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第 05 讲 指数与指数函数 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养(新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024下·全国·高一开学考试）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】AB选项，根据指数运算法则计算出答案；CD选项，根据指数运算和对数运算法
则进行计算.
【详解】A选项， ，A正确；
B选项， ，B错误；
C选项， ，C错误；
D选项， ，D错误.
故选：A
2．（2024上·江西景德镇·高一统考期末）当 且 时，函数 恒过
定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由指数函数的性质即可求解.
【详解】当 时， ，与 无关，
则函数 恒过定点 ．
故选：B.
3．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为 ，则 ，
所以 .
故选：C.
4．（2024下·山东济南·高三济南一中校联考开学考试）函数 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可得到选项.
【详解】由函数 ， ，令 ，解得 ，
则其定义域为 ，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D选项，因为 ，观察选项可知，
选A.
故选：A
5．（2024下·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）设 ．若函数
为指数函数，且 ，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】A【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得.
【详解】由函数 为指数函数，故 且 ，
当 时，函数 单调递增，有 ，不符合题意，故舍去；
当 时，函数 单调递减，有 ，符合题意，故正确.
故选：A.
6．（2024下·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知 且 ，若
函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若满足条件，则每一段上都为增函数，且在分界点处的函数值前一段的函数值不
大于后一段的函数值，求解即可.
【详解】 函数 在 上单调递增，
， ，
实数 的取值范围为 ，
故选：D.
7．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知函数 为 上的奇函数，
当 时， ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由奇偶性求出 的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解.
【详解】函数 为 上的奇函数，当 时， ，
则当 时， ，有 ，显然 ，
不等式 转化 或 ，解得 或 ，所以不等式 的解集为 .
故选：C
8．（2024上·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期中）已知函数
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】探讨函数 的奇偶性、单调性，再利用性质求解不等式即得.
【详解】函数 的定义域为R，
，
即函数 是R上的偶函数，当 时， ，
函数 在 上单调递增，则 在 上单调递减，
在 上单调递增，又 在 上单调递增，
因此 在 上单调递增，而不等式 ，
于是 ，两边平方得 ，解得 ，
所以所求不等式的解集为 .
故选：B
二、多选题
9．（2024上·河南漯河·高一漯河高中校考阶段练习）已知 ，下列各式中正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果.
【详解】A： ，故A正确；
B： ，故B正确；C： ，故C正确；
D：
，故D正确；
故选：ABCD.
10．（2024上·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末）已知 ，则
的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】CD
【分析】先由等式 得到 ，再应用基本不等式求得 的范围，结合
选项判断即可.
【详解】由 得： ，解得 ，即 ，
由于 ， ，当且仅当 （即 ）时取得
等号.
故选：CD.
三、填空题
11．（2024上·江西·高二校联考期末） ．
【答案】112
【分析】根据完全平方式的特征即可求解.
【详解】
,
故答案为：112
12．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数 ，则不等式
的解集为 ．
【答案】【分析】根据函数的单调性化简不等式 ，由此求得不等式的解集.
【详解】 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递
增，
则由 得 ，解得 ，即不等式的解集为 ．
故答案为：
四、解答题
13．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知 ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)7
(2)
【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.
（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.
【详解】（1）由题意 ，所以 .
（2）由题意 ，
所以 .
14．（2024下·吉林长春·高一长春外国语学校校考开学考试）已知函数 （ 且
）在 上的最大值与最小值之差为
(1)求实数 的值；
(2)若 ，当 时，解不等式 ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】（1）根据函数的单调性，求函数的最值，结合条件，即可求解；
（2）首先求函数 的解析式，再根据函数 的性质，化解不等式，即可求解.【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，解得
当 时， ， ，
则 ，解得
综上得： 或
（2）当 时，由（1）知 ，
为奇函数且在 上是增函数，
∴ 即 ，
，得 或 ，
所以，不等式 的解集为 .
B能力提升
1．（2024·四川·校联考一模）函数 的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到函数 为偶函数，排除C，D，再结合 ，利用 的函数
值的符号，即可求解.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
可知 为偶函数，其函数 的图象关于 轴对称，可排除C，D；当 时，可得 ，
若 时， ，则 ；
若 时，可得 ，则 ，此时B不符题意.
