重难点04 利用导数研究不等式恒（能）成立问题（举一反三专项训
练）
【全国通用】
【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】.........................................................................................................3
【题型2 利用导数研究能成立问题】......................................................................................................................3
【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】.........................................................................................4
【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】.........................................................................................5
【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】.........................................................................................6
【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】.............................................................................................6
【题型7 洛必达法则】..............................................................................................................................................7
【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】.........................................................................................................7
【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】.......................................................................................................10
1、利用导数研究不等式恒（能）成立问题
导数中的不等式恒(能)成立问题是高考的常考考点，是高考的热点问题，从近几年的高考情况来看，
不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题
的能力，一般作为压轴题出现，试题难度较大，解题时要学会灵活求解.
知识点
1
不等式恒（能）成立问题的解题策略
1．不等式恒（能）成立问题的求解方法
解决不等式恒（能）成立问题主要有两种方法：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题
①分离变量：根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，进而解决问题．
②
恒成立
；
恒成立
；
能成立
；
能成立
.
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题
分类讨论法解决恒（能）成立问题，首先要将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分
类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内
的函数值不满足题意即可.
知识点
2
双变量的恒（能）成立问题的解题策略
1．双变量的恒（能）成立问题的求解方法
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变
换有：
对于某一区间I，
(1)
.
(2)
.
(3)
.
知识点
3
洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，
经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现
型或
型可以考虑使用洛必达法则.
1．洛必达法则
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)
，那么
.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)
，那么
.
2．用洛必达法则处理
型函数的步骤：
(1)分离变量；
(2)出现
型式子；
(3)运用洛必达法则求值.
3．用洛必达法则处理
型函数的步骤：
(1)分离变量；
(2)出现
型式子；
(3)运用洛必达法则求值.
【注意】：
1．将上面公式中的
换成
，洛必达法则也成立.
2．洛必达法则可处理
型求极限问题.
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足
型定式，否则滥用洛必达法则会出
错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
【题型1 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例1】（2025·海南·模拟预测）已知当x>0时，e
xlnx
2
−xlnx≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(
∞,1
−
)
B．(
∞,
−
)
C．(
∞,2ln2
−
)
D．(
∞,2+2ln2
−
)
【变式1-1】（2025·甘肃金昌·三模）若关于x的不等式e
ln (ax)ln (ax)≤2xe
2x在(0,+∞)上恒成立，则实数
a的取值范围为（ ）
A．(0,e)
B．(0,2e)
C．(0,❑√e)
D．(0,e
2)
【变式1-2】（2025·广东广州·三模）若不等式e
x≥kx（e=2.71828...为自然对数的底数）对任意实数x
恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．e
D．e
2
【变式1-3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于x的不等式ae
x+ (lnx)2≥x
2+ (2lna+1)x+ (lna)2在
(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e,+∞)
B．(0,e)
C．[
1
e ,+∞)
D．(0,1
e)
【题型2 利用导数研究能成立问题】
【例2】（2025 高三·全国·专题练习）函数f (x)=lnx−mx+1，若存在x∈(0,+∞)，使f (x)≥0有解，则
m的取值范围为（ ）
A．(
∞,1
−
)
B．(
∞,2
−
)
C．[1,+∞)
D．[2,+∞)
【变式2-1】（2025·辽宁大连·三模）已知f (x)=xe
ax
ln
−
x−ax，若存在x0∈R，使得f(x0)=1，则实数a
的取值范围是（ ）
A．( ∞,
−
1
e)
B．[−1
e ,+∞)
C．(−1
e ,0)
D．(0,1
e)
【变式2-2】（2025·河北张家口·一模）已知f(x)=ln x−a(x+1)，a∈R.
(1)若a =2，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若∃x0∈(0,2]，使f(x0)>0，求a的取值范围.
