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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 10 大学洛必达法则在导数中的妙用（精
讲+精练）
一、必备知识整合
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个
无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们
的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1.法则1（ 型）：若函数 和 满足下列条件：
（1）设当 时， 及 ；
（2）在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；
（3） ；则： .
2.法则2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；
(3) ，则： .
3.法则3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：
(1) 及 ；
(2)在点 处函数 和 的图像是连续的，即函数 和 在点 处存在导数；且 ；
(3) ，则： = .【特别提醒】
（1）将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理 型。
（3）首先要检查是否满足 型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个
前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1） 型的转化： 或 ；
（2） 型的转化：
（3） 、 型的转化：幂指函数类
二、考点分类精讲
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时 ，求
的取值范围．
【答案】
【分析】分离参数，构造新函数 ，及 ，判定其导函数的符号结合洛必达法则
计算即可.
【详解】由题意可知，当 时，即 等价于 ．
设 ，则
设 ，则 ，因为 ，所以 ，
即当 时， ，所以 在 上单调递减，当 时， ，当 时， 满足洛必达法则，
所以 ，
即当 时， 的取值范围是 ．
【题型训练-刷模拟】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习） 恒成立,求 的取值范围
【答案】
【分析】常数分离得 ，判断 的单调性并用罗比塔法则求其最小值.
【详解】 ，
记 ， ，
则 ，
记 ，
则 ，
而 ，
所以, 在 单调递增,所以 ，
所以, 在 单调递增,所以 ，
即在 上 ,所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 .
2．（2023高三·全国·专题练习） ， 恒成立，求 的取值范围
【答案】
【分析】根据题意，先讨论 的情况，然后讨论 的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可
得到结果.
【详解】当 时， ;当 时，不等式可化为 .
记 ，
则 ，
记 ，则 ，
当 时，则 ; 当 时，则 .
因为 ，并且 ，所以 .
这时 符合题意.
综上可知， 的取值范围是 .
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ．当 时 ，求 的取值范
围．
【答案】
【分析】分离参数，构造新函数 ，及 ，判定其导函数的符号结合洛必达法则
计算即可.
【详解】由题意可知，当 时，即 等价于 ．
设 ，则
设 ，则 ，因为 ，所以 ，
即当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，当 时， 满足洛必达法则，
所以 ，
即当 时， 的取值范围是 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，如果当 ，且 时， ，
求 的取值范围．
【答案】【分析】将题意转化为 ，令 ，利用洛必达法则求出 ，即可得出答
案.
【详解】根据题目的条件，当 且 时，
得 ，等价于 ．
设 ， ，
因为 ，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， ，
即 在 上单调递减，当 在 上单调递增．
当 趋近 时， 趋近 ，当 趋近 时， 趋近 ，
所以 符合洛必达法则的条件，
即 ，
所以当 时，
所以 的取值范围是 ．
5．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，若当 时，恒有 成立，求实
数 的取值范围．
【答案】
【分析】由题意分离参数可得 ，令 ，对 求导，求出 的单调性结合
洛必达法则求出 的最大值.
【详解】∵ ，∴ ．
∴当 时， ，即 单调递减；当 时， ，即 单调递增．
若当 时，恒有 成立，即恒有 成立．
当 时，不等式恒成立．
当 时，恒有 成立，
即 ，令 ，
则 ．
令 ，则 ，进一步 ，
∴ 在 上单调递减，∴ ．
∴ 在 上单调递减，∴ ．
即 在 上恒成立，∴ 在 上单调递减．
∴ ，∴ ．
综上， 的取值范围为 ．
6．（2023高三·全国·专题练习）设函数 ，
(1)若 ， （ 为常数），求 的解析式；
(2)在（1）条件下，若当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ， 求解；
（2）由（1）知 时， ，此时， ，将问题转化为 对 恒成立求解．
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以 ， ，
解得 ，
所以 ；（2）由（1）可知， 时， ，此时， ；
故 时， 成立 时， 成立，
对 恒成立，
即 对 恒成立；
记 ，则 ，
记 ，则 ，
记 ，则 ，
∴当 0时， ， 在 上单调递增；
，
所以 在 上单调递增； ；
∴ 时， 0，即 在 上单调递增；
记 ， ，
当 时， ， 符合洛必达法则条件，
∴ ，
∴ 时， ，
∴ ．
