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三角函数
考点1
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专题03 三角函数与解三角形
3 大考点概览
考点01 三角函数
考点02 三角恒等变换
考点03 解三角形
一、单选题
1．（2026·安徽宿州·一模）已知函数
，当
时，
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为
，然后再利用正弦函
数的基本性质可求出函数
的最小值.
【详解】由
，
根据二倍角公式得
，
当
时，所以
，结合正弦函数图像可知，
时，
的最小值为
,
最大值为
，故
，
因此
，所以
的最小值为
.
故选：B.
1
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2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
为偶函数，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性定义确定函数
的奇偶性，进而得到函数
的
奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值.
【详解】函数
的定义域为
，令函数
，
，即函数
是奇函数，
而函数
是偶函数，则函数
是奇函数，
因此
，解得
，又
，
所以当
时，
取得最小值
.
故选：C
3．（2026·安徽黄山·一模）函数
的图象向左平移
后关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】写出平移后的解析式
，再根据余弦函数的对称性即可得到
，解出即可.
【详解】
向左平移
后解析式为
，
若其图象关于
轴对称，则
，
2
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则
，又因为
，则当
时，
取得最小值，为
.
故选：C.
4．（2026·安徽淮南·一模）已知
，若
（为自然
对数的底数），则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】由三角函数诱导公式得到
，构造函数
，
由其单调性得到
，代入
，进而可求解.
【详解】由
，可得
，
即
，
因为
，则
，
令
，则
，
因为
在
单调递增，
在
单调递减，
所以
在
单调递增，所以
，
所以
，
令
，
当
时，
得到最小值
，所以
，
3
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所以
的最大值为
，即
的最小值为
，
所以
取得最小值3.
故选：B
二、多选题
5．（2026·安徽安庆·一模）已知函数
的最小正周期为
，则
图象的
对称中心的坐标可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先根据周期得出
，再应用正切函数的对称中心计算求解.
【详解】由题意可得
，解得
（负值舍去），则
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，故
、
都是
图象的对称中心，故B、
D 正确；
令
，解得
，由
不符，故
不是
图象的对称中心，
令
，解得
，由
不符，故
不是
图象的对称中心，故A、C 错误.
6．（2026·安徽合肥·一模）已知函数
．若存在不相等的实数
，使得
，则下列说法中正确的有（ ）
A．
4
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B．若
的最小值为
，则
C．若
，则
的取值范围为
D．若
，且
的最大值为
，则
的取值范围为
【答案】ACD
【分析】A 根据函数值域可求；B 根据周期计算；C 求出
，结合正弦函数的性
质可求；D 求出
的最大值，结合正弦函数的性质可求.
【详解】因为
，所以
，
因为存在不相等的实数
，使得
，
所以存在不相等的实数
，使得
，故A 正确；
若
的最小值为
，则
，得
，故B 错误；
若
，则
，
因为
，所以
，得
，故C 正确；
因为
的最大值为
，所以
的最大值为
，
则
，得
，故D 正确.
故选：ACD
7．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数列
，则（ ）
5
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A．
在区间
上单调递减
B．
的图象关于直线
对称
C．
的最小值为
D．
的最大值为1
【答案】ACD
【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质判断A；利用轴对称的定义判断B；确定函数
的周
期，利用导数求出周期长的区间上的最值判断CD.
【详解】对于A，
，当
时，
，
函数
在区间
上单调递减，A 正确；
对于B，
，
，
，
的图象关于直线
不对称，B 错误；
对于CD，
，
，
，因此函数
是以
为周期的周期函数，
求导得
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时，
，
6
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，由
的周期性得
在R 上的最大值为1，
最小值为
，因此
，
，CD 正确.
故选：ACD
8．（2026·安徽黄山·一模）
是
的最大内角，且
，则
下列结论正确的是（ ）
A．
可能为锐角三角形
B．
的最大值为
C．
面积的最小值为
D．
的最小值为2
【答案】BD
【分析】对于A，由
，利用三角恒等变换化简可得
，
结合
是
的最大内角分析可得
，进而判断即可；对于B，由
，可得
，结合角
的范围求解判断即可；对于C，结合
，
求解判断即可；对于D，由
，可得
，进而根据基
本不等式求解判断即可.
