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专题05 三角函数与解三角形
题型概览
题型01 三角函数的概念与性质
题型02 三角恒等变换
题型03 解三角形
题型04 新定义
三角函数的概念与性质
1．（2025·河南·二模）若
是周期为π 的奇函数，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河南·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·二模）已知方程
在区间
上有两个不相等的实数根
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南·二模）在平面直角坐标系中，动点
在以原点为圆心，为半径的圆上，以
的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点
在以原点为圆心，
为半径的圆上，以
的角
题型01
1
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速度按逆时针方向做匀速圆周运动.
、
分别以
、
为起点同时开始运动，经过
后，动点
、
的坐标分别为
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南焦作·二模）已知函数
的图象关于直线
对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内没有最小值，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南·二模）已知函数
的图象上，相邻的一个最高点与一个最低点恰好
都在圆
上，则
的最小正周期为（ ）
A．4
B．
C．2
D．
8．（2025·河南·二模）已知向量
，
，
，
图象上相邻的最高点与最低点之间的距离
.
(1)求
的值及
在
上的单调递增区间；
(2)设
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，求
的值域.
2
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9．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，将函数
的图像横坐
标缩短为原来的
倍，再向左平移
单位，得到函数
.则下列结论中正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．不等式
的解集为
C．
在
上单调递增
D．函数
在
的零点为
且
，则
10．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
的图象是由函数
的图象向右平移
个
单位得到，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．
的图象关于点
对称
11．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
的最小正周期为
，则下列
结论正确的是（ ）
A．直线
是函数
图象的一条对称轴
3
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B．函数
在区间
上的最大值为2
C．函数
在区间
上单调递增
D．将函数
图象上所有的点向左平移
个单位，得到
的图象
12．（2025·河南鹤壁·二模）已知向量
(1)当
时，求
的值;
(2)若函数
的最大值为
，求a 的值.
13．（2025·河南新乡·二模）（多选）将函数
图象上每个点的横坐标伸长为原
来的4 倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
的图象关于点
对称
D．
的图象关于直线
对称
14．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
其中
，
，则（ ）
A．若
存在最小正周期
且
，则
B．若
，则
存在最小正周期
且
4
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C．若
，
，则
的所有零点之和为2
D．若
，
，则
在
上恰有2 个极值点
15．（2025·河南·二模）（多选）已知
（
，
，
）的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
在
内有3 个极值点
D．
在区间
上的最大值为
16．（2025·河南开封·二模）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）
时相对于平衡位置的高度（单位：
）由关系式
确定，则下列说法正确的是
（ ）
A．小球在开始振动（即
）时在平衡位置上方
处
B．每秒钟小球能往复振动
次
5
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C．函数
的图象关于直线
对称
D．小球从
到
时运动的路程是
17．（2025·河南周口·二模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递减
D．
，
为偶函数
18．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
的值域相同
B．
与
的值域相同
C．
D．
19．（2025·河南·二模）（多选）已知函数
，
，则（ ）
A．
是一个周期函数
B．
，
C．方程
在区间
上有4 个不同的解
D．
，使得
三角恒等变换
20．（2025·河南·二模）函数
的最小正周期为 .
题型02
6
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21．（2025·河南·模拟预测）已知
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2025·河南·二模）已知
，则
23．（2025·河南开封·二模）已知
，则
．
24．（2025·河南·二模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
25．（2025·河南·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·河南·二模）若
，且
与
存在且唯一，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
27．（2025·河南·二模）若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2025·河南·二模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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29．（2025·河南·二模）已知
是第三象限角，
，则
.
30．（2025·河南郑州·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2025·河南新乡·二模）设
是关于
的方程
的一个实根，其
中
为常数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2025·河南·二模）已知
，则
.
33．（2025·河南·二模）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解三角形
34．（2025·河南鹤壁·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
35．（2025·河南·二模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边
，
，
交
于点
.
题型03
8
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(1)求
；
(2)求
.
