B 错误；
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，
所以函数的周期是
，
，
所以
，
所以
的值域为
，C 正确；D 错误.
7．（2026·湖北恩施·二模）已知函数
在
上不单调，则函数
图象的对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对
进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解.
【详解】
在
上单调递增，不合题意；
在
上单调递增，不合题意；
在
上单调递增，不合题意；
图象如图，满足题意，
12
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它的对称中心为
．故选A．
8．（2026·河北保定·一模）将函数
的图象先向右平移
个单位长度，再将其横坐标缩
短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，则
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助平移及伸缩变换性质可得
，再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解.
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得
，
将其横坐标缩短到原来的
，可得
，即
，
令
，解得
，即
图象的对称中心的坐标为
.
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9．（2026·山东济宁·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度后，得
到函数
的图象，若
图象的一个对称中心为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】求出
图象的对称中心后利用代入法可得
，故可求
的最小值.
【详解】因为
图象的一个对称中心为
，故
图象的对称中心为
，
故
，故
，而
，故
.
10．（2026·河北承德·一模）已知把函数
（
）的图象上所有点的横坐
标缩短到原来的
，纵坐标不变得到函数
的图象，若
在区间
上有三个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
的解析式，再求出
的零点，再根据范围求得
的取值范围.
【详解】由题可知
，
令
，即
，即
，
所以
，或
，
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解得
，或
，
则非负根从小到大依次为
，
，
，
，⋯，
又因为
在区间
上有三个零点，所以
，解得
.
11．（2026·河北邢台·一模）若函数
的最大值为3，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象关于直线
对称
【答案】AC
【分析】由题意求得参数
的值，根据函数解析式求得
的最小值，判断A；求得
的最小
正周期，判断B；根据正弦函数对称中心及对称轴的特点，判断C，D.
【详解】因为函数
的最大值为1，最小值为
，
所以由函数
的最大值为3，得
，解得
.所以
.
所以
的最小值为
，所以A 正确；
的最小正周期为
，所以B 错误；
因为
，且
，所以
的图象关于点
对称，所以C 正确；
因为
，此时
取不到最值，所以
的图象不关于直线
对称，
所以D 错误.
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12．（2026·安徽安庆·一模）已知函数
的最小正周期为
，则
图象
的对称中心的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先根据周期得出
，再应用正切函数的对称中心计算求解.
【详解】由题意可得
，解得
（负值舍去），则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，故
、
都是
图象的对称中心，故B、D 正
确；
令
，解得
，由
不符，故
不是
图象的对称中心，
令
，解得
，由
不符，故
不是
图象的对称中心，故A、C 错误.
13．（2026·内蒙古赤峰·一模）函数
的图象过点
，该函数图象在
轴右侧的第一个对称中心为
，且
为一条对称轴，下列有关函数
正确的表述是
（ ）
A．
B．
图象的对称轴为
C．
图象的对称中心为
D．
在
上的最大值为
【答案】AC
【分析】先由函数经过的点及对称中心、对称轴可得
，
，进而再整体代入判断各个选
项可得.
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【详解】由函数
的图象在
轴右侧的第一个对称中心为
，得
，即
，
由
为函数
的一条对称轴，得
，则
，
由
，得
，则
或
，
由函数
的图象过点
，得
，
当
时，
，
，不符合题意，
当
时，
，
，符合题意，因此
，A 正确；
对于B，
，
，
不是函数
的对称轴，B 错误；
对于C，
，则
是函数
的对称中心，C 正确；
对于D，当
时，
，
，
所以函数
在
上的最大值为2，D 错误.
14．（2026·陕西商洛·一模）已知函数
的最小正周期为
，若
对任意的
恒成立，且
在区间
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
17
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C．
D．
【答案】D
【分析】结合题意得
，求得
，再结合三角函数的单调性得
，
，最后结合
求解即可.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，即
，又
在区间
上单调递增，所以
，
故
，
，解得
，
．
令
得
，又
，所以
；令
得
；
当
时，
，不合题意．综上，
的取值范围为
．
15．（多选）（2026·湖北黄石·一模）已知函数
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的最大值是2
C．若实数
使得方程
在
上恰好有三个实数解
，则
D．
是函数
的单调递减区间
【答案】BC
【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C 将函数数形结合，转化为交
点问题.
18
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【详解】
，若函数图象关于点
对称，则
.但是
，所以A 错误；
因为
的最大值为1，所以
的最大值为
，所以B 正确；
方程
在
上恰好有三个实数解，即
在
有三个解，此时
，
对应的三个解为：
，则
，所以C 正确；
求
的单调递减区间：
，解得
，
所以D 错误.
16．（多选）（2026·重庆·一模）已知函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
在
上恰有三个零点，则
B．若
在
上恰有三个零点
，则
C．若
在
单调递增，则
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D．若
向左平移
后的图象与
图象关于
对称，则
【答案】ABD
【分析】对于A，根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B，由选项A 可知
，代入即可求值；对于C，根据正弦函数的单调区间，确定
区间端点满足的不等式求解即可；对于D，根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可.
【详解】A，令
，即
，解得
或
，
当
时，可得
，要使
在
上恰有三个零点，
则需
，解之可得
，故A 正确；
B，由A 可知
，所以
，所以
，故B 正确；
C，由正弦函数的单调递增区间可知
，取
，则
，
若
在
单调递增，则需
，因
，则只需
，则
，
则
，故C 错误；
D，根据平移规则可知平移后函数为
，
图象与
图象关于
对称，则
，
代入得
，化简可知
，
20
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继续化简可得
，故D 正确.
