重难点10 导数中的二阶导与洛必达法则（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 二阶导解决函数单调性问题】..................................................................................................................3
【题型2 二阶导解决函数极值、最值问题】.........................................................................................................3
【题型3 二阶导解决不等式恒成立问题】..............................................................................................................4
【题型4 二阶导解决函数零点问题】......................................................................................................................5
【题型5 二阶导证明不等式】..................................................................................................................................6
【题型6 利用二阶导解决其他问题】......................................................................................................................7
【题型7 洛必达法则】..............................................................................................................................................9
1、导数中的二阶导与洛必达法则
导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的二阶导与洛必达法则也是高考考查的一个重点内容.从近
几年的高考情况来看，对于有些问题求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的
正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数；“洛必达法则”是高等数学中的一个重
要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，
若出现
型或
型可以考虑使用洛必达法则，这类问题难度较大，复习是要加强这方面的训练.
知识点
1
二阶导函数
1．二阶导及其用法
要想判断函数f(x)的单调性，则需要对函数f(x)进行求导，并判断f'(x)的正负，如果f'(x)的正负无法判断，
则把f'(x)或者f'(x)中不能判断正负的部分(通常为分子部分)设为新函数
g ( x ) ，进而通过对函数g(x)进行求
导，进而求g(x)的最值，如果有g(x)min>0 或g(x)max<0，则可判断出f'(x)的正负，进一步可判断出函数f(x)的
单调性，进而可继续求解问题.
2．二阶导问题的解题步骤
解决这类问题的一般解题步骤为：
第一步，求函数f(x)的定义域；
第二步，求函数f(x)的导数f'(x)，并且无法判断导函数f'(x)的正负；
第三步，构造函数g(x)=f'(x)，对g(x)求导，得到g'(x)；
第四步，找到x，g'(x)，g(x)的变化关系表；
第五步，判断出f'(x)的正负，进而得出函数f(x)的单调性，进一步解答问题.
知识点
2
洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立或恒成立命题时，
经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现
型或
型可以考虑使用洛必达法则.
1．洛必达法则
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)
，那么
.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1)
及
；
(2)在点a 的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；
(3)
，那么
.
2．用洛必达法则处理
型函数的步骤：
(1)分离变量；
(2)出现
型式子；
(3)运用洛必达法则求值.
3．用洛必达法则处理
型函数的步骤：
(1)分离变量；
(2)出现
型式子；
(3)运用洛必达法则求值.
【注意】：
1．将上面公式中的
换成
，洛必达法则也成立.
2．洛必达法则可处理
型求极限问题.
3．在着手求极限前，首先要检查是否满足
型定式，否则滥用洛必达法则会出
错，当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.
4．若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
【题型1 二阶导解决函数单调性问题】
【例1】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义在(0, + ∞)上的可导函数f (x)，满足f
′ (x)+ 2f (x)
x
= ln x
x
2 ，且
f (e)= 1
2e
，若a= f (3)，b= f (2)，c = f (e)，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>b>a
