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第 12 讲 拓展五：利用洛必达法则解决导数问题(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：洛必达法则的简单计算.................................3
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用.............................5
第一部分：知识点必背
一、 型及 型未定式
1、定义：如果当 （或 ）时，两个函数 与 都趋于零（或都趋于无穷大），那么极
限 （或 ）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限称为 型及 型未定式.
2、定理1（ 型）：（1）设当 时， 及 ；
（2）在 点的某个去心邻域内（点 的去心邻域 内）都有 ， 都存在，且
；
（3） ；
则： .
3、定理2（ 型）： 若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；(2) ， 和 在 与 上可导，且 ；
(3) ，
那么 .
4、定理3（ 型）：若函数 和 满足下列条件：(1) 及 ；
(2)在点 的去心邻域 内， 与 可导且 ；
(3) ，
那么 = .
5、将上面公式中的 , , , 洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、 型 、 、 、 型
1、 型的转化：
或 ；
2、 型的转化：
3、 、 型的转化：幂指函数类第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：洛必达法则的简单计算
典型例题
例题1、求
例题2、求
例题3．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
例题4．（2023·全国·高三专题练习）我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必
达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商
的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ，则 ______．练透核心考点
1．求
2．求
3．（2023·广东韶关·校考模拟预测） 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再
4．（2023·黑龙江鸡西·高三校考阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：
当 时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 ________．
高频考点二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，
(1)若 ， （ 为常数），求 的解析式；
(2)在（1）条件下，若当 时， ，求 的取值范围．例题2．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知函数 .
（1）若函数 在点 处的切线 经过点 ，求实数 的值；
（2）若关于 的方程 有唯一的实数解，求实数 的取值范围.
例题3．（2023·河北邯郸·高三大名县第一中学校考阶段练习）已知函数 在
处取得极值，且曲线 在点 处的切线与直线 垂直.
(1)求实数 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
练透核心考点1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳实验高级中学校考模拟预测）已知函数 ，
.
(1)若函数 是 上的单调递增函数，求实数 的最小值；
(2)若 ，且对任意 ，都有不等式 成立，求实数 的取值范围.
2．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有3个不同零点，求实数 的取值范围.4．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数 ，且 .
(1)求实数a的值；
(2)求证： 存在唯一的极小值点 ，且 ；
(3)设 ， .对 ， 恒成立，求实数b的取
值范围.
