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专题05 三角函数与解三角形
题型概览
题型01 三角计算公式
题型02 三角函数图像
题型03 三角函数性质
题型04 三角函数实际应用
题型05 三角函数综合问题
题型06 解三角形
三角计算公式
1．（2025·四川·一模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
.
【答案】
【分析】利用三角函数的定义先计算
，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】由题意可知
，
所以
，
故答案为：
2．（2025 四川眉山一模）已知
，
，则
.
【答案】
【分析】由
，可知
，再结合
，及
，可求出
题型01
1
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答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
．
故答案为：
.
3．（2025 四川泸州泸县一诊）计算：
【答案】
【分析】切化弦，通分后结合二倍角和两角和差正弦公式可化简求得结果.
【详解】
.
故答案为：
.
4．（2025 四川一模）方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将原式配方得
，解出
的值，写出值即可.
2
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【详解】原方程可化为
,即
,
.
故选：C.
5．（2025 四川攀枝花一模）经过两点
的直线的倾斜角为
，则
的值为
（ ）
A．-2
B．1
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】经过两点
的直线的斜率为
，
又直线的倾斜角为
，所以
，解得
.
故选：B.
6．（2025·四川泸州泸县一诊）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦展开式和三角函数化简求值得出.
【详解】
，
所以
，
所以
，
解得
．
故选：D
3
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7．（2025·四川泸州泸县一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.
【详解】由
，得
.
故选：C
8．（2025·四川宜宾·一模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】由
得
，
，
，即
，
解得
或
，
，
，
.
故选：C.
9．（2025·四川眉山·一模）若钝角满足
，则
.
【答案】5
4
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【分析】根据为钝角易得
，进而结合正切的二倍角公式求解即可.
【详解】由题意，
，则
，所以
，
由
，解得
.
故答案为：5.
10．（2025·四川德阳·一模）已知
，
则
【答案】
【分析】通过已知条件和和差角公式求出
，然后利用二倍角公式求出答案.
【详解】由
，得
，
由
，得
，
解得
，
，
所以
，
所以
.
故答案为：.
11．（2025·四川眉山·一模）（多选）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角
三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、
，其中小
5
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正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．每一个直角三角形的面积为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可.
【详解】如图：
设
，
，则
，所以
.
所以
，
.
对于A 选项：每个直角三角形的面积为：
，故A 正确；
6
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对于B 选项：
，故B 错误；
对于C 选项：
，故C 正确；
对于D 选项：
，故D 正确.
故选：ACD
12．（2025·四川眉山·一模）求值
.
【答案】/
【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：
13．（2025 四川内江一模）已知，
，
，则
的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两角和的余弦展开式化简可得
的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式
可得答案.
【详解】由
，
得
，
7
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因为，
，所以
，且
，
，
当且仅当
取等号.
故选：C.
14．（2025 四川仁寿一模）已知
，
，则sin（α＋β）=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别对已知两个等式两边平方相加，化简后利用两角和的正弦公式可求得结果.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
，
两式相加可得：
，
所以
，
8
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所以
，解得
，
故选：C.
15．（2025·四川泸州·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用差角正切公式列方程求得
，再由倍角正弦公式及齐次式化弦为切求值.
【详解】由
，
而
，可得
，
所以
.
故选：A
16．（2025·四川绵阳·一模）已知为第一象限角，且
，则
（ ）
A．9
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两角和的正切公式结合已知条件可求出
，再结合二倍角公式化简求值，即
可得答案.
【详解】由题意知为第一象限角，且
，
9
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故
，解得
或
（舍去），
则
，
故选：B
17．（24-25 高三上·四川雅安·一模）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】用换元法设
，化简方程求出
，进而得出的正余弦值，化简
即可得出结论.
【详解】由题意，
，设
，即
，
∵
，∴
，
即
，
∵
，∴
，
10
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∵
，得
，则有
，
由
，
，解得：
，
∴
，
，
∴
.
故选：C.
【点睛】思路点睛：
由
，
，设
，由已知得
，求出
，而
即可得出结论.
三角函数图像及变换
18．（2025 四川泸州泸县一诊）将函数
的图象向右平移个单位，得到函数
的图
象，则函数
的一条对称轴方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换及诱导公式结合三角函数的性质即可判定.
【详解】由题意得
题型02
11
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显然由
，
当
时，
是其一条对称轴，而B、C、D 三项，均不存在整数满足题意.
