文档文本内容
三角函数
考点1
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专题03 三角函数与解三角形
4 大考点概览
考点01 三角函数
考点02 三角恒等变换
考点03 解三角形小题
考点03 解三角形解答题
1．（2026·湖北黄冈·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】利用诱导公式 ，得：
，
故利用二倍角公式，得：
.
2．（2026·湖北黄冈·一模）函数
的图象关于点
对称，且直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，则正实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，求得最小正周期；根据正切函数
的对称性求得
，从而求得其最小值.
【详解】因为直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，
所以函数
的最小正周期为
，所以
，所以
.
由函数
的图象关于点
对称，
1
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得
，所以
.
所以正实数
的最小值为
.
3．（2026·湖北襄阳·一模）把函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解.
【详解】把函数
图象向右平移
个单位长度，得到
，再将
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，
纵坐标不变，得到
.
4．（2026·湖北孝感·一模）若点
是函数
的图象的一个对称中心，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数对称中心性质得
，
，然后利用诱导公式求值即可.
2
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【详解】因为点
是函数
的图象的一个对称中心，
所以
，
，即
，
，
所以
，所以
.
故选：D
5．（2026·湖北荆州·一模）已知
，设函数
的零点个数为
，
则
＝（ ）
A．120
B．210
C．75
D．240
【答案】A
【分析】先利用图象的交点求出当n＝1 时
的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及
得出数列
为等差数列即可求出.
【详解】
过点
，
则可作出
的图象.
当n＝1 时，作出
的图象，
因为
，故
的图象与
图象有3 个交点；
3
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注意到
的周期为4，
，
n 每增加1 个单位，
也增加
个单位（一个周期），则交点增加2 个，
故数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，
所以
.
6．（2026·湖北荆州·一模）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，则函数
的一个单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可求出
的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数
的单调递增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案.
【详解】由题意知将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，
故
，
令
，即
，
即函数
的单调递增区间为
，
当
时，
的单调递增区间为
，A 正确；
对于B，当
时，
，
4
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由于
在
上不单调，故
不是
的单调增区间，B 错误；
对于C，
时，
，
由于
在
上不单调，故
不是
的单调增区间，C 错误；
对于D，
时，
，
由于
在
上单调递减，故
是
的一个单调减区间，D 错误；
故选：A
7．（2026·湖北孝感·一模）已知函数
（
），且
．
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，求函数
在
上
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件先求解出
的值，然后求解出
，结合
时的导数值和函数值可求
切线方程；
（2）先求得
的解析式，再通过换元法求解出
的值域.
【详解】（1）因为
且
，所以
，所以
，
5
三角恒等变换
考点2
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所以
，所以
，
所以切线方程为
，即为
；
（2）由条件可知，
，
因为
，令
，
因为
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，所以
，
所以函数
在
上的值域为
.
1．（2026·湖北黄石·一模）（多选）已知函数
，则下列命题正确的有（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的最大值是2
C．若实数
使得方程
在
上恰好有三个实数解
，则
D．
是函数
的单调递减区间
【答案】BC
【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C 将函数数形结合，转化为交
点问题.
【详解】
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若函数图象关于点
对称，则
.但是
，所以A 错误；
因为
的最大值为1，所以
的最大值为
，所以B 正确；
方程
在
上恰好有三个实数解，即
在
有三个解，
此时
，对应的三个解为：
，则
，所以C 正确；
求
的单调递减区间：
，解得
，
所以D 错误.
2．（2026·湖北·一模）（多选）下列关于函数
的说法正确的有（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．要得到函数
的图象，只需将函数
的图象向左平移
个单位长度
C．函数
的图象关于点
中心对称
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换化简
，利用正弦型三角函数的性质逐项判断即可得答案.
【详解】
，
7
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所以
的最小正周期
，故A 正确；
函数
的图象向左平移
个长度单位得到函数
，故B 不正确；
对于函数
，由于
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故C 正确；
当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递增，故D 错误.
3．（2026·湖北荆州·一模）已知
，
（i 为虚数单位），则函数
的最大值为______.
【答案】
/
【分析】先根据复数的运算法则求出
的值，再将函数
化简，最后根据三角函数的性质求
出最大值即可.
【详解】因为
，整理得
，
所以
，解得：
，
，
所以
，
利用辅助角公式化简得
，
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又因为余弦函数
的值域是
，
所以当
时，
取得最大值，
即
.
故答案为：
.
4．（2026·湖北襄阳·一模）已知
，若
，且
，
则
_______．
【答案】
【分析】利用
，根据和差化积公式得
，即
可由万能公式求解.
