文档文本内容
专题 03 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的
综合应用
目录
01 析·考情精解...............................................................................................1
02 构·知能框架...............................................................................................2
03 破·题型攻坚...............................................................................................3
考点一 单调性、奇偶性...............................................................................3
真题动向
知识1单调性定义的等价形式：
知识2判断函数奇偶性的常用方法
必备知识
知识3常见奇、偶函数的类型
考向1函数的单调性及应用 考向2利用函数的单调性求参数
命题预测 考向3函数奇偶性及应用 考向4奇函数+常数型求值
考向5奇偶函数偏移 考向6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小
考点二 对称性、周期性.............................................................................26
真题动向
知识1函数的周期性 知识2函数的对称性
必备知识
知识3函数的的对称性与周期性的关系 知识4原函数与导函数的性质
考向1函数的周期性 考向2函数的对称性
命题预测 考向3双对称一周期 考向4类周期函数及其应用
考向5原函数与导函数的奇偶性、对称性
命题 近三年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查为必考重点，分值占比稳定。题型以选择题、填空题为主，偶在解答题中渗透考查；命题常将四类性质
轨迹 结合考查，且多与函数图像、零点、不等式等知识综合。虽考查形式多样、综合性
强，但核心仍围绕性质的理解与应用，部分题目在命题角度（如定性分析比较函数
透视
值大小）和形式上有创新，侧重考查数形结合、逻辑推理等数学思想，基础题易得
分，压轴题则对综合运用能力要求较高。
考点 2025年 2024年 2023年
甲卷（文）T11，5
分
考点
乙卷（理）T4，5分
频次 一卷T5，5分 I卷T6，5分
函数的性质
乙卷（文）T5，5分
总结 二卷T10，6分 II卷T8，5分
I卷T4，5分
II卷T4，5分
2026 2026年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查仍为必考重点，考情
稳定。题型以选择、填空为主，偶在解答题中渗透，分值占比固定。命题延续多性
命题
质综合特点，常与函数图像、零点、不等式结合。部分题目在命题角度有创新，核
预测 心聚焦性质应用与思想运用，难度梯度分明。考点一 单调性和奇偶性
1．（2023·全国乙卷·高考真题，4，5分）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，4，5分）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.故选：B.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，4，5分）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
4．（2023·全国甲卷·高考真题，13，5分）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.5．（2023·全国甲卷·高考真题，11，5分）已知函数 ．记 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
知识1单调性定义的等价形式:
1、函数
fx
在区间 上是增函数:
任取 ，且 ，都有 ；任取 ，且 ， ；
任取 ，且 ， ；
2、函数
fx
在区间 上是减函数:
任取 ，且 ，都有 ；
任取 ，且 ， ；
任取 ，且 ， ；
知识2判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函
数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等.
y
2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称.
3、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个
偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
4、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法
也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 f(x) 与 f(x) 的关系.首先要特别注意x与x的
范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， f(x)与 f(x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函
数的定义进行比较.
知识3常见奇、偶函数的类型
1、 （ 且 ）为偶函数；
2、 （ 且 ）为奇函数；3、 （ 且 ）为奇函数；
4、 （ 且 ）为奇函数；
5、 （ 且 ）为奇函数；
考向1函数的单调性及应用
1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 是奇函数，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】 的定义域，由 ，
若 ，由不等式可解得函数定义域为 ，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若 ，解得函数定义域为 ，
若为奇函数，必有 ，解得 ；
又 ，
解得 ，
故选：C.
2．（2025·山东滨州·模拟预测）已知函数 是周期为2的偶函数，且当 时， ，则
的值为（ ）A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为函数 是周期为2的偶函数，且当 时， ，
所以 ．
故选：C
3．（2024·宁夏固原·一模）已知 为奇函数，则 （ ）
A．－4 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】因为 为奇函数，定义域为 ，
则 ，
所以 ，则 ，
此时 ，
则 ，满足题意
故 .
故选：B.
4．（2025·黑龙江伊春·二模）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在 处函数值为负，
对于A： ,
，满足，A正确；
对于B： ，不满足，B错误；
对于C： ，不满足，C错误；
对于D： ，
，不满足，D错误；
故选：A.
