专题01 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、
对称性综合应用
题型
考情分析
考向预测
1 ．函数的单调性及其应用
2．函数奇偶性的应用（参数、图像、求值
问题）
3．单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
4．函数的周期性及其应用
5．函数的对称性及其应用
6．函数的对称性结合周期性
7．函数性质的综合应用
8．原函数结合导函数的对称性
2025 年全国一卷：第5 题考查了
周期性结合奇偶性应用
2025 年全国二卷：第10 题考查了
函数奇偶性的应用
2024 年新高考卷Ⅰ：第6 题考查了
根据分段函数的单调性求参数
以抽象函数作为载
体，考查函数的单调
性、奇偶性、周期性
及对称性
1、利用单调性解不等式的相关结论
（1）正向结论：若
( )
y
f x
=
在给定区间D 上单调递增，则当
1
2
,
x x
D
"
Î
，且
1
2
x
x
<
时，
1
2
(
)
(
)
f x
f x
<
；
1
2
,
x x
D
"
Î
，且
1
2
x
x
>
时，
1
2
(
)
(
)
f x
f x
>
．
（2）逆向结论：若
( )
y
f x
=
在给定区间D 上单调递增，
1
2
,
x x
D
Î
，则当
1
2
(
)
(
)
f x
f x
<
时，
1
2
x
x
<
；当
1
2
(
)
(
)
f x
f x
>
时，
1
2
x
x
>
．
2、解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右
侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值．
3、设
1
2
,
[ , ]
x x
a b
Î
，
1
2
x
x
¹
，
若有
1
2
1
2
(
)
0
[
]
x
x
f x
f x
-
>
-
或
1
2
1
2
( )
(
)
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则
( )
f x 在闭区间[
]
,a b 上是增函数；
若有
1
2
1
2
(
)
0
[
]
x
x
f x
f x
-
-
<
或
1
2
1
2
(
)
(
)
0
f x
f x
x
x
-
<
-
，则
( )
f x 在闭区间[
]
,a b 上是减函数
1．（25-26 高三上·山东淄博·月考）已知
1.1
1.1
a =
，
1.1
0.9
b
-
=
，
ln 2
c =
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c
a
b
<
<
B．c
b
a
<
<
C．a
b
c
<
<
D．b
c
a
<
<
【答案】A
【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性计算即可.
【详解】易知
1.1
1.1
10
0.9
9
b
-
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
，而
1.1
10
1.1,
9
y
x
>
=
单调递增，所以a
b
<
，
又
1.1
0
1.1
1.1
1
ln e
ln 2
a
c
=
>
= =
>
=
，所以c
a
b
<
<
.
故选：A
2．函数
2
ln
2
3
y
x
x
=
-
+
+
的单调递减区间为（ ）
A．
1,1
-
B．
,1
-¥
C．
1,+¥
D．
1,3
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间.
【详解】对于函数
2
ln
2
3
y
x
x
=
-
+
+
有意义，可得
2
2
3
0
x
x
-
+
+
>
，即
2
2
3
0
x
x
-
-
<
，解得1
3
x
- <
< .
设
2
2
2
3
(
1)
4
t
x
x
x
= -
+
+
= -
-
+
，则函数
2
2
3
t
x
x
= -
+
+
在( 1,1)
-
上单调递增，在(1,3)上单调递减，
又函数
ln
y
t
=
在定义域上单调递增，故函数
2
ln
2
3
y
x
x
=
-
+
+
的单调递减区间为(1,3).
故选：D.
3．设函数
3
x x a
f x
-
=
在区间
1,1
-
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
, 2
-¥ -
B．
2,0
-
C．
0,2
D．
2,+¥
【答案】D
【分析】由
3x
y =
的单调性，进而得
y
x x
a
=
-
的单调性，利用复合函数的单调性即可求解.
【详解】函数
3x
y =
在R 上单调递增，而函数
(
)
( )
3x x a
f x
-
=
在区间
1,1
-
上单调递减，
则有函数
2
2
2
4
a
a
y
x x
a
x
æ
ö
=
-
=
-
-
ç
÷
è
ø
在区间
1,1
-
上单调递减，
因此
1
2
a ³ ，解得
2
a ³
，所以a 的取值范围是
2, ¥
+
，
故选：D.
4．（25-26 高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数
2
(
1)
e
x
f x
-
-
=
．记
2
3
1
(
),
(
),
( )
2
2
2
a
f
b
f
c
f
=
=
=
，则
（
）
A．b
c
a
>
>
B．b
a
c
>
>
C．c
b
a
>
>
D．c
a
b
>
>
【答案】B
【分析】根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
2
( )
(
1)
g x
x
= -
-
，则( )
g x 开口向下，对称轴为
1
x = ，
所以函数( )
g x 在
,1
¥
-
为增函数，
又
ex
y =
为增函数，所以函数
f x 在
,1
¥
-
为增函数，
由于1
2
3
1
2
2
2
<
<
< ，所以
1
2
3
( )
(
)
(
)
2
2
2
f
f
f
<
<
，
故b
a
c
>
>
.
故选：B.
5．（25-26 高三上·北京海淀·月考）下列函数在区间(0,
)
+¥ 上单调递增的是（ ）
A．
2
1
( )
f x
x
x
=
+
B．
( )
ln(
1)
ln
f x
x
x
=
+
-
C．
( )
2
2
x
x
f x
-
=
+
D．
2
( )
lg
1
f x
x
=
-
【答案】C
【分析】选项A 利用导数判断单调性即可；选项B 利用导数判断；选项C.设
2x
t =
，转化为对勾函数
1
y
t
t
= +
判断；选项D 根据定义域判断.
【详解】A.
3
2
1
1
2
²
²
x
f
x
x
x
x
-
¢
=
-
=
,当
3 1
0,
2
xÎæ
ö
ç
÷
è
ø 时，
0
f
x
¢
<
，函数单调递减；
当
3 1
,
2
x
æ
ö
ç
÷
è
Î
¥
ø
+
时，
0
f
x
¢
>
，函数单调递增.故
f x 在(0, +∞)上不单调，故A 错误.
B. 由
( )
ln(
1)
ln
f x
x
x
=
+
-
，得
1
1
1
( )
1
1
f
x
x
x
x x
¢
=
-
= -
+
+
，当
0,
xÎ
+¥ 时，
( )
0
f
x
¢
<
，所以
( )
f x 递减，
故错误；
C. 对于
( )
2
2
x
x
f x
-
=
+
，设
2x
t =
，当
0,
xÎ
+¥ 时，
2
1
x
t =
> ，
由对勾函数知：
1
y
t
t
= +
在
1,+¥ 上递增，故正确；
D. 对于
2
( )
lg
1
f x
x
=
-
，由
2
1
0
x - >
，解得
1
x < - 或
1
x > ，所以函数的定义域为|
1
x x < - 或
1
x >
，故错
误；
故选：C
6．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
y
f x
=
是定义在R 上的减函数，且
4
0
f
=
，则不等式
0
xf x <
的解集为（ ）
A．
,0
-¥
B．
0, ¥
+
C．
,0
4,
-¥
È
+¥
D．
,0
4,
¥
¥
-
È
+
【答案】C
【分析】由题意所求变为
0
( )
0
x
f x
>
ì
í
<
î
或
0
( )
0
x
f x
<
ì
í
>
î
，求解即可得答案．
【详解】因为
y
f x
=
是定义在R 上的减函数，且
4
0
f
=
，
所以当
4
x <
时，
( )
0
f x >
，当
4
x >
时，
( )
0
f x <
，
由
0
xf x <
，
得
0
( )
0
x
f x
>
ì
í
<
î
或
0
( )
0
x
f x
<
ì
í
>
î
，
即
0
4
x
x
>
ì
í >
î
或
0
4
x
x
<
ì
í <
î
，
解得
4
x >
或
0
x <
，所以解集为
,0
4,
¥
¥
-
È
+
．
故选：C．
7．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）已知函数
ln
9
,
e ,
,
7
2
x
f x
a
f
b
f
c
f
x
æ
ö
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
a
c
>
>
C．b
c
a
>
>
D．c
b
a
>
>
【答案】D
【分析】求导判断
f x 的单调性，利用单调性判断大小.
【详解】由
ln x
f x
x
=
，则
1
1
ln
2
ln
2
2
x
x
x
x
x
f
x
x
x x
×
-
×
-
=
=
¢
，
0
x >
，
当
2
0,e
xÎ
时，
0
f
x
¢
>
，即
f x 单调递增，
当
2e ,
x
¥
Î
+
时，
0
f
x
¢
<
，即
f x 单调递减，
又
2
9
0
e
7
e
2
<
<
<
<
，所以
9
e
7
2
f
f
f
æ
ö
<
<
ç
÷
è
ø
，即a
b
c
<
<
.
故选：D.
8．已知函数
2
1
( )
log
(
0
2
a
f x
x
ax
a
æ
ö
=
-
+
>
ç
÷
è
ø
且
1)
a ¹
，对任意的
1
2
,
[1,
)
x x Î
+¥ ，且
1
2
x
x
¹
时，满足
2
1
2
1
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．3 ,
2
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
C．
1,2
D．
2,+¥
【答案】A
【分析】由题意可得函数
( )
y
f x
=
在[1,
)
+¥ 上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求
解即可.
【详解】因为对任意的
1
2
,
[1,
)
x x Î
+¥ ，且
1
2
x
x
¹
时，满足
2
1
2
1
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，
所以函数
( )
y
f x
=
在[1,
)
+¥ 上单调递增，
令
2
1
2
t
x
ax
=
-
+
，其图象的开口向上，对称轴为
2
a
x =
，
则t 在[
,
)
2
a +¥ 上单调递增，
当0
1
a
<
< 时，
loga
y
t
=
为单调递减函数，
由复合函数的单调性可知函数
( )
y
f x
=
在[
,
)
2
a +¥ 单调递减，不满足题意；
当
1
a > 时，
loga
y
t
=
为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知函数
( )
y
f x
=
在[
,
)
2
a +¥ 单调递增，
又因为函数
( )
y
f x
=
在[1,
)
+¥ 上单调递增，
所以
2
1
2
1
1
0
2
1
a
a
a
ì
£
ï
ïï
-
+
>
í
ï
>
ï
ïî
，解得
3
1
2
a
<
<
，
即实数a 的取值范围为
3
(1, )
2 .
故选：A.
题型2 函数奇偶性的应用（参数、图像、求值问题）
1、奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y 轴对称⇔对称区间的单调性相反；
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
( )
y
f x
=
在
0
x =
处有意义，则有
(0)
0
f
=
；
（2）对于运算函数有如下结论：奇± 奇=奇；偶± 偶=偶；奇± 偶=非奇非偶；
奇( )
´ ¸ 奇=偶；奇( )
´ ¸ 偶=奇；偶( )
´ ¸ 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
1
( )
(
)
0
1
x
x
a
f x
m
x
a
+
=
¹
-
(
) 或函数
1
( )
(
)
1
x
x
a
f x
m a
-
=
+
．②函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
= ±
-
．
③函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
+
=
=
+
-
-
或函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
-
=
=
-
+
+
④函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
=
+ +
或函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
=
+ -
．
注意：关于①式，可以写成函数
2
( )
(
0)
1
x
m
f x
m
x
a
=
+
¹
-
或函数
2
( )
(
)
1
x
m
f x
m
m
R
a
=
-
Î
+
．
偶函数：①函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
= ±
+
．②函数
( )
log (
1)
2
mx
a
mx
f x
a
=
+
-
．③函数
(|
|)
f
x
类型的一切函数．
3、已知
( )
f x =奇函数M
+
，
[
, ]
x
a a
Î -
，则
（1）
(
)
( )
2
f
x
f x
M
-
+
=
（2）
max
min
( )
( )
2
f x
f x
M
+
=
1．（2026·四川宜宾·一模）若函数
( )
f x 为R 上的奇函数，且当
0
x ³
时，
( )
ex
f x
m
=
-
，则
1
(ln
)
4
f
=
（ ）
A．-4
B．-3
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用奇函数性质求出m ，再利用奇函数定义及指数式与对数式互化关系求出函数
值.
【详解】由函数
( )
f x 为R 上的奇函数，且当
0
x ³
时，
( )
ex
f x
m
=
-
，得
(0)
1
0
f
m
= -
=
，
解得
1
m = ，
( )
e
1
x
f x =
- ，所以
ln4
1
(ln
)
( ln 4)
(ln 4)
(e
1)
3
4
f
f
f
=
-
= -
= -
-
= - .
故选：B
2．（23-24 高三下·上海·月考）已知函数
,
y
f x
x
=
ÎR 为奇函数，当
0
x ³
时，
3
2
2
1
x
f x
x
=
+
- ，当
0
x <
时，
f x 的表达式为（ ）
A．
3
2
2
1
x
x +
-
B．
3
2
2
1
x
x
-
-
+
C．
3
2
2
1
x
x
-
-
+
-
D．
3
2
2
1
x
x
-
-
+
【答案】B
【分析】根据奇函数定义，结合
0
x ³
的解析式直接求解即可.
【详解】当
0
x <
时，
0
x
- >
，
3
2
2
1
x
f
x
x
-
\
-
= -
+
- ，
又
f x 为奇函数，
3
2
2
1
x
f x
f
x
x
-
\
= -
-
=
-
+ ，
即当
0
x <
时，
3
2
2
1
x
f x
x
-
=
-
+ .
故选：B.
