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专题03 三角函数与解三角形
3 大考点概览
考点01 三角恒等变换
考点02 三角函数的图像与性质
考点03 解三角形
1．（2026·福建福州·三模）（多选）已知cos(x + y)= 1
3
，则（ ）
A．当x =π时，cos y = 1
3
B．当y =−π
2 时，sin x = 1
3
C．当x = y时，sin x = 1
3
D．当cos(x−y)= 2
3
时，tan xtan y = 1
3
2．（2026·福建龙岩·三模）已知
1+sin2α
2cos
2α +sin2α
= 3
2，则tan α的值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
3．（2026·福建三明·二模）定义：平面内，图形Γ上的所有点在直线l 上的射影所组成的图形称为Γ在l 上
的射影．若边长为m 的正三角形在某一矩形的四条边所在直线上的射影长度之和为8，则m 的取值范围为
________．
4．（2026·福建厦门·模拟预测）已知tan α tan (α −β)=2，cos β = 1
3
，则cos(2α −β)=（）
A．−1
3
B．−1
9
C．1
9
D．1
3
5．（2026·福建龙岩·三模）（多选）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示，A
为图象的最高点，B(
5
2 , 0), C(0,−√2
2 )
分别为图象与x轴，y轴的交点，则（ ）
考点1
三角恒等变换
考点2
三角函数的图像与性质
1
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A．cos∠AOC =−2√13
13
B．x = 9
2
为f (x)的一条对称轴
C．函数y = xf(x + 1
2)+1在[−4 , 4]上有且只有4 个零点
D．若f (x)在区间[a, a+1]上的最大值为M，则√2
4 ≤M ≤1
6．（2026·福建福州·三模）已知点(
π
2 ,0)是函数f (x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)的图象的一个对称中心，则
ω的最小值为（ ）
A．1
3
B．2
3
C．4
3
D．5
3
7．（2026·福建漳州·三模）（多选）若函数f (x)=sin x−√3cos x在(a,a+b)上单调递增，则（ ）
A．曲线y = f (x)关于点(
π
3 ,0)
对称
B．b的最大值为π
C．f (a)的最小值为-2
D．f (a)的最大值为2
8．（2026·福建南平·二模）已知函数f (x)=√3sin2 x +2cos
2 x−1，将函数f (x)的图象向左平移π
6
个单
位长度可得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f (x)的最小正周期为2π
B．函数f (x)的最大值为√3
C．函数g(x)是奇函数
D．函数g(x)在区间[0,π
3 ]上单调递减
9．（2026·福建三明·二模）下列区间是函数y =cos(
π
3 −x)的一个单调递增区间的是（ ）
A．[
π
2 ,π]
B．[0,π
3 ]
C．[−π,0]
D．[
π
3 ,π
2 ]
10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知π
2 是函数f (x)=sin(ωx −π
3 )(ω>0)的一个零点，当
2
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x∈(
π
4 , 3π
8 )
时，f (x)<0，则方程2|f (x)|=1−f (x)在区间(0,3π)内所有根的和为（ ）
A．5π
2
B．11π
2
C．15π
4
D．21π
4
11．（2026·福建宁德·二模）设f (x)是定义在R上的函数，若∀x1, x2∈R，当|x1|<|x2|时，f (x1)<f (x2)，
称函数f (x)具有性质M，则下列函数具有性质M的是（ ）
A．f (x)= x +sin x
B．f (x)=¿
C．f (x)=|
1
2
x+1
−1
2|
D．f (x)=(x−1)e
x
12．（2026·福建宁德·二模）若f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ<π
2 )的最小正周期为4π，且f(
π
3 )= √3
2 ，
则φ =（ ）
A．0
B．π
6
C．π
4
D．π
3
13．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，为函数f (x)= √3
2 sin(ωx +φ)+k (ω>0)的图象，C为最高点，M，
N为最低点．若|MN|=|NC|，则ω=___________．
14．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π
2
）的部分图象如图
所示，A(0,−1
2)
，B(
π
3 ,1)
，则（ ）
3
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A．φ =−π
6
B．ω=2
C．x =−π
3
是y = f (x)图象的一条对称轴
D．y = f (x)的图象向左平移π
12
个单位长度得到的图象关于原点对称
15．（2026·福建·二模）（多选）已知函数f (x)= tan (ωx +φ)(ω>0, |φ|<π
2 )的部分图象如图所示，点
A (0,−√3)、B(
π
6 , 0)在f (x)的图象上．下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的最小正周期是π
2
B．f (x)在区间(
π
6 , π
2 )单调递增
C．f (x)的一个对称中心是(
π
3 , 0)
D．f (x)的图象可以由g(x)= tan 2 x的图象向左平移π
3
个单位长度得到
16．（2026·福建·二模）已知函数f (x)=sin 2 x−sin (x +φ)．
(1)若f (x)是奇函数，求φ；
(2)当φ=π
2
时，f (x)的所有正零点从小到大排列构成数列{xn}，求{xn}的前20项和S20．
17．（2026·福建福州·三模）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知a
2+c
2−b
2= 40, △ABC
的面积为10√3.