5．（2025·广东珠海·三模）（多选）已知偶函数 满足：当 时， ，则
（ ）
A． B．当 时，
C． D．函数 在区间 上有零点
【答案】ACD
【详解】对于A， ，A正确；
对于B，当 时， ，则 ，B错误；
对于C，当 时， ，当且仅当 时取等号，则 ，
当 时， ，因此 ，C正确；
对于D， ， ，即 ，
因此 在区间 上有零点，D正确.
故选：ACD6．（2025·山西吕梁·一模）定义在 上的两个函数 ，恒有 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【详解】由 ，则 ，
则 ，又 定义域为 ，故 为偶函数，故B正确；
由已知得不到 与 关系，也得不到 是否为 ，故A、C、D错误.
故选：B.
7．（2025·广西南宁·一模）（多选）已知 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．方程 有两个不相等的实数根，则
【答案】BD
【详解】因为 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ①，
所以 ，即 ②，
联立①②解得 ，
对A，，A错误；
对B， ，B正确；
对C，因为 都是在 上的增函数，所以 在 上单调递增，
由 为奇函数，所以不等式 ，
即 ，解得 ，C错误；
对D，方程 有两个不相等的实数根，则 有两个不相等的实根，
整理得 ，
令 ，则 有两个不相等的正实根，
由韦达定理和判别式可得 ，解得 ，D正确.
故选：BD
考向2利用函数的单调性求参数
8．（2025·陕西安康·模拟预测）（多选）已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，则 可
能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】 的定义域为 ，不是 ，不符合题意，故A错误；令 ，则在 上函数单调递增，且 ，而 单调递减，
由复合函数的单调性知 在 上单调递减，故B错误；
的定义域为 ，且 ，所以函数为偶函数，
又当 时， 单调递增，故C正确；
，所以函数的定义域为 ，且 ，函数为偶函数，
当 时， ，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确.
故选：CD
9．（2025·广东江门·二模）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 且 ，得 ，即 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 为增函数，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 为增函数，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
10．（2024·湖北荆门·一模）函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
是减函数，根据复合函数的单调性，可得 的单调递减区间为 ．
故选：D.
11．（2024·四川宜宾·二模）已知 ，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ， ，易知 是减函数，
因为 ，又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又当 时， ，当 时， ，
则函数 的最大值是 ，
故选：C.
12．（2025·广东阳江·二模）函数 的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】函数 ，由 ，解得 或 ，
函数 的图象如图所示，
由图可知，函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
13．（2024·云南曲靖·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数，递增区间是
B． 是偶函数，递减区间是
C． 是奇函数，递减区间是
D． 是奇函数，递增区间是
【答案】C
【详解】解：将函数 去掉绝对值得 ，
画出函数 的图象，如图，观察图象可知，函数 的图象关于原点对称，
故函数 为奇函数，且在 上单调递减，
故选：C
考向3函数奇偶性及应用
14．（2025·宁夏中卫·一模）已知 ， ，两个函数图象至少有一个在区间
上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由函数 的对称轴为 ，
若 在 上不单调，则满足 ，解得 ；
又由函数 ，可得 ，
若 在 上不单调，则满足 ，解得 ，所以两个函数图象至少有一个在区间 上不单调，则有 或 ，
可得 ，所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
15．（2025·江苏南京·模拟预测）若函数 ，在 上单调递增，则m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若 ， ，因为底数 ，对数函数 为单调递增函数，
在 上的最大值为 .
若 ， ，求导得 ，
要使 单调递增，则需满足 ①对所有 恒成立，解得 ，
因为 ，则 ，所以 ，
若 在 上单调递增，则 ②，解得 ，
所以 .
故选：C.
16．（2025·云南丽江·模拟预测）若函数 在区间 上不单调，则a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增．又函数 在区间 上不单调，所以 ，
故选：B．
17．（2025·吉林松原·二模）已知函数 ，对任意的 ，且 ，都
有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，函数 对任意的 ，且 ，都有 ，
所以 在 上为增函数，
又 ，
所以有 ，
即 ，解得 ，
故选：D．
18．（2025·四川成都·一模）若函数 在 上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当 时，根据指数函数 在 上单调递增，可知 .当 时， ，所以 ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上不单调；
当 时， ，所以 ， 在 上单调递减.
综上， .
故选：C.