故选：A
2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）函数 的图象恒过定点 ，且
点 的坐标满足方程 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】先利用必过定点确定 的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可.
【详解】在 中，当 时， ，故 ，
将 代入直线方程中，化简得 ，
故 ，
当且仅当‘ ’时取等，即 的最小值为 .
故选：C
3．（2024上·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ，若
，则 （ ）
A． B．1 C．-5 D．5
【答案】A
【分析】构造函数 ，证明其为偶函数，据此可得解.
【详解】设 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 .
故选：A
4．（2024下·河南·高一校联考开学考试）已知函数 满足 ，当时， ，且 ，则当 时，不等式 的解集
为 .
【答案】
【分析】首先确定函数的周期，再利用周期，求 和 的解析式，再解
不等式.
【详解】由 知，函数 是周期函数，周期为4，
，得 ，
所以当 时， ，
设 ， ,
则 ，得 ，即 ，
当 ， ，
则 ，得 ，即 ，
综上可知不等式 的解集为 .
故答案为：
5．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若 满足以下条件：①
；② 的图象关于 对称；③对于不相等的两个正实数 ，
有 成立，则 的解析式可能为 .
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由指数函数的性质，图象关于 对称，和对于不相等的两个正实数 ，有
成立共同得出即可.
【详解】设 ，
因为 ，故满足①；
图象为：故满足②；
设 ，则 ，由指数函数的性质可知 ，故
，所以满足③；当 ，则 ，由指数函数的性质可知
，故 ，也满足③.
故答案为： (答案不唯一).
C综合素养
6．（2024上·广东茂名·高一统考期末）若函数 满足：对于任意正数m，n，都有
，且 ，则称函数 为“速增函数”．
(1)试判断函数 与 是否为“速增函数”；
(2)若函数 为“速增函数”，求a的取值范围．
【答案】(1) 是“速增函数”， 不是“速增函数”
(2)
【分析】（1）根据“速增函数”的定义，利用作差法可判断函数 ；根据“速增
函数”的定义，通过举反例可判断函数 .
（2）先根据“速增函数”的定义将问题转化为不等式恒成立问题；再利用指数运算法则和
指数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）对于函数 ，
当 时，有 ；
因为 ，
所以 ，
故根据“速增函数”的定义可得： 是“速增函数”.
对于函数 ，
当 时，有 ，故根据“速增函数”的定义可得： 不是“速增函数”.
（2）因为 是“速增函数”，
根据“速增函数”的定义可得：
当 时， 恒成立；
当 时， 恒成立.
由当 时， 恒成立可
得： 对一切正数n恒成立.
又因为当 时， ，
所以 对一切正数n恒成立，
所以 ，即 .
由当 时， 恒成立，可得： ，
即 对一切正数 恒成立.
因为
，
所以 ，
又因为当 时， ，
所以 ，
由 对一切正数 恒成立，可得 ，即 ．
综上可知，a的取值范围是 ．
7．（2024上·山东临沂·高一山东省临沂第一中学期末）临沂一中校本部19、20班数学小
组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出
函数的图象，例如函数 和 ，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差
异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有
，则称 为 上的凹函数；若 ，
则 为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式
（Jensen不等式）：若f（x）是区间 上的凹函数，则对任意的 ,
有不等式 恒成立（当且仅当 时
等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在
运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数
和对数函数 ，研究函数的凹凸性.
(1)设 ，求W= 的最小值.
(2)设 为大于或等于1的实数，证明 （提示：
可设 ）
(3)若a>1，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】（1）先证明 在 为凹函数，再利用琴生不等式求解；
（2）证明 在 为凹函数再结合琴生不等式得证；
（3）分离参数，求函数最值得解.
【详解】（1）记函数 ，首先证明其凹凸性：
,则所以 在 为凹函数.
由琴生不等式，得 ，
即
所以 ，当 时，W的最小值为 .
（2）设 ,因为 故
要证 只需证
由琴生不等式，只需证 在 为凹函数.
设 ，
下证 ，即证 ，
即证 ,
化简得 .
即证
式显然成立，所以 成立， 在 为凹函数，则
得证.
（3）当 时，不等式 恒成立，即 ，因为 ,即
恒成立，
可得 在 时恒成立．
因为 ，所以 ， ，所以 ．由 ，及 ，可得 ，所以 ．
故 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联
系起来.
