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微专题09 利用洛必达法则解决导数问题讲义
微专题教学内容
洛必达法则：
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；
(3)
，
那么
=
。
型
注意：
1. 将上面公式中的
换成
洛必达法则也成立。
2. 洛必达法则可处理
型。
3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足
,
型定式, 否则滥用洛必
达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用,
应从另外途径求极限。
4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。
, 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。
典例精讲
【典例1】
两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年
提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法
､
，
如
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
会一题通一类
1.们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法
则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
2.①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，则
.
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对任意
，均有
成立，且
，则称函数
为区间
上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：
；
(3)证明：
，
.
【典例2】
已知
恒成立, 求
的取值范围
会一题通一类
1.若不等式
对于
恒成立，求的取值范围.
2.已知
.
（1）求
的单调区间；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求的取值范围.
学后测评
一、单选题
1．（25-26 高三上·安徽蚌埠·月考）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
2．1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数
之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：
，按此方法则有
．
3．（2025 高三·全国·专题练习）
．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
.若当
时，
恒成
立，则实数
的取值范围为 ．
三、解答题
5．（2024 高三·全国·专题练习）
恒成立,求
的取值范围
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
.若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围.
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
满足
，
满足
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)试比较
与
的大小，并说明理由．
(3)
是否能小于等于一个常数
？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．
8．（2023 高三·全国·专题练习）设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
9．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）记函数
；
(1)求函数
的极值点个数；
(2)记函数
的极值点为
，证明：
①
；
②数列
单调递减．
(提示：
时，
)
10．（23-24 高三上·重庆·开学考试）设函数
，
，
，且
有唯一零点.
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：
存在三个零点；
(3)记
的零点为p，
最小的零点为q，证明：
，其中e 是自然对数的底数.
