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专题03 三角函数和解三角形
题型概览
题型01 三角函数
题型02 解三角形
三角函数
1．（2025·湖南岳阳·二模）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其轴截面是以A为顶点的等腰三角形，若
A ,B ,C分别是该三角形的三个内角，则tan B
3 +tan 2B
3 +tan B+tan B
3 tan 2B
3 tan B =（ ）
A．√3
B．2√3
C．0
D．1
2．（2025·湖南娄底·二模）tanπ
5 sin 2π
5 +sinπ
10 =（ ）
A．3
4
B．1
C．6
5
D．4
3
3．（2025·湖北武汉·二模）若tan(α +π
4 )=7，则cos2α的值为（ ）
A．7
25
B．3
4
C．12
25
D．4
5
4．（2025·湖南·二模）若cos10° =a，sin10° =b，则cos80°sin10°
sin20°
=（ ）
A．a
2b
B．b
2a
C．a
b
D．b
a
5．（2025·湖南·二模）若α ∈(0,π
2 ),sin(
π
6 −α)=−1
5，则cos(
π
6 +α)的值为（ ）
A．2√3−√6
10
B．2√3+√6
10
C．2√6−√3
10
D．2√6+√3
10
6．（2025·湖南·二模）若tanα =2tan β ,sin(α + β)= 1
3
，则sin(α −β)=（ ）
A．−1
9
B．1
9
C．2
9
D．−2
9
7．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量⃗a=(sin x ,√3cos x)，⃗b=(sin x ,sin x)，设函数f (x)=⃗a⋅⃗b．
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；
题
型
1
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(2)当x∈[0,π
2 ]时，t
2−5
2 t ≤f (x)，求实数t的取值范围．
8．（2025·湖南娄底·二模）已知函数f (x)=cos2 x，则（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =π
4 对称
B．f (x)在区间[−π
2 ,0]上单调递增
C．f (x)的最小正周期为2π
D．f (x)在点(0,1)处的切线方程为y =1
解三角形
9．（2025·湖南长沙·二模）已知△ABC的面积为6√3，A =60
∘，AB =3，B的内角平分线交边AC于点D，
则S△ABD
S△CBD
的值为（ ）
A．3
7
B．2
7
C．7
2
D．7
3
10．（2025·湖南岳阳·二模）设椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1的左右焦点分别为F1, F2，点P在椭圆上，
cos∠F1 P F2= 3
5 ,∠F1 P F2的平分线与x轴交于点A，则| PA |=（ ）
A．√3
B．2√3
C．3√10
4
D．3√5
4
题
型
2
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11．（2025·湖南·二模）已知ABC −A1B1C1是直三棱柱，a，b，c 分别是角A，B，C 的对边，且满足
bcosC +C cos B =asin A，a=√2bc =1，若三棱柱ABC −A1B1C1有内切球，则A A1=（ ）
A．2√2−1
B．√2−1
C．2√2+1
D．√2+1
12．（2025·湖南邵阳·二模）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c．若2 A = B+C，
a
sin A =
b
cosB
，则sinC = ．
13．（2025·湖南长沙·二模）在△ABC中，已知AB =2，AC =5，∠BAC =60°．
(1)求sin∠ACB；
(2)设BC，AC 边上的两条中线AM，BN 相交于点P，求cos∠MPN．
14．（2025·湖南娄底·二模）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a=2，
bsinC +c sin B =bcosC +c cos B．
(1)求△ABC的面积；
(2)若⃗AB⋅⃗AC =1，求bc的值．
3
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15．（2025·湖南·二模）已知在△ABC中，a，b，c 分别是角A，B，C 所对的边，且
√3bcos B+C
2
−asin B =0，a=1，D 为△ABC外一点.
(1)求角A；
(2)若A，B，C，D 四点共圆，求四边形ABDC面积的最大值.
16．（2025·湖南·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，且1+sin A
cos A
= 1+sin B
cosB
.
(1)判断△ABC的形状；
(2)设AB =1，且D是边BC的中点，求当∠CAD最大时，△ABC的面积.
4
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17．（2025·湖南岳阳·二模）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知向量⃗
m=(√3sinC ,−cos A)，⃗n=(a,c)，且⃗m⊥⃗n.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为√3，且b
2+c
2=2√3bc，求a.
18．（2025·湖南·二模）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且cosC
2a+c = 1
2b
.
(1)求B；
(2)若a=2,c =5，点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，求△ABD的面积.
19．（2025·湖北·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且满足
sin A (sin A −sinC)=sin
2( A +C)−sin
2C.
5
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(1)求B；
(2)若P为边AC上一点（异于端点），∠BPC =2∠A，求|AP|
|PC|的取值范围.
6