19．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知函数 在 上单调递增，则a
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时，根据对数函数的性质可知：函数 在 上单调
递增，符合题意；
当 时，由换底公式可得
，
因为函数 在 上单调递增，且函数 在 上单调递增，所以
.
又 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，即 ，解得
.综上，a的取值范围为 .
故选：A.
20．（2024·福建漳州·模拟预测）已知 是定义域为 的函数，且 是奇函数， 是偶函
数，满足 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取
值范围是 .
【答案】
【详解】因为 是奇函数， 是偶函数，满足 ，
可得 ，
联立方程组 ，解得 ，
又因为对任意的 ，都有 成立，
所以 ，所以 成立，
构造 ，
所以由上述过程可得 在 单调递增，
(i)若 ，则对称轴 ，解得 ；
(ii) 若 ， 在 单调递增，满足题意；
(iii) 若 ，则对称轴 恒成立；
综上可得， ，即实数 的取值范围为 .故答案为： .
考向4奇函数+常数型求值
21．（2025·河北保定·一模）已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】A
【详解】 ，令 ，定义域为 ，关于原点对称，
则 ，所以函数 为奇函数，
因为 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
则 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
22．（2025·广东深圳·一模）已知函数 的最大值为M，最小值为m，则 .
【答案】4
【详解】 = =2+ ，
令 ,则 ，所以 为奇函数， 的最大值与最小值的和为
0，故 ,
故 .
故答案为：4.
23．（2025·湖南湘潭·二模）已知 是定义在 上的奇函数，函数 的最大值与
最小值分别为A，a，则 .
【答案】4
【详解】 .因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
故 关于 对称，所以 4.
故答案为：4.
24．（2024·甘肃平凉·二模）设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则
.
【答案】4052
【详解】 ，
设 ，定义域关于原点对称，
由 ，知函数 为奇函数，
，
因为 ， ，
所以 .
故答案为：4052.考向5奇偶函数偏移
25．（2025·广东韶关·二模）已知 是定义在 上的偶函数，且 为奇函数，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】令 ，
由 为奇函数，
得 ，
又 为偶函数，∴ ，
∴ ，
用 替换 ，则 ，
∴ ，即4为 的周期．
根据 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
又 为偶函数，且 ，∴ ， ，
又 的周期为4，∴ ， ，
∴ ．
∵ 余 ，
∴ ．故选：A．
26．（2025·河南洛阳·二模）已知定义在 上的函数 满足： 为奇函数， ，
，且对任意 ，都有 ，则 ．
【答案】3
【详解】由题设 ，则 ，
所以 ，即 关于 对称，又 ，则 ，
由于 ，又任意 都有 ，
所以 ，
由 ，故 ，
而 ，故 ，故 ．
综上， ．
故答案为：3
27．（2025·广西玉林·一模）（多选）已知 是定义在 上的偶函数， ，当
时， ，则（ ）
A． B． ，
C． D．
【答案】BC【详解】对于A选项，对任意的 ， ，当 时， ，
所以 ，
在等式 中，令 ，可得 ，故 ，A错；
对于C选项，因为函数 是定义在 上的偶函数，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，C对；
对于B选项，对任意的 ， ，
所以 ，即函数 是周期为 的函数，
要求函数 的值域，只需求函数 在 上的值域即可，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，
故当 时， ，
则当 时， ， ，
故当 时，函数 的值域为 ，故 ， ，B对；
对于D选项，因为 ，则 ，
故 ，D错.
故选：BC.
28．（2024·贵州铜仁·二模）已知 是定义域为 的奇函数，若 为偶函数， ，则
的值为 .
【答案】【详解】∵ 为偶函数，∴ ，
又 是定义域为 的奇函数，∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是一个周期为20的周期函数，
∴ ，
，
∴ ．
故答案为： ．
29．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】因为 为奇函数，所以 ．
令 ，得 ，所以 ，B错误．
将 代入 ，得 ，A正确．
将 代入 ，得 ，所以 ，C正确．
将 代入 ，得 ，D正确．
故选：ACD考向6利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小
30．（2025·安徽黄山·一模）已知函数 ，则满足不等式 的 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，
当 时， ，而 ，
所以 是奇函数，当 时， ，
因此函数 在 时，单调递减，
而 ，且该函数是实数集上的奇函数，
所以该函数在实数集上为减函数，
所以不等式 转化为 ，即 ，
解得 ，
故选：A
31．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当 时， ，所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
又因为 ，且 时 ，
所以当 时， ，
当 时， .