3．（2025·吉林长春·二模）已知函数
2
2
1
f
x
x
a
x
a
=
+
-
+
-
为奇函数，则a 的值是（ ）
A．3
B．1 或3
C．2
D．1 或2
【答案】C
【分析】根据奇函数在原点处有意义则
0
0
f
=
求出a 的值，再将a 的值代回原函数检验即可得解.
【详解】因为
2
2
1
f x
x
a
x
a
=
+
-
+
-
为奇函数，所以
(0)
(
2)
1
0
f
a
a
=
-
-
=
，
解得
1
a = 或
2
a =
.
当
1
a = 时，
2
1
f x
x
x
=
-
，
2
1
f
x
x
x
f x
-
=
- -
¹ -
，故
1
a = 不合题意，舍去；
当
2
a =
时，
2
1
f x
x x
=
+
，
2
1
f
x
x x
f x
-
= -
+
= -
，故
2
a =
符合题意.
故选：C.
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数
sin
ln
f x
x
x
=
×
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式可知该函数的定义域为全体非零实数，
因为
sin
ln
sin
ln
f
x
x
x
x
x
f x
-
=
-
×
-
= -
×
= -
，
所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除选项AC；
当
0,1
xÎ
时，
sin
ln
sin
ln
0
f x
x
x
x
x
=
×
=
×
<
，所以排除选项D，所以选项B 中的图象有可能是该函数
的图象.
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若函数
2
3
1
x
f x
a
=
+
- 为奇函数，则实数a =（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】利用奇函数的定义
( )
(
)
0
f x
f
x
+
-
=
列方程，结合指数幂的运算求解.
【详解】
2
3
1
x
f x
a
=
+
- ，则
2
2 3
2 3
3
1
1 3
3
1
x
x
x
x
x
f
x
a
a
a
-
´
´
-
=
+
=
+
=
-
-
-
- ，
由于
( )
f x 是奇函数，则
( )
(
)
0
f x
f
x
+
-
=
，
即
2
2 3
0
3
1
3
1
x
x
x
a
a
´
+
+
-
=
-
-
，
则
2 3
3
1
2
2
2
3
1
3
1
1
2
3
x
x
x
x
x
a
´
-
=
-
=
´
=
-
-
-
，
解得
1
a = .
6．已知
f x 为奇函数，
g x 为偶函数，且满足
ex
f x
g x
x
+
=
+
，则
f x =（ ）
A．e
e
2
x
x
-
-
B．e
e
2
x
x
-
+
C．e
e
2
2
x
x
x
-
-
-
D．e
e
2
2
x
x
x
-
-
+
【答案】D
【分析】根据题意可得
( )
( )
e
(
)
(
)
e
x
x
f x
g x
x
f
x
g
x
x
-
ì
+
=
+
í
-
+
-
=
-
î
，由函数的奇偶性可得
( )
( )
e
( )
( )
e
x
x
f x
g x
x
f x
g x
x
-
ì
+
=
+
í-
+
=
-
î
，解之即可求
解.
【详解】由题意知，
( )
f x 为奇函数，( )
g x 为偶函数，
则
(
)
( ), (
)
( )
f
x
f x g
x
g x
-
= -
-
=
，
所以
( )
( )
e
(
)
(
)
e
x
x
f x
g x
x
f
x
g
x
x
-
ì
+
=
+
í
-
+
-
=
-
î
，即
( )
( )
e
( )
( )
e
x
x
f x
g x
x
f x
g x
x
-
ì
+
=
+
í-
+
=
-
î
，
解得
e
e
2
( )
2
x
x
x
f x
-
-
+
=
.
故选：D
7．已知函数
2
5
2
1
1
x
x
f x
x
+
+
=
+
在区间
2025,2025
-
上的最大值为M ，最小值为N ，则
2025
1
M
N
+
-
的值
为（ ）
A．1
B．1
-
C．
2025
2
D．0
【答案】A
【分析】分离常数有
4
2
2
( )
1
1
x x
f x
x
+
=
+
+
，设
4
2
2
( )
1
x x
g x
x
+
=
+
，得到奇偶性，再利用对称性即可得到答案.
【详解】
4
5
2
2
2
2
2
1
( )
1
1
1
x x
x
x
x
f x
x
x
+
+
+
+
=
=
+
+
+
，令
4
2
2
( )
1
x x
g x
x
+
=
+
，定义域为
2025,2025
-
，关于原点对
称，
则
4
4
2
2
(
)
2
2
(
)
( )
(
)
1
1
x
x
x x
g
x
g x
x
x
-
-
+
+
-
=
= -
= -
-
+
+
，所以函数( )
g x 为奇函数，
因为
( )
f x 在区间[ 2025,2025]
-
上的最大值为M ，最小值为N ，
则( )
g x 在区间[ 2025,2025]
-
上的最大值为
1
M - ，最小值为
1
N - ，
所以(
1)
(
1)
0
M
N
-
+
-
=
，即
2
M
N
+
=
，
所以
1
2 1
1
M
N
+
- =
- = ，所以
2025
2025
(
1)
1
1
M
N
+
-
=
= ．
故选：A．
8．（25-26 高三上·广东珠海·月考）已知
( )
e
e
sin
x
x
f x
x
x
-
=
-
+
-
，若正实数m，n 满足
(2 )
(
1)
0
f
m
f n
+
-
=
，则1
4
6
3
1
m
n
+
+ 的最小值为（ ）
A．3
4
B．5
4
C．7
4
D．9
4
【答案】D
【分析】用导数的性质判断函数的单调性，根据奇偶函数的定义、基本不等式进行求解即可.
【详解】显然该函数的定义域为全体实数，
因为
(
)
e
e
sin(
)
(e
e
sin
)
( )
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f x
-
-
-
=
-
+
-
+
= -
-
+
-
= -
，
所以该函数是奇函数，
( )
e
e
sin
( )
e
e
cos
1
x
x
x
x
f x
x
x
f
x
x
-
-
¢
=
-
+
-
Þ
=
+
+
- ，
2
e
e
e
e
x
x
x
x
-
-
³
+
×
，即e
e
2
-
+
³
x
x
，
当且仅当e
e
x
x
-
=
时取等号，即当
0
x =
时取等号，
所以有
1
e
1
e
x
x
-
+
+ ³ ，当
0
x =
时取等号，
而cos
1
x ³ - ，当且仅当
2 π
π
Z
x
k
k
=
+
Î
时取等号，
显然
0
x =
与
2 π
π
Z
x
k
k
=
+
Î
不能同时成立，
所以
( )
0
f
x
¢
>
，
所以该函数是实数集上的增函数，且又是奇函数，
所以
(2 )
(
1)
0
(2 )
(
1)
(2 )
(
1)
f
m
f n
f
m
f n
f
m
f
n
+
-
=
Þ
= -
-
Þ
=
- +
2
1
2
1
m
n
m
n
Þ
= - + Þ
+
= ，
令6
,3
1
m
s
n
t
=
+ = ，
因为m，n 是正实数，
所以
0,
1,
6
3
1
3(2
) 1
3 1 1
4
s
t
s
t
m
n
m
n
>
>
+ =
+
+ =
+
+ = ´ + =
，
所以
1
4
1
4
1
1
4
1
4
1
4
5
5
2
6
3
1
4
4
4
s
t
s t
s
t
m
n
s
t
s
t
t
s
t
s
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
=
+
+
=
+
+
³
+
×
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
è
ø
，
即1
4
9
6
3
1
4
m
n
+
³
+
，当且仅当4s
t
t
s
=
时取等号，即当
4
8
,
3
3
s
t
=
=
时取等号，
所以当
2
5
,
9
9
m
n
=
=
时，1
4
6
3
1
m
n
+
+ 的最小值为9
4 ，
故选：D
题型3 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递增 Þ 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
>
+ x
x
；
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递减 Þ 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
<
+ x
x
；
②
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递增 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x >
（不变号加绝对值）；
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递减 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x <
（变号
加绝对值）；
③
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递增 Þ 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
>
+
；
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递减 Þ 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
<
+
；
④
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递增 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
>
-
2
1
（不变号加绝对值）；
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递减 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
<
-
2
1
（不变号加绝对值）；
1．（2027 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的偶函数
f x 在
0,+¥ 上单调递增，若
ln
2
f
x
f
<
，则x 的取值范围是（ ）
A．
2
0,e
B．
2
e
,
-
+¥
C．
2e ,+¥
D．
2
2
e ,e
-
【答案】D
【分析】先利用偶函数的对称性将函数值不等式转化为自变量绝对值的不等式，再通过对数运算解出变量
的取值范围.
【详解】根据题意知，
f x 为偶函数且在
0, ¥
+
上单调递增，则
ln
2
f
x
f
<
，
即ln
2
x <
，即2
ln
2
x
- <
<
，解得
2
2
e
e
x
- <
<
，
即x 的取值范围是
2
2
(e ,e )
-
．
故选：D.
2．（25-26 高三上·广东·期中）已知函数
3
f x
x x
x
=
+
，满足
2
1
3
0
f
a
f a
-
+
-
<
，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
2,
-
+¥
B．
0, ¥
+
C．
1,2
-
D．
2,+¥
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，
解得即可.
【详解】函数
3
f x
x x
x
=
+
的定义域为R ，且
3
3
f
x
x
x
x
x x
x
f x
-
= -
-
+ -
= -
+
= -
，
所以
3
f x
x x
x
=
+
为奇函数，
当
0
x >
时
2
3
f x
x
x
=
+
，因为
2
y
x
=
，
3
y
x
=
均在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
2
3
f x
x
x
=
+
在
0, ¥
+
上单调递增，又
3
f x
x x
x
=
+
为连续函数，
所以
3
f x
x x
x
=
+
在R 上单调递增，
不等式
2
1
3
0
f
a
f a
-
+
-
<
，即
2
3
1
f a
f a
-
<
-
，即
2
3
1
a
a
-
<
- ，解得1
a
2
- <
<
，
所以实数a 的取值范围为
1,2
-
.
故选：C
3．（2026·天津滨海新区·一模）已知
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，且
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递增，设
3
log 2
a
f
=
-
，
0.5
(ln e),
0.3
b
f
c
f
-
=
=
，则, ,
a b c 的大小关系是（ ）
A．c
b
a
<
<
B．b
c
a
<
<
C．c
a
b
<
<
D．b
a
c
<
<
【答案】C
【分析】根据题意，得到
( )
f x 在[0,
)
+¥ 为单调递减函数，且
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，利用对数函数的单调性，求得
0.5
3
ln
e
log 2
0.3-
<
<
，结合
( )
f x 的单调性，即可求解.
【详解】由题意知，函数
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，且
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递增，
可得函数
( )
f x 在[0,
)
+¥ 上为单调递减函数，且
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，
所以
3
3
log 2
log 2
a
f
f
=
-
=
，
0.5
(ln e),
0.3
b
f
c
f
-
=
=
，
因为
3
3
3
log
3
log 2
log 3
<
<
，所以
3
1
log 2
1
2 <
< ，
1
ln
e
2
=
，
0.5
0
1
0.3
0.3
-
>
= ，
可得
0.5
3
0
ln
e
log 2
0.3-
<
<
<
，所以
0.5
3
(0.3
)
log 2
ln
e
f
f
f
-
<
<
，
即
0.5
3
(0.3
)
log 2
ln
e
f
f
f
-
<
-
<
，所以c
a
b
<
<
.
4．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
2
2
2 ,
0
2 ,
0
x
x
x
x
f x
x
x
-
ì
+
³
= í
+
<
î
，若
3
2
2
1
f
a
f
a
-
<
+
，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
, 3
1,
-¥ -
+¥
U
B．
3,1
-
C．
1
,
3,
5
æ
ö
-¥
+¥
ç
÷
è
ø
U
D．1 ,3
5
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数在
0, ¥
+
上的单调性，结合单调性与奇偶性得到
3
2
2
1
a
a
-
<
+
，解得即可.
【详解】因为
2
2
2 ,
0
2 ,
0
x
x
x
x
f x
x
x
-
ì
+
³
= í
+
<
î
，函数的定义域为R ，
当
0
x >
时
2
2x
f x
x
=
+
，
0
x
- <
，则
2
2
2
2
x
x
f
x
x
x
f x
- -
-
= -
+
=
+
=
；
当
0
x <
时
2
2 x
f x
x
-
=
+
，
0
x
- >
，则
2
2
2
2
x
x
f
x
x
x
f x
-
-
-
= -
+
=
+
=
；
所以
f
x
f x
-
=
，即
f x 为偶函数，
又当
0
x >
时
2
2x
f x
x
=
+
，且
2
y
x
=
与
2x
y =
均在
0, ¥
+
上单调递增，
所以
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
不等式
3
2
2
1
f
a
f
a
-
<
+
，即3
2
2
1
a
a
-
<
+
，即
2
2
3
2
2
1
a
a
-
<
+
，
解得1
3
5
a
<
<
，
所以实数a 的取值范围为1 ,3
5
æ
ö
ç
÷
è
ø.