17．（多选）（2026·广东梅州·一模）关于函数
，以下结论正确的有（ ）
A．
的图象是轴对称图形
B．
的最大值为1
C．
是以
为一个周期的周期函数
D．
在
上有4 个零点
【答案】ACD
【分析】对于A，判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B，因为要分析三角函数乘积形式的函
数性质，所以可先利用三角恒等变换公式将
化简为更易分析的形式.求函数最大
值，可利用三角函数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于
C，判断周期，可利用周期函数的定义，验证
是否成立来确定；对于D，求零点，
令
，结合三角函数的零点性质求解，再统计
上的零点个数.
【详解】对于A，函数
的定义域为R，且
，即
为偶函数，
的图象
是轴对称图形，A 正确；
对于B，
，令
，则
，
当
时，
取最大值
，即
的最大值为
，B 错误；
对于C，
，即
是以
为一
个周期的周期函数，C 正确；
对于D，令
，即
，故
或
，当
时，在
上有
21
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满足题意；当
时，在
上有
满足题意；故
在
上有
共4 个零点，D 正确.
18．（2026·辽宁大连·一模）已知函数
，当
时，
的最小值为
．
(1)求函数
在区间
内的零点个数；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，
求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)值域为
，递增区间为
，递减区间为
【分析】（1）先由给定区间的最小值确定参数m，再解三角函数零点个数即可；
（2）通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得
的值域与单调区间.
【详解】（1）函数
，当
时，
，则当
，
即
时，
，即
，解得
，故
，
当
时，
，由
，得
，
则
，所以
，
因此函数
在区间
内的零点个数为4．
（2）依题意，
，因此函数
的值域为
；
22
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由
，
，解得
，
，
由
，
，解得
，
，
所以函数
的递增区间为
， 递减区间为
．
19．（2026·辽宁沈阳·一模）
且
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
图象上所有的点向左平移
个单位后得到函数
的图象，当
时，
求函数
的值域；
(3)说明函数
的图象经过怎样的变换能得到函数
的图象，写出一个变换过程.
【答案】(1)
(2)
(3)详细见解析
【分析】（1）先根据向量数量积公式求出
的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周
期公式求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到
的表达式，然后结合给定
区间求出的值域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程.
【详解】（1）根据题意知
，根据正弦函数的周期公式
，
所以
最小正周期为
.
23
三角函数的图象
考点3
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（2）根据“左加右减”的原则，可得
，
已知
，则
，
当
时，
取最大值，最大值为
，
当
时，
取最小值，最小值为
，
所以当
时，函数
的值域为
（3）把
的图象上所有点向右平移
个单位得到
的图象；再把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到的图象
，
再把
的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变得到
.
1．（2026·江西南昌·一模）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
24
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由图得
求
，再由
求
，进而得到解析式，即可求函数值.
【详解】由图知
，则
，得
，由
，
则
，
，所以
，则
，故
.
2．（2026·天津和平·一模）已知函数
的导函数
的部分图
象如下图，记
，则函数
在区间
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导后可表示出
，利用图象结合三角函数性质可得
、
，再利用降幂公式可得
，结合正弦函数性质即可得解.
【详解】
，由图可得
，则
，故
，解得
，由图可得
，解得
，
25
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又
，则
，故
，
，
则
，
当
时，
，则
，故
.
3．（多选）（2026·山东德州·一模）函数
的部分图象如图
所示，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．函数
在区间
上单调递增
D．若
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，则实数
的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据周期以及最值可得
，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整
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体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.
【详解】由图可得
，函数的最小正周期
，又
，所以
，
则
，由
，得
，
，
解得
，
，又
，所以
，故A 正确；
由上分析，得故
，因为
，
故函数
的图象关于点
对称，故B 正确；
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递增区间为
，
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递减区间为
，
，
则函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误；
当
时，则
，
要使
在区间
上恰有一个最大值2 和一个最小值
，
需使
，解得
，故D 正确.
故选：ABD.
4．（多选）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）函数
的图象如图所示，
则下列说法中正确的是（ ）
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A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象
D．若方程
在
上有2 个不相等的实数根，则
的取值范围是
【答案】BC
【分析】根据图象可确定
，判断A 的真假；利用
可验证B 的真假；利用函数的平移变
换结合诱导公式，可判断C 的真假；利用换元法，结合函数图象可求
的取值范围，判断D 的真
假.
【详解】由题意：
，
，
又
，所以
，
，故A 错误；
对B：因为
，所以
，所以函数
的图象关于
点
对称，故B 正确；
对C：将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得：
28
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，故C 正确；
对D：
，当
时，
.
设
，
，若要
在
上有两个不相等的实数根，
由下图可知：
，故D 错误.
5．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数
的部分图象如图所
示，其中
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
在区间
恰有一个零点
D．将
图象向左移
个单位后关于
轴对称
【答案】ACD
29
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【分析】根据
，结合
的取值范围可求
的值，判断B 的真假；在此基础上，再根据
可求
的值，判断A 的真假；求函数
在区间
上的零点，判断C 的真假；将
函数
进行平移变换，求平移后函数的解析式，判断其奇偶性，判断D 的真假.