36．（2025·河南·二模）2025 年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了
无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名
塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点
A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D 四点在同一个铅垂平面内），在点C 处测得
点A 的仰角为
，在点D 处测得点A，B 的仰角分别为
，
，测得
，则按
此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68m
B．70m
C．72m
D．74m
37．（2025·河南焦作·二模）在
中，内角
的对边分别为
，若
的平分线
交
于点
，且
，则
．
38．（2025·河南·二模）若
为等边
内一点，
，
，
，则
.
39．（2025·河南·二模）如图，
内一点
满足
.
9
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(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的长.
40．（2025·河南·二模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A；
(2)若
，求
的面积.
41．（2025·河南·二模）在
中，
，则
的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
42．（2025·河南·二模）在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的
重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，
某地计划将如图所示的四边形荒地
改造为绿化公园，并拟计划修建主干路
与
.为更好
的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，
平分
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
43．（2025·河南·二模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
44．（2025·河南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
.
(1)若
，
，求
的大小；
(2)若
求四边形ABCD 面积的最大值.
45．（2025·河南·二模）在
中，已知
.
(1)求证：
；
(2)若D 为AB 的中点，且
，
，求
的面积.
46．（2025·河南·二模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，且
，则（ ）
A．
，
，成等比数列
B．
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C．
，
，
成等差数列
D．若
，则
47．（2025·河南·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
的值.
48．（2025·河南·二模）在
中，内角
的对边分别为
，
，
且
，则
面积的最大值为 ．
49．（2025·河南·二模）设钝角
三个内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
.
50．（2025·河南·二模）在
中，
.
(1)求角
；
(2)若
.
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）若
，求
的面积.
51．（2025·河南·二模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
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52．（2025·河南·二模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
，
．
(1)求
的面积；
(2)求AB 边上的高的最大值.
53．（2025·河南·二模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
.
54．（2025·河南开封·二模）已知直线
与圆
相交于
，
两点，
为圆
上不同于
，
的一点．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，．
(1)求角
；
(2)若
，求
的面积．
55．（2025·河南郑州·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
，
，
边上的中线
，
相交于点
．
（i）求
；
（ii）求
．
56．（2025·河南·二模）已知在
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足
，
，且
，则
．
57．（2025·河南·二模）如图1，在半径为2 的扇形
中，
，
是弧
上的动点（不
含
，
），过点
作
，交
于点
.当
的面积取得最大值时，将扇形
沿着
折起到
，使得平面
平面
（如图2 所示）.
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(1)求图2 中
的长度；
(2)求图2 中直线
与
所成角的余弦值；
(3)探究在图2 中的线段
上是否存在点
，使得四面体
内切球的半径为
？并说明理由.
58．（2025·河南新乡·二模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
内切圆的半径；
(3)若
为
的垂心，且点
在
内，直线
与
交于点
，且
，求
的最大值.
59．（2025·河南焦作·三模）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC，BD 交于
点，
，且
，记
．
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)记
，若
，求
的值．
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60．（2025·河南周口·二模）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)若
，过点B 作
，D 为垂足，求BD 的最大值．
61．（2025·河南·二模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
62．（2025·河南·二模）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
边上的中线长为
，求
的最大值.
63．（2025·河南·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若D 是边AB 上靠近点A 的三等分点，
，
的面积为
，求
的周长.
64．（2025·河南·二模）在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)判断
的形状；
(2)设
，且
是边
的中点，当
最大时，求
的面积．
65．（2025·河南·二模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为.
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若
，
，则
的最小值为 ；若
，则
的最大值为
.
新定义
66．（2025·河南·二模）如图，点
是以
为顶点的正方形边上的动点，
角
以
为始边，
为终边，定义
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
67．（2025·河南·二模）若
内一点
满足
，则称点
为
的
布洛卡点，
为
的布洛卡角．如图，已知
中，
，
，
，点
为的布
洛卡点，
为
的布洛卡角．
题型04
16
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(1)若
，且满足
，求
的大小．
(2)若
为锐角三角形．
（ⅰ）证明：
．
（ⅱ）若
平分
，证明：
．
17