故选：D
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
2
( )
cos
f x
x
x
=
-
，则
ln 2
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø，
ln3
3
f æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
ln5
5
f æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的大小
关系为（ ）
A．
ln5
ln3
ln 2
5
3
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
B．
ln 2
ln5
ln3
2
5
3
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
<
-
<
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
C．
ln5
ln 2
ln3
5
2
3
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
<
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
D．
ln3
ln5
ln 2
3
5
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
【答案】C
【分析】先判断函数
2
cos
f x
x
x
=
-
的奇偶性，利用导数判断函数
f x 的单调性，令
ln
,
3
x
g x
x
x
=
³
，
利用导数判断
g x 的单调性，从而可得
ln3
ln 4
1n5
1
0
3
4
5
>
>
>
>
，进而可得函数值的大小．
【详解】∵
2
cos
f x
x
x
=
-
，
∴
2
2
cos
cos
f
x
x
x
x
x
f x
-
= -
-
-
=
-
=
，∴
f x 是偶函数，
2
sin
f
x
x
x
=
+
¢
，
当0
1
x
<
< 时，
0
f
x
¢
>
，故函数
f x 在
0,1 上单调递增，
令
ln
,
3
x
g x
x
x
=
³
，则
2
1 ln
0
x
g
x
x
¢
-
=
<
，
即函数
g x 在
3, ¥
+
上单调递减，故
3
4
5
g
g
g
>
>
，
即
ln3
ln 4
1n5
1
0
3
4
5
>
>
>
>
，而ln 4
1n2
4
2
=
，
所以
ln3
ln 2
ln5
3
2
5
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
>
>
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
∴
ln5
ln 2
ln3
5
2
3
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
<
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ．
故选：C．
6．已知函数
f x 是定义在
,0
0,
-¥
+¥
U
上的奇函数，且
1
0
f -
=
，若对于任意两个实数
1
2
,
0,
x x Î
+¥ 且
1
2
x
x
¹
，不等式
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
恒成立，则不等式
0
xf x <
的解集为（ ）
A．
, 1
0,1
-¥ -
È
B．
, 1
1,
-¥ -
È
+¥
C．
1,0
1,
-
È
+¥
D．
1,0
0,1
-
U
【答案】D
【分析】由不等式
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
可以判断出该函数的单调性，再结合奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为对于任意两个实数
1
2
,
0,
x x Î
+¥ 且
1
2
x
x
¹
，不等式
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
恒成立，
所以有
1
2
1
2
0
0
f x
f x
x
x
ì
-
>
í
-
>
î
，或
1
2
1
2
0
0
f x
f x
x
x
ì
-
<
í
-
<
î
，
即
1
2
1
2
f x
f x
x
x
ì
>
í
>
î
，或
1
2
1
2
f x
f x
x
x
ì
<
í
<
î
，
所以当
0,
xÎ
+¥ 时，函数
f x 单调递增，
又因为函数
f x 是定义在
,0
0,
-¥
+¥
U
上的奇函数，
所以当
,0
xÎ -¥
时，函数
f x 单调递增，
由
0
0
0
x
xf x
f x
>
ì
<
Þ í
<
î
，或
0
0
x
f x
<
ì
í
>
î
，
因为函数
f x 是定义在
,0
0,
-¥
+¥
U
上的奇函数，
所以由
1
0
1
0
f
f
-
=
Þ
=
，
由
0
0
0
1
0
1
x
x
x
f x
f x
f
>
>
ì
ì
Þ
Þ
<
<
í
í
<
<
î
î
，
由
0
0
1
0
0
1
x
x
x
f x
f x
f
<
<
ì
ì
Þ
Þ - <
<
í
í
>
>
-
î
î
，
所以不等式
0
xf x <
的解集为
1,0
0,1
-
U
，
故选：D
7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
3
2
2
2
1
x
f x
x
=
-
-
+
，若
2
1
2
0
f ax
f ax
+
-
+
>
恒成立，则a 的取
值范围为（ ）
A．
4,0
-
B．
4,0
-
C．
0,4
D．
0,4
【答案】B
【分析】构造函数
1
g x
f x
=
+ ，根据条件判断出
g x 的奇偶性和单调性，然后将问题转化为
“
2
1
g ax
g
ax
>
-
”，结合
g x 的函数性质列出不等式组求解出结果.
【详解】由题意知
3
3
2
1 2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
f x
x
x
-
=
-
-
=
-
-
+
+
，
令
3
3
3
1 2
1 2
1 2
1
,
(
)
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
g x
f x
x
g
x
x
x
g x
-
-
-
-
-
=
+ =
-
-
=
- -
= -
+
= -
+
+
+
，
且
g x 的定义域为R 关于原点对称，所以
g x 是奇函数，
因为
2
2
1
x
y =
+ 为R 上的减函数，
3
2
y
x
= -
-
为R 上的减函数，
所以函数
y
f x
=
在R 上单调递减，故函数
y
g x
=
在R 上单调递减，
又由
2
1
2
0
f ax
f ax
+
-
+
>
，得
2
1
0
g ax
g ax
+
-
>
，
所以
2
1
1
g ax
g ax
g
ax
> -
-
=
-
，
所以
2
1
ax
ax
< -
任意xÎR 恒成立，即
2
1
0
ax
ax
+
- <
对任意xÎR 恒成立，
若
0
a =
，可得1
0
- <
，此时恒成立，满足要求；
若
0
a ¹
，则需
2
0
Δ
4
0
a
a
a
<
ì
í
=
+
<
î
，解得4
0
a
- <
<
，
综上所述，a 的取值范围是
4,0
-
，
故选：B.
8．（25-26 高三上·山东·月考）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间
0,+¥ 上单调递减，若
2
1
2
log
log
2
1
f
a
f
a
f
æ
ö
+
£
ç
÷
è
ø
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
1
0,
2,
2
¥
æ
ù È
+
ç
ú
è
û
B．
1 ,2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
1
0,
2,
2
¥
æ
öÈ
+
ç
÷
è
ø
D．
1
,
2,
2
æ
ù
-¥
+¥
ç
ú
è
û
U
【答案】A
【分析】根据题意，把不等式转化为
2
log
(1)
f
a
f
£
，得到
2
log
1
a ³ ，结合对数的运算性质，即可求解.
【详解】由不等式
2
1
2
log
log
2
1
f
a
f
a
f
æ
ö
+
£
ç
÷
è
ø
，可得
2
2
log
log
2 (1)
f
a
f
a
f
+
-
£
，
因为
f x 为偶函数，可得
2
2
log
log
f
a
f
a
-
=
，
所以原不等式即为
2
2
log
2 (1)
f
a
f
£
，即
2
log
(1)
f
a
f
£
，
又因为
f x 在区间[0,
)
+¥ 上单调递减且为偶函数，可得
2
log
1
a ³ ，
即
2
log
1
a £ - 或
2
log
1
a ³ ，解得
1
0
2
a
<
£
或
2
a ³
，
所以实数a 的取值范围为
1
0,
2,
2
¥
æ
ù È
+
ç
ú
è
û
.
故选：A.
9．已知
f x 是定义在R 上的偶函数，
g x 是定义在R 上的奇函数，且
f x ，
g x 在
,0
¥
-
上单调递
增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A．
1
2
g g
g g
>
B．
1
2
g f
g f
<
C．
1
2
f g
f g
>
D．
1
2
f
f
f
f
>
【答案】C
【分析】先由题设得函数
( )
f x 和( )
g x 的单调性情况，进而得
(1)
(2), (2)
(1)
0
f
f
g
g
>
>
>
，从而即可一一判
断各选项.
【详解】由题意可知
f x 在
,0
-¥
上单调递增，在
0, ¥
+
上单调递减，
g x 在R 上单调递增，且
0
0
g
=
，
所以
1
2
f
f
>
，
2
1
0
g
g
>
>
.
对于A：因为
2
1
g
g
>
，
g x 在R 上单调递增，所以
2
1
g g
g g
>
，故A 错误；
对于B：因为
1
2
f
f
>
，
g x 在R 上单调递增，所以
1
2
g f
g f
>
，故B 错误；
对于C：因为
2
1
0
g
g
>
>
，
f x 在
0, ¥
+
上单调递减，所以
1
2
f g
f g
>
，故C 正确；
对于D，因为
1
2
f
f
，
正负不知， 所以
1
2
f
f
f
f
，
大小关系不定，故D 错误；
故选：C.
10．（25-26 高三上·福建福州·月考）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，当
1
2
,
0,
x x Î
+¥ 且
1
2
x
x
¹
时，都
有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
成立，
2026
2026
f
=
，则不等式
0
f x
x
-
>
的解集为（ ）
A．
, 2026
2026,
¥
¥
-
-
È
+
B．
2026,0
2026,
-
+¥
U
C．
2026,2026
-
D．
1
1
,
2026 2026
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】B
【分析】构造函数
f x
g x
x
=
，其中
0
x ¹
，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出
2026
2026
2026
1
2026
f
g
g
=
-
=
= ，然后将所求不等式转化为
0
1
x
g x
>
ì
í
>
î
、
0
1
x
g x
<
ì
í
<
î
，解之即可.
【详解】构造函数
f x
g x
x
=
，其中
0
x ¹
，则
f
x
f x
g
x
g x
x
x
-
-
=
=
=
-
，
故函数
g x 为偶函数，
当
1
2
,
0,
x x
¥
Î
+
且
1
2
x
x
¹
时，都有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
成立，
不妨设
1
2
x
x
<
，则
2
1
1
2
0
x f x
x f x
-
<
，
则
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
0
x f x
x f x
f x
f x
x x
x
x
-
=
-
<
，即
1
2
g x
g x
<
，
故函数
g x 在
0, ¥
+
上为增函数，即该函数在
,0
¥
-
上为减函数，
因为
2026
2026
f
=
，则
2026
2026
2026
1
2026
f
g
g
=
-
=
= ，
当
0
x >
时，由
0
f x
x
-
>
得
1
f x
x
> ，即
2026
g x
g
>
，解得
2026
x >
；
当
0
x <
时，由
0
f x
x
-
>
得
1
f x
x
< ，即
2026
g x
g
<
-
，解得2026
0
x
-
<
<
.
综上所述，不等式
0
f x
x
-
>
的解集为
2026,0
2026, ¥
-
È
+
.
故选：B
题型4 函数函数的周期性及其应用
周期性技巧
(
)
( )
(
)
( )
2
1
1
(
)
;
(
)
2
( )
( )
(
)
(
)
2
(
)
(
)
4
(
)
(
)
2(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
( )
(
)
(
)
2(
)
(
)
(
)
(
x
R
f x
T
f x
T
f x
T
f x
T
f x
T
f x
T
T
f x
f x
f x
T
f x
T
T
f x
T
f x
T
T
f a
x
f a
x
b
a
f b
x
f b
x
f a
x
f a
x
a
f x
f a
x
f a
x
b
a
f b
x
f b
x
f a
Î
+
=
+
= -
+
=
+
= -
+
=
-
+
= -
-
+
=
-
ì
-
í
+
=
-
î
+
=
-
ì
í
î
+
= -
-
ì
-
í
+
= -
-
î
函数式满足关系（
）
周期
为偶函数
)
(
)
2
( )
(
)
(
)
4(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
( )
(
)
(
)
4
( )
x
f a
x
a
f x
f a
x
f a
x
b
a
f b
x
f b
x
f a
x
f a
x
a
f x
f a
x
f a
x
a
f x
+
= -
-
ì
í
î
+
=
-
ì
-
í
+
= -
-
î
+
=
-
ì
í
î
+
= -
-
ì
í
î
为奇函数
为奇函数
为偶函数
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 满足对于任意的实数x ，都有
1
(
3)
f x
f x
+
=
，且
1
3
3
f
=
，则
2025
f
= （ ）
A．
1
3
-
B．1
3
C．1
-
D．1
【答案】B
【分析】根据
1
(
3)
f x
f x
+
=
可求
f x 的周期，根据函数周期性即可求值.
【详解】由
1
3
f x
f x
+
=
得
1
6
3
f x
f x
f x
+
=
=
+
，
所以函数
f x 的周期
6
T =
，
所以
1
2025
337 6
3
3
3
f
f
f
=
´ +
=
=
．
故选：B.
2．（24-25 高三上·广东佛山·月考）
f x 是定义在R 上周期为2 的奇函数，当0
1
x
£
£ 时，
2
f x
x
x
=
-
，则
7
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
1
4
-
B．
1
2
-
C．1
4
D．
1
2
【答案】C
【分析】利用周期性与奇函数性质求
7
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø的值.
【详解】因为
f x 是定义在R 上周期为2 的奇函数，
所以
2
7
7
1
1
1
1
1
4
2
2
2
2
2
2
4
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
= -
= -
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
.
故选：C.
3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
4
f x
f x
+
+
=
，且
0
0
f
=
，则
2026
f
= （ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件求出
f x 的周期，结合函数周期性求值即可.
【详解】因为
2
4
f x
f x
+
+
=
，所以
4
2
4
f x
f x
+
+
+
=
，
所以
4
2
2
f x
f x
f x
f x
+
+
+
=
+
+
，即
4
f x
f x
+
=
.
所以
f x 是周期为4 的周期函数.
所以
2026
506 4
2
2
f
f
f
=
´ +
=
.
在
2
4
f x
f x
+
+
=
中，令
0
x =
，则
2
0
4
f
f
+
=
，所以
2
4
f
=
.
因此
2026
4
f
=
.
4．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，且
2
,
1
1
f
x
f x
f
- -
=
= ，则
2027
f
= （ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出4 是函数
f x 的一个周期，利用周期性和奇偶性即可求得答案.
【详解】因
f x 是定义在R 上的奇函数，则
(
)
( )
f
x
f x
-
= -
，
又
2
f
x
f x
- -
=
，则
2
f x
f
x
-
=
-
，
故
( )
2
f x
f x
= -
-
，即
2
( )
f x
f x
+
= -
，则
(
4)
2
( )
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
故4 是函数
f x 的一个周期，
于是
2027
(4 507 1)
( 1)
(1)
1
f
f
f
f
=
´
-
=
-
= -
= - .