【详解】对于A，由
，
则
，
即
，
7
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所以
，
则
，
即
，由于
是
的最大内角，
则
，所以
，则
，即
，
故
为直角三角形，故A 错误；
对于B，由于
，则
，即
，
又
，则
，
所以
，
则
时，
取得最大值为
，故B 正确；
对于C，由于
，
，
则
面积为
，故C 错误；
对于D，由于
，则
，即
，
又
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则
的最小值为2.
故选：BD
三、填空题
8
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9．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数
，关于
的方程
有6 个不同的实数根，则
的取值范围为_______________.
【答案】
【分析】问题化为
上
有4 个不同实根，且
有2 个不同实根，
结合正弦函数的图象得
，即可得.
【详解】
共有6 个不同的实根，
由
，则
有4 个不同实根，且
有2 个不同实根，
根据正弦函数的图象知
，可得
.
故答案为：
四、解答题
10．（2026·安徽淮南·一模）已知函数
的最大值为1，
为
常数．
(1)求函数
在
上的单调递增区间；
(2)求使
成立的
的取值集合．
【答案】(1)
9
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(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得
，利用最大值为1 求出
，进而
求
在
的单调增区间即可求解；
（2）由
得
，利用三角函数的性质解不等式即可求解.
【详解】（1）函数
，
因为
的最大值为1，
所以
，解得
，所以
．
令
，
解得：
，
又因为
，则取交集
，所以
在
的单调递增区间为
；
（2）因为
，即
，可得：
．
所以
．
解得：
10
三角恒等变换
考点2
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综上：
成立的
的取值集合是
．
一、多选题
1．（2026·安徽淮南·一模）在
中，
，
在线段
上，且
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由正弦定理进行边角转化，可得
，可判断A 正确；结合
，
可得
.利用诱导公式可得
，由此可求
，判断B；由诱导公式及两角和
的正弦公式求得
，根据正弦定理求出
，由
及角平分线定理得
，
由此求得
，判断C；
中，由余弦定理求得
，判断D.
【详解】由正弦定理
，得
，所以
，所以A 正确；
因为
，所以
.
由
，得
，即
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
，所以
.
所以
，所以
.
11
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所以
.所以B 错误；
由
，得
.
所以
.
所以
.
由正弦定理
，得
.
因为
，所以
，所以
.
所以
.所以C 正确；
中，由余弦定理得：
.
所以
.所以D 正确.
故选：ACD.
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知直线与单位圆
（
为坐标原点）交于
两点，
下列说法正确的有（ ）
12
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A．
的最大值为2
B．当直线过点
时，
的最小值为
C．当
时，
中点的轨迹方程为
D．当原点
到直线的距离为
时，
的最大值为
【答案】ABD
【分析】由题意圆
，圆心为原点，半径为1，利用圆的性质判断A、B、C，根据原点
到直线的距离为
，得到
并设
，利用向量法及
、
确定
纵坐标的
表示，再由三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值判断D.
【详解】由题设，圆
，圆心为原点，半径为1，
所以，当直线过原点时所得
最大，为2，A 对，
显然点
在圆
内，若直线过该点，
则该点与点
所在直线与直线
垂直时，
最小，为
，B 对，
由
，则其中点与圆心
的距离
，
所以
中点的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，则方程为
，C 错，
若原点
到直线的距离为
，即
中点
在圆
上，且
，
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设
，则
，与
垂直的一个单位向量为
，
而
，则
，又
，
所以
，而
关于
对称，则
，
所以
，
，则
且
，
所以
时，
最大值为
，D 对.
故选：ABD
二、填空题
3．（2026·安徽合肥·一模）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
__________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得
，
14
解三角形
考点3
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再由正弦定理可得
，即可得解.
【详解】因为
，由正弦定理，可得
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，又由正弦定理，可得
，即
，
因为
，所以
．
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域
处的甲船获悉，在其正东方向相距
的
处有一
艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西
，且与甲船相
距
的
处的乙船.那么
的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解.
【详解】如图，在
中，
，
由余弦定理，得
，
由正弦定理得
.
故选：A
2．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥
的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3 的同一
球面上,则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
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A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【分析】设外接球球心为
，底面中心为
，外接球半径
，利用
求出
进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知
即为异面直线
与
所成角的平面角，在
中利用余弦定理求解即可.