【变式2-3】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数f (x)= (mx
2
−)e
x
1
−，且f (x)在x=0处取得极值．
(1)求m 的值及f (x)的单调区间；
(2)若存在x∈R，使得f (x)≤2ex−a
1
−，求实数a 的取值范围．
【题型3 分离参数法解决不等式恒（能）成立问题】
【例3】（2025·陕西·二模）∀x∈[1,2)，有lnx+a
x
2
1≥0
−
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e,+∞)
B．[1,+∞)
C．[
e
2 ,+∞)
D．[2e,+∞)
【变式3-1】（2025·四川成都·三模）若x∈[0,+∞)，x
2+ax+1≤e
x恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．e
B．2
C．e
1
−
D．e
2
−
【变式3-2】（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数f(x)=x
2
3
−x+λlnx．
(1)当0<λ<9
8
时，讨论f(x)的单调性；
(2)若∀x∈[2,4)，f (x)≤0，求实数λ 的取值范围．
【变式3-3】（2025·江西·三模）已知函数f (x)=e
ax
ln
−
x+a．
(1)讨论函数f (x)的极值点个数；
(2)若f (x)≥(1−a)(x
1
−)+1恒成立，求实数a 的取值范围．
【题型4 分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题】
【例4】（2025·海南·模拟预测）若不等式e
2x+2t
2x≥te
x(2+x)对任意x∈[1,+∞)恒成立，则实数t的最
大值是（ ）
A．e
2
B．e
C．e
2
2
D．e
2
【变式4-1】（2025·辽宁·一模）已知函数f (x)=e
2x−e
2
−x−ax，若x≥0时，恒有f (x)≥0，则a的取值范
围是（ ）
A．(
∞,2
−
)
B．(
∞,4
−
)
C．[2,+∞)
D．[4,+∞)
【变式4-2】（2025·新疆喀什·二模）已知函数f (x)=e
x+2(x
2+ mx+ m)
(1)当m = 1
−时，求f (x)的极值；
(2)若存在x∈[
2,0
−
)，使得f (x)≤m
2
，求m的取值范围．
【变式4-3】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数f (x)=x
2
2 +alnx−(a+1)x．
(1)当a =2时，求f (x)的单调递增区间；
(2)若a≥0，f(x)≥−e
2
2
对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．
【题型5 构造函数法解决不等式恒（能）成立问题】
【例5】（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式xe
x−x≥lnx+ m +3，对∀x∈(0,+∞)恒成立，则m的
取值范围为（ ）
A．m ≤−1
2
B．m ≥−1
2
C．m > 2
−
D．m ≤2
−
【变式5-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数f (x)=2xlnx−a x
2，若对任意的x1,x2∈(0,+∞)，
当x1>x2时，都有2x1+f(x2)>2x2+f(x1)，则实数a的取值范围为（ ）
A．[
1
2e ,+∞)
B．[1,+∞)
C．[
1
e ,+∞)
D．[2,+∞)
【变式5-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−ax
1
−.
(1)当a =1时，求f (x)的单调区间与极值；
(2)若f (x)≤x
2在x∈(0,+∞)上有解，求实数a 的取值范围.
【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)=1
2 x
2+ax+lnx(a∈R)
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若对于∀x>0，不等式f (x)≤e
x+3
2 x
2恒成立，求实数a的取值范围.
【题型6 与不等式恒（能）成立有关的证明问题】
【例6】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−m x
3−3
2 x．
(1)若函数f (x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)当m =1
3
时，求证：对∀x∈(0,+∞),f (x)>ln (x+1)−5
2 x恒成立．
【变式6-1】（2025·安徽·三模）已知函数f (x)= (m +1)lnx+1
x
.
(1)若m =2，求曲线y=f (x)在x=1处的切线方程；
(2)当m ∈(0,1)时，求证：关于x的不等式mx−f (x)<1在[1,e)上恒成立.
【变式6-2】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数f (x)=1
2 e
2x+ (a
2
−)e
x
2
−ax(a∈R)．
(1)当a =2时，求f (x)的单调区间；
(2)当a =0时，求证：对任意的x∈(0,+∞)，f (x)+4e
x>2x
2+5
2
恒成立；
【变式6-3】（2025·河北·模拟预测）已知f (x)=e
x−asinx，且在x=0处取得极小值．
(1)求a的值；
(2)若g (x)=f (x)+ bx
2，且g (x)在x=0处取得极大值，求b的取值范围；
(3)证明：对于任意的x1>0,x2>0,λ>0，有f(x1)+λf(x2)≥(1+λ)f(
x1+λx2
1+λ
)恒成立．
【题型7 洛必达法则】
【例7】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)=a ln x +bx(a,b∈R)在x = 1
2
处取得极值，且曲线
y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线与直线x−y +1=0垂直.
(1)求实数a,b的值；
(2)若∀x∈[1 , + ∞)，不等式f ( x)≤(m−2)x−m
x
恒成立，求实数m的取值范围.
【变式7-1】（24-25 高二下·全国·期末）若不等式sin x> x−a x
3对于x∈(0, π
2 )恒成立，求a的取值范围.
【变式7-2】（2024·浙江·二模）
在微积分中，求极限有一种重要的数学工具
洛必达法则，法则中有
①
——
结论：若函数f (x)，g(x)的导函数分别为f
′ (x)，g
′ (x)，且lim
x→a f ( x)=lim
x→a g( x)=0，则
lim
x→a f ( x)
g( x)
=
lim
x→a f
′( x)
g
′( x)
.