【详解】．∵
∴
∴
,
由于
，故
，则
，
∴
∴
.
9
解三角形小题
考点3
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1．（2026·湖北十堰·一模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，
，则
（ ）
A．
B．20
C．16
D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】因为
，
，所以
.
由正弦定理可知，
，所以
，
，
又
，所以
，所以
.
由余弦定理知，
，所以
，即
.
又
，
所以
，所以
.
故选：D.
2．（2026·湖北孝感·一模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则边
上的中线长为（ ）
A．
B．
C．6
D．10
【答案】B
【分析】根据余弦定理和数量积的定义得
，然后利用中线向量表示及模的运算求解中
线长即可.
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【详解】
中，由余弦定理得
，
又
，所以
，所以
，记边
上的中点为M，
因为
，所以
，所以
.
故选：B
3．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全
完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底
同一
水平面内共线的三个点
，
，
，且在点
，
，
处测得塔顶端
的仰角分别为
，
，
，同时测得
，
（如下图），则塔的高度为________
.
【答案】60
【分析】设
，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可.
【详解】由题设
，
设
，则
，
在
中，由余弦定理有
，
故
，同理
，
而
，故
，
所以
，故
，
11
解三角形解答题
考点4
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故
.
1．（2026·湖北荆州·一模）如图，在
中，
，
，D，E 分别是边
，
的中
点，且
.
(1)求
的面积；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设
，由题意列方程可求出
的值，根据三角形面积
公式，即可求得答案；
（2）求出
，根据三角形面积求解，即可得答案.
【详解】（1）以点A 为坐标原点，
为x 轴，过点A 作垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，
则
，设
，由于
，则
，
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则
，故
，
而
，故
，
即
，即
，
结合
，得
，即得
，则
，
故
的面积为
；
（2）结合（1）的分析可知
，
的面积为
,则
，即
,
故
.
2．（2026·湖北·一模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
的面积为
，
是线段
上一点，且
.
(1)求角
；
(2)若
，
平分
，求
.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得
，故可求
；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于
的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求
.
【详解】（1）由条件
，利用正弦定理可得
，
因为
，所以
，
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代入上式：
，
整理得：
，又
，
故
即
，又
，所以
.
（2）由三角形面积公式知
，可得
，
又
，由余弦定理
，得
，
于是可得
或
.
因为
平分
，由角平分线性质，
，
且
，所以
故
的长度为
或
.
3．（2026·湖北黄冈·一模）在
中内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得
的值，可求
；
（2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得
，进而利用正弦定理可求得
，
进而可求
的面积．
法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得
，利用正弦定理可求得
，进而利用
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可求解.
【详解】（1）由正弦定理知
．
∴
，∵
，∴
，
∴
，
，∴
．
（2）法一：由（1）知
，
，∴
．
∴
，∴
，∴
．
法二：由（1）知
，
，∴
．
由正弦定理可得
．
∴
．
4．（2026·湖北荆州·一模）如图，在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
.
(1)求b.
(2)若D 点满足
，
，求a.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得
，由
得
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，结合正弦定理即可求解
；
（2）设
，则
，设
，则
，由正弦定理化简可得
，
结合二倍角公式解得
，求出
，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
即
，即
，
由
得，
，
即
，进而由正弦定理得
；
（2）因为
，所以
，
设
，则由题意
，设
，则
，
则由正弦定理得
，消去x 得
，
所以
，又
，所以
，所以
，所以
，
由余弦定理得
，所以
.
5．（2026·湖北黄石·一模）在
中，角
的对边分别
，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）利用倍角公式进行化简，结合
的范围，得出
，即得角
；
（2）通过
进行变量代换，借助余弦定理得出
的值，再利用面积公式即得面积.
【详解】（1）由
，
得
，
即
，因为
，
所以
，
即
，
故
（舍）或
，
由于
，所以
.
（2）
，由
，
得
，又
，
所以
，
解得
或
（负值舍），故
，
又由（1）知
，
故
的面积为
.
6．（2026·湖北襄阳·一模）在
中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，M 为边BC 所
在直线上一点．
(1)若
，AM 平分∠BAC，
，
，求
的周长；
(2)若
，且
，求
的最大值和最小值．
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【答案】(1)
(2)最大值
；最小值4
【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；
（2）根据三角形面积公式可得
，根据余弦定理化简可得
，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大
值，利用基本不等式可得最小值.
【详解】（1）由题意得
所以
①
又
②
由①②解得
，所以
的周长为
；
（2）∵
，
又
，∴
∴
当且仅当
，即
时取“
”，
又
，当且仅当
时取“
”，
所以
的最大值
，最小值4．
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