故选：A.
5．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
1
2 ,
0,
1
2 ,
0,
x
a
x
f x
f x
f x
x
ì -
×
£
ï
= í
-
-
-
>
ïî
若
2025
1
f
= ，则实数a 的值
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】先推导
0
x >
时函数的周期，再利用周期性将
2025
f
转化为
3
f
，结合分段函数表达式建立方
程求解a ．
【详解】因为当
0
x >
时，
1
2
f x
f x
f x
=
-
-
-
，
所以
1
1
f x
f x
f x
+
=
-
-
，
1
f x +
2
f x
= -
-
，即
3
f x
f x
+
= -
，
6
3
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
所以
2025
337 6
3
f
f
=
´ +
3
2
1
1
0
1
0
1
1
f
f
f
f
f
f
f
a
=
=
-
=
-
-
= -
=
- = ，
则
2
a =
．
故选：C．
6．如果
f a
b
f a
f b
+
=
×
且
1
2
f
=
，则
1
3
5
2025
0
2
4
2024
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
L
的值为（ ）
A．1012
B．2024
C．1013
D．2026
【答案】D
【分析】根据已知得到
1
2
f a
f a
+
=
，结合目标式求值即可.
【详解】因为
f a
b
f a
f b
+
=
×
，所以
1
1
1
f a
f a f
f
f a
f a
+
=
=
，又
1
2
f
=
，所以
1
2
f a
f a
+
=
，
则
1
3
5
2025
2026
2
2
2
2
2026
0
2
4
2024
2
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
=
+
+
+
=
´
=
L
L
.
故选：D
7．（2026·浙江·模拟预测）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，满足
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，
1
1
f -
= ，则
1
2
2026
f
f
f
+
+
+
=
L
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
-
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得函数
f x 是以4 为周期的周期函数，然后分别求得
1 ,
2 ,
3 ,
4
f
f
f
f
的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果.
【详解】将
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
中的x 替换为
1
x + 可得
2
0
f x
f x
+
+
=
，
则
2
f x
f x
+
= -
，
用
2
x +
替换x ，即
4
2
2
2
f x
f
x
f x
f x
é
ù
+
=
+
+
= -
+
=
ë
û
，
所以函数
f x 是以4 为周期的周期函数，
由
2
0
f x
f x
+
+
=
，令
0
x =
，则
2
0
0
f
f
+
=
，
且
f x 是定义在R 上的奇函数，则
0
0
f
=
，所以
2
0
f
=
，
令
3
x =
，则
3
1
0
f
f
+
=
，且
1
1
1
f
f
= -
-
= - ，则
3
1
f
= ，
令
4
x =
，则
4
2
0
f
f
+
=
，因为
2
0
f
=
，所以
4
0
f
=
，
所以
1
2
3
4
1 0 1 0
0
f
f
f
f
+
+
+
= - +
+ +
=
，
则
1
2
2026
506
1
2
3
4
1
2
f
f
f
f
f
f
f
f
f
é
ù
+
+
+
=
+
+
+
+
+
ë
û
L
1
2
1
f
f
=
+
= - .
题型5 函数的对称性及其应用
1、轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
f x 满足
f a
x
f a
x
+
=
-
,则
f x 的一条对称轴为x
a
=
（2）若函数
f x 满足
2
f
a
x
f x
-
=
,则
f x 的一条对称轴为x
a
=
（3）若函数
f x 满足
2
f
a
x
f
x
+
=
-
,则
f x 的一条对称轴为x
a
=
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=a＋b
2 对称；
小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找
出对称轴。
2、中心对称结论如下：
（1）若函数
f x 满足
2
f a
x
f a
x
b
+
+
-
=
，则
f x 的一个对称中心为
,a b
（2）若函数
f x 满足
2
2
f
a
x
f x
b
-
+
=
，则
f x 的一个对称中心为
,a b
（3）若函数
f x 满足
2
2
f
a
x
f
x
b
+
+
-
=
，则
f x 的一个对称中心为
,a b .
小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均
值）来确定对称中心的位置。
1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为R 的函数
f x 满足
2
f x
f
x
=
-
，且当
1
x £ 时，
2x
f x =
，
则（ ）
A．
1
1
4
f
f
f
<
-
<
B．
1
4
1
f
f
f
<
<
-
C．
4
1
1
f
f
f
<
-
<
D．
1
4
1
f
f
f
-
<
<
【答案】C
【分析】根据条件可得
(1),
( 1)
f
f -
的值，再结合对称性可得
(4)
f
的值，进而可得结果.
【详解】当
1
x £ 时，
2x
f x =
，得
1
1
(1)
2,
( 1)
2
2
f
f
-
=
-
=
=
.
再由
2
f x
f
x
=
-
，
2
1
(4)
( 2)
2
4
f
f
-
=
-
=
=
，所以
4
1
1
f
f
f
<
-
<
.
故选：C.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
1
lg
1
1
x
f x
x
-
=
+
+
，若
1
2
f a =
，则
f
a
-
的值为（ ）
A．3
2
B．
1
2
-
C．2
D．2
-
【答案】A
【分析】根据解析式可得
(
)
( )
2
f
x
f x
-
+
=
，利用对称性求函数值.
【详解】由题设1
0
(
1)(
1)
0
1
1
1
x
x
x
x
x
-
>
Þ
+
-
<
Þ - <
<
+
，
且
1
1
lg
1
lg
1
1
1
x
x
f
x
x
x
+
-
-
=
+ = -
+
-
+
，则
(
)
( )
2
f
x
f x
-
+
=
，
由
1
2
f a =
，可得
3
2
2
f
a
f a
f
a
-
+
=
Þ
-
=
.
故选：A
3．（24-25 高三上·江苏扬州·期中）已知函数
2
f x +
是偶函数，
f x 在
,2
-¥
上单调递增，则不等式
3
2
1
f
x
f x
+
<
+
的解集为（ ）
A．
1
1
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
B．
1 1
,
4 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．
1
1
,
,
2
4
æ
ö
æ
ö
-¥ -
È
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
1 1
,
2 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】C
【分析】由题意
f x 的对称轴是
2
x =
，在
,2
-¥
上单调递增，在
2,+¥ 上单调递减，不等式
3
2
1
f
x
f x
+
<
+
等价于3
2
2
1 2
x
x
+
-
>
+ -
，求解即可.
【详解】由题意函数
2
f x +
是偶函数，所以
f x 的对称轴是
2
x =
，
因为
f x 在
,2
-¥
上单调递增，所以在
2,+¥ 上单调递减，
由
3
2
1
f
x
f x
+
<
+
，有3
2
2
1 2
x
x
+
-
>
+ -
，即
2
8
2
1
0
x
x
+
- >
，
解得
1
2
x < -
或
1
4
x >
，所以不等式的解集为
1
1
,
,
2
4
æ
ö
æ
ö
-¥ -
È
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
故选：C.
4．已知函数
3
2
1
3
1
2
3
2
4
f x
x
x
x
=
-
+
+
，则函数
y
f x
=
的图像对称中心是（ ）
A．
13
1,12
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
11
2,12
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．3 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．5 25
,
4 24
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】C
【分析】任意取函数上的一点，逐项写出其中心对称点，代入函数检验，可得答案.
【详解】任意取函数
f x 上一点
,a b ，则
3
2
1
3
1
2
3
2
4
f a
a
a
a
b
=
-
+
+
=
，
对于A，点
,a b 关于点
13
1,12
æ
ö
ç
÷
è
ø 成中心对成的点为点
13
2
, 6
a
b
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø，
3
2
3
2
1
3
1
1
1
11
2
2
2
2 2
3
2
4
3
2
12
f
a
a
a
a
a
a
-
=
-
-
-
+
-
+
= -
+
+
，故A 错误；
对于B，点
,a b 关于点
11
2,12
æ
ö
ç
÷
è
ø成中心对成的点为点
11
4
, 6
a
b
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
3
2
3
2
1
3
1
1
5
9
4
4
4
2 4
6
3
2
4
3
2
4
f
a
a
a
a
a
a
a
-
=
-
-
-
+
-
+
= -
+
-
+
，故B 错误；
对于C，点
,a b 关于点3 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 成中心对成的点为点
3
,2
a
b
-
-
，
3
2
3
2
1
3
1
1
3
7
3
3
3
2 3
2
2
3
2
4
3
2
4
f
a
a
a
a
a
a
a
b
-
=
-
-
-
+
-
+
= -
+
-
+
=
-
，故C 正确；
对于D，点
,a b 关于点5 25
,
4 24
æ
ö
ç
÷
è
ø 成中心对成的点为点5
25
,
2
12
a
b
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø ，
3
2
3
2
5
1 5
3 5
5
1
1
3
13
2
2
3 2
2 2
2
4
3
4
12
f
a
a
a
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
-
+
-
+
= -
+
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，故D 错误.
故选：C.
5．已知函数
( )
f x 为定义在R 上的奇函数，函数
( )
(
1)
1
F x
f x
=
-
+ ．则
1
2
3
3999
2000
2000
2000
2000
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
F
F
F
F
（ ）
A．2000
B．1999
C．4000
D．3999
【答案】D
【分析】由题意得
( )
(2
)
2
F x
F
x
+
-
=
，采用倒叙相加法即可求解.
【详解】函数
( )
f x 为定义在R 上的奇函数，函数
( )
(
1)
1
F x
f x
=
-
+ ，
所以
( )
(2
)
(
1)
1
(1
)
1
2
+
-
=
-
+ +
-
+ =
F x
F
x
f x
f
x
，
设
1
2
3
3999
2000
2000
2000
2000
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
F
F
F
F
M
则
3999
3998
3
2
1
2000
2000
2000
2000
2000
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
F
F
F
F
F
M ，
两式相加可得2 3999
2
´
= M ，解得
3999
=
M
，
所以
1
2
3
3999
3999
2000
2000
2000
2000
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
F
F
F
F
．
故选：D.
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，满足
1
f x +
为奇函数，
2
f x +
为偶函
数，则（ ）
A．
0
1
f
=
B．
1
1
f
= -
C．
2
0
f
=
D．
3
0
f
=
【答案】D
【分析】利用函数
1
f x +
为奇函数，
2
f x +
为偶函数的条件，建立关于
f x 的方程，通过带入特定值
推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数
1
f x +
为奇函数，所以
1
1
f
x
f x
- +
= -
+
，
即
1
1
f
x
f
x
-
= -
+
， 所以
f x 的图象关于点
1,0 成中心对称，所以
1
0
f
=
.
又因为
2
f x +
为偶函数，所以
2
2
f x
f
x
+
=
- +
，
即
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，所以
f x 的图象关于直线
2
x =
对称，所以
3
0
f
=
.
故选：D.
7．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
3
2
3
f x
x
x
=
-
，则
2025
2023
k
f k
=-
=
å
（ ）
A．8098
-
B．8096
-
C．0
D．8100
【答案】A
【分析】首先得出
f x 关于
1, 2
-
中心对称，然后即可利用这一性质求解.
【详解】
3
3
3
2
3
1
3
1
1
3
1
2
f x
x
x
x
x
x
x
=
-
=
-
-
+ =
-
-
-
- ，
所以
3
3
1
1
3
2
3
2
4
f
x
f
x
x
x
x
x
+
+
-
=
-
-
-
+
-
= - ，即
f x 关于
1, 2
-
中心对称，
所以
2025
2023
2023
2025
2022
2024
0
2
1
k
f k
f
f
f
f
f
f
f
=-
é
ù
é
ù
é
ù
=
-
+
+
-
+
+¼+
+
+
ë
û
ë
û
ë
û
å
2024
4
1
8098
f
=
´
+
= -
.
故选：A.
题型6 函数的对称性结合周期性
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
( )
y
f x
=
有两条对称轴x
a
=
，
(
)
x
b a
b
=
<
，则函数
( )
f x 是周期函数，且
2(
)
T
b
a
=
-
；
（2）若函数
( )
y
f x
=
的图象有两个对称中心( , ),( , )(
)
a c
b c a
b
<
，则函数
( )
y
f x
=
是周期函数，且
2(
)
T
b
a
=
-
；
（3）若函数
( )
y
f x
=
有一条对称轴x
a
=
和一个对称中心( ,0)(
)
b
a
b
<
，则函数
( )
y
f x
=
是周期函数，且
4(
)
T
b
a
=
-
.
1．（24-25 高三上·黑龙江·期末）已知定义域为R 的奇函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，且
(1)
1
f
= ，
则
(2022)
(2023)
(2024)
f
f
f
+
+
= （ ）
A．1
-
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据题意证明
2
f x
f x
+
= -
，即可得到答案.
【详解】根据题意有
f
x
f x
-
= -
，
2
f x
f
x
=
-
，故
2
2
2
f x
f
x
f
x
f x
+
=
-
+
=
-
= -
，从
而
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
.
所以
2022
2023
2024
2
3
4
0
1
0
1
1
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
=
+
+
= -
-
+
= -
= - .
故选：A.
2．（24-25 高三上·甘肃武威·期末）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，
(
1)
f x +
为奇函数，
(
4)
( )
(1)
f x
f x
f
+
=
+
，则（ ）
A．
(4)
0
f
=
B．
(5)
0
f
=
C．
(6)
0
f
=
D．
2
0
f
=
【答案】B
【分析】由
(
1)
f x +
为奇函数得
f x 的图象关于点
1,0 对称，即
1
0
f
=
，进而得
4
f x
f x
+
=
即可求
解.