【详解】因为
，又
，所以
，故B 错误；
因为
，
由图可知，
，所以
，故A 正确；
所以
，当
时，
，所以方程
在
上
只有
即
一个解，即函数
在区间
恰有一个零点，故C 正确；
将
图象向左移
个单位后可得
，为偶函
数，其图象关于
轴对称，故D 正确.
6．（多选）（2026·山西临汾·一模）已知函数
的
部分图象如图，则（ ）
A．
是
图象的一条对称轴
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B．
在区间
上单调递增
C．
在区间
上的零点之和为
D．函数
的零点个数为11 个
【答案】BCD
【分析】先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过
的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点、
最值，逐项计算判断即可.
【详解】
.
由图象可知，
，所以
，即
，解得
.
所以
，又图象经过点
，且在
处递增趋势，
所以
，
，解得
，
，
因为
，所以
.所以
.
选项A：令
，
，则
，
，
即函数
的对称轴为
，
，故
不满足，A 错误.
选项B：当
时，
，
又
在
上单调递增，所以
在区间
上单调递增，故B 正确.
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选项C：令
，即
，
，解得
，
，
又
，所以
或
，零点之和为
，故C 正确.
选项D：函数
定义域为
.
令
，则
，易知
，最小正周期为
.
令
，
，
，
在定义域
上单调递增，所以大致图像如下：
由图可知，曲线
与
有11 个交点，故D 正确.
7．（多选）（2026·湖南邵阳·一模）已知函数
的部分图象如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
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A．
B．若
，则
C．把函数
的图象向左平移
个单位后得到函数
的图象，则
为偶函数
D．若函数
的导函数为
，则
的图象关于点
对称
【答案】ABD
【分析】利用图像求出函数解析式,然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可.
【详解】对于选项A,由图像可知振幅
,
所以
.解得
.将点
代入
，即
,解得
.所以
.故A 正
确.
对于选项B,已知
,即
.
，所以
.故B 正确.
对于选项C,
向左平移
个单位.得
.显然
是奇函数不是偶函数.故C 错误.
对于选项D,
，令
解得对称中心的横坐标
.当
时,
.即
的图像关于点
对称.故选项D 正确.
故选:ABD.
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8．（多选）（2026·广东茂名·一模）函数
的部分图象如图所示，
则（ ）
A．
为
的周期
B．
是
图象的对称中心
C．当
时，
的值域是
D．
的单调递增区间是
【答案】BD
【分析】根据图象中两点距离求周期
，进一步得出
，代入特殊点坐标求
，从而确定函数
的解析式，再根据周期、对称中心性质、
范围对应函数值范围、单调区间求法判断各选项
对错.
【详解】对于A，由图象可知，
，则
，所以A 选项错误，
对于B，又因为
，所以
，将点
代入，可得
，即
，又因为
，所以
，解得
，即
，
34
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因为
，所以
是
图象的对称中心，所以B
选项正确，
对于C，当
时，
，此时
，所以
，所以C 选项错误，
对于D，令
，
，解得
，
，所以单调递增区间
为
，
.
故选：BD.
9．（多选）（2026·宁夏银川·一模）若函数
（
，
，
）
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的对称轴为
（
）
C．
的单调递增区间为
（
）
D．当
时，
的最小值为
【答案】AC
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【详解】由图可知，
，
，则
，即
，则
，
又函数
过点
，则
，即
，所
以
，则
，又
，则
，即
，
则
，所以函数
的最小正周期为
，故A 正确；
令
，得
，所以
的对称轴为
，故B 错误；
令
，得
，所以
的单调递增区间为
（
），故C 正确；当
时，
，则
，
所以
，则
的最小值为
，故D 错误.
10．（多选）（2026·山东烟台·一模）已知函数
的部分图象如图
所示，则（ ）
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A．
B．
是
的一个周期
C．
D．当
时，
的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，由图可知
，所以
，又
，所以
或
，
从图象看，
处函数处于上升阶段，即
，又
，所以
，因为
，所以
，故
，故A 正确；
对于B，
，
处函数处于下降阶段，所以
，
解得
，又
，所以
，所以
，又
，故
，得
，所以
，所以
，故B 正确；
对于C，
，C 错误；
对于D，当
时，
，所以
，所以
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，所以
的最小值为
，故D 正确.
11．（2026·山东淄博·一模）若函数
的部分图象如图所
示，则关于
的不等式
的解集为______.
【答案】
【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不
等式即可.
【详解】由图象得
，
，即
，而
，则
，
，
又
，则
，解得
，
函数
的最小正周期
，由图象知
，则
，所以
，
，
由
，得
，则
，
解得
，即关于
的不等式
的解集为
.
12．（2026·山东青岛·一模）函数
（
，
，
）的部分图像如图
所示.
38
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(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)已知
，且
，求
的值.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数
的解析式，再求函数的单调区间即
可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【详解】（1）由图可得
，
，
所以
，且
，
得
，
，
又因为
，所以
，所以
.
又因为
，
，解得
，
，
所以
在
上的单调递增区间为
.
（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，即
，所以
.
39
正（余）弦定理的基本应用
考点4
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所以
.
1．（2026·广西崇左·一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理边角互化，结合余弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理得
，则
.因为
，所以
，
由余弦定理得
，则
.