【详解】设外接球球心为
，底面中心为
，外接球半径
，
因为底面边长为4，所以
，
易知球心
在线段
上，则
，解得
或
，
当
时，又
，解得
，
因为
，所以
即为异面直线
与
所成角的平面角，
在
中，由余弦定理可得
，解得
，
当
时，又
，解得
，
因为
，所以
即为异面直线
与
所成角的平面角，
在
中，由余弦定理可得
，解得
，
故选：A
3．（2026·安徽淮北·一模）已知过点
的直线与圆
交于
两点．若
的面积
为8，则点
的坐标可以是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角形的面积得到
是等腰直角三角形，进而求出圆心到直线
的距离，与选
项中的点到圆心距离进行比较即可.
【详解】圆的半径
.
，
所以
，
，所以
是等腰直角三角形，
此时弦
的长度为
，
.
选项A：
，不符合条件.
选项B：
，不符合条件.
选项C：
，不符合条件.
选项D：
，符合条件.
故选：D.
二、多选题
4．（2026·安徽淮南·一模）在
中，
，
在线段
上，且
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由正弦定理进行边角转化，可得
，可判断A 正确；结合
，
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可得
.利用诱导公式可得
，由此可求
，判断B；由诱导公式及两角和
的正弦公式求得
，根据正弦定理求出
，由
及角平分线定理得
，
由此求得
，判断C；
中，由余弦定理求得
，判断D.
【详解】由正弦定理
，得
，所以
，所以A 正确；
因为
，所以
.
由
，得
，即
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
，所以
.
所以
，所以
.
所以
.所以B 错误；
由
，得
.
所以
.
所以
.
18
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由正弦定理
，得
.
因为
，所以
，所以
.
所以
.所以C 正确；
中，由余弦定理得：
.
所以
.所以D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2026·安徽合肥·一模）在
中，角
的对边分别是
，若
，则
__________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得
，
再由正弦定理可得
，即可得解.
【详解】因为
，由正弦定理，可得
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，又由正弦定理，可得
，即
，
19
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因为
，所以
．
6．（2026·安徽安庆·一模）已知
的面积为
，
，
，则
___________．
【答案】
【分析】过
作
交
于点
，分别表示出
，再由三角形的面积先求出
的值，
根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出
.
【详解】
如图所示，过
作
交
于点
.
则有
，
，
.
因为
的面积为
，
，
所以
，解得
.
所以
.
解得
，即
.
20
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四、解答题
7．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知
，
的外接圆半径为
，求
面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可证明结论.
（2）设
，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用
表示出
的面积，再利用
导数求
面积的取值范围.
【详解】（1）在
中，
，
在
中，
，
因为
，所以
，且
，
所以
.
（2）在
中，设
，
.
所以
或
，
，
所有由三角形内角和可得
.
所以
21
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设
，
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增,
所以
.
所以
面积的取值范围为
.
8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，四棱锥
中，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出
，再利用勾股定理的逆定理及线面
垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面
与平面
的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【详解】（1）因为在四棱锥
中，
，
所以四边形
为等腰梯形，
，则
，
22
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所以
，则由余弦定理得
，
在
中，
，于是
，
因此
，又
，即
，
而
平面
，
则
平面
，又
平面
，所以平面
平面
.
（2）在平面
内过
作
，由（1）得直线
两两垂直，
以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
与平面
的法向量分别为
，
则
，令
，得
，
，令
，得
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
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9．（2026·安徽合肥·一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)求内角
的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到
，再由余弦定理角化边即可求证；
（2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出
的最小值即可由余弦函数性质得解.
【详解】（1）证明：因为
，
所以由题得
，即
，
由余弦定理可得
，所以
．
（2）由（1）知
，所以
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
的最小值为
，
，
所以内角
的最大值为
．
10．（2026·安徽芜湖·一模）已知
的内角
的对边分别为
，满足
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长.
24
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【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得
，即可求；
（2）由余弦定理及已知得
，进而即得.
【详解】（1）由
及正弦边角关系得
，
而
，整理得
，
因为
，所以
；
（2）由余弦定理
，得
，
进而得
，得
，
所以
的周长为
.
11．（2026·安徽淮北·一模）在
中，
分别为内角
所对的边，满足：
.
(1)求角
；
(2)若
，求内角平分线
的长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出
．
（2）利用向量的数量积求出的值，设
的长为
，则
，利用三角形的面积
公式得到
的等式，解出
的值，即为
的长．
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【详解】（1）由
．
故
，而
，得
．
（2）由
，
设
的长为
，由
．
即
的长为
．
26