故选：A
19．（2025 四川一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
在
上单调递增
C．
在
上有2 个零点
D．把
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【分析】根据诱导公式化简
，则可判断A 选项；整体代入法计算
的范
围可判断BC 选项；由图象的平移可判断D 选项.
【详解】函数
．
选项A：
，
，故
最大值为2，A 正确；
选项B：
时，
，
不单调递增，故B 错误；
12
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选项C：
时，
，可知当
以及
时，即
以及
时，
在
上有2 个零点，故C 正确；
选项D：
的图象向左平移
个单位长度，得到
，不关于原
点对称，故D 错误.
故选：AC．
20．（2025·四川雅安·一诊）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算
，再根据和角公式计算
即可.
【详解】因为
，
又
，即
，则
，
所以
，
故
.
故选：D
21．（24-25 高三上·四川绵阳·一模）函数
且
的所有
零点的和等于 .
【答案】0
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【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数
和函数
的图象，利用奇函数性质即
可得出结果.
【详解】由
可得
，
易知函数
和函数
都为奇函数，
在同一坐标系下作出两函数在
内的图象，如下图所示：
所以两函数图象交点都关于原点成中心对称，
因此函数
且
的所有零点的和等于0.
故答案为：0
22．（2025·四川·一模）（多选）已知函数
的最小正周期为，则
（ ）
A．
的最大值为2
B．
在
上单调递增
C．
的图象关于点
中心对称
14
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D．
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到
【答案】ACD
【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图
象变换一一判定选项即可.
【详解】易知
，其最小正周期为
，
所以
，即
，显然
，故A 正确；
令
，
显然区间
不是区间
的子区间，故B 错误；
令
，则
是
的一个对称中心，故C 正确；
将
的图象向右平移
个单位得到
，
故D 正确.
故选：ACD
23．（2025 四川眉山一诊）已知函数
的部分图象如图所示，
则
（ ）
15
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A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】由图可知
，即
，又
，所以
，
又
关于
对称，且
，
因为
且
，所以
，解得
，所以
，
所以
，解得
，所以
，
所以
.
故选：A
24．（2025 四川一模）（多选）已知
，
，是函数
的
两个零点，且
的最小值为，若将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的图象关
于原点对称，则
的可能值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】ABC
【分析】由已知得函数
的周期，求出，再利用图像的平移变换规律写出函数
平移后的
解析式，再利用函数关于原点对称，列出等式即可得到结果.
【详解】由题意知函数
的最小正周期
，
则
，得
，所以
.
将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
的图
象，
要使该图象关于原点对称，则
，
，
所以
，
，又
，
所以当
时，
为
；
当
时，
为；
当
时，
为
；
故选：ABC
25．（2025 四川仁寿一模）（多选）已知函数
的部分
图象如图所示，其中
，
，则（ ）
17
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A．
B．
C．
在
上单调递增
D．
在
上恰有10 个零点
【答案】ABD
【分析】先根据图象求出函数
的解析式，即可判断AB；再利用整体代入的思想结合正弦函数
的性质判断CD.
【详解】由图可知，
，
，即
，
又
，则
，故A 正确；
此时
，
又
，且
，则
，故B 正确；
此时
，
当
时，
，
因为函数
在
上不单调，
所以
在
上不单调，故C 错误；
18
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当
时，
，
因为函数
在
上有10 个零点，
所以
在
上恰有10 个零点，故D 正确.
故选：ABD.
26．（2025·四川内江·一模）函数
的部分图象如图所示，
若
、
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用图象求出函数
的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出
的值，代值计
算可得出
的值.
【详解】由图可知，函数
的最小正周期为
，则
，
所以，
，
19
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因为
，且函数
在
附近单调递减，
所以，
，解得
，
又因为
，所以，
，则
，
因为
，可得
，
所以，
，
因为
、
，则
，
，
因为
，则
，所以，
，
故
.
故选：C.
27．（24-25 高三上·四川雅安·一模）将函数
图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到
函数
的图象，若点
被变换成了点
，且
，
则
的所有可能值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
20
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【分析】通过函数的伸缩变换得
，结合其正弦值以及
的范围即可得结果.
【详解】由题意得
，所有点经过平移和伸缩变换得到函数
，
点
被变换成了点
，
即先变换为
，再变换为
，即
，
所以
，即
或
,
又因为
，所以
或
，
则
的所有可能值之和为
，
故选：A.