【详解】因为
1
f x +
为奇函数，所以
1
1
0
f x
f
x
+
+
- +
=
，
所以
f x 的图象关于点
1,0 对称，
1
0
f
=
，
因为
4
1
f x
f x
f
+
=
+
，所以
4
f x
f x
+
=
，
所以
f x 的最小正周期为4，则
5
1
0
f
f
=
=
.
故选:B.
3．已知定义域为R 的函数
( )
f x 满足
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
= -
- +
，且
(
)
2
2
)
(
f
x
f x
-
+
=
，则
( 2025)
f -
=（ ）
A．24
B．16
C．0
D．24
-
【答案】C
【分析】利用条件可得函数的周期性，根据赋值法求得
1
0
f
=
，利用
(
)
2
2
)
(
f
x
f x
-
+
=
可求得
(3)
1
f
f
=
，再由
1
0
f
=
，可得
(3)
0
f
=
，进而即得.
【详解】由
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
= -
- +
可得：
(
2)
(
)
f x
f
x
+
= -
-
，
由
(
)
2
2
)
(
f
x
f x
-
+
=
可得：
(
)
(
4)
f
x
f x
-
=
+
，
所以
(
2)
(
4)
f x
f x
-
+
=
+
，可得
( )
(
2)
f x
f x
-
=
+
，
所以
(
4)
2
f x
f x
f x
f x
é
ù
+
= -
+
= - -
=
ë
û
，
即
( )
f x 是一个周期为4 的周期函数，
则
( 2025)
( 2025
4 507)
3
f
f
f
-
=
-
+ ´
=
，
又由
(
2)
(
)
f x
f
x
+
= -
-
可得：
(1)
(1)
1
0
f
f
f
= -
Þ
=
，
由
(
)
2
2
)
(
f
x
f x
-
+
=
可得：
(1)
(3)
f
f
=
，即
(3)
1
0
f
f
=
=
，
所以
( 2025)
3
0
f
f
-
=
=
，
故选：C.
4．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
y
f x
=
- 为奇函数，
1
y
f x
=
+
为
偶函数，若
2025
2
f
=
，则
3
f
=（ ）
A．1
B．1
-
C．0
D．3
-
【答案】C
【分析】由
2
f
x
f x
-
+
=
和
1
1
f
x
f
x
-
=
+
推出
2
2
f x
f
x
+
+
=
，进而得周期T 即可求解.
【详解】由
1
y
f x
=
- 为奇函数有
2
f
x
f x
-
+
=
，
1
y
f x
=
+
为偶函数有
1
1
f
x
f
x
-
=
+
2
f x
f
x
Þ
=
-
，
所以有
2
2
f
x
f
x
-
+
-
=
，即
2
2
f x
f
x
+
+
=
2
4
2
f x
f x
Þ
+
+
+
=
，
所以
4
f x
f x
+
=
函数
f x 的周期为
4
T =
，所以
2025 =
4 506 1
1
2
f
f
f
´
+
=
=
，
又
1
3
2
3
0
f
f
f
+
=
Þ
=
，
故选：C.
5．已知函数
f x 满足
1
1
1
f x
f x
+
=
-
和
2
1
f
x
f x
-
=
+
，且当
1 ,1
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
6
2
f
x
x
=
-
，则
2022
f
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5
【答案】C
【分析】由题，可知函数
f x 的周期性和对称性，结合已知求解即可.
【详解】由
y
f x
=
满足
1
1
1
f x
f x
+
=
-
，得
1
2
f x
f x
+
=
，
所以
1
4
2
f x
f x
+
=
+
，所以
4
( )
f x
f x
+
=
，
所以
f x 是以4 为周期的函数，
因为
2
1
f
x
f x
-
=
+
，
所以
f x 的图象关于直线
3
2
x =
对称，
因为当
1 ,1
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
6
2
f
x
x
=
-
，
所以
2022
505 4
2
2
1
4
f
f
f
f
=
´
+
=
=
=
.
故选：C.
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
4
f
x
f
x
x
+
-
-
=
．若
2
3
f
x -
的图象关于点
2,1 对称，且
0
0
f
=
，则
1
2
50
f
f
f
+
+×××+
= （ ）
A．0
B．50
C．2509
D．2499
【答案】D
【分析】由
2
3
f
x -
图象的对称中心得
f x 图象的对称中心，由
2
2
4
f
x
f
x
x
+
-
-
=
，构造函数
2
g x
f x
x
=
-
，求出
g x 图象的对称性和周期，由
1
2
50
1
2
50
2 1
2
50
f
f
f
g
g
g
+
+×××+
=
+
+×××+
+
+
+×××+
求值即可.
【详解】因为
2
3
f
x -
的图象关于点
2,1 对称，所以
2
3
2 4
3
2
f
x
f
x
-
+
-
-
=
，
即
2
3
5
2
2
f
x
f
x
-
+
-
=
，从而
3
5
2
f x
f
x
-
+
-
=
，
则
f x 的图象关于点
1,1 对称．
由
2
2
4
f
x
f
x
x
+
-
-
=
，可得
2
2 2
2
2 2
f
x
x
f
x
x
+
-
+
=
-
-
-
．
令
2
g x
f x
x
=
-
，得
2
2
g
x
g
x
+
=
-
，则
g x 的图象关于直线
2
x =
对称．
1
1
1
2 1
g
x
g
x
f
x
x
+
+
-
=
+
-
+
+
1
2 1
1
1
4
2
f
x
x
f
x
f
x
-
-
-
=
+
+
-
-
= - ，
则
g x 的图象关于点
1, 1
-
对称，则有
2
2
g
x
g x
-
+
= - ，
所以
2
2
g
x
g x
+
+
= - ，
4
2
2
g
x
g
x
+
+
+
= - ，
两式相减得
4
g x
g x
+
=
，故
g x 是以4 为周期的函数．
因为
0
0
2 0
0
g
f
=
- ´
=
，1
1
g
= - ，
2
2
0
2
g
g
= - -
= - ，
3
1
1
g
g
=
= - ，
所以
1
2
50
1
2
50
2 1
2
50
f
f
f
g
g
g
+
+×××+
=
+
+×××+
+
+
+×××+
4 12 1 2
2550
2499
= - ´
- -
+
=
．
故选：D.
7．（2026·新疆·模拟预测）设函数
f x 的定义域为R ，
1
f x -
为奇函数，
1
f x +
为偶函数，当
1,3
xÎ
时，
2
2
1
f
x
x
= -
-
+ ，则
0
2
4
2026
f
f
f
f
+
+
+×××+
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据
1
f x -
为奇函数判断出，函数
f x 关于点
1,0
-
中心对称，根据
1
f x +
为偶函数判断出
函数
f x 关于直线
1
x = 对称，进而可得出函数
f x 的周期为8，然后根据函数解析式求出
2 ,
4 ,
0 ,
6
f
f
f
f
，进而求得结果.
【详解】因为
1
f x -
为奇函数，所以满足
1
1
f
x
f x
- -
= -
-
，
即函数
f x 关于点
1,0
-
中心对称，所以
2
f x
f
x
= -
- -
.
因为
1
f x +
为偶函数，所以满足
1
1
f
x
f x
- +
=
+
，
即函数
f x 关于直线
1
x = 对称，所以
2
f x
f
x
=
-
.
所以有，
2
2
f
x
f
x
-
= -
- -
，令t
x
= - ，则
2
2
f
t
f t
+
= -
-
，
即
4
f t
f t
+
= -
，进而
8
4
f t
f t
f t
+
= -
+
=
，故函数
f x 的周期为8.
当
1,3
xÎ
时，
2
2
1
f x
x
= -
-
+ ，所以
2
2
2
2
1
1
f
= -
-
+ = .
由
2
f x
f
x
=
-
得，
0
2
1
f
f
=
= ；由
4
f x
f x
+
= -
得
4
0
1,
6
2
1
f
f
f
f
= -
= -
= -
= - .
求和项共有2026
0
1
1014
2
-
+ =
项，因为
(0)
(2)
(4)
(6)
1 1 1 1
0
f
f
f
f
+
+
+
= + - - =
，
且1014
4 253
2
=
´
+
，
(2024)
(0)
1
f
f
=
= ，
(2026)
(2)
1
f
f
=
= ，
所以原式
253 0
0
2
1 1
2
f
f
=
´ +
+
= + =
.
故选：D.
题型7 函数性质的综合应用
1．（2026·山东青岛·一模）已知定义在R 上的函数
( )
f x 满足
( )
(2
)
0
f x
f
x
+
-
=
，
(1
)
(3
)
f
x
f
x
+
=
-
，当
[1,2]
xÎ
时，
3
2
( )
2
=
-
+
f x
x
x
x，则方程7 ( )
1
0
f x
x
-
+ =
所有根之和为（ ）
A．8
B．11
C．15
D．17
【答案】D
【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数交点问题.
【详解】由
2
0
f x
f
x
+
-
=
，得函数
f x 关于点
1,0 对称，
又
1
3
f
x
f
x
+
=
-
，得函数
f x 关于直线
2
x =
对称，
从而函数
f x 是周期为4 的周期函数.
又当
1,2
xÎ
时，
3
2
2
f x
x
x
x
=
-
+
，则
2
3
4
1
3
1
1
0
f
x
x
x
x
x
=
-
¢
+ =
-
-
³
，
即
f x 是
1,2 的单调递增函数，
1
0
f
=
，
2
2
f
=
，可画出
f x 的部分图象，
又方程
7
1
0
f x
x
-
+ =
的根即
y
f x
=
与
1
1
7
y
x
=
-
的交点横坐标，如图
两函数共有17 个交点，并且关于点
1,0 对称，故所有根之和为17.
2．定义在R 上函数
y
f x
=
满足以下条件：①函数
1
y
f x
=
+
是偶函数；②对任意
1
2
,
,1
x x Î -¥
，当
1
2
x
x
¹
时都有
1
2
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
，则
0
f
，
3
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø，
3
f -
的大小关系为（
）
A．
3
3
0
2
f
f
f
æ
ö >
-
>
ç
÷
è
ø
B．
3
0
3
2
f
f
f
æ
ö
>
>
-
ç
÷
è
ø
C．
3
0
3
2
f
f
f
æ
ö >
>
-
ç
÷
è
ø
D．
3
3
0
2
f
f
f æ
ö
-
>
>
ç
÷
è
ø
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、单调性来确定正确答案.
【详解】由函数
1
y
f x
=
+
是偶函数，则图象关于y 轴对称，
因为函数
y
f x
=
的图象可由函数
1
y
f x
=
+
向右平移1个单位得到，
所以
y
f x
=
的图象关于直线
1
x = 对称，即
1
1
f
x
f
x
+
=
-
，
任意
1
2
,
,1
x x
¥
Î -
，当
1
2
x
x
¹
时都有
1
2
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
，
所以
f x 在区间
,1
-¥
上单调递减，
由
3
1
1
1
1
1
2
2
2
2
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ，则
1
3
3
0
2
2
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
>
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，
故D 选项正确.
故选：D.
3．若定义在R 上的奇函数
f x 满足
2
f
x
f x
-
=
，对任意
1
2
1
2
,
0,1
x x
x
x
Î
¹
，有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
2,0 中心对称
B．函数
f x 的图象关于直线
1
x = 轴对称
C．在区间
2,3 上，
f x 为减函数
D．
7
2
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】D
【分析】应用函数的对称性得出对称轴判断A，应用奇函数及函数的对称性得出对称中心判断B，应用单
调性的定义结合对称性判断C，应用函数的周期性和单调性判断D.
【详解】因为
2
f
x
f x
-
=
，所以
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，故B 正确；
因为函数是定义在R 上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称；结合函数的图象关于直线
1
x = 对称，
所以函数的图象关于点
2,0 中心对称，故A 正确；
因为在区间
0,1 上，有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，所以
f x 在
0,1 上单调递增，
因为
f x 关于
1
x = 轴对称，关于点
2,0 中心对称，且在
0,1 上单调递增，
所以
f x 在
2,3 上单调递减，故C 正确；
因为
f x 是定义在R 上的奇函数，所以
f x
f
x
= -
-
，所以
2
f
x
f
x
-
= -
-
，即
2
f
x
f x
+
= -
，
所以
4
2
f
x
f
x
f x
+
= -
+
=
，所以
f x 是以4 为周期的周期函数，
又
f x 在
0,1 上单调递增，
所以
7
1
1
2
4
2
2
2
3
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
- +
=
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ，故D 错误.
故选：D.
4．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在R 上的函数
f x 满足
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，
1
f x +
是奇函
数，
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
6
1
2
1
2
k
k
k f
=
-
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
（ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由
1
f x +
是奇函数可得
f x 关于
1,0 中心对称，结合
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，利用赋值法计
算可得
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，即可得该函数周期，再利用
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则可计算出k 为1到6 时的
2
1
2
k
f
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
的值，即可得解.
【详解】由
1
f x +
是奇函数，则
1
1
f x
f
x
+
= -
- +
，故
f x 关于
1,0 中心对称，
由
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，令
1
x = ，则
2
0
2
f
f
f
+
=
，即
0
0
f
=
，
由
1
1
f x
f
x
+
= -
- +
，令
1
x = ，则
2
0
0
f
f
= -
=
，
故
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，则
3
1
0
f x
f x
+
+
+
=
，
故
3
1
1
f x
f x
f x
+
= -
+
=
-
，即有
4
f x
f x
+
=
，故
f x 以4 为周期，
由
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
3
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
= -
-
= -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
5
1
1
3
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
= -
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
7
1
3
3
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
= -
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
9
1
1
4
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
11
3
3
4
1
2
2
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
则
6
1
2
1
1
3
5
7
9
11
1
2
3
4
5
6
2
2
2
2
2
2
2
k
k
kf
f
f
f
f
f
f
=
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
å
1 1
2
1
3
1
4 1 5 1 6
1
1
= ´ + ´ -
+ ´ -
+ ´ + ´ + ´ -
= - .