(1)求B；
(2)若bsin A = 4√3，求BC边上的中线长.
考点3
解三角形
4
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18．（2026·福建龙岩·三模）在△ABC中，内角A , B , C的对边分别为a, b, c，且
√3acosC −c sin A =0．
(1)求C；
(2)若AB边上的中线CD的长为2，求△ABC面积的最大值．
19．（2026·福建三明·二模）已知锐角△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a= 4，
b+8cos B =2c．
(1)求A；
(2)若点H 在△ABC所在平面内，且满足⃗HA ⋅⃗HB =⃗HB⋅⃗HC =⃗HC ⋅⃗HA，求△HBC面积的取值范围．
20．（2026·福建南平·二模）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a=b−1，c =b+1.
(1)若sin B =cosC +cos A sinC，求△ABC的周长；
(2)是否存在正整数b，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由.
21．（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点A为塔顶，点B为A在地平面上的投影，小张遥
控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的C处竖直向上飞行6 米后到达D处，在D处测得塔顶A的仰
角为60
∘，然后继续竖直向上飞行10 米后到达E处，在E处测得塔顶A的仰角为30
∘，则该古塔的高度为
（ ）
A．21 米
B．(16+5√2)米
C．(16+5√3)米
D．16√3米
22．（2026·福建泉州·模拟预测）已知锐角△ABC的面积为6，且AB =2.
(1)若∠ABC =π
4
，求BC；
(2)若⃗BC =2⃗DB，且BC =10，求sin∠BAD.
23．（2026·福建漳州·三模）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知a
c =cosC
cos A
．
(1)判断△ABC的形状；
(2)若b= 4 ,c =2,BC , AC边上的两条中线AM ,BN相交于点P，求cos∠MPN．
5
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24．（2026·福建厦门·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
acos B =c +bcos2 A.
(1)求A；
(2)若D 为BC 的中点，AD =3，△ABC的面积为3√3，求a.
25．（2026·福建莆田·模拟预测）在△ABC中，cosC =cos2C．
(1)求C；
(2)若5sin A =3sin B ,BC =3，求△ABC的周长．
26．（2026·福建·二模）在平面凸四边形ABCD中，∠BAC =60
∘，AB =2，BC =2√3，△BCD的面积为
3√3．当∠ADB最大时，四边形ABCD的面积为__________．
27．（2026·福建·二模）在△ABC中，A =π
3
，AB =1．
(1)若BC =√2，求△ABC的面积；
(2)点D 在边BC 上，AD =CD，E 为AC 中点，且DE = √3
3
，求角C 的大小．
28．（2026·福建厦门·二模）在△ABC中，AB = AC，点D满足⃗CD =⃗DA，若△ABC的面积为2，则BD
的最小值为（ ）
A．√2
B．√3
C．2
D．3
29．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形ABCD中，AB =√3，AD =1，DC =2 DB，∠BDC =π
3
，则
AC 的最大值为______．
6