28．（2025 四川内江一模）（多选）已知函数
，若将
的图象向右平移
个单位后，
再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
21
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D．
的图象与
的图象在
内有4 个交点
【答案】BD
【分析】根据函数图象的变换可得
，即可代入验证求解ABC，作出两个函数的图
象即可求解D.
【详解】
的图象向右平移
个单位后，可得
，
进而可得
，故A 错误，
对于B，
，故B 正确，
对于C，
，故
不是
的对称轴，故C 错误，
对于D，分别作出
与
在
内的图象，可知有4 个交点，故D 正确，
故选：BD
29．（四川省眉山第一中学2025 届高三一诊模拟考试数学试题）（多选）已知函数
的图象是
由函数
的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
22
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C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
【答案】AD
【分析】用二倍角公式化简
，向右平移后得
，代入正弦函数的
单调区间、对称轴、对称中心分别对四个选项判断即可.
【详解】对于A，因为
，
向右平移个单位得
，
则最小正周期为
，故A 选项正确；
对于B，当
时，
，
由于
在
不单调，故
在
上不单调，
故B 选项错误；
对于C，
时，
，即
的图象不关于直线
对称，C 选项错误；
对于D，令
，解得
，
所以函数
的对称中心为
，
，
时，即为
，故D 选项正确.
故选：AD.
30．（2025·四川南充·一模）已知函数
的图象关于直
23
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线
对称，若方程
在
上恰有两个实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在
上的单
调性，求出端点函数值与最大值，依题意
与
在
上恰有两个交点，即可求出参数
的取值范围.
【详解】因为
（其中
），
又函数
的图象关于直线
对称，且
，
所以
，解得
，
所以
，
当
时，则
，
令
，解得
，且
，
令
，解得
，且
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
，
，
24
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因为方程
在
上恰有两个实数根，即
与
在
上恰有两个交点，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：C
31．（2025·四川雅安·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的图象关于点
对称
C．将
的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为
D．
【答案】BD
【分析】利用正切函数的图象的性质逐项计算可判断每个选项的正误.
【详解】由
，可得函数
的最小正周期为
，故A 错误；
由
，可得
，
所以
的图象关于点
对称，
当
时，可得对称中心为
，故B 正确；
25
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将
的图象向左平移个单位得到
的图象，故C 错
误；
，
又
在
上单调递增，
，
所以
，即
，故D 正确.
故选：BD.
三角函数性质
32．（2025·四川泸州·一模）若函数
在
上单调递增，则的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦型函数单调性求参数范围即可.
【详解】由题设
，则
在
上递增，
所以
，又
，故
.
故选：B
33．（2025 四川仁寿一模）已知函数
，若
为偶函数，且
在区
题型03
26
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间
内仅有两个零点，则的值是 ．
【答案】2
【分析】根据偶函数的性质，求得
，
，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求
解.
【详解】
为偶函数，
所以
，
，得
，
，
当
时，
，
在区间
内仅有两个零点，
所以
，解得：
，所以
.
故答案为：2
34．（2025·四川宜宾·一模）
是函数
在
上有零点的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出函数
的导数，令
，根据
，得到当
时
在
无零点，
即
是函数
在
上有零点的不充分条件；分别讨论当
，
时函数
在
上是否有零点，得到
是函数
在
上有零点的必要条件.
【详解】由
知，
27
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，
令
，则
，
，
，
，
作出函数
，
的图象如下图，
当
时，
，
在
单调递增，
又
，
在
无零点；
，
是函数
在
上有零点的不充分条件；
当
时，
，
在
单调递减，
又
，
在
无零点；
当
时，当
时，
，
故存在唯一的
，使得
，
28
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且
时
，
时
，
在
单调递减，
在
单调递增，
而
，
，
若
即
，则
在
无零点；
若
即
，则
在
有一个零点；
综上，当
时，
在
无零点；
当
时，
在
有一个零点；
当
时，
在
无零点；
而当
时，不管
在
有无零点，
当函数
在
上有零点时都有
，
是函数
在
上有零点的必要条件.
是函数
在
上有零点的必要不充分条件.
故选：B.
35．（2025 四川眉山一诊）已知函数
，若
为偶函数；且
在区间
内仅有两个零点，则的值是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．8
29
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【答案】A
【分析】根据偶函数的性质，以及根据余弦函数的零点，列式求的值.