2．（2026·河南焦作·一模）已知在
中，
，则
的外接圆半径为
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】利用余弦定理可求出
，进而求出
，再利用正弦定理即可求得
答案.
【详解】由于在
中，
，故
，即
，故
，结合
，得
，
40
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故
的外接圆半径为
.
3．（2026·湖南怀化·一模）在
中，内角
的对边分别为
，则
一定为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混
合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，
整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状.
【详解】在
中，
,则
，
即
，则
，即得
,
由于
，故
，结合
，可得
，即
一定为直角三角形，
4．（2026·北京延庆·一模）在
中，
，
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理角化边，求得
，再由余弦定理即可求解.
【详解】 根据正弦定理
，结合条件
，可得：
，即
.又已知
，代入
得：
，因
此
.由余弦定理
，代入
，
，因此
.
5．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域
处的甲船获悉，在其正东方向相距
的
处有一
41
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艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西
，且与甲船相
距
的
处的乙船.那么
的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解.
【详解】如图，在
中，
，
由余弦定理，得
，
由正弦定理得
.
故选：A
6．（2026·河南濮阳·一模）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底
在同一水平面内的两
个测点
与
.现测得
，并在点
测得塔顶
的仰角为
，则塔高
AB 为（ ）
A．
B．
42
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C．
D．
【答案】D
【分析】在
中利用正弦定理求出
，再利用
即可求出.
【详解】在
中利用正弦定理得，
，即
，
则
，在
中得，
，则
.
故选：D
7．（多选）（2026·四川内江·二模）已知
的面积为
，角
的对边分别是
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
边的中线长为
【答案】ABD
【分析】利用条件
化简判断A；根据正弦定理及三角恒等变换判断B；根据正弦定
理求判断C；根据余弦定理求出中线长判断D.
【详解】因为
，所以
，即
，
所以
，由
可知
，即
为钝角，
又
，所以
，又
为锐角，所以
，故A 正确；
因为
，由正弦定理可得
，
所以
，
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由和差化积公式可得
，
即
，即
，
由
可得
，所以
或
（舍去），即
，故B 正确；
由AB 可知，
，所以
，故
.因为
，
所以
.由正弦定理，
，即
，解得
，所以
，故C 错误；
由
可知
，
，
设
边的中线长为
，则
，
所以
，故D 正确.
8．（2025·广东广州·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
______．
【答案】
【分析】先由条件求出角
，再由正弦定理即可解得
的值.
【详解】因为
，且
，
，所以
，
由正弦定理可得
，即
，即
，解得
，
9．（2026·河北保定·一模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
，则
的面积为________．
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【答案】
/
【分析】使用余弦定理求
的值，再使用三角形面积公式即可求解.
【详解】由余弦定理得
，所以
，
解得
（
舍去），所以
，故
.
10．（2026·安徽合肥·一模）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
__________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得
，
再由正弦定理可得
，即可得解.
【详解】因为
，由正弦定理，可得
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，又由正弦定理，可得
，即
，因为
，所以
．
11．（2026·山西晋城·一模）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出
及
的余弦值，再根据两角和的余弦可求
；
（2）由正弦定理求得
，再根据公式可求面积.
【详解】（1）（1）由
，得
，
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此时
，可得
，
于是
．
（2）由
，得
，
在
中由正弦定理得
，可得
，
故
的面积
．
12．（2026·山东烟台·一模）已知
的内角
的对边分别为
，
，
且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理及三角形的面积公式求解．
（2）由（1）知，
，而
，
，得
为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）由余弦定理得
，因为
，所以
.
由三角形面积公式得
，又因为
，所以
，
所以
，因为
，所以
.
46
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（2）由（1）知，
，得
，
而
，得
，又
，得
为等边三角形，得
， 故
.
13．（2026·内蒙古赤峰·一模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
(1)求B；
(2)若
的面积
且
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理的推论
及
可得；
（2）由三角形的面积公式及正弦定理可求得
，再根据余弦定理求得
，即可得
的周长．
【详解】（1）由
，根据余弦定理，得
，
化简得
，即
.
所以
.因为
，所以
.
（2）由正弦定理可得
.
由三角形的面积公式可得
，所以
.
由（1）得
，所以
.
所以
，所以
.
所以
的周长为
．
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14．（2026·河北邢台·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，点D 在边BC 上，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，求AD 的长．
【答案】(1)1
(2)2
【分析】（1）通过正弦定理建立
与
的比例关系，结合已知的正弦比和边比求得比值；
（2）由条件结合
为
中点求出边长，再通过余弦定理建立等量关系即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得
，设
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中由正弦定理得
，
因为
，则
，
所以
.
（2）由
，
，
可得
，解得
，所以
，
由（1）知
为
的中点，
，
，
，
因为
，则
，
48
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即
，解得
.
15．（2026·河北唐山·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知
.
(1)证明：
；(2)若
，求A.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式可得
，再结合正弦定理即可得结果；
（2）利用余弦定理结合（1）中结论可得
，代入
整理可得
，
进而分析求解.
【详解】（1）因为
，可得
，
整理可得
，由正弦定理可得
.
（2）因为
，即
，
则
，
又因为
，则
，可得
，
即
，可得
，
即
，可得
，且
，则
，
可得
，解得
.
