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专题04 三角函数、恒等变换与解三角形
（九大题型）
一、弦切互化
1．（2025·湖南·一模）已知角
的始边为
轴非负半轴，终边经过点
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ 的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系
求得要求式子的值．
1
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【详解】∵角θ 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点
，
∴
，
则
.
故选：D
2．（2025·湖南长沙·一模）设
是锐角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用两角和与差的余弦公式，结合齐次式弦化切可得
，进而可得答案.
【详解】因为
且
，
所以
，
故
，结合
，
解得
.
故选：C.
二、三角恒等变换
3．（2025·湖南·一模）
终边上一点坐标为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2
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【分析】根据题意可得
，利用两角和与差的余弦公式求解值，判断选项.
【详解】由
终边上一点坐标为
，则
，
则
.
故选：D.
4．（2024·河南·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可.
【详解】由
，可得
，
即
，可得
，
所以
.
故选：B.
三、三角函数的图象与性质
5．（2025·湖南·一模）将函数
的图象沿
轴向左平移
个单位长度后得到函数
的
图象，则
的值为 .
【答案】1
【分析】先根据向左平移得出
的解析式，再求函数值即可.
3
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【详解】由已知得
，
所以
.
故答案为：1.
6．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数
的最小正周期为
，则下列结
论中正确的是（ ）
A．
的图像关于点
对称
B．
的图像关于直线
对称
C．
在
上单调递增
D．
在区间
上的值域为
【答案】BCD
【分析】根据辅助角公式可得
，由周期得
，进而代入验证即可求解AB，利
用整体法即可求解CD.
【详解】
，由于
最小正周期为
，故
，故
，
对于A,
,故
的图像关于点
对称，A 错误，
对于B，
，
的图像关于直线
对称，故B 正确，
对于C，当
时，
，故
在
上单调递增，C 正确，
对于D，
时，
，故
，故
，D 正确，
4
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故选：BCD
7．（2025·湖南·一模）已知函数
在
有且仅有两个零点，且
，
则
图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的零点情况，求出
的取值范围，再利用给定等式分析判断函数图象的对称轴即可得解.
【详解】由函数
在
有且仅有两个零点，
得
，解得
，则
，
又
，而
，当
时，
，
，
由
，得
，当
时，
，
即函数
在
有3 个零点，不符合题意，
因此
是函数
图象的一条对称轴，即
，解得
，
当
时，
，当
时，
，均不符合题意；
当
时，
，得
，则
图象的对称轴为
.
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及三角函数在指定区间上的零点个数求参数范围，利用五点法作图思想分析周期情
况是解题的关键.
8．（2025·湖南长沙·一模）已知函数
，若
在
上有且仅有四个不相
等的实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
5
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【分析】根据辅助角公式可得
，作出
的图象，结合图形即可求
解.
【详解】
，
作出
的图象，如图所示，
结合图形可知，若
在
上有且仅有4 个不等的实数根，
则
且
，
即
的取值范围为
.
故选：D
9．（2025·湖南·一模）（多选）已知函数
的最大值为
，其部分图象如图
所示，则（ ）
A．
B．函数
为偶函数
6
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C．
在
上恰有4 个零点，则
D．当
时，函数
的值域为
【答案】ABC
【分析】对于A：根据函数周期分析判断；对于B：根据函数最值分析判断；对于C：令
，可得
，以
为整体，结合正弦函数性质分析判断；对于D：整理可得
，结合正
切函数分析求解.
【详解】对于选项A：因为
，
由图象可知：函数
的最小正周期
，
且
，则
，解得
，可得
，故A 正确；
对于选项B：由图可知：当
时，函数
取到最大值，
则
，
整理可得
，解得
，
则
，
所有
为偶函数，故B 正确；
对于选项C：令
，可得
，
因为
，则
，
7
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若
在
上有4 个零点，
则
，解得
，故C 正确；
对于选项D：因为
，
又因为
，则
，可得
，
所以函数
的值域为
，故D 错误；
故选：ABC.