【详解】
，为偶函数，
所以
，
，
，
，
当
，
，因为
在区间
内仅有两个零点，
所以
，得
，则
.
故选：A
36．（2025·四川内江·一模）（多选）已知
，则下列不等关系正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用正切函数的基本性质可判断A 选项；推导出
，结合函数
的单调性可判断B 选项；利用函数
在
上的单调性可判断C 选项；利用基
本不等式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，则
，
所以，
，故
，A 对；
30
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对于B 选项，因为
，则
，所以，
，
因为函数
在
上为增函数，
所以，
，即
，B 对；
对于C 选项，构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，所以，
，
即
，即
，故
，C 对；
对于D 选项，因为
，
所以，
，D 错.
故选：ABC.
37．（2025·四川·一模）（多选）
，
，下列说法正确的是（ ）
A．有1 解
B．有2 解
C．
D．
，将
向右平移
个单位得到
，
为奇函数
【答案】AD
31
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【分析】令
原方程可化为
，
结合余弦函数性质判断方程的解，判
断AB，由条件结合关系
利用两角和正弦公式求结论，判断C，根
据函数图象变换结论求
，结合奇函数定义判断D.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
，
，
当
时，函数
单调递减，且
，
当
时，函数
单调递增，且
，
又
，
所以存在唯一的
，满足条件
，
即存在唯一的
，满足条件
，
即
，
只有一个解，A 正确，B 错误；
因为
，
，
结合选项A 知，
，
32
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所以
，
，
所以
，C 错误；
将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，
所以
，
函数
的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以函数
为奇函数，D 正确；
故选：AD.
38．（2025·四川·一模）若
是函数
的一个极大值点，则
．
【答案】
【分析】先根据已知求出导函数再应用极大值点计算求参，最后计算求解函数值.
【详解】因为函数
，所以
，
因为
是函数
的一个极大值点，所以
，
所以
，计算得
，
33
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则
．
故答案为：
.
39．（2025·四川内江·一模）若函数
为奇函数，则实数m 的值为 ．
【答案】2
【分析】根据函数是定义在R 上的奇函数，应用
计算求参.
【详解】函数
为定义在R 上的奇函数,
所以
，所以
.
故答案为：2.
40．（2025·四川绵阳·一模）（多选）已知函数
在
上有且仅有4 个零点，则（ ）
A．
B．令
，存在，使得
为偶函数
C．函数
在
上可能有3 个或4 个极值点
D．函数
在
上单调递增
【答案】ABD
34
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【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到
，根据
在
上有且仅有4
个零点，可确定
，进而解得
，再根据其范围结合函数图象和平移知
识等逐一判断即可.
【详解】
对于A，
，
， 因为
在
上有且仅有4 个零点，
所以
，解得
，∴
，故A 正确；
对于B，
，
为偶函数，则
，即
，
∵
∴取
，
为偶函数,满足题意，故B 正确；
对于C，
，
，
∵
，
，
∴函数
在
上可能有4 个或5 个极值点， 故C 不正确；
对于D，若
，则
，
∵
，∴
，
35
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∴函数
在
上单调递增. 故D 正确；
故选：ABD.
三角函数实际应用
41．（2025·四川宜宾·一模）如图，一张圆形纸片的直径
，现对折成半圆，取半圆弧上的
三等分点
，现沿边将
裁剪，剪去两个全等且关于线段
的中垂线对称的
与
，展开得到一个镂空的图案.若
，则两个镂空的四边形
和
面积之和的最小值为
【答案】
【分析】据题意，设圆的半径为，
，由正弦定理将
表示出来，代入面积公式，
得到
面积取最小值，即可可求解面积之和.
【详解】设圆的半径为，
，
由于
是半圆的三等分点，故
，所以
，
在
中，由正弦定理可得
，
题型04
36
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所以
，
在
中，由正弦定理可得
，
所以
，
因为
的面积
，
由于
，则
，故
时，即
时，
的面积的最小值为
，
故四边形
和
面积之和为
,
故答案为：
．
三角函数综合问题
题型05
37
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42．（2025·四川泸州·一模）已知函数
，
(1)求不等式
的解集；
(2)将
图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到
的图象，求曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形面积．
【答案】(1)
且
；
(2)
.
【分析】（1）根据三角函数的单调性解不等式求解集即可；
（2）由题意得
，利用导数求切线方程并确定与坐标轴交点，即可求三角
形面积.