由奇函数的性质：当 时， ，
当 时， .
对于不等式 ，
当 时，只需 ，所以 或 ，
解得 或 ，又 ，则 ；
当 时，只需 ，所以 或 ，
解得 或 ，又 ，则 .
综上所述， 的取值范围是 .
故选：D.
32．（2024·云南玉溪·一模）已知奇函数 的定义域为 ，当 时， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】易得 在 上单调递增，且 .因为 是奇函数，所以 在 上单调递增，且 .
由 ，得 ，
得 或 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
33．（2025·山东济宁·模拟预测）已知偶函数 的定义域为 ，对任意的 ，都有不
等式 成立.设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由对任意的 ，都有不等式 ，得函数 在 上单调递增，
由 是R上的偶函数，得 在 上单调递减，而 ，
因此 ，所以 的大小关系为 .
故选：C
34．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知 是定义域为 的偶函数，且在区间 上单调递减，则
与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】因为 是定义域为 的偶函数，所以 ，
在区间 上单调递减，则在区间 上单调递增，
可知 ，所以 ，即 .
故选：C.
35．（2024·广西柳州·一模）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图象如图所示，
则 的零点个数是 ；不等式 的解集为 .
【答案】 3
【详解】由图象可知：当 时， ； ；当 时， ；
因为 是定义在 上的奇函数，则 ，
且当 时， ； ；当 时， ；
综上所述： 的零点为 ，0，1，共3个；
对于不等式 ，可知 与 同号，
可得 或 ，所以不等式 的解集为 .
故答案为：3； .
36．（2025·四川内江·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，若对任意的 、 ，且
，都有不等式 ，且 ，则不等式 的解集是 .【答案】
【详解】不妨设 ，由 可得 ，
不等式 两边同除 得 ，
令 ，则 ，故函数 在 上为增函数，
因为函数 为 上的奇函数，由题意可知，函数 的定义域为 ，
，故函数 为偶函数，
故函数 在 上为减函数，
因为 ，则 ，
由 可得 ，
当 时， ，即 满足不等式 ，
当 时，则 ，由 可得 ，
所以 ，解得 ；
当 时，则 ，由 可得 ，
，解得 ；
综上所述，不等式 的解集是 .
故答案为： .
考点二 对称性和周期性1．（2025·全国一卷·高考真题，5,5分）已知 是定义在 上且周期为2的偶函数，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知 对一切 成立，
于是 .
故选：A
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，11,6分）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
知识1函数的周期性：
①若 ，则 ；②若 ，则 ；
③若 ，则 ；④若 ，则 ；
⑤若 ，则 （ ）；
知识2函数的对称性：
对称轴：（1）函数 对于定义域内任意实数 满足 ，则函数 关于直线
对称，特别地当 时，函数 关于直线 对称；
（2）若 是偶函数，则 关于直线 对称
对称中心：（1）对任意 ，都有 ，则点 称为函数 的对称中心；（2）若 是奇函数，则 关于直线 对称
知识3函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
知识4原函数与导函数的性质
（1）若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
（2）奇函数的导数为偶函数
（3）若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称
（4）偶函数的导数为奇函数
（5）若函数f (x)是可导函数，且图像关于x=m对称，则其导函数f' (x)的图像关于(m,0)对称
偶函数的导数为奇函数
（6）若定义在R上的函数f (x)是可导函数，且周期为T，则其导函数f' (x)是周期函数，且周期也为T
（7）若函数f (x)是可导函数，定义域为D，其导函数f' (x)的图像关于x=m轴对称，则f (x)图像关于
( f(x )+f(2m−x ))
m, 0 0 对称， x 为定义域内任意一点
2
0
考向1函数的周期性1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知定义域为 的偶函数满足 ，且 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据 为偶函数及 ，
.
故选：D
2．（2025·河北保定·三模）已知函数 是周期为2的奇函数，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】由题函数 是周期为2的奇函数，且 ，
所以 .
故选：A
3．（2025·四川绵阳·一模）设 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时，
，则 的值为 ．
【答案】
【详解】由题设 ，
所以 是周期为3的奇函数，则 .