【变式1-1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f ( x)及其导函数f
′( x)的定义域都是R，若函数f ( x)是偶函
数，f
′( x)+e
x+ x也是偶函数，且f (a)>f (3a−1)，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(
1
4 , 1
2)
D．(−∞, 1
4)∪(
1
2 ,+ ∞)
【变式1-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数f ( x)= ln x + x−a x
2,a∈R．
(1)若a=1，试求函数f ( x)的极值；
(2)设g( x)= f(
1
x)，讨论g( x)的单调性．
【变式1-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f ( x)=(e
a−x+1) x ,a∈R．
(1)当a=2时，求f ( x)的单调区间与极值点；
(2)已知f ( x)有两个极值点x1<2< x2，证明：x1+ x2>3．
【题型2 二阶导解决函数极值、最值问题】
【例2】（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)=mln x + x
2−2mx，m∈R，若函数f (x)在(0,+ ∞)上有
两个不同的极值点x1, x2
，则f (x1)+ f (x2)的取值范围是（ ）
A．(−∞,−6)
B．(−∞,−3)
C．(−∞,−ln2−2)
D．(−∞,4ln2−20)
【变式2-1】（2025·云南·三模）设函数f ( x)= x +e
x，g( x)= x + ln x，若存在x1, x2
，使得f (x1)= g(x2)，
则x1
e
x1 −x2
的最大值为（ ）
A．−1
B．−2
C．−e
D．−3
【变式2-2】（2025·北京·二模）已知函数f (x)=a(x−1)e
x−ln x，其中a>0．
(1)若曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线经过点(2,2)，求a的值；
(2)证明：函数f (x)存在极小值；
(3)记函数f (x)的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
【变式2-3】（2025·北京海淀·三模）已知f (x)=
❑√x +a
2 x +1
．
(1)当a=0时，求函数f (x)的极值点和极值；
(2)a∈(−1
2 ,−1
4)时，求函数f (x)在[1,4)上的最小值；
(3)若不等式f (x)≥1
4
的解集非空，求a 取值范围．
【题型3 二阶导解决不等式恒成立问题】
【例3】（24-25 高三下·广东广州·阶段练习）∀x∈(0,+∞)，不等式e
x+1≥2(a
2 x + 1
x)ln (ax)恒成立，
则正实数a的最大值是（ ）
A．e
2
B．❑√e
C．❑√e−1
D．
❑√e
2
【变式3-1】（2025·辽宁·一模）已知函数f (x)=e
2 x−e
−2 x−ax，若x ≥0时，恒有f (x)≥0，则a的取值范
围是（ ）
A．(−∞,2)
B．(−∞,4)
C．[2,+∞)
D．[4 ,+∞)
【变式3-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数f (x)= x ln (1−x)
(1)求f (x)在x =0处的切线方程；
(2)若关于x的不等式f (x)+ f (1−x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
【变式3-3】（2025·吉林延边·模拟预测）已知函数f (x)= x
2
2 +aln x−(a+1) x．
(1)当a=2时，求f (x)的单调递增区间；
(2)若a≥0，f ( x)≥−e
2
2
对x∈[1,+ ∞)恒成立，求实数a 的取值范围．
【题型4 二阶导解决函数零点问题】
【例4】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数f (x)=2 x−1−ln x，直线l: x−y −3=0.
(1)若点P是函数y = f (x)图象上的一点，求点P到直线l距离的最小值；
(2)若g(x)= f ( x)+t e
x−2 x，讨论函数g(x)的零点的个数.
【变式4-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数f (x)=aln ❑√x−sin x，曲线y = f (x)在点(
π
2 ,f(
π
2 ))处
的切线斜率为1
π
．
(1)求a的值．
(2)求f (x)在(0,2π)上的零点个数．
(3)证明：f
′ (x)在(0,π
2 )上存在两个零点x1, x2，且|x2−x1)> 1
4 ．
【变式4-2】（2025·重庆·三模）已知函数f (x)=(x−1)e
x−ax +b，函数y = f (x)在点(0，f (0))处的切线
方程为x + y +2=0.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f (x)的零点个数.
【变式4-3】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=m(1−x)−ln x−1．
(1)当m=2时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)≥−1，求m的值；
(3)当m>1时，证明：g(x)= f (x)+ xe
x−m有2 个零点．
【题型5 二阶导证明不等式】
【例5】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−1
2 x
2+(1−a) x−sin x +lna+1，g(x)= xe
x
，f
′ (x)为f (x)的导函数.
(1)若函数f
′ (x)的图象与g(x)的图象的交点的横坐标x0∈(
1
2 ,1)，求实数a的取值范围；
(2)当a=1时，证明：f (x)<0.
