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重难点培优10 导数中二阶导与洛必达法则的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 二阶导与函数单调性（★★★★★）............................................................................................4
题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）（★★★★★）...............................................5
题型三 二阶导解决函数零点问题（★★★）............................................................................................6
题型四 二阶导解决不等式证明（★★★★）............................................................................................7
题型五 利用二阶导解决其他类型问题（★★★）....................................................................................8
题型六 洛必达法则（★★★★★）............................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................9
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................9
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................11
一、二阶导函数
1、前言
导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可
以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我
们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以
在高考中就可能用到二阶导数。
2、二阶导的用法
判断
的单调性则需判断
的正负，假设
的正负无法判断，则把
或者
中不能判
断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数
，如果通过对
进行求导继而求最值，若
或
则可判断出
的正负继而判断
的单调性，流程如下图所示：
一阶导数
最小值大
于等于0
一阶导数
最大值小
于等于0
一阶导
数无法
判断单
调性
我们对一阶导数或对
其中不能判断符号的
部分进行求导
通过二阶导
数求出一阶
导数的最值
通过二阶导
数求出一阶
导数的最值
原函数
单调增
增
原函数
单调递
增
3、解决这类题的常规解题步骤为
①求函数的定义域；
②求函数的导数f '( x)，无法判断导函数正负；
③构造求g( x)=f '( x)，求
；
④找到x ,g'(x),g(x)的变化关系表；
⑤解答问题.
4、函数极值的第二判定定理
若
在
附近有连续的导函数
, 且
（1）若
, 则
在点
处取极大值;
（2）若
, 则
在点
处取极小值.
5、二阶导“失效”，结合隐零点思路
如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的
时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下：
若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为
，但是难点就在这里，因为不
知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的
，例如确定出
在某数之前或某数之后，但
是所设的
满足
=0，通过这个式子可以得到一个关于
的等式，然后所设的点
肯定是原函数唯
一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合
这个等式，有的时候能求出一个不包含
的最
值或者含有
一个很简单的数或式子.
二、洛必达法则
1、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个
无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们
的比值，就需要运用到洛必达法则。
2、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
3、法则形式
1.法则1（
型）：若函数
和
满足下列条件：
（1）设当
时，
及
；
（2）在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
（3）
；则：
.
2.法则2（
型）： 若函数
和
满足下列条件：
（1）
及
；
（2）在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；
（3）
，则：
.
3.法则3（
型）：若函数
和
满足下列条件：
（1）
及
；
（2）在点
处函数
和
的图像是连续的，即函数
和
在点
处存在导数；且
；
（3）
，则：
=
.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的
换成
洛必达法则也成立.
（2）洛必达法则可处理
型.
（3）首先要检查是否满足
型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个
前提条件时，就不能用洛必达法则.
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题.
4、适用类型的转化
（1）
型的转化：
或
；
（2）
型的转化：
；
（3）
、
型的转化：幂指函数类
.
题型一 二阶导与函数单调性
【技巧通法·提分快招】
方法
二次求导
使用情景
对函数
一次求导得到
之后，解不等式
难度较大甚至根
本解不出.
解题步骤
设
，再求
，求出
的解，即得到函数
的单
调性，得到函数
的最值，即可得到
的正负情况，即可得到函数
的单调
性.
1．已知
，若
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·辽宁大连·月考）已知函数
，讨论函数
的单调性.
3．设
，函数
，讨论
在
的单调性.
4．（2024·陕西西安·二模）已知函数
．
(1)当
时，
，
，求
的取值范围；
(2)证明：当
时，
在
上单调递增．
题型二 二阶导与函数的极值、最值（含恒成立问题）
【技巧通法·提分快招】
若
在
附近有连续的导函数
, 且
（1）若
, 则
在点
处取极大值;
（2）若
, 则
在点
处取极小值.
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知函数
的最小值是
，则
.
2．设函数
，若
为
上的单调函数，则实数
的取值范围为 .
3．若函数
在
单调递增，则实数m 的取值范围为 .
4．（23-24 高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数
，使得
，则实数
的取值范围为 .
5．已知函数
.当
时，证明:
有唯一极值点.
6．已知函数
，
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若任意
，
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.
7．已知函数
，
为
的导函数且
.
(1)求实数a 的值，并判断
是否为函数
的极值点；
(2)确定函数
在区间
内的极值点个数，并说明理由.