16．（2026·贵州安顺·一模）在
中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且
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．
(1)求A 的大小；
(2)若
，
，试判断
的形状，并求
的面积．
【答案】(1)
(2)等边三角形，
【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得
，即可求解，
（2）根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得
，即可根据三角函数的性质求解
的大小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解.
【详解】（1）在
中，由正弦定理得
，
整理得
，
因为
，故
，又
，故
．
（2）已知
，则
，故
，
，即
，
则
，
，
因为
．则
．故
，
所以，
是等边三角形．因此
.
17．（2026·天津和平·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
的值；
(2)已知
．
（i）若
的外接圆半径为
，
，求
的值；
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（ii）求
的值．
【答案】(1)
(2)（i）
，
；（ii）
【分析】（1）借助余弦定理计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后结合两角差的正弦公式可得
，
；（i）利用同角三角函
数基本关系可得
，再利用正弦定理即可得
，则可得
、；（ii）利用三角形内角和与二倍角
公式可得
、
，再利用两角和的余弦公式计算即可得.
【详解】（1）由
，整理得
，
由余弦定理
，故
；
（2）由正弦定理可得
，由
，则
，
即
，所以
，
；
（i）由
，故
，
由正弦定理可得
，故
，则
，故
；
（ii）由
可知
，故
，
，由
，
，
故
．
18．（2026·天津河西·一模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
51
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，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求
的面积；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可得
求解，
（2）根据余弦定理求解，即可由面积公式求解，
（3）根据正弦定理求解
，进而根据同角关系以及二倍角公式，最后由余弦的差角公式
求解.
【详解】（1）已知
，由正弦定理
，得
，所以
，
因为
得
，由
，故
；
（2）由（1）知
，且
，
，
由余弦定理
，则
，即
解得
（
舍去），故
，
（3）由正弦定理
，且
，
，
，
52
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得
，且
，则B 为锐角，
故
，故
，且
；
故
．
19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在
中，内角
，
，
所对的边长分别是
，
.
(1)求角
；
(2)若
，
，
，求AB 边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得，
，通过角的转化及两角和的正弦公
式化简即可求得
；
（2）根据余弦定理得到
的值，联立
可解得
，进而可判断
的形状，从而求
解.
【详解】（1）因为
，根据正弦定理得，
.
因为
，所以
，所以
，
所以
，因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）根据余弦定理得，
，将
，
代入上式整理得，
，
53
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又因为
且
，解得
，
，所以
，所以
为以AB 为斜边的直
角三角形，所以斜边AB 上的高为
.
20．（2026·北京密云·一模）在
中，
.
(1)求
；
(2)再从条件①条件②条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
､
､
存在，求
的面
积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按
第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)条件①：不存在这样的三角形；条件②：存在这样的三角形，
的面积
；条件③：存
在这样的三角形，
的面积
.
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）条件①，由
的值得到
的范围，结合
的值得到这样的三角形不存在；条件②，由
的值得到
的范围，利用同角关系式求出
，利用
结合两角和的正弦公
式求出
，利用正弦定理求出
，利用三角形的面积公式求出
；条件③，由
利用正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式求出
，利用正弦定理求出
54
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，利用同角关系式求出
，由
结合两角和的正弦公式求出
，利用三
角形的面积公式求出
.
【详解】（1）
，
，
，
，
.
（2）条件①，
，
，
，
，不符合题意，不存在这样的三角形；
条件②，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
条件③，
，其中
为
的外接圆的半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
55
解三角形中的最值或范围问题
考点5
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1．（2026·辽宁辽阳·一模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
，
的面积为
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．6
D．
【答案】C
【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得
，再结合
的面积为
可得
，进而根据基本不等式求解即可.
【详解】由
，根据正弦定理得，
，
则
，在
中，
，则
，即
，又
，则
，又
，则
，所以
，当且仅当
时等号成立，则
的最小值为6.
2．（2026·山东菏泽·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，
则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由条件根据余弦定理求
的表达式，利用基本不等式求
的最小值，再由同角关
系求
的最大值，利用三角形面积公式求结论.
【详解】由余弦定理可得
，又
，
，所以
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时等号成立，所以
，
又
，所以
，
，所以
的面积
56
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，
所以当
时，
的面积取最大值，最大值为
.
3．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）在
中，角
的对边分别为
外接圆的半
径为2，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
面积的最大值为
D．若
，角
的平分线交
于点
，则
【答案】BCD
【分析】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对
C，根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定理求出
，利用
三角形面积关系
，求出答案.
【详解】对于A，因为
，所以
，
所以
，又
，即
，则
，
又
，所以
，解得
，故
，故A 错误；
57
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对于B，因为
，
外接圆的半径
，所以
，故B 正确；
对于C，因为
，即
，
又
，所以
，得
，当且仅当
时，取等号，
所以
，即
面积的最大值为
，故C 正确；
对于D，由
结合
，解得
，
由
，即
，解得
，故D 正确.
4．（2026·河北保定·一模）已知
的内角
所对的边分别为
，
则
的内切圆面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
的内切圆半径为，利用
，把表示成关于
的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案.
【详解】由
，
，得
，
由余弦定理得
，整理得
.
设
的内切圆半径为，则
，所以
，
由余弦定理得：
，
得
，所以
，
58
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由基本不等式得：
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，故
，所以
的内切圆面积的最大值为
.
5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）在
中，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理边化角整理可得
，然后结合和差公式、基本不等式即可得解.