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）已知函数f (x)=(x +a)e
x−b，曲线y = f (x)在(1,f (1))处的切线方程为
y =2 x−1．
(1)求实数a,b的值
(2)证明：f (x)>ln2 x．
【变式5-2】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数f ( x)=( x +m)ln x，当x =1时，f ( x)的切线斜率k =3
．
(1)求f ( x)的单调区间；
(2)已知x ≥y ≥1
2
，若f ( x)+ f ( y)
ln x + ln y =2，求证：若t ∈[1,2]，则2 x +ty ∈[3,4 ]．
【变式5-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)=e
x−m x
2(m∈R)．
(1)若m=1，判断并证明f (x)的单调性；
(2)当x∈(0,+∞)时，若函数f (x)有两个不同的零点x1，x2．
（
）求
ⅰ
m 的取值范围；
（
）证明：
ⅱ
x1+ x2>4．
【题型6 利用二阶导解决其他问题】
【例6】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数f (x)=(mx−2)e
x−1，且f (x)在x =0处取得极值．
(1)求m 的值及f (x)的单调区间；
(2)若存在x∈R，使得f (x)≤2e x−a−1，求实数a 的取值范围．
【变式6-1】（2025·河北张家口·一模）已知f ( x)= ln x−a( x +1)，a∈R.
(1)若a=2，求曲线f ( x)在x =1处的切线方程；
(2)若∃x0∈(0,2]，使f (x0)>0，求a的取值范围.
【变式6-2】（2025·江苏扬州·三模）已知函数f ( x)=e
x−e
2−x+ax +
b
x−1
.
(1)若b=0，且f
′ (x)≥0，求a 的最小值；
(2)证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
(3)若f ( x)>e
2−1当且仅当1< x<2，求b 的取值范围.
【变式6-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f ( x)=k x
2−(k +2)x−ln 2
x ,k ∈R．
(1)当k >2时，求函数f ( x)的单调递增区间；
(2)若函数f ( x)图象上有三个点A，B，C 并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线f ( x)在点B 处的切线
斜率与A，C 两点连线斜率的大小关系．
【题型7 洛必达法则】
【例7】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=(ax−2)e
x−e(a−2)．当x>1时f (x)>0，求a的取值
范围．
【变式7-1】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=ln x
x +1 + 1
x
，如果当x>0，且x≠1时，
f (x)> ln x
x−1 + k
x
，求k的取值范围．
【变式7-2】（2025 高三·全国·专题练习）设函数f (x)=e
x−b+cx−a x
2，
(1)若f (0)=0，f (−1)= 1
e −a（a为常数），求f (x)的解析式；
(2)在（1）条件下，若当x ≥0时，f (x)≥0，求a的取值范围．
【变式7-3】（2024·浙江·二模）
在微积分中，求极限有一种重要的数学工具
洛必达法则，法则中有
①
——
结论：若函数f (x)，g(x)的导函数分别为f
′ (x)，g
′ (x)，且lim
x→a f ( x)=lim
x→a g( x)=0，则
lim
x→a f ( x)
g( x)
=
lim
x→a f
′( x)
g
′( x)
.
设
②
a>0，k 是大于1 的正整数，若函数f (x)满足：对任意x∈[0,a)，均有f (x)≥f(
x
k)成立，且
lim
x→0 f (x)=0，则称函数f (x)为区间[0,a)上的k 阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断f (x)= x
3−3 x是否为区间[0,3)上的2 阶无穷递降函数；
(2)计算：lim
x→0 (1+ x)
1
x；
(3)证明：(
sin x
x−π)
3
<cos x，x∈(π, 3
2 π).