【详解】（1）由题设
，则
，
所以
且
，可得
且
，
所以解集为
且
.
（2）由题意
，则
，
所以
，
，
38
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所以曲线
在点
处的切线为
，
显然切线过
，故其与坐标轴围成的三角形面积为
.
43．（2025 四川什坊一模）设函数
．
(1)求函数
的值域和单调递增区间；
(2)当
，且
时，求
的值．
【答案】(1)值域是
；单调递增区间为
，
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解；
（2）利用函数值的定义及同角三角函数的平方关系注意角的范围，结合正弦的二倍角公式即可求
解.
【详解】（1）
，
易知函数
的值域是
；
令
，
，解得
，
，
所以函数
的单调递增区间为
，
；
（2）由
，得
，
39
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因为
，所以
，
所以
，
所以
．
．
44．（2025 四川泸州泸县一诊）已知函数
（其中
，
）的最小正
周期为，且___________.
①点
在函数
的图象上；
②函数
的一个零点为
；
③
的一个增区间为
.
请你从以上三个条件选择一个（如果选择多个，则按选择的第一个给分），补充完整题目，并求解
下列问题：
(1)求
的解析式；
(2)用“五点作图法”画出函数
一个周期内的图象.
【答案】(1)无论选哪个条件，函数
的解析式均为
.
(2)答案见解析
【分析】（1）若选①，则
，若选②，则
，
40
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若选③，则
，由此求出分别求出
即可得解.
（2）直接用“等距法”按照五点画图的步骤作图即可.
【详解】（1）由题意最小正周期为
，解得
，所以
，
若选①，则
，所以
，
又
，所以
，
所以函数
的解析式为
；
若选②，则
，所以
，
又
，所以
，
所以函数
的解析式为
；
若选③，即
的一个增区间为
，
当
时，
，
又
，
由复合函数单调性可知，只能
，
41
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，所以函数
的解析式为
；
综上所述，无论选哪个条件，函数
的解析式均为
.
（2）列表如下：
0
0
1
0
0
描点、连线（光滑曲线）画出函数
一个周期内的图象如图所示：
45．（2025·四川·一模）在
中，内角
所对的边分别是
，
．
(1)求
外接圆半径
；
(2)若
为等腰三角形，
所在平面内有一点，满足
为
内部一点，求
的最小值．
【答案】(1)
或
42
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(2)
【分析】（1）讨论，由条件结合余弦定理求，再由正弦定理求外接圆半径；
（2）取
的中点，化简向量关系式证明点在
上，根据向量的线性运算法则及数量积的性质
可得
，为线段
的中点，再求
的最小值可得结论.
【详解】（1）当
时，由
，可得
，
由余弦定理可得
，又
，
所以
，故
，
所以
的外接圆半径
，
当
时，由
，可得
，
由余弦定理可得
，又
，
所以
，故
，
所以
的外接圆半径
，
（2）因为
为等腰三角形，
由（1）可得
，
因为
，
43
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所以
，
过点作
，垂足为，取
的中点，连接
，
则
，
，
所以
，
所以点在直线
上，
取线段
的中点，
则
，
因为
，
所以
，
设点到
的距离为，则
，
又
，则
，
所以
，又为线段
的中点，
所以点到
的距离为
，
所以
，
44
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所以
的最小值为
．
46．（2025 四川泸州泸县一模）在
中，已知
.
(1)求；
(2)记为
的重心，过的直线分别交边
于
两点，设
.
（i）求
的值；
（ii）若
，求
和
周长之比的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）借助三角形内角关系及两角和的正切公式化简并计算即可得；
（2）（i）设为
的中点，结合重心的性质及向量运算可得
，再利用三点共
线定理即可得解；（ii）由题意可得
为等边三角形，可设其边长为1，则可用
表示两三角
形周长之比，结合（i）中所得与基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题可知
，
45
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又
，所以
；
（2）（i）设为
的中点，则
，
又因为
，所以
，
因为
三点共线，所以
，所以
；
（ii）由
，
，可得
为等边三角形，
设
的边长为1，
与
周长分别为
，则
，
，所以
，
所以
，
由
可得，
（当且仅当
时等号成立），
解得
，易知函数
在
上单调递增，
所以
，
所以
和
的周长之比的最小值为.