【详解】因为
，
所以
，整理得
，由正弦定理边化角得
，
若
，则
，不满足题意，故
.
又
，
所以
，整理得
，
则
，
易知，若
，则
，不合题意；当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最大值为
.
6．（2026·重庆·一模）在
中，
为边
上一点，
．当
面积最小时，
__________．
【答案】
59
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【分析】先将
的面积拆分为
和
的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，
利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三
角函数的性质求最值，进而得到此时的
.
【详解】
的面积
，由内角和得：
，
对
和
分别用正弦定理，结合
得：
，又
，因此：
，
展开化简得：
，
代入整理得：
最小等价于二次函数
（
）最大，
开口向下的二次函数顶点在
，即
，因此
.
7．（2026·山东青岛·一模）记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
则
的最小值为______
【答案】
/
【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出
，再换元应用判别式法
结合一元二次不等式计算求解最小值即可.
【详解】因为
，而
，
由正弦定理得
，
所以
.又因为
，
60
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设
，
，所以
.又
，
所以
，所以
，即
，
设
，所以
，即
有解，
所以
，解得
.
若
，则
与
中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故
.即有
，所以
，故
的最小值为
.
8．（2026·广东广州·一模）某公园里有一块边长分别为30 米，40 米，50 米的三角形草坪（记为
），点
，
在
的边上，线段
把草坪分成面积相等的两部分．如果沿
铺设灌
溉水管，则水管的最短长度为______米．
【答案】20
【分析】分别讨论
在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长
度.
【详解】由
，可得
是直角三角形，其面积
，
不妨设
，
①若
在
上，如图：
设
， 则有
，解得
，
，
即
，当且仅当
时等号成立；
②若
在
上，如图：
61
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设
， 则有
，解得
，
，即
，当且仅当
时等号成立；
③若
在
上，如图：
设
，则有
，解得
，
，即
，当且仅当
时等号成立；
因为
，所以
的最小值为20，即水管的最短长度为20 米.
9．（2026·山西临汾·一模）2026 年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器
人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器
人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O 沿
东偏北
方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定
机器人行走速度为
，则机器人行走2min 时距原点的最远距离是________m，最近距离是
________m.
62
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【答案】 30
【分析】借助余弦定理可用
与
表示出
，再利用二次函数性质与三角函数有界性即可得
最大最小值.
【详解】设改变方向的地点为M，终点为P，由于
，
所以
，
，
，
，
由余弦定理得
当
时，
，当
时，
，
结合二次函数的性质可知当
时，
取得最小值
；
由
，则
，
，
结合二次函数的性质可知当
或
时，
取得最大值
；
综上所述，
，最远距离是
，最近距离是
.
10．（2026·广东中山·一模）如图，在平面四边形
中，
，
，
．
63
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(1)若
，求
；
(2)求平面四边形
面积的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解.
（2）利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正
弦函数的性质求出范围.
【详解】（1）由
，得
，而
，
则
，
，由
，得
，
，则
，
，在
中，由正弦定理得
，所以
.
（2）由（1）知
，设
，
在
中，由正弦定理得
，
则
，又
，
因此四边形
的面积
64
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，由
，得
，
因此
，即
，
所以四边形
面积的取值范围是
.
11．（2026·陕西商洛·一模）在
中，内角
的对边分别是
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理得
，通过同角三角函数的基本关系求得
的值；
（2）利用基本不等式可得
，从而求出
的面积的最大值.
【详解】（1）由
，得
，
所以由余弦定理，得
，因为
中，
，所以
，
，所以
.
（2）由
和
，得
，
因为
，当且仅当
时取等号，所以
，
所以
，当且仅当
时取等号，所以
的面积
，
即
的面积的最大值为
.
65
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12．（2026·河北石家庄·一模）已知
中，内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)若
，求
的值；
(2)求角
的最大值，并判断此时
的形状.
【答案】(1)
(2)
，等边三角形
【分析】（1）利用正弦定理导出
；
（2）用余弦定理
结合基本不等式
可求出角
最大值，再根据等号
成立条件判断三角形形状.
【详解】（1）
中，由正弦定理得
（2）
中，由余弦定理得
，当且仅当
时，
等号成立，
的最大值为
，此时基本不等式等号成立，即
，
为等边三角形.
13．（2026·河北张家口·一模）在
中，内角
的对边分别为
，满足
．
(1)证明：
；
(2)若
，
，点
为边
上一点，
为
的平分线，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
66
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(2)
(3)
【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证；
（2）先计算
，利用二倍角余弦公式得
，再由
结合二倍角正弦公式
即可求解；
（3）由（1）有
，得
，又由正弦定理得
，利用锐角三角形
求出
的范围，进而求解.
【详解】（1）由
，利用正弦定理得：
，
又
，
所以
，所以
，
所以
或
，所以
或
（舍去）所以
；
（2）由
，所以
，
又
，所以
，又
，所以
，
又由
为
的平分线，所以
，
所以
，
所以
，
又由余弦定理得：
，
所以
，所以
；
（3）由（1）有
，又
，所以
，又由正弦定理得：
67
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，
又
为锐角三角形，所以
，
所以
，所以
，所以
.
14．（2026·河北邯郸·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，且
．
(1)求
；
(2)记
外接圆的面积为，若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用等差中项的性质及正弦边角关系有
、
，再应用余弦定理求
；
（2）由（1）及正弦定理求出
外接圆的半径，结合
求边长的范围.