一、单选题
1．（24-25 高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知f (x)=(ax−a−1)e
x+ x，若0 是f (x)的极小值点，则a 的取
值范围为（ ）
A．[0,+ ∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
2．（2025·四川成都·一模）已知a为常数，函数f (x)=(x−a)ln x存在极大值，则不等式f (x)<0的解集为
（ ）
A．(0,a)
B．(1,a)
C．(a,1)
D．(0,1)
3．（2025·江苏常州·模拟预测）函数f ( x)=( x−5)e
x+e x +3e的所有零点之和为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
4．（24-25 高二下·吉林长春·期中）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，
用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再
求极限来确定未定式值的方法.如：lim
x→0 sin x
x
=
lim
x→0 (sin x)
′
x
′
=
lim
x→0 cos x
1
=1，按此法则有
lim
x→0 e
x+e
−x−2
1−cos x
=
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知不等式xe
x−x ≥ln x +m+3，对∀x∈(0,+∞)恒成立，则m的取值
范围为（ ）
A．m≤−1
2
B．m≥−1
2
C．m>−2
D．m≤−2
6．（24-25 高二下·新疆伊犁·期中）我们把分子分母同时趋近于
､
0 的分式结构称为0
0
型，比如：当x→0
时，e
x−1
x
的极限即为0
0型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出
洛必达法则：在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法
､
.如：
lim
x→0 e
x−1
x
=
lim
x→0 (e
x−1)
′
x
′
=
lim
x→0 e
x
1
=lim
x→0 e
x =e
0=1，则lim
x→1 ln x
x
2−1
=（ ）
A．3
8
B．1
2
C．1
D．2
7．（2025·云南曲靖·二模）已知函数f (x)=a
x+b
x−2(0<a<1,b>1)，若该函数有且只有一个零点，则
ab的值为（ ）
A．1
B．1
e
2
C．1
e
D．e
8．（2025·江西新余·模拟预测）若关于x的不等式ae
x+(ln x)
2≥x
2+(2lna+1) x +(lna)
2在(0,+∞)上恒
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[e,+ ∞)
B．(0,e)
C．[
1
e ,+∞)
D．(0, 1
e)
二、多选题
9．（2025·海南·模拟预测）设函数f (x)=(x +a)ln x ,a∈R，则（ ）
A．当a=0时，f (x)的最小值为−1
e
B．当0<a< 1
e
2 时，f (x)有且仅有两个极值点
C．若f (x)为增函数，则a≥1
e
3
D．若f (x)≥0，则a=−1
10．（2025·四川乐山·三模）已知函数f (x)=ln(4−x)−ln x +ax，当且仅当1< x<3时，导函数f
' (x)>0
成立，则下列说法正确的是（ ）
A．a= 4
3
B．f
' (e−1)+ f
'(2❑√2)< 2
3
C．f
' (e−1)+ f
'(2❑√2)> 2
3
D．∑
i=1
2025
f(
i+1
507)=5400
11．（2025·湖南常德·模拟预测）已知函数f (x)=e
x+ a
2 x
2−x−1(a∈R)，下列有关结论正确的是（ ）
A．对任意a≥0，f (x)≥0在R上恒成立
B．存在a<0，f (x)是R上的单调函数
C．存在a<0，f (x)有唯一极值
D．任意a<−1，f (x)在(0,+ ∞)上有且只有一个零点
三、填空题
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x
2ln x −a( x
2−1)，a∈R.若当x ≥1时，f ( x)≥0恒成
立，则实数a的取值范围为 ．
13．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数f ( x)=( x−1)( x
2+mx +1)既有极大值又有极小值，且f ( x)在
区间(1,2)上单调，则m的取值范围是
.
14．（2025·全国·二模）若函数f (x)=a
xloga x (a>0,a≠1)，∀x1, x2∈(0,+ ∞)，且x1≠x2
，满足
f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0，则a的最大值为
.
四、解答题
15．（2025·湖南长沙·三模）已知函数f ( x)= ln x +axe
x−1+ x +1．
(1)若曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线经过原点，求a；
(2)若a=−1
e
3 ，求f ( x)的最大值．
16．（2024 高三·全国·专题练习）∀x∈(0,+ ∞),e
x−1−x−a x
2≥0恒成立,求a的取值范围
17．（2025·山东淄博·三模）已知函数f (x)=ln(x +m)+e
−x−m.
(1)当m= 1
2
时，判断y = f (x)有无极值点，并说明理由；
(2)当1<m<3时，判断函数y = f (x)在(1−m,+ ∞)上的零点个数并给出证明.
18．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数f (x)= x−ln x
e
x−1
．
(1)证明：x−1≥ln x；
(2)证明：f (x)在其定义域内为减函数；
(3)若在f (x)的定义域内，f (x)≤1
ax
恒成立，求实数a的取值范围．
19．（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)=(m x
2−2 x +1)e
x+ x−1 .
(1) 若m=1，当x∈[2,+∞)时，f ( x)≥t( x−1)，求t的取值范围；
(2) 若m=0，求f ( x)的极值；
(3)若x =0是f ( x)的极小值点，求m的取值范围．