5．（多选题）（25-26 高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数
(
1)
y
f x
=
+
是定义在R 上的偶函数，且在
, 1
¥
-
-
上单调递增，则下列结论正确的有（ ）
A．函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
B．函数
( )
f x 在
1, ¥
+
上单调递减
C．
3
6
f
f
-
<
D．不等式
2
8
x
f
f
-
>
-
的解集为(
3)
,
-¥
【答案】AD
【分析】根据函数
(
1)
y
f x
=
+
的性质可判断出
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，且在
,0
-¥
上单调递增，
即可判断AB 的正误；结合函数对称性以及单调性可判断C；利用函数的单调性解不等式即可判断D.
【详解】由题意知函数
(
1)
y
f x
=
+
是定义在R 上的偶函数，且在(
1]
,
-¥ -
上单调递增，
∵函数
( )
f x 的图象可由函数
(
1)
y
f x
=
+
的图象向右平移1 个单位长度得到，
∴函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，且在
,0
-¥
上单调递增，
∴函数
( )
f x 在[2,
)
+ ¥ 上单调递减，故A 项正确，B 项错误；
∵
3
2
3
5
6
f
f
f
f
-
=
- -
=
>
，故C 项错误；
∵
2
8
x
f
f
-
>
-
，且
2 , 8
,0
x
¥
-
- Î -
，∴2
8
x
-
> - ，即2
8
x <
，解得
3
x <
，
∴不等式
2
8
x
f
f
-
>
-
的解集为(
3)
,
-¥
，故D 项正确.
6．（多选题）（2025 高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R 的函数
( )
f x 在
1,0
-
上单调递减，
1
1
f
x
f
x
+
=
-
，且图象关于
2,0 对称，则（ ）
A．
0
2
f
f
=
-
B．
( )
f x 的周期
2
T =
C．
( )
f x 在
2,3 上单调递增
D．
( )
f x 满足
2025
2026
2027
f
f
f
>
>
【答案】AC
【分析】根据条件，研究函数
f x 的性质，逐项判断即可.
【详解】在
1
1
f
x
f
x
+
=
-
中，令
1
x = ，可得
2
0
f
f
=
，
又
1
1
f
x
f
x
+
=
-
，所以函数
f x 的图象关于直线
1
x = 成轴对称，所以
2
f x
f
x
=
-
.
由函数
f x 的图象关于点
2,0 对称，所以
4
f x
f
x
= -
-
.
所以
4
2
f
x
f
x
-
= -
-
.
用x 代替
x
- ，可得
4
2
f
x
f
x
+
= -
+
，
再用x 代替
2
x +
，可得
2
f x
f x
+
= -
，
所以
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，所以函数
f x 是以4 为周期的周期函数，
因为
2
f x
f x
+
= -
，所以2 不是函数
f x 的周期.故B 错误；
因为
2
2
4
2
f
f
f
=
-
=
-
，且
2
0
f
f
=
，所以
0
2
f
f
=
-
，故A 正确；
设
1
2
2
3
x
x
<
<
<
，则
2
1
1
2
2
0
x
x
- <
-
<
-
<
，
因为
f x 在
1,0
-
上单调递减，所以
2
1
2
2
f
x
f
x
-
>
-
，
又
2
2
2
f
x
f
x
-
=
，
1
1
2
f
x
f
x
-
=
，所以
2
1
f x
f x
>
，所以函数
f x 在
2,3 上单调递增.故C 正
确；
又
2025
4 506 1
1
f
f
f
=
´
+
=
，
2026
2
f
f
=
，
2027
3
f
f
=
.
在
4
f x
f
x
= -
-
中，令
2
x =
得：
2
2
f
f
= -
Þ
2
0
f
=
，
因为函数周期为4 ，所以
2
2
0
f
f
-
=
=
，由A 选项可得，
0
0
f
=
.
在
2
f x
f x
+
= -
中，令
1
x = ，可得
3
1
f
f
= -
Þ
1
3
0
f
f
+
=
.
又
3
1
f
f
=
-
，但根据题意，函数
f x 在
1,0
-
上单调递减，而非在
1,0
-
上单调递减，
所以
1
f -
的符号无法确定，故
1
f
与
3
f
的大小无法确定.故D 错误.
故选：AC
7．（多选题）已知函数
f x 对任意xÎR 都有
2
f x
f x
+
= -
，若函数
1
f x +
的图象关于= 1
x - 对称，
且对任意的
1
2
,
0,2
x x Î
，且
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，若
2
0
f -
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
2023
0
f
=
C．
7
5
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
f x 的图象关于
1,0 对称
【答案】ABD
【分析】根据函数的周期性、奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由于函数
f x 对任意xÎR 都有
2
f x
f x
+
= -
，
所以
4
2
2
2
f x
f x
f x
f x
+
=
+
+
= -
+
=
，所以
f x 是周期为4 的周期函数，
由于函数
1
f x +
的图象关于= 1
x - 对称，
所以
f x 的图象关于
0
x =
对称，所以
f x 是偶函数，A 选项正确.
由
2
f x
f x
+
= -
，以
1
x - 替换x ，
得
1
1
1
f x
f x
f
x
+
= -
-
= -
-
，所以
f x 关于
1,0 对称，D 选项正确.
所以
0 1
1 0 ,
1
0
f
f
f
+
= -
-
=
，
2
2
0,
2
0
2
0 ,
0
0
f
f
f
f
f
f
-
=
=
=
+
= -
=
，
所以
2023
505 4
3
3
1
1
0
f
f
f
f
f
=
´ +
=
=
-
=
=
，B 选项正确.
由于对任意的
1
2
,
0,2
x x Î
，且
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，
所以
f x 在区间
0,2 上单调递增，则
f x 在区间
2,0
-
上单调递减，
由上述分析可知
1
0
2
f æ
ö >
ç
÷
è
ø
，
7
1
5
5
3
3
,
4
2
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø ，
所以
7
5
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，所以C 选项错误.
故选：ABD
8．（多选题）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数且在区间
0,3 上单调，函数
3
g x
x
f x
=
-
的图象关于点
3,0 中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
3
f x
f x
+
=
B．若1
1
g
= - ，则
1
5
2
f
=
C．若
g x 在区间
0,2 上是增函数，则
g x 在区间
4,6 上是增函数
D．若
3
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
g x 在区间
5,6
-
上的零点之和为0
【答案】BC
【分析】利用函数对称性、奇偶性、周期性、单调性判断A、B、C 选项，再结合函数零点判断D 选项.
【详解】对于A，因为函数
3
g x
x
f x
=
-
的图象关于点
3,0 中心对称，
所以
3
3
g
x
g
x
-
= -
+
，即
3
3
3
3
3
3
x
f
x
x
f
x
é
ù
é
ù
-
-
-
= -
+
-
+
ë
û
ë
û
，
也即
3
3
xf
x
xf
x
-
-
= -
+
，
当
0
x =
时，
3
3
f
x
f
x
-
=
+
成立，
当
0
x ¹
时，
3
3
6
f
x
f
x
f
x
f
x
-
=
+
Þ
-
=
+
，
又函数
f x 是定义在R 上的偶函数，
所以
6
6
f
x
f
x
f x
f
x
-
=
+
Þ
=
+
，故A 错误；
对于B，
1
1
2
1
1
1
2
g
f
f
= -
= - Þ
=
，
由
6
f x
f
x
=
+
，所以函数
f x 的周期为6，
所以
1
5
6 1
1
1
2
f
f
f
f
=
-
=
-
=
=
，故B 正确；
对于C，因为函数
g x 的图象关于点
3,0 中心对称，且在区间
0,2 上是增函数，
由中心对称的性质可得函数
g x 在
4,6 上是增函数，故C 正确；
对于D，令
3
0
g x
x
f x
=
-
=
，则
3
0
3
x
x
-
=
Þ
=
或
0
f x =
，
此时
g x 在区间
5,6
-
有一个零点3，
因为函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为6，
3
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
所以
3
3
3
9
9
0,
6
0,
0
2
2
2
2
2
f
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
=
-
+
=
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
此时
3
3
9
9
0
2
2
2
2
g
g
g
g
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以
g x 在区间
5,6
-
共有5 个零点分别为
3
3 9
9
3,
,
,
,
2
2 2
2
-
-
，
此时
3
3
9
9
3
3
0
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
+
+ -
+
+ -
=
¹
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，故D 不正确.
题型8 原函数结合导函数的对称性
导函数与原函数的对称性
（1）
( )
f x 为偶函数Û
'( )
f
x 为奇函数
（2）
( )
f x 为奇函数Þ
'( )
f
x 为偶函数
（3）
'( )
f
x 为偶函数Þ
( )
f x 有对称中心(0, )
c 注意：此处
0
c =
或
0
c ¹
同理：
（4）
( )
f x 有对称轴x
a
=
Û
'( )
f
x 有对称中心( ,0)
a
（5）
( )
f x 关于( , )
a c 中心对称Û
'( )
f
x 有对称轴x
a
=
注意：此处
0
c =
或
0
c ¹
1．（25-26 高三下·青海西宁·开学考试）已知函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，( )
g x 是
( )
f x 的导函数(
R)
x Î
，
且
( )
f x 满足
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
(2025)
0
f
=
B．( )
(
)
g x
g
x
=
-
C．
(
2)
( )
g x
g x
+
=
D．(2025)
0
g
=
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性和对称性，可判断函数
f x 的周期性，可判断A 的真假；对函数
f x 求导，
分析
g x 的奇偶性、周期性和对称性，可判断BCD 的真假.
【详解】由
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则
(
1)
(
)
f x
f
x
+
=
-
，
又函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，则
(
)
( )
f
x
f x
-
= -
，
(0)
0
f
=
，
因此可得
(
1)
( ),
(
2)
(
1)
( )
f x
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= -
+
=
，即函数
( )
f x 的周期为2，
由
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则
(1)
(0)
0
f
f
=
=
，
所以
(2025)
(2 1012 1)
(1)
0
f
f
f
=
´
+
=
=
，故A 正确；
由函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，则
( )
(
)
f x
f
x
= -
-
，
两边求导，得
( )
(
)
(
)
f
x
f
x
f
x
¢
¢
¢
= - -
-
=
-
，
又( )
g x 是
( )
f x 的导函数，则( )
(
)
g x
g
x
=
-
，故B 正确；
由
(
2)
( )
f x
f x
+
=
，则
(
2)
( )
f
x
f
x
¢
¢
+
=
，即
(
2)
( )
g x
g x
+
=
，故C 正确；
由
(
1)
(
)
f x
f
x
+
=
-
，得
1
2
x =
为
( )
y
f x
=
的对称轴，即
1
1
2
2
f
t
f
t
æ
ö
æ
ö
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
两边求导得：
1
1
2
2
f
t
f
t
æ
ö
æ
ö
+
= -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
¢
ø
¢
.
令
0
t =
，得
1
1
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
= -
ç
÷
ç
÷
¢
è
ø
è
ø
¢
Þ
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷ø
¢
è
，即
1
0
2
g æ
ö =
ç
÷
è
ø
.
而(2025)
(1012 2 1)
(1)
g
g
g
=
´ +
=
，由(
2)
( ), ( )
(
)
g x
g x g x
g
x
+
=
=
-
，
得(
2)
(
)
g x
g
x
+
=
-
，则
1
x = 为
( )
y
g x
=
的对称轴，(1)
g
的值不一定为0，故D 不正确
2．已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R ，记( )
( )
g x
f
x
=
¢
，已知
(2
1)
f
x +
和(
2)
+
g x
都是偶函
数，且(2)
1
g
= ，则
2025
0
( )
k
g k
=å
的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2025
D．－2025
【答案】B
【分析】由已知条件确定
g x 的对称中心及对称轴，进而确定函数周期，即可求解.
【详解】因为
2
1
f
x +
为偶函数，所以
2
1
2
1
f
x
f
x
+
=
-
+
，
即
1
1
f t
f
t
+
=
- +
，
所以
f x 关于直线
1
x = 对称，求导得
( )
( )
g x
f
x
=
¢
关于点
1,0 对称，
即(1
)
(1
)
g
x
g
x
+
= -
-
，
又
2
g x +
为偶函数，则
2
2
g x
g
x
+
=
- +
，所以
g x 关于直线
2
x =
对称，
推导周期：( 2
)
(
)
g
x
g
x
+
= -
-
及
2
2
g x
g
x
+
=
- +
，
得( 2
)
(
)
g
x
g
x
-
= -
-
，
得(2
)
( )
g
x
g x
+
= -
，
得(
4)
(
2)
( )
g x
g x
g x
+
= -
+
=
，
得函数
g x 的周期为4，
由(2)
1
g
= ，得( 0)
1, (1)
0, (3)
0
g
g
g
= -
=
=
，
得( 0)
(1)
( 2)
(3)
1
0
1
0
0
g
g
g
g
+
+
+
= -
+
+
+
=
，
2025
0
( )
k
g k
=å
共2026 项和，因为2026
4 506
2
=
´
+
，
所以
2025
0
( )
506 0
(0)
(1)
1 0
1
=
=
´ +
+
= - +
= -
å
k
g k
g
g
，
故选：B.