10．（2025·湖南·一模）若函数
的部分图象如图所示，且
，则
的最小正周期为 ，
在
上的零点个数为 ．
【答案】
350
【分析】对于求函数
的最小正周期
，有公式
，我们需要根据已知条件求出
的值.
再令
，即
，解出
，再根据区间确定个数.
【详解】令
，得
，则
．
令
，得
，则
．
令
，得
，则
．
8
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因为
，所以
，解得
．
所以
的最小正周期为
．
当
时，
，
令
，得
，
所以
在
上的零点个数为350．
故答案为：
11．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
的单调递减区间为
C．
的图象可由函数
的图象向右平移
个单位得到
D．满足条件
的最小正整数
为2
【答案】ABD
【分析】观察函数图象，确定函数
的周期，由此可求
，判断A，再结合
时，函数取最大值，
列方程求
，根据正弦函数的单调性求
的单调递减区间，判断B，根据函数图象变换结论，判断C，
9
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先求
，化简不等式可得
范围，解不等式确定
的范围，判断D.
【详解】设函数
的周期为
，
观察函数图象可得，
，
所以
，又
，
所以
，A 正确，
因为
时，函数
取最大值，
，
所以
，
，
所以
，故
，
由
，
可得
，
所以函数
的单调递减区间为
，B 正确，
函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象，C 错误，
因为
，
所以
，
，
所以
可化为
，
所以
或
，
10
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由
可得，
，所以
，
即
，
取
可得
，取
可得
，
由
可得，
，所以
，
即
，
取
可得
，
所以满足条件
的最小正整数
为2，D 正确，
故选：ABD.
12．（2025·湖南·一模）函数
的部分图象如图所示，则下列说
法正确的有（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
的表达式可以写成
D．若关于
的方程
在
上有且只有4 个实数根，则
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【答案】ABD
【分析】根据函数图象过
，
，建立方程组求出
的解析式，再根据正弦函数的图象和性质
逐项判断即可.
【详解】由函数图象可知
，
，
因为
在
，
附近单调递增，
所以
，
，
，
又因为
，所以
，
，
所以
，A 说法正确；
当
时，
，
所以由
在
单调递减可知
在
上单调递减，B 说法正确；
因为
，所以C 说法错误；
令
得
，解得
或
，
方程
在
上有且只有4 个实数根，从小到大依次为
，
而第5 个实数根为
，所以
，D 说法正确；
故选：ABD
13．（2025·湖南岳阳·一模）如图，直线
与函数
的部分图象交于
三
点（点
在
轴上），若
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象
D．当
时，
【答案】AD
【分析】对A，根据
过
判断即可；对B，由
相邻可得
，
，再根据
求解；对C，由
的函数解析式与平移变化分析即可；对D，
根据正弦函数的值域判断即可.
【详解】对A，由
过
可得
，即
，由图结合
可得
，故A 正确；
对B，由
可得
，即
或
，
由
相邻可得
，
，
故
，又
，则
，可得
，故B 错误；
对C，由AB 可得
，将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
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的图象，故C 错误；
对D，当
时，
，故
，
则
，故D 正确.
故选：AD
四、ω 的取值范围
14．（2025·湖南·一模）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，若函数
在区间
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．2
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”求出函数
的解析式，再利用函数的单调性即可求出
的最大值.
【详解】由题可知，
，
时，
．
因为
在区间
上单调递减，所以
，所以
，
的最大值为5．
故选：B
15．（2025·湖南衡阳·一模）已知
，且
在
单增，
上单减，则
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【答案】
【分析】根据
，
求出
，
在
单增，
上单减求出
.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，因为
在
单增，
上单减，
所以
是
的最大值点，所以
，
所以
，因为
在
单增，
上单减，
所以单调区间长度大于等于
，所以
，
且
，所以
，所以
.
故答案为：.
16．（2025·湖南·一模）设函数
①给出一个
的值，使得
的图像向右平移
后得到的函数
的图像关于原点对称，
；
②若
在区间
上有且仅有两个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据变换法则得
，则
，取
计算即可，确定
，根据零点个数得到
，解得答案.
