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专题02 平面向量与复数
4 大考点概览
考点01 复数
考点02 平面向量的线性运算
考点03 平面向量的基本定理及其坐标表示
考点04 平面向量的数量积
一、单选题
1．（2026·湖南怀化·二模）已知复数z 满足
，则z＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助复数运算法则计算即可得.
【详解】
．
2．（2026·湖南衡阳·二模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．8
D．12
【答案】A
【详解】由
，得
．
3．（2026·湖南邵阳·二模）已知复数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数
在复平面内对应的点位于第一象限
C．复数
的共轭复数为
D．将复数
对应的向量绕原点按逆时针方向旋转
，所得向量对应的复数为
【答案】B
【分析】由复数的除法法则可得
，计算复数的模判断A；写出对应的点判断B；求出其共轭复数判
断C；求出旋转所得向量对应的复数，判断D.
考点1
复数
1
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【详解】由复数
满足
，得
，所以
，A 错误；
复数
对应的点为
，位于第一象限，B 正确；
复数
的共轭复数是
，C 错误；
复数
对应的点为
，绕原点按逆时针方向旋转
，得到的点为
，所以所得向量对应的复数
应为
，D 错误.
4．（2026·湖南永州·二模）已知复数
满足
，则
的虚部为（ ）
A．1
B．
C．i
D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算法则和复数虚部的概念即可得到答案.
【详解】
，
则
的虚部为
.
故选：B.
二、填空题
5．（2026·湖南湘潭·二模）
__________.
【答案】
【详解】
.
一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD 中，点
在线段AC 上，且
.若
，其中
，
，则
（ ）
考点2
平面向量的线性运算
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
又
，则
，故
.
2．（2026·湖南永州·二模）已知菱形
的边长为2，
是
的中点，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】以
为基底表示出
，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】
，
.
故选：C.
二、填空题
3．（2026·湖南怀化·二模）已知圆
的圆心为
，半径为，
，
，
是圆
上的动点，且
，
则
的取值范围为________．
【答案】
【分析】由弦长与半径的关系可知两条半径垂直，利用向量加法的几何意义，将目标表达式转化为从某固
定圆上的动点到已知圆上动点的距离，通过分析两圆的位置关系，得到距离的取值范围.
3
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【详解】延长
至点
，使得
，取
的中点
，连接
，
,
．
是
的中点，
，所以
，所以
，
，
，
在
中，
，
，所以
，所以点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
的最小值为
，最大值为
，所以
的取值范围为
．
一、单选题
1．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD 中，点
在线段AC 上，且
.若
，其中
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，
又
，则
，故
.
考点3
平面向量的基本定理及其坐标表示
4
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二、填空题
2．（2026·湖南·二模）如图，等边
边长为2，点
、
分别为
、
的中点，连接
并延长至
点
，使得
，则
_________．
【答案】
【详解】因为点
，
分别是边
，
的中点，所以
，因为
，
所以
，所以
，
因为
，
，
，
所以
．
一、单选题
1．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量
与
的夹角为120°，
，则
（ ）
A．3
B．7
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量的数量积求解向量的模即可.
考点4
平面向量的数量积
5
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【详解】
2．（2026·湖南衡阳·二模）已知向量
，
，若向量
在向量
上的投影向量为
，则
实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意知
，
，结合投影向量的公式得
，求解即得.
【详解】由题意知：
，
所以向量
在向量
上的投影向量为
，即
，
所以
，解得
．
3．（2026·湖南常德·二模）如图，在边长为2 的正方形
中，
分别为
的中点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【详解】以
为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
6
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则
，则
，
则
.
4．（2026·湖南邵阳·二模）已知
是
内的一点，且
，
.若
，
和
的面积分别为1，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．15
D．20
【答案】C
【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得
的面积，依题意求出
的值，利用基本
不等式“1”的妙用求解.
【详解】因
，则
，
则
，于是
，
，
和
的面积分别为1，
，
，
，
，
，
，
7
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当且仅当
时，即
，等号成立，
的最小值是
.
5．（2026·湖南永州·二模）已知菱形
的边长为2，
是
的中点，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】以
为基底表示出
，再利用向量数量积的运算律求解.
【详解】
，
.
故选：C.
6．（2026·湖南湘潭·二模）在平行四边形
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用平面向量加减运算法则和数量积即可求解.
【详解】在平行四边形
中，因为
，
所以
，
所以
故选：
二、多选题
8
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7．（2026·湖南邵阳·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．若
是边AC 的中点，则线段BD 的长的最小值为
C．
的最大值为
D．若点
是
的外心，且
，
，则
【答案】ACD
【分析】A 根据题意利用三角恒等变换可得
，进而可得
；B 利用正弦定理可得
，再利
用平面向量结合基本不等式运算求解；C 整理可得
，进而分析最值；D
根据数量积的几何意义结合外心性质可得
，解方程即可.
【详解】A：因为
，则
，可得
，
因为
，则
，
，可得
，所以
，故A 正确；
B：由正弦定理
，得
，
，
则
，解得
，
9
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因为
是边AC 的中点，则
，且
，
可得
，当且仅当
时取等号，
所以
，故B 错误；
C：因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
，故C 正确；
D：因为
，
，则
，即
，
，
，
因为
，则
，
即
，解得
，故D 正确.
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