3．（多选题）（2025·四川绵阳·一模）已知定义在R 上的偶函数
f x 可导，
f x 的导数为
,
2
f
x
f x
¢
+
是奇函数，则（ ）
A．
2
2
f
=
B．
f x 的一个周期为8
C．
0
0
f ¢
=
D．
f
x
¢
的图象关于
2
x =
对称
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可.
【详解】因为
2
f x +
是奇函数，所以
2
2
f
x
f x
- +
= -
+
，
令
0
x =
，可得
2
2
f
f
= -
，解得
2
0
f
=
，A 错误；
因为
f x 是偶函数，则
f
x
f x
-
=
，且
2
2
f
x
f x
- +
= -
+
，
用
2
x +
代替x 可得
2
2
2
2
f
x
f x
-
+
+
= -
+
+
，即
4
f
x
f x
-
= -
+
.
又
f
x
f x
-
=
，则
4
f x
f x
= -
+
，所以
4
8
f x
f x
+
= -
+
，从而有
8
f x
f x
=
+
，
所以
f x 的一个周期为8，B 正确；
因为
f x 是偶函数，则
f
x
f x
-
=
，两边求导得
f
x
f
x
¢
-
-
=
¢
，
所以
f
x
¢
是奇函数，所以
0
0
f ¢
=
，C 正确；
由
2
2
f
x
f x
- +
= -
+
，两边同时对x 求导得
2
2
f
x
f
x
-
- +
=
¢
-
+
¢
，
即
2
2
f
x
f
x
- +
=
¢
+
¢
，所以函数
f
x
¢
的图象关于直线
2
x =
对称，D 正确.
故选：BCD
4．（多选题）（25-26 高三上·江苏淮安·月考）设定义在R 上的函数
f x 与
g x 的导函数分别为
f
x
¢
和
g
x
¢
，且
2
2
2,
2
f x
g
x
f
x
g
x
¢
+
=
¢
=
-
+
+
，且
g x 的图象关于点
1,0 对称，则（ ）
A．
3
3
f
=
B．
2
4
0
g
x
g
x
¢
¢
-
+
+
=
C．
4
2
g
x
g x
-
=
+
D．
8
8
f x
g x
f x g x
+
+
=
【答案】BCD
【分析】对于A，由题可得
1
1
0
g
x
g
x
+
+
-
=
，1
0
g
=
，对于
2
2
2
f x
g
x
+
=
-
+
，令
1
x = ，可判
断选项正误；对于B，对
2
2
2
f x
g
x
+
=
-
+
两边求导可得
4
f
x
g
x
¢
¢
= -
-
，结合
2
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，
可判断选项正误；对于C，由
2
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，可得
2
f x
g x
c
-
+
=
（c 为常数），再结合
2
2
2
f x
g
x
+
=
-
+
，可得
4
2
2
g
x
g x
c
-
-
+
=
-
，令
1
x = ，可判断选项正误；对于D，由AC 分
析，可得
8
g x
g x
+
=
，据此结合
2
2
2
f x
g
x
+
=
-
+
，可得
8
f x
f x
+
=
，可判断选项正误.
【详解】对于A，因
g x 的图象关于点
1,0 对称，则
1
1
0
g
x
g
x
+
+
-
=
，
令
0
x =
，则
2
1
0
1
0
g
g
=
Þ
=
，对于
2
2
2
f x
g
x
+
=
-
+
，
令
1
x = ，则
3
1
2
2
f
g
=
+
=
，故A 错误；
对于B，
2
2
2
2
2
f x
g
x
f
x
g
x
¢
¢
+
=
-
+
Þ
+
= -
-
，则
4
f
x
g
x
¢
¢
= -
-
.
又
2
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，则
2
4
2
4
0
g
x
g
x
g
x
g
x
¢
¢
¢
+
= -
¢
-
Þ
-
+
+
=
，故B 正确；
对于C，因
2
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，则
2
0
2
0
f
x
g
x
f x
g x
¢
¢
¢
é
ù
-
+
=
Þ
-
+
=
ë
û
，
则
2
f x
g x
c
-
+
=
（c 为常数），又
2
2
2
f x
g
x
+
=
-
+
，
可得
4
2
f x
g
x
=
-
+
，则
4
2
2
g
x
g x
c
-
-
+
=
-
，令
1
x = ，可得
2
c =
，
则
4
2
0
4
2
g
x
g x
g
x
g x
-
-
+
=
Þ
-
=
+
，故C 正确；
对于D，由A，C 项分析，
1
1
0
2
g
x
g
x
g x
g
x
+
+
-
=
Þ
= -
-
，
由
4
2
6
g
x
g x
g x
g
x
-
=
+
Þ
=
-
，则
2
6
g
x
g
x
-
= -
-
，
即
4
8
4
g x
g x
g x
g x
g x
+
= -
Þ
+
= -
+
=
.
2
2
2
4
2
4
2
f x
g
x
f
x
g x
g x
f
x
+
=
-
+
Þ
-
=
+
Þ
=
-
-
，
又
8
g x
g x
+
=
，
则
8
4
2
4
2
4
4
g x
f
x
g x
f
x
f
x
f
x
+
=
- -
-
=
=
-
-
Þ
- -
=
-
，
即
8
f x
f x
+
=
，故
8
8
f x
g x
f x g x
+
+
=
，故D 正确.
故选：BCD
5．（多选题）（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数
( )
f x 满足
1 2
3
2
f
x
f
x
-
=
+
，
0x
$
ÎR ，使得
0
0
f x
¹
，
( )
f
x
¢
为函数
( )
f x 的导函数且
( )
f
x
¢
的定义域为R ，则下列结论正确的有（ ）
A．
(4)
0
f
=
B．
(
4)
( )
f x
f x
-
=
C．
4
0
f
x
f
x
¢
-
+
+
=
¢
D．
2026
0
f ¢
=
【答案】ACD
【分析】对于A：赋值并结合奇函数性质可得答案；对于B：反证法可判断；对于C：利用复合函数的求
导法则对等式两边求导可得答案；对于D：先证明周期性，利用周期可得答案.
【详解】令
1 2
t
x
= -
，代入到
1 2
3
2
f
x
f
x
-
=
+
中，
得：
4
f t
f
t
=
-
，即：
4
f x
f
x
=
-
，
令
0
x =
，得
(4)
(0)
f
f
=
，
而
( )
f x 是定义域为R 的奇函数，所以
(0)
0
f
=
，
所以
(4)
0
f
=
，故A 正确；
假设
(
4)
( )
f x
f x
-
=
成立，又因为
( )
(4
)
f x
f
x
=
-
，
所以
4
4
f x
f
x
-
=
-
，所以
( )
f x 为偶函数，
又已知
( )
f x 是定义域为R 的奇函数，
所以对
x
" ÎR ，
( )
0
f x =
，
与
0x
$
ÎR ，使得
0
0
f x
¹
矛盾，故B 错误；
4
4
f x
f
x
f
x
f
x
=
-
Û
-
=
+
，
两边求导数，得
'
4
f
x
f
x
-
-
=
+
¢
，
即
4
0
f
x
f
x
¢
-
+
+
=
¢
，故C 正确；
因为
( )
f x 是定义域为R 的奇函数，
所以
f
x
f x
-
= -
，
两边求导得：
f
x
f
x
f
x
f
x
¢
¢
¢
-
-
Û
-
=
¢
= -
，
又
4
0
f
x
f
x
¢
-
+
+
=
¢
，
所以
4
8
f
x
f
x
f
x
f
x
= -
+
Û
+
¢
=
¢
¢
¢
，
2026
253 8
2
2
f
f
f
=
´ +
¢
=
¢
¢
，
在
4
0
f
x
f
x
¢
-
+
+
=
¢
中令
2
x = - ，得
(2)
0
f ¢
=
，故D 正确．
1．已知定义在R 上的奇函数
f x ，且当
[0,
)
x Î
+¥ 时，
f x 单调递增，则不等式
2
1
1
0
f
x
f
+
+
³
的
解集是（ ）
A．(
,1)
-¥
B．( 1,
)
- +¥
C．[ 1,
)
- +¥
D．(
,1]
-¥
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性转化不等式，再运用单调性化简不等式，即可解得.
【详解】因
f x 是定义在R 上的奇函数，由
2
1
1
0
f
x
f
+
+
³
可得
2
1
1
( 1)
f
x
f
f
+
³ -
=
-
，
又因
[0,
)
x Î
+¥ 时，
f x 单调递增，故
f x 在R 上单调递增，
故得，2
1
1
x + ³ - ，解得，
1
x ³ - .
故选：C.
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知
( )
f x 的定义域为R ，满足
3
( )
(1)
(
),
3
f
f x
f
x = -
+
=
，则
(2026)
f
= （ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出函数
( )
f x 的周期，进而求出函数值.
【详解】由R 上的函数
( )
f x 满足
( )
(
3)
= -
+
f x
f x
，得
(
3)
[
(
6)]
(
)
6
(
)
f
x
f x
f x
x
f
= -
+
= - -
+
=
+
，
即函数
( )
f x 是以6 为周期的周期函数，而
(1)
3
f
=
，
所以
(2026)
(337 6
4)
(4)
(1)
3
f
f
f
f
=
´ +
=
= -
= - .
故选：D
3．（25-26 高三上·四川·月考）已知偶函数
f x 在
0,+¥ 上单调递增，且
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则不等式
2
1
0
f
x -
<
的解集为（ ）
A．1 3
,
4 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1
3
,
,
4
4
æ
ö
æ
ö
-¥
È
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
C．
1 3
,
4 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．
1
3
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简不等式
2
1
0
f
x -
<
，由此求得正确答案.
【详解】依题意，
f x 是偶函数，
f x 在
0,+¥ 上单调递增，在
,0
-¥
上单调递减，
1
1
0
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
2
1
0
f
x -
<
，得
1
2
1
2
x -
<
，
则
1
1
2
1
2
2
x
-
<
- <
，解得1
3
4
4
x
<
<
，
所以不等式
2
1
0
f
x -
<
的解集为1 3
,
4 4
æ
ö
ç
÷
è
ø .
故选：A
4．（25-26 高三上·黑龙江·期中）函数
log (9
)
a
y
ax
=
-
（
0
a >
且
1
a ¹ ）在区间(1,3)上是减函数，则a 的取
值范围是（ ）
A．( 0, 1)
B．(1,9)
C．(1,3)
D．(1,3]
【答案】D
【分析】设
9
t
ax
=
-
，即可判断
9
t
ax
=
-
的单调性，结合对数型复合函数的单调性，得到
1
9
3
0
a
a
>
ì
í -
³
î
，解
得即可.
【详解】设
9
t
ax
=
-
，则
loga
y
t
=
，
0
a >
Q
且
1
a ¹ ，
9
t
ax
\ =
-
为减函数，
若函数
log (9
)
a
y
ax
=
-
在区间(1,3)上是减函数，
则需
loga
y
t
=
是增函数且
(1,3)
xÎ
时
9
0
t
ax
=
-
>
恒成立，
1
9
3
0
a
a
>
ì
\í -
³
î
，解得1
3
a
<
£ ，即a 的取值范围是(1,3].
故选：D.
5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在R 上的偶函数
f x 满足
2
0
f x
f
x
+
-
=
，且当0
1
x
£
£ 时，
1
2
2x
f x
x
-
=
-
，则
2026
f
= （ ）
A．
1
2
B．0
C．
1
2
-
D．2
-
【答案】C
【详解】因为
f x 是偶函数，所以
f
x
f x
-
=
，
由
2
0
f x
f
x
+
-
=
，得
2
2
f x
f
x
f x
= -
-
= -
-
，
所以
2
4
f x
f x
-
= -
-
，得
4
f x
f x
=
-
，
所以
f x 是以4 为周期的函数，
所以
1
1
2026
4 506
2
2
0
2
0
2
f
f
f
f
-
=
´
+
=
= -
= -
-
= -
．
6．（2026 高三·全国·专题练习）下侧图象对应的函数解析式可能是（ ）
A．
1
sin
y
x
x
=
B．
1
cos
y
x
x
=
C．
1
1
sin
y
x
x
=
D．
1
1
cos
y
x
x
=
【答案】B
【分析】由图象得，所求函数为奇函数，分别求选项中函数的奇偶性，即可排除AC，对于B，当x ® +¥
时，有
1
cos
x
x ® +¥ ，当
0
x
+
®
时，
1
cos
0
x
x ®
，满足题意，对于D，当x ® +¥ 时，1
x 趋于0，
1
cos x 趋于
1，1
1
cos
0
x
x ® ，不符合题意
【详解】由图象得，所求函数为奇函数，
对于A：令
1
sin
g x
x
x
=
，函数的定义域为非零实数集，
因为
1
1
sin
sin
g
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
= -
=
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
è
ø，所以该函数为偶函数，不符合题意；
对于B：令
1
cos
n x
x
x
=
，函数的定义域为非零实数集，
因为
1
1
cos
cos
n
x
x
x
x
x
æ
ö
-
= -
= -
ç
÷
-
è
ø
，所以该函数是奇函数，
当自变量x ® +¥ 时，1
x 趋于0，
1
cos x 趋于1，
1
cos
x
x ® +¥ ，
当自变量
0
x
+
®
时，
1
cos x 在[ 1,1]
-
之间震荡，故
1
cos
0
x
x ®
，
故B 符合；
对于C：令
1
1
sin
m x
x
x
=
，函数的定义域为非零实数集，
因为
1
1
1
1
sin
sin
m
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
=
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø，所以该函数为偶函数，不符合题意；
对于D：设函数
1
1
cos
f x
x
x
=
，函数的定义域为非零实数集，
因为
1
1
1
1
cos
cos
f
x
f x
x
x
x
x
æ
ö
-
=
= -
= -
ç
÷
-
-
è
ø
，所以该函数是奇函数，
当自变量x ® +¥ 时，1
x 趋于0，
1
cos x 趋于1，1
1
cos
0
x
x ® ，不符合题意.