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【详解】由题意可得
，
因为
的图像关于原点对称，所以
，即
，
当
时，
；
若
，则
，
有且仅有两个零点，
则
，解得
，故
的取值范围为
.
故答案为：
（答案不唯一）；
17．（2025·湖南邵阳·一模）已知函数
在区间
上有且仅有4 个
零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
看成一个整体，找出其范围，再根据正弦函数的图像和性质列出不等式求解.
【详解】
，
令
，得
.
，
.
令
，由
的图象得：
，化简得
.
故选：D.
16
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五、解三角形小题综合
18．（2025·湖南益阳·一模）在
中，角
，
，
所对的边依次为
，
，，已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
为钝角三角形
C．若
．则
的面积是
D．若
的外接圆半径是
，内切圆半径为，则
【答案】BD
【分析】由正弦定理可得
，设
，
，
，即可判断A，利用余弦定理
求出
，即可判断B，结合A 求出边，再结合B 求出
，最后由面积公式判断C，首先由正弦定理
求出
，利用等面积法求出，即可判断D.
【详解】因为
，
由正弦定理
，可得
，
设
，
，
，
则
，故A 错误；
由题意可知，
为最大角，
因为
，故
为钝角，故B 正确；
若
，则
，
，
，
又
，所以
，
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所以
的面积
，故C 错误；
由正弦定理得，
，即
，
由面积公式可得
，
即
，
所以
，
所以
，故
，故D 正确．
故选：BD．
六、解三角形解答题求角
19．（2025·湖南·一模模）已知
三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
成等比数列，
，
，
成等差数列，则
.
【答案】
【详解】由题，
由正弦定理可得：
③
由正弦定理，
故
，
由余弦定理：
代入得：
18
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所以
，故
.
故答案为：
.
20．（2025·湖南·一模）在
中，角A，B，C 的对边为a，b，c，已知
，
，
是等差数
列．
(1)若a，b，c 是等比数列，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，
化简求得
；
（2）由（1）得
，再借助角
的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为a，b，c 是等比数列，所以
，有
，
因为
，
，
是等差数列，所以
.
故
.
所以
．
（2）由（1）的过程可知
，若
，则
.
又由
，得
，
故
．
21．（2025·湖南·一模）记
的内角
，
，
的对边分别
，
，，已知
19
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．
(1)求
；
(2)设
是边
中点，若
，求
．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及辅助角公式求解.
（2）利用和角的正弦公式求出
，再利用向量数量积的运算律及正弦定理求解.
【详解】（1）在
中，由正弦定理及
，
得
，又
，
则
，而
，
化简得
，即
，而
，因此
，
所以
.
（2）在
中，由
，得
，
，
由正弦定理
，得
，由
是边
中点，得
，
则
，因此
，
在
中，由正弦定理
，得
.
七、解三角形解答题求边长
22．（2025·湖南益阳·一模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
20
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.
(1)求
；
(2)若
，
面积为
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，可得
，得
，则
，即可求得
；
（2）由
面积为
，利用三角形面积公式可得
，由余弦定理得
，即
，则可求得
的值.
【详解】（1）由正弦定理得
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）
面积为
，
，
，
21
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，
，
由
得
，
即
，
.
23．（2025·湖南长沙·一模）已知
的角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求A；
(2)若
的面积为
，
，点D 为边
上靠近B 的四等分点，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合余弦定理角化边得
，接着由余弦定理
即可
得解.
（2）先由
和
求出角
，接着由正弦定理形式的面积公式
求出
，再由余弦定理
即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以由余弦定理可得
，整理得
.
所以由余弦定理可得
，
又
，所以
.
22
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（2）因为
，
，
所以
，
即
，
又
，故
，则
，
所以
，所以
.
所以
，所以
，
所以在
中，
，
，由余弦定理可得
，即
.
24．（2025·湖南邵阳·一模）已知在
中，三个角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，点D 在边BC 上，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）根据余弦定理可求
；
（2）根据角的关系可得
，求出后者后可得比值.