故答案为：4．（2025·安徽阜阳·一模）如果 且 ，则
的值为（ ）
A．1012 B．2024 C．1013 D．2026
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
则 .
故选：D
5．（2025·四川德阳·模拟预测）已知定义在R上的函数 满足 则 等
于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题设，当 时， ，
即当 时，3是函数 的一个周期，
则 ．
故选：C.
6．（2024·河南驻马店·三模）（多选）已知定义在R上的连续函数 是偶函数，且满足
，且 ， ， ，都有 ，则（ ）
A． B． 在 单调
C． D． 在 有三个极值点
【答案】CD
【详解】由 可知 ，所以 ，A错误；
因为 , ， ，都有 ，所以 在 单调递增，又 为偶函数，所
以 在 单调递减，由周期性可知 在 单调递增，所以 在 不单调，B错误；
由A项知 的周期为8，所以 ，又 ，且 在 单调递增，故
，C正确；
由 为偶函数知 是 的一个极值点，又 的周期为8，则 是 的一个极值点，又
， ，则 ，所以 的图象关于直线 对称，即 是
的一个极值点，因此 在 内有三个极值点，D正确；
故选：CD.
7．（2024·河南商丘·一模）已知 是定义在 上且周期为2的函数，当 时，
，则 ．
【答案】
【详解】 是定义在 上且周期为2的函数，当 时， ，
则 ，
，
所以 .
故答案为：考向2函数的对称性
8．（2025·山东东营·三模）已知函数 ，则函数 的图像对称中心是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】任意取函数 上一点 ，则 ，
对于A，点 关于点 成中心对成的点为点 ，
，故A错误；
对于B，点 关于点 成中心对成的点为点 ，
，故B错误；
对于C，点 关于点 成中心对成的点为点 ，
，故C正确；
对于D，点 关于点 成中心对成的点为点 ，
，故D错误.
故选：C.
9．（2025·宁夏吴忠·一模）函数 的图像关于点 中心对称，则 .【答案】 /
【详解】函数 的图像关于点 中心对称，
所以 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
10．（2025·广西南宁·三模）已知函数 ，则下列函数的图象关于 中心对称的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为函数 ，定义域为 ，
则 ，故函数为 奇函数，则关于原点对称，
因此函数 为函数 向右平移一个单位得到，
故函数 关于 对称，且函数 关于点 对称，
因此函数 关于点对称，
故选：B.
11．（2025·湖北随州·二模）函数 的图象的对称中心为 ．
【答案】【详解】函数 ，
则函数 的图象可由 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得，
而函数 图象的对称中心为 ，所以函数 的图象的对称中心为 .
故答案为：
12．（2024·安徽滁州·三模）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且 在
上为严格减函数，则不等式 的解集为 .
【答案】
【详解】由 ，即 关于 对称，
又 在 上为严格减函数，则在 上为严格增函数，
由 ，则 ，即 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
13．（2025·山东烟台·一模）若函数 （ ）满足 ，且函数 的图象与
函数 的图象的交点分别为 ， ，…， ，则 .
【答案】7
【详解】函数 （ ）满足 ，故其图象关于直线 对称，
函数 ，其图象也关于直线 对称，
故它们图象的交点也关于直线 对称，
两函数图象的交点分别为 ， ，…， ，
不妨设 ，则必有 在直线 上，即 ，，
故 .
故答案为：7
考向3利用双对称一周期
14．（2024·安徽淮南·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，满足 ，且 在
上单调减，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
又 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调减，
所以 在 上单调增，
所以 ，
故选：C
15．（2025·辽宁抚顺·一模）函数 对任意 ， ，且 为奇函数，给出下
列说法，其中错误的个数为（ ）
（1）若 时， ，则 ；
（2） 的周期为 ；
（3） 的图象关于点 对称；（4） .
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【详解】 ， 图象关于直线 对称；
为奇函数， ， 图象关于点 对称；
， ，
，即 ， ，
的周期为 ，（2）错误；
， ，又 ，
， 为奇函数，
若 时， ，则 ，（1）错误；
图象关于点 对称，周期为 ，
图象关于点 对称，（3）正确；
， ，（4）错误.
故选：C.