设
②
a>0，k 是大于1 的正整数，若函数f (x)满足：对任意x∈[0,a)，均有f (x)≥f(
x
k)成立，且
lim
x→0 f (x)=0，则称函数f (x)为区间[0,a)上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断f (x)= x
3−3 x是否为区间[0,3)上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：lim
x→0 (1+ x)
1
x；
(3)证明：(
sin x
x−π)
3
<cos x，x∈(π, 3
2 π).
【变式7-3】（23-24 高二下·广东珠海·期末）在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域
的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附
近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——
洛必达法则
该法则表述为：“设函数f ( x)，g( x)满足下列条件：
①lim
x→a f ( x)=0，lim
x→a g( x)=0；
在点
②
a 处函数f ( x)和g( x)的图像是连续且光滑的，即函数f ( x)和g( x)在点a 处存在导数；
③lim
x→a f ′( x)
g′( x)
= A，其中A 是某固定实数；
则lim
x→a f ( x)
g( x)
=
lim
x→a f ′( x)
g′( x)
= A.”
那么，假设有函数f ( x)=e
x，g( x)=tx +1.
(1)若f ( x)≥g( x)恒成立，求t 的取值范围；
(2)证明：e
x−ln x ≥2.
【题型8 导数中双变量恒（能）成立问题】
【例8】（24-25 高三上·贵州·阶段练习）已知函数f (x)=1
2 x
2−ax+lnx,a∈R．若f (x)有两个极值点
x1,x2，且f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A．[−3
2 ,+∞)
B．[
3
2 ,+∞)
C．[−❑√2,+∞)
D．[❑√2,+∞)
【变式8-1】（2025·福建莆田·三模）已知函数f (x)=e
x，g (x)=−x
2−mx，若对区间[0,1)内任意两个实数
x1,x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2))>|g(x1)−g(x2))恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[
1,2
−
)
B．[−e
2
4,1
−
)
C．[
1,e
−
)
D．[
1,1
−
)
【变式8-2】（2025·广西·三模）已知函数f (x)=alnx−x+1(a∈R).
(1)当a>0时，求函数f (x)的单调区间；
(2)对任意的x1,x2∈(0,1)，当x1<x2时，都有1
4 [f(x1)−f(x2))<x2−x1
x1x2
，求实数a的取值范围.
【变式8-3】（2025·江苏盐城·三模）已知函数f(x)= m (x
2+2x) ln
−
(xe
x),(m ∈R)，
g(x)=1−1
2 e
x+x
2．
(1)求函数g (x)在x=0处的切线方程；
(2)讨论函数f (x)单调性；
(3)当m >0时，若对于任意x1>0，总存在x2∈[−
，使得f(x1)≥g(x2)，求m的取值范围．
【题型9 导数中双函数恒（能）成立问题】
【例9】（2025·山东泰安·二模）已知函数f (x)=xe
−x，g (x)=lnx−x+ b (b∈R)若f (x)≥g (x)在x>0时
恒成立，则b的取值范围为（ ）
A．(
∞,
−
e
1
−+1) B．(
∞,
−
e
1
−+1)
C．(
∞,
−
e
1
−)
D．(
∞,
−
e
1
−)
【变式9-1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (x)=lnx
x
,g (x)=axe
−ax，若存在
x1∈(0,1),x2∈(
∞,0
−
)使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围为（ ）
A．(
∞,
−
)
B．(
2,
−
−
)
C．(
1,+∞
−
)
D．(0,+∞)
【变式9-2】（2025·广东汕头·三模）已知函数f (x)=lnx−ax,g (x)=2
ax ,a≠0．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若f (x)≤g (x)恒成立，求a的最小值．
【变式9-3】（2025·青海海东·三模）已知函数f(x)=x
2lnx，
g(x)=a⋅e
a
x ．
(1)求f(x)的极值；
(2)当a≠0时，讨论g(x)的单调区间；
(3)若∀x∈(1,+∞)，f(x)>g(x)，求a的取值范围．
一、单选题
1．（2025·山东烟台·三模）若不等式xe
x−x
ln
−
x−a≥0恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(0,e 1
−
)
C．(
∞,1
−
)
D．(
∞,
−
)
2．（2025·河南·二模）已知函数f (x)=x+e
−x，若存在实数x，使得f (x)=ax成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A．(
∞,
−
)
B．(1,+∞)
C．(1 e,1
−
)
D．(
∞,1 e
−
−
)∪(1,+∞)
3．（2025·海南·模拟预测）已知当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=axe
ax
(
−x+1)lnx+ax≥0恒成立，求
实数a 的取值范围是（ ）
A．[−1
e ,+∞)
B．[
1
e ,+∞)
C．[
2
e ,+∞)