8．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)证明：当
时，对任意的
，
恒成立．
题型三 二阶导解决函数零点问题
1．（2024·四川成都·三模）已知函数
有三个零点
，其中
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北秦皇岛·三模）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．
的极小值是1
B．
恰有2 个零点
C．方程
恰有1 个实根
D．对任意的
，都有
3．（23-24 高三下·山东淄博·月考）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，试判断函数
与
的图象的交点个数，并说明理由．
4．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
.
(1)若
为
上的单调函数，求k 的取值范围；
(2)若函数
，求证：k 可以取无数个值，使得每一个
的取值
都恰有三个不同的零
点.
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
是函数
的两个零点，求证：
．
6．已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
，求函数
的零点个数.
题型四 二阶导解决不等式证明
1．已知函数
.
(1)设
为
的导函数，求
在
上的最小值；
(2)令
，证明：当
时，在
上
.
2．（2025·浙江·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线过点
，求实数a 的值；
(2)当
时，证明：
．
3．（23-24 高三上·江苏无锡·月考）已知函数
，
为
的导数．
(1)若曲线
上的动点P 到直线
距离的最小值为
，求实数a 的值；
(2)若函数
有两个极值点，求实数a 的取值范围；
(3)在（1）的条件下，求证：
．
4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)证明：
．
5．已知函数
，
．
(1)若函数
的图象在
处的切线方程为
，求b 的值；
(2)若
，
且
，
，求证：
．
题型五 利用二阶导解决其他类型问题
1．已知函数
.
(1)求函数
的图象在点
处的切线方程；
(2)若
在
上有解，求
的取值范围；
(3)设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若函数
的零点为
，则点
恰好就是该函数
的对称中心.试求
的值.
2．（24-25 高三上·广东汕头·期末）已知函数
.
(1)证明曲线
是轴对称图形；
(2)设函数
，解不等式
（是自然对数的底数）.
3．（24-25 高三上·北京·月考）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)当
且
时，判断
与
的大小，并说明理由．
-
-
0
+
4．（24-25 高三上·安徽·月考）已知函数
为自然对数的底数，
，曲线
与
在
处的切线的倾斜角互补.
(1)求
的值；
(2)求
的单调递增区间；
(3)若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足
和
恒成立，则称直线
为函数
和
的“隔离直线”.证明：函数
和
之间存在唯一的“隔离直线”.
题型六 洛必达法则
1．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，按此法则有
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
2．已知函数
，
.若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
3．
恒成立,求
的取值范围
4．已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．设实数
，那么
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·江苏南通·月考）已知函数
存在极大值点和极小值点，
则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川南充·模拟预测）若函数
在
上单调递增,则
和
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）已知
，
，则（ ）
A．函数
在
上的最大值为3
B．
，
C．函数
在
上没有零点
D．函数
的极值点有2 个
5．（2024·云南·二模）函数
的单调递增区间为 ．
6．（23-24 高三下·河南南阳·月考）对
，不等式
恒成立，则实数a 的取值范围为
.
7．已知函数
的图象过
，
，若
，则
.
8．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求函数
的单调性．
9．已知函数
(1)若函数
在点
处的切线斜率为0，求a 的值．
(2)当
时．设函数
，求证：
与
在
上均单调递增；
10．已知
，函数
，
．
（1）讨论函数
的极值；
（2）若
，当
时，求证：
．
11．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若不等式
对任意
恒成立，求实数
的取值范围.
12．已知函数
，曲线
在点
处的切线在
轴上的截距为
．
(1)求
的最小值；
(2)证明：当
时，
．
参考数据：
，
．
13．已知函数
，当
时，
，求实数a 的取值范围.
14．已知函数
，若当
时，恒有
成立，求实数
的取值范围．
15．已知函数
．当
时
，求
的取值范围．
16．已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线；
(2)若对任意
，当
时，证明函数
存在两个零点．
17．已知函数
.
(1)不等式
在
上恒成立，求实数
的最小值.
(2)记函数
，记
在
上的最小值为
，证明：
.
18．（2024·吉林长春·模拟预测）函数
．
(1)求证
：
；
(2)若方程
恰有两个根，求证：
．
19．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若
有三个零点
，其中
.
(i)求实数
的取值范围；
(ii)求证：
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2024·山西·二模）设
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·安徽合肥·月考）已知关于x 的不等式
在
上恒成立，则
实数t 的取值范围是 ．
3．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，请判断
的极值点的个数并说明理由；
(2)若
恒成立，求实数a 的取值范围．
4．（24-25 高三上·云南·月考）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极小值点，求
的取值范围.
5．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数
．
(1)求出
的所有零点，并求出函数
在零点处的切线方程；
(2)设
，
，证明：
，
；
(3)若函数
有两个解
，
，且
，证明：
．
6．设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