解三角形
47．（2025·四川眉山·一诊）已知钝角
的面积是，且
，
，则
．
题型06
46
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【答案】
【详解】三角形面积公式为
,所以
，若为钝角时，则
,由余弦定理，
，解得
；若为锐角
时，则
，由余弦定理，
，解得
，此时，
为直角边1 的等腰直角三角形，不符合题意．综上，
.
48．（2025·四川什坊·一模）在
中，
分别是角
的对边，且
，则角的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】由余弦定理、基本不等式得出
的范围即可得解.
【详解】
，
当且仅当
，即
为等边三角形时，
，又
．
故答案为：
.
49．（2025 四川内江一模）在
中，角、、所对的边为、、，已知
.
(1)求角的值；
47
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(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出
的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得
的值，再利用余弦定理可求得
的值，即可求得该三角形
的周长.
【详解】（1）由余弦定理可得
，且
，故
.
（2）由三角形的面积公式可得
，可得
，
由余弦定理可得
，
故
，
因此，
的周长为
.
50．（2025·四川南充·一模）在
中，内角A，B，C 所对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
48
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(2)
【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得
，进而得到
，
进而求解；
（2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为
，
在
中，
，即
.
（2）由（1）知，
，
所以
，
即
，所以
，
又
，即
，
所以
的周长为
.
51．（2025·四川绵阳·一模）记
内角，，的对边分别为，，．已知
，则
．
【答案】
【分析】结合三角形内角和、诱导公式与余弦定理计算即可得解.
【详解】由
，故
，
则
，故
.
49
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故答案为：
.
52．（2025 四川眉山一模）在平面四边形
中，
，
，
，
.
（1）求
；
（2）若
，求
.
【答案】（1）
；（2）.
【分析】（1）方法一：根据正弦定理得到
，求得
，结合角的范围，利
用同角三角函数关系式，求得
；
（2）方法一：根据第一问的结论可以求得
，在
中，根据余弦定
理即可求出．
【详解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方关系
在
中，由正弦定理得
，代入数值并解得
．又因为
，所
以
，即
为锐角，所以
．
［方法2］：余弦定理
在
中，
，即
，解得：
，所以，
50
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．
［方法3］：【最优解】利用平面几何知识
如图，过B 点作
，垂足为E，
，垂足为F．在
中，因为
，
，所以
．在
中，因为
，则
．
所以
．
［方法4］：坐标法
以D 为坐标原点，
为x 轴，
为y 轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）．
设
，则
．因为
，所以
．
从而
，又是锐角，所以
，
．
（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理
51
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在
，由（1）得，
，
，所以
．
［方法2］：【最优解】利用平面几何知识
作
，垂足为F，易求，
，
，由勾股定理得
．
【整体点评】（1）方法一：根据题目条件已知两边和一边对角，利用正弦定理和平方关系解三角
形，属于通性通法；
方法二：根据题目条件已知两边和一边对角，利用余弦定理解三角形，也属于通性通法；
方法三：根据题意利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
方法四：建立坐标系，通过两点间的距离公式，将几何问题转化为代数问题，这是解析思想的体现．
（2）方法一：已知两边及夹角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．
方法二：利用几何知识，解直角三角形，简单易算．
53．（2025·四川眉山·一诊）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求；
(2)若
，
，求
的面积．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得
，从而确定角.
（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.
【详解】（1）由
得
，而为三角形内角，
故
,得
，而为三角形内角，
或
（2）由
得
，
52
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又
，∴
， ，故
，
由（1）得
，故
，
∴
，而为三角形内角， ∴
.
又
即
，
又
，而为三角形内角，故
，
.
54．（2025·四川·一模）已知
的内角，，的对边分别为，，，且
.
(1)求角；
(2)若
的平分线交边
于点，且
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边结合余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理先计算
与
，再根据三角形内角和计算
，利用正弦定理得c，由面
积公式计算即可.
【详解】（1）因为
，
53
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所以
，则
，
所以
，
因为
，所以
；
（2）根据题意及余弦定理有
，
所以
，
则
，
根据正弦定理有
，
所以
.
55．（2025·四川眉山·一模）已知
的内角A，B，C 的对边分别为，，，且
.
(1)求的大小；
(2)若
的面积为
，求
外接圆的直径.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得
，设
，
，进而
结合余弦定理即可求解；
54
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（2）结合题意，由三角形的面积公式可得
，进而（1）所设，求出
，进而结
合正弦定理求解即可.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
不妨设
，
，
则由余弦定理得，
，
又
，则
.