D．[e,+∞)
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)=axe
x+lna
x ,g (x)=x
2−x，若存在实数x0，使得f(x0)≤g(x0)
，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(
∞,0
−
)∪(0,1) C．(0,1
e)
D．(
∞,0
−
)∪(0,1
e)
5．（2025·广西·模拟预测）若对任意的x∈( 1,+∞)
−
，不等式(e
x−a)[ln(x+1)−b]≥0恒成立，则
a−b的最小值是（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．2
6．（2025·河北秦皇岛·一模）若存在正实数t，使得∀x∈(0,+∞)，关于x的不等式
[t−
(m
1
−)e
x
x
)(t−x
e
x)<0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．( ∞,
−
1
e
2 +1) B．(
1
e
2 +1,+∞)
C．( ∞,
−
1
e
2)
D．(
1
e
2 ,+∞)
7．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数f(x)=(x
1)
−
e
x−1
2 x
2+1，g(x)=sin x−ax．用max{ m ,n}
表示m，n 的最大值，记F(x)=max{f(x),g(x)}．若对任意x∈R，F(x)≥0恒成立，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．( ∞,0]
−
B．(0,1
2)
C．[
1
2 ,1)
D．[1,+∞)
8．（2025·天津红桥·二模）已知向量⃗a,⃗b是夹角为60°的单位向量，若对任意的 x1,x2∈(m ,+∞),且
x1<x2, x1lnx2−x2lnx1
x1−x2
>|⃗a−⃗b),则m取值范围是（ ）
A．[e
2,+∞)
B．[
1
2 ,+∞)
C．[e,+∞)
D．[
1
e ,+∞)
二、多选题
9．（2025·江西新余·模拟预测）已知不等式k (2x
1
−)e
x
2
−x+2≥0恒成立，则实数k 的可能取值为（ ）
A．2
B．0
C．1
D．1
2e
3
2
10．（2025·安徽马鞍山·一模）已知函数f (x)=e
tx
ln
−
x+ (t
1
−)x，若f (x)≥0恒成立，则实数t的可能的
值为（ ）
A．1
e
B．1
2e
C．1
e
2
D．2
e
11．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知f (x)=x
3−a x
2+ bx
2
−，不等式f (x)<0的解集是{x∣x<2且
x≠1}，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数f (x)有1 个极值点
B．函数f (x)的对称中心是(
4
3 ,−2
27)
C．当x∈[m ,+∞)时f (x)≥−2
27
恒成立，则m的最小值是5
3
D．当x∈[0,+∞),f (x)≥kx
20
−
恒成立，则k≤8
三、填空题
12．（2025·湖北·模拟预测）已知关于x的不等式x
x
2>a x
2lnx在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围
为 .
13．（2025·湖南益阳·三模）设实数f(x)=2xln x，g(x)=ax
4
−，∃x∈(0,+∞)使f(x)≤g(x)成
立，则实数α 的取值范围 ．
14．（2025·河南南阳·三模）已知函数f(x)=2a
x
e
2x
1
−+lna，g(x)=2ln x+1，若f(x)≥g(x)恒成
立，则a的最小值是 ．
四、解答题
15．（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)=x+alnx−x
a，a∈R.
(1)当a =2时，求f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若不等式f (x)+1
e
x ≥0对x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的最小值.
16．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数f (x)=ax⋅e
x(a∈R)的极小值为−1
e
．
(1)求曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若b>0，且存在x∈(0,+∞)，使得be
bx≤lnx成立，求实数b 的取值范围．
17．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数f (x)=e
ax+1
e
x
−bx
2
2
−为偶函数.
(1)求实数a的值；
(2)若f (x)≥0恒成立，求实数b的取值范围.
18．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数f (x)= x
2
2 −xln x ,g(x)=a(x +ln x)+a
2−a
2
.
(1)求f (x)过原点的切线方程；
(2)求证：存在a∈(0, 1
2)，使得f (x)≥g(x)在区间(1,+∞)内恒成立，且f (x)= g(x)在(1,+ ∞)内有解.
19．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知f (x)=a x
2
2ln
−
x，x∈(0,e)，其中e是自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>1
e
2 ，g (x)= 5+ln
−
x
a
．存在x1，x2∈(0,e]，使得|f(x1)−g(x2))<9成立，试求实数a的取值范
围．
