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第 12 讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题
一、 型及 型未定式
1、定义：如果当 （或 ）时，两个函数 与 都趋于零（或都趋于无
穷大），那么极限 （或 ）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限
称为 型及 型未定式.
2、定理1（ 型）：（1）设当 时， 及 ；
（2）在 点的某个去心邻域内（点 的去心邻域 内）都有 ，
都存在，且 ；
（3） ；
则： .
3、定理 2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：(1) 及
；
(2) ， 和 在 与 上可导，且 ；
(3) ，
那么 .
4、定理 3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：(1) 及
；
(2)在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
(3) ，那么 = .
5、将上面公式中的 , , , 洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、 型 、 、 、 型
1、 型的转化：
或 ；
2、 型的转化：
3、 、 型的转化：幂指函数类
高频考点类型
类型一：洛必达法则的简单计算
典型例题
1．（23-24高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为 型，
比如：当 时， 的极限即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，
为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极
限来确定未定式值的方法.如： ，则
（ ）
A． B． C．1 D．22．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，
也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分
母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为
型，比如：当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能
不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求
导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，则
（ ）
A．0 B． C．1 D．2
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川成都·期中） 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创
造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件
下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，按此方法则有 ．
2．（23-24高二下·四川成都·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创
造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件
下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，按此方法则有 ．
3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为
型，比如：当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能
不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，
则 ．
类型二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法
则中有结论：若函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，
则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成
立，且 ，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，如果当 ，且 时，
，求 的取值范围．练透核心考点
1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
2．（23-24高三上·四川成都·期中）已知函数 .
(1)当 时，求过原点且与 的图象相切的直线方程；
(2)若 有两个不同的零点 ，不等式 恒成
立，求实数 的取值范围.