16．（2025·辽宁本溪·一模））设函数 的定义域为 为偶函数且 .若
时， ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
即 （①）可知 关于 对称，通过 （②），
可知 （③），
联立①②式可得： ，
联立②③式可得： ，
易得 周期为4，
①中令 ,②中令
可得 ；
故 ，
所以 ，
故选：D.
17．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）设函数 的定义域为 ，若 与 都是关于 的奇函数，
则函数 在区间 上至少有 个零点.
【答案】
【详解】∵ 是关于 的奇函数，
∴ 关于 对称，∴ 关于 对称；
∴ ，
又 是关于 的奇函数，
∴ 关于 对称，∴ 关于 对称；
∴ ，
∴ ，∴ ，即 的周期为 .
又易知 ，∴ ，
∴ ， ，
即 ， 的一个零点恰为 ．
∵ ，令 ，解得 ，
又 ，所以 ，
所以 在区间 至少有 个零点．
故答案为：
18．（2025·河南开封·三模）（多选）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，
则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B．
C． 的最小正周期为6 D． 在 上至少有9个零点
【答案】ABD
【详解】对于A，由 得 的图象关于点 对称，故A正确；
对于B，由 ，令 可得 ，得 ，故B正确；
对于C，因为 是奇函数，由 ，可知3是 的一个周期，则其最小正周期
不大于3，所以 的最小正周期不可能是6，故C错误；
对于D， ， ，
， ，在 上至少有9个零点，故D正确．
故选：ABD.
19．（2024·河北唐山·二模）（多选）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上为减函数 D． 关于 对称
【答案】BC
【详解】由 为奇函数得： ，则 关于 对称，
所以 ，即 ，
则 ，即 ，
由 为偶函数得： ，则 关于 对称，
所以 ，即 ，
综上， ，则 ，
故 ，即 易知 的周期为 ，
所以 ，而 为奇函数，故 为奇函数，B正确；
因为 关于 对称且 关于 对称， 关于 ， 对称，所以D错误；
，A错误；
因为 的周期为 ，所以 在 上的单调性与 在 上单调性一致，
由 时 单调递减，且 关于 对称，
所以 在 上也单调递减，所以 在 上为减函数，所以 在 上为减函数，C正确．
故选：BC
考向4类周期函数及其应用
20．（2025·河北秦皇岛·一模）若函数 在 上满足： .当 时， ，
且当 时， .对 ，都有 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，则函数 关于直线 对称，
当 时， ，且 时， ，
则 时， ，则 ，即 ；
时， ，则 ，即 ，且 ；
作出函数 的大致图象，如图，
由图可知， ，则 ，即 的最大值为 .
故选：B
21．（2025·吉林吉林·一模）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
，若对 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】解： ， ，
， 时， ， ，
， 时， ， ， ， ；
， 时， ， ， ， ；
， 时， ， ， ， ．
当 ， 时，由 ，解得 或 ．
若对任意 ， ，都有 ，则 ，即 ．
故选： ．
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思
想方法，属于中档题．
22．（2025·湖南湘潭·三模）设函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时，
.若 时， 的最大值为1，则实数 的取值范围是
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】当 时， . ；
当 时， . ；
当 时， . ；
当 时， . ；
所以当 时， 解得
因为 的最大值为1，结合图像知
故选A.
【点睛】本题考查已知函数最值，求定义域，这类题一般画出图形，通过数形结合，解题．属于中档题．
23．（2025·浙江宁波·二模）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】当 时， .
因为 ，所以 ，即 .
在直角坐标系内，画出 时， 的图象（如图所示）.
由于 时， 的最小值为 ，所以 时，当 时， 的最小值为 ，
因此，为使 时， 恒成立，
需 ，即 ，解得 或 ，故选C
【点睛】解答本题的关键，是弄清在不同区间上，函数解析式之间的关系，由于 ，说明
时函数的图象，是 时函数的图象，沿 轴向左平移 个单位，然后纵坐标缩短到原来的
，因此函数的最小值得以确定.本题较好地考查考生的转化与化归思想、数形结合思想、基本运算能力.
24．（2024·广东湛江·三模）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
.若存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是
.【答案】
【详解】因为 ，所以当 时， ，
则 ，
当 时， ,当 时， ,
所以当 时， 的最小值是 ，
又因为存在 ，使得不等式 成立，等价于 ，
则 , 则实数 的取值范围是 .
