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专题03 三角函数与解三角形
题型概览
题型01 三角函数的图像与性质
题型02 三角函数公式
题型03 正余弦定理
三角函数的图像与性质
1．（2025·黑龙江·一模）已知函数
，如图，
是直线
与曲线
的三个交点，若
，点
的横坐标为
，则函数
的最小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，结合
的图象可得
关于
对称，
关于
对称，
所以
，
，解得
，
因为
，所以
，即
，
即
，解得
，所以函数的最小正周期为
.
故选：C
2．（2025·黑龙江·一模）已知
为函数
（
，
）的一个零点，直线
题型01
1
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为曲线
的一条对称轴，设
的最小正周期
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由三角函数的图象与性质可得
，
，解得
，
，
又因为
，故有且仅有
时满足题意，此时
，解得
，
此时
，代入
，可得
，
，
又因为
，故有且仅有
时满足题意，此时
.故
.
故选：C.
3．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）A、B 是函数
与直线
的两个交点，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．
的对称中心为
D．
在区间
上单调递增
【答案】AC
【解析】
的最小正周期
，则
，故A 正确；
由
，得
，
2
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所以
的定义域为
，故B 错误；
由
，解得
，
所以
的对称中心为
，故C 正确；
当
时，得
，从而
无意义，
因此区间
不可能是
的单调递增区间，故D 错误，
故选：AC.
4．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）对于函数
和
，下列说法中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
最小正周期不相同
D．
与
的图象存在相同的对称轴
【答案】BCD
【解析】因为
，
，
对于A 选项，对于函数
，由
，可得
，
对于函数
，由
，可得
，
故函数
的零点为
，函数
的零点为
，
所以，函数
、
没有相同的零点，A 错；
3
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对于B 选项，
的最大值为
，
的最大值为
，故
与
的最大值相同，B 对；
对于C 选项，函数
的最小正周期为
，函数
的最小正周期为
，
这两个函数的最小正周期不同，C 对；
对于D 选项，因为
，
，
所以，函数
与
的图象存在相同的对称轴
，D 对.
故选：BCD.
5．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
的图象存在相同的对称中心
B．
与
的图象存在相同的对称轴
C．当
时，
与
的图象有5 个公共点
D．将
的图象向右平移
个单位长度后，再向上平移1 个单位长度可得
的图象
【答案】BC
【解析】函数
，
对于A，函数
图象的对称中心为
，而对任意整数
，
，
因此
与
的图象不存在相同的对称中心，A 错误；
对于B，函数
图象的对称轴为
，
，
即直线
是函数
的图象的对称轴，B 正确；
对于C，由
，得
或
，而
，解得
，
则当
时，
与
的图象有5 个公共点，C 正确；
4
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对于D，
，平移后得到的函数解析式为
，D 错误.
故选：BC
6．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数
，如图
是直线
与曲线
的三个交点，其横坐标分别是
，则正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的单调减区间为
C．若
，则
D．若
，且
，点
的横坐标为
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，观察图象知，函数
的最小正周期
，因此
，A 正确；
对于B，函数
的一个最大值点为
，右侧相邻最小值点
，
则函数
的最小正周期为
，单调减区间为
，B 正确；
对于C，
，当
时，由
，得
，
由
或
或
，得
或
或
，
而
均在区间
内，C 错误；
5
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对于D，由
，得
，由
并结合图象得
，则
，解得
，
，
又
，且
在
的一个减区间内，则
，解得
，
因此
，
，D 正确.
故选：ABD
7．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
图象的对称中心为
D．不等式
的解集为
【答案】ACD
【解析】对A，
，A 正确；
对B，
的最小正周期
，B 错误；
对C，由
得
，
6
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所以
图象的对称中心为
，C 正确；
对D，由
得
，
所以
，解得
，D 正确.
故选：ACD
三角函数公式
8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，解得
，
∴
.
故选：A．
9．（2025·黑龙江·一模）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】已知
，且
，
7
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则
，所以
，
则
.
故选：C.
10．（2025·黑龙江·一模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，可得
，且
，
故
.
故选：C.
11．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，
，
8
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所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错
误；
故选：AC.
12．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知
是第一象限角，且
，则
.
【答案】
【解析】由题意可得
，即
，
因为
是第一象限角，所以
，
，
，
所以
，
，
所以
，
故答案为：
正余弦定理
13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）在
中内角
的对边分别为
，已知
3
9
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，则
．
【答案】3
【解析】由
可得
,
故
,
,
由正弦定理可得
，
故答案为：3
14．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，由正弦定理得
，
故
，
在
中，
，
，所以
，
，则
，
可得
，所以
，所以
.
（2）由正弦定理可得
（
为
外接圆的半径），
所以
，
，
因为
，则
，
，
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所以
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
则
，
，故
.
15．（2025·黑龙江·一模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)
的外接圆半径为1，
是边
的中点，求
的最小值．
【解析】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，即
，
由余弦定理得
，而
，
所以
.
（2）由
的外接圆半径为1 及正弦定理得
，
则
，当且仅当
时取等号，
，
由
是边
的中点，得
，则
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是
.
16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图：四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知
，
，
，且
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(1)求BO 的长；
(2)若
，求
的值．
【解析】（1）设
，
，所以
，
，
在
中，
，
在
中，
，
因为
，解得
，所以BO 的长为；
（2）由（1）知
，设
,
，
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
若
，则
与
全等，所以
，
所以
，所以
，
不成立，所以
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的值为
.
17．（2025·黑龙江·一模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
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．
(1)求角
；
(2)若
为
的中点，在下列两个条件中任选一个，求
的长度．
条件①：
的面积
，且
，
条件②：
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由题意得
，
由正弦定理
得
，
，
．
（2）若选条件①：
∵
的面积
，
，
，
，
，
为
的中点，
，
在
中，
，
．
若选条件②：
，
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由正弦定理得，
，
，解得
或
（舍），
为
的中点，
，
在
中，
，
．
18．（2025·黑龙江·一模）记
中，内角
所对的边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的最大值.
【解析】（1）由题意得
，
所以
，即
，
所以
，
因为
为三角形的内角，所以
.
（2）由（1）知
，由余弦定理得
，
所以
，即
，
又因为
，
所以
，即
，
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当且仅当
时等号成立，
所以
.
所以
的最大值为
.
19．（2025·黑龙江·一模）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为
的中点，
，
，求
的面积.
【解析】（1）由正弦定理，得
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，解得
，即
.
（2）因为
为
的中点，所以
，
两边平方得到
，
又
，
，
所以
，整理可得
，
解得
或
（舍去）
所以
的面积
.
20．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）
阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：
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，函数
，（其中
），若
，函数
的最
小正周期为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)
中，若
，
为锐角，三个内角
分别对应边
，
面积为
，则
的
最小值为？
【解析】（1）由题知
∴
∵
的最小正周期为
，∴
，∴
∴
（2）∵
为锐角，∴
∴
，∴
，
∵
，∴
∴当且仅当
时，取
最小值4
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