文档文本内容
第09讲 工具篇（借助隐零点，洛必达法则，中值定理，泰勒展开式，二次导等工具解决导数问题）
目录
第一部分：题型篇....................................................1
题型一：借助隐零点解决导数问题...................................1
题型二：借助洛必达法则解决导数问题..............................10
题型三：借助泰勒展开式解决导数问题..............................16
题型四：通过二次求导解决导数问题................................28
第一部分：题型篇
题型一：借助隐零点解决导数问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 有且只有2个不同的零点，求 的取值范围.
例题2．（2023·新疆·统考二模）已知 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)当 时，有 恒成立，求 的取值范围.
例题3．（2023·四川攀枝花·统考三模）已知函数 在 处的切线方程为
.(1)求实数 ， 的值；
(2)当 时， 恒成立，求正整数 的最大值.
精练核心考点
1．（2023·福建宁德·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，且 ，求证： 且 .
2．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数 .
(1)求 的单调区间和极大值；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)若函数 是增函数，求 的取值范围；(2)已知 、 为函数 （ 为函数 的导函数）图象上任意的两点，
设直线 的斜率为 ，证明： .
题型二：借助洛必达法则解决导数问题
典型例题
例题1．（2023·江苏·高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696
年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求 在点 ， 处的切线方程；
(2)若 ，证明： 在 ， 上恒成立；
(3)若方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： ．
精练核心考点
1．（2023春·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早
在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定
条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定
式值的方法．
如： ，则 ______．
2．（2023·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知 ．
(1)当 时，求 的单调性；
(2)若 ，求a的取值范围．
题型三：借助泰勒展开式解决导数问题
典型例题
例题1．（多选）（2023·辽宁·校联考二模）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ ）．
A． （ 是虚数单位） B． （ 是虚数单位）
C． D．
例题2．（2023·辽宁丹东·统考一模）计算器计算 ， ， ， 等函数的函数值，是通过写入
“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数 在含有 的某个开区间 内可
以多次进行求导数运算，则当 ，且 时，有
．
其中 是 的导数， 是 的导数， 是 的导数……．
取 ，则 的“泰勒展开式”中第三个非零项为____， 精确到0.01的近似值为______．
例题3．（2023·湖南永州·统考三模）已知函数 ， .
(1)若 是函数 的极小值点，讨论 在区间 上的零点个数.
(2)英国数学家泰勒发现了如下公式：
这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.
现已知 ，
利用上述知识，试求 的值.
例题4．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数 可导，我们通常把导函数
的导数叫做 的二阶导数，记作 ．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作 ，
三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地， 阶导数的导数叫做 阶导数，记作
．②若 ，定义 ．③若函数 在包含的某个开区间 上具有 阶的导数，那么对于任一 有
，我们将 称为
函数 在点 处的 阶泰勒展开式．例如， 在点 处的 阶泰勒展开式为
．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点 处的 阶泰
勒展开式 ；
（2）比较（1）中 与 的大小．
（3）已知 不小于其在点 处的 阶泰勒展开式，证明： ．
精练核心考点
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式
是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：
，（其中 ， ），则 的值约为（1弧度 ）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数 可导，我们通常把
导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地， 阶导数的导数叫做 阶导数，记作.②若 ，定义 .③若函数 在包含
的某个开区间 上具有 阶的导数，那么对于任一 有
，我们将 称为
函数 在点 处的 阶泰勒展开式.例如， 在点 处的 阶泰勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点 处的 阶泰勒
展开式 ；
(2)比较（1）中 与 的大小.
(3)证明： .
3．（2023·全国·高三专题练习）英国数学家泰勒发现了如下公式： ，其中
，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当 时，， .
(1)证明：当 时， ；
(2)设 ，若区间 满足当 定义域为 时，值域也为 ，则称为 的“和谐区
间”.
（i） 时， 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 的所有“和谐区间”，若不存在，请说
明理由；
（ii） 时， 是否存在“和谐区间”？若存在，求出 的所有“和谐区间”，若不存在，请
说明理由.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）若 恰为 的极小值点.
①证明： ；
②求 在区间 上的零点个数；
（2）若 ， ，又由泰勒级数知：
，证明：
题型四：通过二次求导解决导数问题
典型例题例题1．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数 ，
.
(1)若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若函数 在点 处的切线斜率为0，求 的值．
(2)当 时．设函数 ，求证： 与 在 上均单调递增；
例题3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线过原点，求 的值；
(2)若在 的切线中，存在着过原点的切线，求 的取值范围．精练核心考点
1．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知函数 ， 为
的导函数且 .
(1)求实数a的值，并判断 是否为函数 的极值点；
(2)确定函数 在区间 内的极值点个数，并说明理由.
2．（2022春·广西贺州·高二昭平中学校考阶段练习）已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上的最大值为20，求实数a的值；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.3．（2023春·江西·高三校联考开学考试）设 （ ）.
(1)当 时，求 在 上的最大值；
(2)若 （ ），则当 取得最小值时，求a的值.