【详解】（1）因为
成等差数列，所以
，又
，所以
．
设
，则
，则
．
（2）由（1）得
，则
外接圆的半径
，
则
，则
，
，则
的取值范围为
．
15．（2026·山东济宁·一模）在
中，内角
所对的边分别为
为
的角平分线，且
.
68
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(1)若
，求
的大小；
(2)当
取得最小值时，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到
，根据
得到方程，求出
，根据
余弦定理得到
，求出
；
（2）由
利用三角形面积公式可得
，根据基本不等式解出
的最小
值，应用取等条件求出三角形面积.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
因为
的角平分线交BC 于点D，所以
，
由
，得
，
则
，即
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，即
；
（2）由
，得
，
得
，化简得
，即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
取得最小值，
此时，
面积为
．
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16．（2026·广东梅州·一模）在
中，角
所对的边分别为
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为边
上一点，满足
，且
，求
的面积最大值.
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，化简得到
，求得
，
进而求得
的值；
（2）根据题意，得到
，得到
，结合向量的运算法则和基本不等式，
求得
，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理得
，所以
，
又因为
，可得
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，可得
，所以
，
又因为
，故
.
（2）因为
为边
上，满足
，
所以
，所以
，所以
，
70
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所以
，即有
，
即
，
所以
，所以
，即
，
当且仅当
时，即
时，取等号，
所以
，即
的面积最大值为
.
17．（2026·江苏镇江·一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
.
(1)求角
；
(2)若
恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据
及三角恒等变换即可求解；
（2）根据题意可得
恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为
，利用基本不等式求出最大值即可求出答案.
【详解】（1）由
，由正弦定理得，
，
又
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
，又
，所以
.
（2）
恒成立，即
恒成立，即求
的最大值，
71
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由余弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
，所以实数的最小值为
.
18．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所
在直线上一点．
(1)若
，AM 平分∠BAC，
，
，求
的周长；
(2)若
，且
，求
的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值
；最小值4
【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；
（2）根据三角形面积公式可得
，根据余弦定理化简可得
，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大
值，利用基本不等式可得最小值.
【详解】（1）由题意得
，所以
①。又
②
由①②解得
，所以
的周长为
；
72
正（余）弦定理正与向量、函数等知识
的交汇
考点6
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（2）∵
，又
，
∴
∴
当且仅当
，即
时取“
”，
又
，当且仅当
时取“
”，所以
的最大值
，最小值4．
1．（2026·山东聊城·一模）已知
中，
，D 是边
上一点，
，
，且
，则边
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
求出
，由
的值和
求出
，利用诱导
公式求出
和
，由
，利用两角差的正弦公式求出
的值，利用正弦定理求出
的值，由
得到
，计算出
的值，由
是边
上一点得到
，代入数值得解.
【详解】
，
，
，
，
73
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是边
上一点，
.
2．（2026·山东滨州·一模）在
中，已知
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合同角三角函数关系式，求得
，再根据余弦定理求
得
的长.
74
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【详解】因为
，所以由正弦定理
，
得
，所以
.因为
，所以
.
所以
，即
.又
，所以
，
整理得，
，即
因为
，所以
，所以
.所以
，所以
.
由余弦定理
，
得
，解得
.因为
，所以
.
3．（2026·河南南阳·一模）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
，
成等差数列，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
周长取值范围为
D．若
是
外接圆的圆心，则
和
面积之差的取值范围为
【答案】ABD
【分析】AB 利用正弦定理边角互化即可；C 利用正弦定理将周长用
来表示，求关于
的函数
的取值范围；D 利用正弦定理将面积差用
来表示，求关于
的函数的取值范围.
【详解】由题意得，
，
则由正弦定理得
，
75
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因为
，所以
，则
，则
，故A 正确；
因为
，所以
，
则
，因为
，所以
，故B 正确；
由
，即
，得
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，得
，则
，
因为
，所以
，
则
，故
，
故
周长取值范围为
，故C 错误；
设
的外接圆半径为
，
，则
，则
，
故
和
面积之差为
76
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，
因为
，所以
，则
，
故当
时，
；当
时
，当
时
，
故
和
面积之差的取值范围为
，故D 正确.
4．（2026·广东汕头·一模）
中，
，延长
到点
，使
，连接
．若
，则
的大小为_______.
【答案】
/
【分析】
，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得
，结合三角变换公式可得
，构建新函数
，其中
，根据该函数单调性可求
.
【详解】
不妨设
，因为
，故
，所以
，
故
，设
，则
，
77
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在
中，由正弦定理有
，
所以
，
所以
即
，
设
，其中
，
因为
，
，故
在
上为减函数，
而
在
上为减函数，故
在
上为减函数，
而
，故
有唯一解
，故
5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在圆内接四边形ABCD 中，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2，则四
边形ABCD 的面积为______．
【答案】
【分析】利用圆内接四边形对角互补，把四边形分成两个三角形利用余弦定理求解，利用三角形面
积公式只需求对角的正弦值即可.
【详解】如图连接
，因为四边形
为圆的内接四边形，所以
，
在
中，
，
，有
，
在
中，
，
，有
,
所以
，又
，解得
，
所以
，
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则
，
即
.