（2）设
外接圆的半径为
，
由题意，
，即
，
由（1）知，设
，
，
则
，解得
，
则
，所以
，
则
外接圆的直径为
.
56．（2025 四川仁寿一模）已知在
中，内角，，所对的边分别为，，，
.
(1)求角；
55
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(2)已知直线
为
的平分线，且与
交于点
，若
，
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据同角三角函数关系式可得解；
（2）根据余弦定理及三角形面积列方程，解方程可得
，即可得周长.
【详解】（1）在
中，由正弦定理可知
可转化为
，
即
，
即
，
，
由在
中，
，
则
；
（2）在
中，
由
，
即
，
又直线
为
的平分线，
则
，
56
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所以
，
即
，
又由余弦定理可得
，即
，
可知
，
解得
或
（舍），
所以
的周长为
.
57．（2025·四川宜宾·一模）已知函数
，在锐角
中，内
角
的对边分别为
，且
.
(1)求；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可得
，即可根据三角函数的性
质求解
，
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（2）根据余弦定理可得
，
，即可代入得
，
利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由
可得
，
由
得
，故
或
，
解得
或
，
，
结合为锐角，故
（2）
，
由于
为锐角三角形，由余弦定理可得
，即
，
故
，
令
，则对称轴为
，
故当
时，
取最小值
，
，
58
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故
58．（2025·四川内江·一模）在
中，，，分别为内角
所对的边，且满足
．
(1)求；
(2)若
，求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解即可；
（2）利用余弦定理可得
，再结合不等式
可得
，即可得结果.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
且
，即
，
又因为
，则
，
可得
，即
，所以
.
（2）由余弦定理可得：
，
即
，可得
，
59
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又因为
，可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
周长的最大值为
.
59．（2025·四川雅安·一模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A 的大小；
(2)若
的外接圆半径为4，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据正弦定理将等式化简约分，可求得
，即可求得结果；
（2）结合第（1）问及余弦的和角公式，得到
，利用正弦定理化简得
，求出
三角形面积即可.
【详解】（1）
根据正弦定理的变形公式可得
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，则
，即
；
60
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（2）因为
，所以
，
则
，即
，
又
，所以
，
因为
的外接圆半径为
，
所以由正弦定理可得
，
所以
，
所以
.
60．（2025·四川德阳·一模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
的面积
(1)若
，求b 的值；
(2)求内角C 取得最大值时
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式与条件得到
，再利用余弦定理求得，从而得解；
（2）利用余弦定理与基本不等式求得内角C 取得最大值时
的值，再利用三角形面积公式即
可得解.
61
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【详解】（1）依题意，得
，则
，
又
，
所以
，从而
，
所以
.
（2）在
中有
，
当且仅当
，即
时取等号，则
，
又
，所以
，故当内角C 取得最大值时，
取得最小值，
此时，
，
，则
，
所以
.
61．（2025·四川泸州·一模）设
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求；
(2)若
的最大值为
，求的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用正弦边角关系及差角正弦公式得
，结合三角形内角性质
62
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求角A 的大小；
（2）根据正弦边角关系及倍角余弦公式可得
，结合（1）及三
角恒等变换有
，最后根据正弦型函数性质及已知求边长.
【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有
，
所以
，
整理得
，即
，
显然
不合题设，则
，
所以
，而
，可得
.
（2）由
，可得
，
，
所以
，
由（1）知：
，则
，
由
，则
，又
的最大值为
，
所以
，可得
（负值舍），
综上，
.
63
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62．（24-25 高三上·四川雅安·一模）已知
的面积
．
(1)求证：
；
(2)设为
的中点，且
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理及三角形面积公式边化角即可证明；
（2）利用余弦定理解
与
得出
，再利用正弦定理解
计算即可.
【详解】（1）记角
，的对边分别为，，，
由题意可知
，
由正弦定理得
因为
，
所以
．
（2）在
中，由余弦定理得，
①
同理，在
中，
②
①-②得，
．
64
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在
中，由正弦定理得，
，
所以
，即
，
所以
．
63．（2025·四川·一模）在锐角三角形
中，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出
，进而得出
，借助诱导公式，正切的和角公式以及重
要不等式即可求.
【详解】因为三角形
为锐角三角形，且
，
所以
，解得
，
所以
，
又
，
所以
，
65
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当且仅当
即
时，等号成立，
所以
的最小值为4.