考向5原函数与导函数的奇偶性、对称性
25．（2025·福建龙岩·二模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，已知
和 都是偶函数，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2025 D．－2025
【答案】B
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
所以 关于直线 对称，求导得 关于点 对称，
即 ，
又 为偶函数，则 ，所以 关于直线 对称，
推导周期： 及 ，得 ，
得 ，
得 ，
得函数 的周期为4，
由 ，得 ，
得 ，
共 项和，因为 ，
所以 ，
故选：B.
26．（2024·河南周口·一模）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，
， 为 的导函数，则下列说法错误的是（ ）
A．3为 的一个周期 B． 关于点 对称
C． 是偶函数 D．
【答案】D
【详解】对于A，由 ，令 ，则 ，即函数关于点 中心
对称，
结合 ， ，
所以 ，因此，3是 的一个周期，故A正确；
对于B，由A选项可知 ，且周期为3，令 ，得 ，
又因为 ，所以 ，也即 关于点 中心对称，故B正确；
对于C，由B选项可知 ，两边对x求导，得 ，即 ，因此
是偶函数，故C正确；
对于D，由 ，令 ，得 ，即 ，
由周期为3，且 ，得 ，
由 ，令 ，可得 ，
进一步 ，
根据周期性，
，故D错误．
本题选择错误的，故选：D．
27．（2025·甘肃天水·二模）（多选）已知定义在 上的偶函数 可导， 的导数为
是奇函数，则（ ）
A． B． 的一个周期为8
C． D． 的图象关于 对称
【答案】BCD
【详解】因为 是奇函数，所以 ，
令 ，可得 ，解得 ，A错误；
因为 是偶函数，则 ，且 ，用 代替 可得 ，即 .
又 ，则 ，所以 ，从而有 ，
所以 的一个周期为8，B正确；
因为 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
所以 是奇函数，所以 ，C正确；
由 ，两边同时对 求导得 ，
即 ，所以函数 的图象关于直线 对称，D正确.
故选：BCD
28．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数 和 的定义域均为R，且 是 的导函
数，若 和 均为奇函数，则（ ）
A．
B．0是 的一个极值点
C． 和 均为周期函数
D．
【答案】ABC
【详解】因为 是奇函数，所以 ，两边求导可得 ，
所以 ，因为 是 的导函数，即 ，
所以 是偶函数，令 ，可得 ，所以 ，
因为 均为奇函数，所以 ，
令 ，可得 ，可得 ，又 是偶函数，所以 ，故A正确；
因为 是偶函数，所以 ，求导可得 ，
所以 ，令 ，可得 ，从而可得 ，
由 ，可知 在 两侧导数值异号，所以0是 的一个极值点，故B正确；
由 ，又 是偶函数，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 也是以4为周期的周期函数，故C正确；
由 以4为周期的周期函数，
所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， 无法确定，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的导数偶函数，可确定 是周期函数，进而确定 是周期函数，
进而计算可判断D的正确性.
29．（2025·江苏徐州·二模）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 ，若，且 为奇函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于直线 对称
C． D．
【答案】B
【详解】对于A，因为 为奇函数，所以 ，取 可得 ，A正确．
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ．又 ，
故 ，所以函数 的图象关于点 对称，B错误．
对于D，因为 ，所以 ，
所以 为常数．
因为 ，所以 ，
所以 ，取 可得 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故函数 为周期为4的函数．
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，D正确．
对于C，因为 ，所以 ，所以
，故函数 为周期为4的函数， ，
所以函数 为周期为4的函数，又
，
所以 ，
所以 ，
C正确．
故选：B.
30．（2025·云南保山·一模）已知函数 ，则
．
【答案】2020
【详解】由于 的图象的对称轴为直线 ，
所以 关于点 对称，
从而有 ．
令 ，
则 ，
所以 ，得 ．
故答案为：2020.
31．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域都为R，且 为偶函数，
为奇函数，则 .
【答案】0【详解】 为偶函数，
，
，
为奇函数，
，
，即 ，
，
，即函数的周期为4，
，
又 ，
，
，
，即 ，
由 ，得 ，
，
.
故答案为：0