6．（2026·山东东营·一模）已知
的角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 向量
(1)若
求A；
(2)若
求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.
（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
所以
①.
又由正弦定理
，即
，代入①式，
可得
，整理得
，
又
，所以
，解得
.
（2）因为
，所以
，即
，又
，所以
.
79
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因为
，由余弦定理可得
，
即
，解得
或
（舍去）.故
.
7．（2026·宁夏银川·一模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求的最小值及
的面积.
【答案】(1)
(2)
;
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得；
（2）由向量数量积的定义求出
，利用余弦定理与基本不等式即可求得的最小值，根据三
角形面积公式求其面积.
【详解】（1）由
和正弦定理，
可得
，整理得
，
由余弦定理，
，因
，则
.
（2）由
化简得
，
由余弦定理，
，
当且仅当
时等号成立，即当
时，的最小值为
.
的面积为
.
8．（2026·福建龙岩·一模）已知函数
.
80
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(1)求
的单调递增区间；
(2)在
中，
，
，
的面积为
，求边
的长.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】（1）
，
令
，
，解得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
.
（2）因为
，又
为
的内角，则
故
，所以
，所以
.设角
所对边分别为
，
因为
，由正弦定理得
.①，因为三角形的面积为
，所以
.②
由①②解得：
，由余弦定理得
，所以
.
9．（2026·湖北荆州·一模）如图，在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
.
81
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(1)求b.
(2)若D 点满足
，
，求a.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得
，由
得
，结合正弦定理即可求解
；
（2）设
，则
，设
，则
，由正弦定理化简可得
，
结合二倍角公式解得
，求出
，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
即
，即
，
由
得，
，即
，进而由正弦定理得
；
（2）因为
，所以
，
设
，则由题意
，设
，则
，
则由正弦定理得
，消去x 得
，
所以
，又
，所以
，所以
，所以
，
由余弦定理得
，所以
.
10．（2026·四川广安·一模）在
中，角
的对边分别为
，若
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．
(1)求
的大小；
(2)如图所示，
为
外一点，
，
，
，求
外接圆的半径．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解；
（2）利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得.
【详解】（1）由
和正弦定理，得
，
因
，则
，即
，
代入化简得
，
则
，
，解得
.
（2）令
，
，在
中，由正弦定理得，
，
因
，则
①.
在
中，由正弦定理得，
,
因
,则
②,
由①②得，
,即
，
因为
，则得
，解得
，
，
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设
外接圆的半径
，由正弦定理，
.
11．（2026·广东佛山·一模）已知函数
，
，且
恒成立．
(1)求
的解析式；
(2)记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
的面积为
，
求
．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式.
（2）由（1）求出
，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解.
【详解】（1）由
，得
，而
，则
，
由
恒成立，得
，即
，
，
因此
，解得
，而
，则
，
所以
的解析式为
.
（2）由（1）得，
，而
，解得
，
由
，解得
，
由余弦定理得
，
由正弦定理
，得
．
12．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形
中，
，
．
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(1)证明：
；
(2)已知
，
的外接圆半径为
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可证明结论.
（2）设
，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用
表示出
的面积，再利用
导数求
面积的取值范围.
【详解】（1）在
中，
，
在
中，
，
因为
，所以
，且
，所以
.
（2）在
中，设
，
，
.
所以
或
，
，所有由三角形内角和可得
.
所以
设
，
，设
，则
，
所以
在
上单调递增,所以
.所以
面积的取值范围为
.
13．（2026·河北承德·一模）已知
内角
所对的边分别为
，且满足
，
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，面积
，动点
在边
上，
不重合且
．
(1)求角
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到
关系，代入面积公式求解；
（2）设
，将
表示出来，化简求最值.
【详解】（1）由
，
，得
，
即
，即
，
所以
，故
，因为
，
所以
，故在
中，
，因为
，所以
．
（2）不妨设点
靠近点
，
，设
，
则在
中，
，
在
中，
，
，
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设
，则
，故
，
因为函数
在
上单调递减，所以
时，
，故
的最小值为2．
14．（2026·山西临汾·一模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求角B；
(2)当
时，
的面积为S，周长为L，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用切化弦和两角和的正弦公式化简即可求出；
（2）利用余弦定理将目标转化为
，再结合正弦定理边角互化即可，再结合三角函
数的值域求出；或直接利用正弦定理边角互化，结合三角函数的值域求出.
【详解】（1）由题可得
，
即
因为
，
，所以
，即
，因为
，所以
.
（2）解法一：
，
，
由余弦定理可得：
，即
.
所以
，即
.
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，由正弦定理可得，
，
，
则
因为
，
，所以
，所以
，所以
解法二：由正弦定理可得，
，
，
则
，因为
，
，所以
， 所以
，
所以
.
15．（2026·河北承德·一模）已知
内角
所对的边分别为
，且满足
，
，面积
，动点
在边
上，
不重合且
．
(1)求角
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）根据已知条件边角互化，得到
关系，代入面积公式求解；
（2）设
，将
表示出来，化简求最值.
【详解】（1）由
，
，得
，
即
，即
，
所以
，故
，因为
，
所以
，故在
中，
，因为
，所以
．
（2）不妨设点
靠近点
，
，设
，
则在
中，
，
在
中，
，
，
设
，则
，故
，
因为函数
在
上单调递减，所以
时，
，故
的最小值为2．
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