故选：A
64．（2025·四川眉山·一模）在
中，内角，，所对的边分别为，，，已知
，
且
.
(1)求；
(2)若
的外接圆半径为
，周长为
，且
，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据弦切互化以及和差角公式可得
，即可结合正弦定理求解；
（2）根据正弦定理边角互化可得
，即可利用三角恒等变换求解.
【详解】（1）因为
，
故
，
所以
.
66
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因为
，所以
，
又
，所以
.
（2）由正弦定理可知
，
，
，
因为
，所以
，
所以
.
所以
.
又
，所以
，
所以
，故
.
65．（2025·四川·一模）在
中，已知内角
的对边分别为
，为线段
上一点，
．
(1)若为
的中点，且
，求
面积的最大值；
(2)若
，且
，求．
【答案】(1)
．
67
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(2)
．
【分析】（1）由题意可得
，利用向量的模的计算结合基本不等式可求出
，
再利用三角形面积公式，即可求得答案；
（2）记
，利用余弦定理可得
．在
中，可得
，解方程组即可求得答案.
另解：可利用角平分线性质定理推出
，从而再利用等面积法求解.
【详解】（1）因为
，
，
则有
，解得
，
所以
．（当且仅当
时取等）
所以
的面积的最大值为
．
（2）因为
，所以
记
，则有
，由余弦定理得
，
68
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解得
．
在
中，
，则
，解得
，
联立方程组则有
，解得
．
另解：由条件得
，所以
平分
．
因为
，所以
．
由面积关系得
．解得
．
66．（2025·四川绵阳·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
，且
，
(1)求
的面积；
(2)若
，求A．
【答案】(1) ；
(2) 或
.
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求解即得.
（2）利用正弦定理，结合和角的正弦公式、二倍角公式求解即得.
【详解】（1）在
中，由余弦定理及
，得
，
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整理得
，而
，所以
的面积
.
（2）由（1）及正弦定理得
，即
，
于是
，即
，
整理得
，即
，
因此
，即
，由
，得
，解得
或
，
所以
或
.
67．（2025·四川·一模）（多选）
中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确
的是（ ）
A．
B．
，
，
不能构成三角形
C．若
，则
为锐角三角形
D．若，，均为有理数，则
为有理数
【答案】ACD
【分析】根据三角形三边关系，平方即可求解A，利用
即可判断B，利用余弦定理以及不
等式的性质即可求解C，利用余弦定理，结合图形关系即可求解D.
【详解】对于A,由于
，平方可得
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，相加化简可得
，故A 正确，
对于B，取
，则
，
，
能构成三角形，B 错误，
对于C，由
可知
，故为最大的内角，则
，
故为锐角，进而可得
为锐角三角形，C 正确，
对于D，若，，均为有理数，则
均为有理数，
则
为有理数，不妨设
，延长
到，使得
，
过作
，故
，
由于
，
故
为有理数，所以
均为有理数，
因此
为有理数，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：利用三角形图形关系，作出
，在
中由余弦定理即可
求解.
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68．（2025 四川一模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，
M 和N 分别是
的重心和内心，且
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】根据已知等式，利用和角公式和正弦定理化简得到
，作出图形，利用面积相等建立
边与
之间的关系式，再由题设条件推得
，代入计算即得.
【详解】由
可得，
，
因
，
代入得
，由正弦定理得，
.
如图所示，分别延长
交
于点，延长
交
于点，
分别过点作
于点
,过点作
于点.
设
的内切圆半径为，
边上的高为.
由
可得
（*），
因M 和N 分别是
的重心和内心，且
，则
,即
，
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代入（*）式，可得，
，解得
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于较难题.
解题的关键是在由正弦定理化简已知式求得边后，要结合三角形的内切圆半径与三角形面积的关
系建立等式
，再利用其他条件消元即可.
69．（2025 四川眉山一诊）在等边三角形
的三边上各取一点，，，满足
，
，
，则三角形
的面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求出
，设
，
，在
、
分别利用正弦定理表示出
、
，由
，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出
的最大值，即可求出三角形面
积最大值.
【详解】因为
，
，
，所以
，
设
，
，
则
，
，
，
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在
中由正弦定理
，即
，
所以
，
在
中由正弦定理
，即
，
所以
，
所以
（其中
），
所以
，
则
，
即三角形
的面积的最大值是
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出
、
，再利用三角恒等变换公式及辅助
角公式求出
的最大值，进而求出三角形面积最大值.
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