【详解】（1）
，
.
23
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即
.
由正弦定理得：
，
，
，
.
（2）易知
，
，
，
，
，
，
.
.
的值为
.
八、解三角形解答题求周长
25．（2025·湖南·一模）记
的内角
的对边分别为
，已知
(1)求
；
(2)设
的中点为
，若
，且
，求
的周长．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合
可以得到
，进而得到
；
（2）在
和
中分别利用余弦定理，结合
，可以求得
的值，进而得到
的
周长.
【详解】（1）由
得
，
24
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由正弦定理可得，
，
因为
，
所以
，
代入上式，整理得
，
又因为
，
，所以
，
又因为
，解得
.
（2）在
中，由余弦定理得
，
而
，
，所以
①，
在
中，由余弦定理得
②，
由①②两式消去a，得
，所以
，
又
，解得
，
．
，
所以
的周长
.
26．（2025·湖南·一模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，代入已知等式，利用正弦定理和余弦定理角化边，
可求
的值；
25
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（2）已知条件结合三角形面积公式化简求出
，由正弦定理结合两角和与差的正弦公式得
，由
，得
，可求
周长的取值范围．
【详解】（1）∵
，
由正弦定理可得：
，
由余弦定理知：
，
，
可得
，
则有
，由
，解得
.
（2）
中由余弦定理知
，又在
中有
，
∴
，化简得
，
∵
，∴
.
又
，由正弦定理得：
，
，
，
因在
中，
，
，
，
所以
，当
时，等号成立，
∴
周长
的取值范围是
．
九、解三角形解答题求面积
27．（2025·湖南娄底·一模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则
的面积的最大值为 .
26
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【答案】
【分析】利用余弦定理结合均值不等式求得
最大值，再用三角形的面积公式求解即可.
【详解】因为已知
， 由余弦定理可得
，
因为
，又因为
，得
，
当且仅当
时等号成立，
则
面积为
，
当且仅当
时等号成立，故
的面积的最大值为
.
故答案为：
.
28．（2025·湖南岳阳·一模）已知
分别为
的内角
的对边，且
，点
为
边的中点，若
，且
.
(1)求
；
(2)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合
，辅助角公式得到
，从而求出
；
（2）根据
和余弦定理得
，结合
，
得到
，根据
求出
，由三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）
，利用正弦定理可得
，
又
，
27
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故
，
即
，
因为
，所以
，故
，
由辅助角公式得
，
又
，故
，
即
，所以
；
（2）
，故
，
由余弦定理得
，
由
为
中点，化简得
，
，故
，
又
，所以
，
又
，故
，
将
代入上式得
，即
，
解得
，负值舍去，
则
的面积为
29．（2025·湖南岳阳·一模）已知
的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，且满足
．
28
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(1)求角A 的大小；
(2)若
，
的角平分线AD 与边BC 相交于点D，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理可得
，结合余弦定理可得
，可求
；
（2）由
，可得
，结合余弦定理可得
，可求
的面积.
【详解】（1）∵
，∴由正弦定理可得
，
∴
，
整理得：
，
∴
，
由于
，
所以
；
（2）∵
的角平分线AD 与边BC 相交于点D，
∴
，∴
，
∴
，
在
中，由余弦定理可得
，
∴
，解得
或
（舍去）．
∴
的面积
．
30．（2025·湖南·一模）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，且
.
(1)求A；
29
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(2)若
，求
的值；
(3)若
，点D 在边AB 上，
，
.求
的面积.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据正弦定理求解即可；
(2)利用二倍角公式求解即可；
(3)利用向量数量积运算求出b，利用面积公式即可求解；
【详解】（1）由
，得
,
又因为
，
所以
，
，
即
.
（2）若
，则
，
则
,
则
;
（3）由
，
所以
，
由（1）知
，所以
，所以在直角三角形
中，
，
30
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如图
因为
，所以
,
平方得
，
则
，
所以直角三角形的面积.
31