故选：B．
7．（2024·宁夏银川·一模）若函数
f x 是定义在R 上的奇函数，
2
,
1
2
f
x
f x
f
-
=
=
，则
1
2
30
f
f
f
+
+
+
=
L
（ ）
A．2
B．0
C．60
D．62
【答案】A
【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出
1
2
3
4
0
f
f
f
f
+
+
+
=
即可得解.
【详解】由题意
2
2
f
x
f x
f
x
f
x
-
=
= -
-
=
- -
，所以
f x 的周期为4，
且
f x 关于直线
1
x = 对称，
而
1
2
3
4
0
1
1
2
2
0
0
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
=
+
+
-
+
=
=
=
，
所以
1
2
30
29
30
1
2
0
1
0
2
2
f
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=
L
.
故选：A.
8．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数
2
2
1
ln 1
1
f x
x
x
=
+
- +
，则不等式
1
2
3
f x
f
x
-
>
-
的解集为（ ）
A．4 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
B．4 ,2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
,2
-¥
D．
4
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】B
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式.
【详解】由题知函数
f x 的定义域为R ，
2
2
1
ln 1
1
f
x
x
f x
x
-
=
+
-
=
+
，所以
f x 为偶函数，
当
0
x >
时，
2
ln 1
y
x
=
+
和
2
1
1
y
x
= - +
均为增函数，所以
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
故由
1
2
3
f x
f
x
-
>
-
可得
1
2
3
x
x
-
>
-
，解得4
2
3
x
<
<
.
故选：B.
9．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
( )
ln
1
x
a
f x
x
x
+
=
+
+
的图象关于(2,2)对称，且
1
a ¹ ，则实数a =
（ ）
A．5
-
B．1
-
C．0
D．5
【答案】A
【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出a ，再验证得解.
【详解】函数
( )
ln
1
x
a
f x
x
x
+
=
+
+
有意义，则
0
1
x
a
x
+
>
+
，由
( )
f x 的图象关于点(2,2)对称，
得
( )
f x 的定义域关于数2 对称，由1
- 不在
( )
f x 的定义域内，得5 不在
( )
f x 的定义域内，
则
5
a
- =
，即
5
a = - ，此时
5
( )
ln
1
x
f x
x
x
-
=
+
+
，
(
, 1)
(5,
)
xÎ -¥ -
È
+¥ ，
1
5
1
5
(4
)
( )
ln
4
ln
ln
ln
4
4
5
1
5
1
x
x
x
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
- -
-
+
-
-
+
=
+
-
+
+
=
+
+
=
-
+
-
+
，
因此函数
( )
f x 的图象关于点(2,2)对称，符合题意，
所以
5
a = - .
故选：A
10．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且
f x 在
,0
¥
-
上为增函
数，设
2
5
1
2
a
-
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，
2
2
3
5
3
3
b
c
=
= -
，
，则
,
,
f a
f b
f c 的大小关系是（ ）
A．
f a
f b
f c
>
>
B．
f a
f c
f b
>
>
C．
f c
f b
f a
>
>
D．
f c
f a
f b
>
>
【答案】B
【分析】根据偶函数性质得函数
f x 在
0, ¥
+
上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到
0
b
c
a
>
>
>
求解．
【详解】因为函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且
f x 在
,0
¥
-
上为增函数，
所以函数
f x 在
0, ¥
+
上为减函数，
又
2
2
2
2
5
5
5
5
1
2
3
3
2
a
c
-
æ
ö
=
=
<
= -
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
3
5
5
3
3
3
b
c
=
>
= -
=
，
所以
0
b
c
a
>
>
>
，则
f a
f c
f b
>
>
，
故选：B．
11．（2025·四川·三模）已知函数
3
f x
x
x
=
-
，则函数
2
2
y
f x
=
+
+
的图象（ ）
A．关于点
2,2
-
对称
B．关于点
2, 2
-
对称
C．关于直线
2
x =
对称
D．关于直线
2
x = - 对称
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可得
f x 为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为
3
3
f
x
x
x
x
x
f x
-
= -
- -
= -
+
= -
，则
f x 为奇函数，
所以
f x 的图象关于原点对称，
函数
2
2
y
f x
=
+
+
的图象可由
f x 的图象先向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到，
所以函数
2
2
y
f x
=
+
+
的图象关于点
2,2
-
对称．
故选：A
12．已知函数
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，当
2
1
1
x
x
>
> 时，
2
1
2
1
0
f x
f x
x
x
é
ù
-
-
<
ë
û
恒成立．设
1 ,
2 ,
3
2
a
f
b
f
c
f
æ
ö
=
-
=
=
ç
÷
è
ø
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c
a
b
>
>
B．b
a
c
>
>
C．a
c
b
>
>
D．c
b
a
>
>
【答案】B
【分析】根据已知条件得到函数
f x 在
1,+¥ 上是减函数，再由函数
f x 的图象关于直线
1
x = 对称和函
数的单调性比较可得答案.
【详解】当
1
2
x
x
¹
且
1
x ，
2
(1,
)
x Î
+¥ 时，
2
1
2
1
(
)
0
f x
f x
x
x
×
<
é
ù
ë
û
-
-
恒成立，
可得
f x 在
1,+¥ 上单调递减，且
f x 关于
1
x = 对称，
所以在
,1
-¥
上单调递增，
1
5
2
2
æ
ö
æ
ö
\
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
a
f
f
，
5
2
3
2
<
<
Q
，
5
(2)
(3)
2
f
f
f
æ
ö
\
>
>
ç
÷
è
ø
，
即b
a
c
>
>
.
故选：B.
13．已知函数
f x 的定义域为R ，
5
4
f
=
，
3
f x +
是偶函数，且
f x 在
3,+¥ 单调递增，则（ ）
A．
0
4
f
<
B．
1
4
f
=
C．
2
4
f
>
D．
3
0
f
<
【答案】B
【分析】分析函数
f x 的对称性与单调性，逐项判断即可.
【详解】因为函数
f x 的定义域为R ，且
3
f x +
是偶函数，
则对任意的xÎR ，
3
3
f
x
f
x
-
=
+
，故函数
f x 的图象关于直线
3
x =
对称，
所以
1
5
4
f
f
=
=
，
因为函数
f x 在
3,+¥ 单调递增，故函数
f x 在
,3
-¥
上单调递减，
对于A 选项，
0
1
4
f
f
>
=
，A 错；
对于B 选项，
1
5
4
f
f
=
=
，B 对；
对于C 选项，
2
1
4
f
f
<
=
，C 错；
对于D 选项，
3
f
与0 的大小关系不确定，D 错.
故选：B.
14．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数
f x 是定义在R 上的奇函数，
1
f x +
是偶函数，当
0,1
xÎ
时，
2
f x
x
x
=
+
，则
2024
2025
2026
f
f
f
+
+
=（ ）
A．4
B．2
C．0
D．2
-
【答案】B
【分析】利用奇偶性和对称性可证明周期性，从而利用周期性来求值，即可求出结果.
【详解】因为
1
f x +
是偶函数，所以
1
1
f x
f
x
+
=
- +
，所以
2
f x
f
x
+
=
-
，
即
2
2
0
0
0
0
0
f
f
f
=
=
+
=
=
-
，
又因为
f x 是定义在R 上的奇函数，所以
f
x
f x
-
= -
，
即
2
f x
f x
+
= -
，所以
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，所以函数
f x 以4 为周期,
即
2024
506 4
0
0
f
f
f
=
´
=
=
，
2
2025
506 4+1
1
1
1
2
f
f
f
=
´
=
=
+ =
2026
506 4
2
2
0
0
f
f
f
f
=
´ +
=
=
=
所以
2024
2025
2026
2
f
f
f
+
+
=
.
故选：B
15．（25-26 高三上·海南海口·月考）已知函数
f x 为R 上的奇函数，且
3
0
f x
f x
+
+
=
，当
0,1
xÎ
时，
e
e
x
x
f x
a
=
-
，则
2025
2026
f
f
+
的值为（ ）
A．
1
e
e
-
B．0
C．1
e
e -
D．1
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得出
0
0
f
=
，可求出a 的值，推导出函数
f x 是以6 为周期的周期函数，结
合周期性可得出
2025
2026
f
f
+
的值.
【详解】因为函数
f x 为R 上的奇函数，则
0
0
f
=
，
当
0,1
xÎ
时，
e
e
x
x
a
f x =
-
，则
0
1
0
f
a
= -
=
，解得
1
a = ，
故当
0,1
xÎ
时，
1
e
e
x
x
f x =
-
，
对任意的xÎR ，
3
0
f x
f x
+
+
=
，可得
3
f x
f x
+
= -
，
故
6
3
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，所以函数
f x 是以6 为周期的周期函数，
因为2025
6 337
3
=
´
+ ，2026
6 337
4
=
´
+
，
所以
2025
3
0
0
f
f
f
=
= -
=
，
1
1
2026
4
1
e
e
e
e
f
f
f
æ
ö
=
= -
= -
-
=
-
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
2025
2026
0
e
e
e
e
f
f
+
=
+
-
=
- .
故选：C.
16．（2026·江西·模拟预测）已知函数
2
log
2
1
x
f x
x
=
+
-
，若
2
a
f
=
，
1
2
e
b
f æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
3 3
c
f
=
，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．c
a
b
>
>
D．c
b
a
>
>
【答案】B
【分析】根据复合函数求出
f x 的单调性，再比较自变量的大小即可.
【详解】
2
2
2
2
1
1
log
2
1
log
log
1
2
2
x
x
x
x
f x
x
+
æ
ö
=
+
-
=
=
+
ç
÷
è
ø
，定义域为R ，
因为
1
1
2x
y = +
是递减函数，
2
log
y
x
=
是递增函数，所以
f x 在R 上单调递减，
因为
3
8
9
e
<
<
，所以
1
1
1
3
6
6
6
8
9
e
<
<
，即
1
3
2
2
3
e
<
<
，
故
1
3
2
2
3
e
f
f
f æ
ö
>
>
ç
÷
è
ø
，即a
c
b
>
>
.
故选：B
17．（25-26 高三上·山东淄博·期中）设奇函数
f x 的定义域为R ，对任意的
1
x ，
2
0,
x Î
+¥ ，且
1
2
x
x
¹
，都有不等式
1
1
2
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，且
2
1
f -
= - ，则不等式
2
2
2
x
f x
-
-
>
的解集是（ ）
A．
0,4
B．
0,2
4,
È
+¥
C．
,0
0,4
-¥
U
D．
,0
4,
-¥
È
+¥
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数( )
( )
g x
xf x
=
，利用函数单调性定义确定( )
g x 在(0,
)
+¥ 的单调性，再结
合奇偶性求解不等式.
【详解】设函数( )
( )
g x
xf x
=
，由
( )
f x 为R 上的奇函数，得(
)
(
)
( )
( )
g
x
xf
x
xf x
g x
-
= -
-
=
=
，
则函数( )
g x 是R 上的偶函数，又
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
(
(
(
(
)
)
)
)
0
0
x f x
x f x
g x
g x
x
x
x
x
-
-
>
Û
>
-
-
，
依题意，对任意的
1
2
,
(0,
)
x x Î
+¥ ，且
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
(
)
(
)
0
g x
g x
x
x
-
>
-
，
则函数( )
g x 在(0,
)
+¥ 上单调递增，所以( )
g x 在
,0
-¥
上单调递减，
由
( 2)
1
f -
= - ，得(2)
( 2)
2 ( 2)
2
g
g
f
=
-
= -
-
=
，
不等式
2
2
2
x
f x
-
-
>
，即
2
2
g x
g
-
>
，
则
2
2
x -
>
，即
2
2
x -
>
或
2
2
x -
< - ，解得
4
x >
或
0
x <
，
所以不等式
2
2
2
x
f x
-
-
>
的解集为
,0
4,
-¥
È
+¥ .
故选：D
18．（24-25 高三上·山东枣庄·月考）函数
f x 的定义域为R，且
f x 在
0,+¥ 单调递减，
1
1
f
= ，若
函数
(
1)
=
-
y
f x
的图象关于直线
1
x = 对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．
y
f x
=
的图象关于直线
2
x =
对称
B．
f x 为偶函数
C．
x
" ÎR ，
0
f x
f
£
恒成立
D．
1
f x > 的解集为
1,1
-
【答案】A
【分析】根据函数
(
1)
=
-
y
f x
的图象关于直线
1
x = 对称，可得
f x 的图象关于y 轴对称，
f x 在
0, ¥
+
单调递减得
f x 在
,0
¥
-
单调递增，可判断ABC；再由
1
1
f
= 可判断D.
【详解】若函数
(
1)
=
-
y
f x
的图象关于直线
1
x = 对称，
则
f x 的图象关于y 轴对称，即
f x 为偶函数，故B 正确，故A 错误；
又
f x 在
0, ¥
+
单调递减，所以
f x 在
,0
¥
-
单调递增，
所以
x
" ÎR ，
0
f x
f
£
恒成立，故C 正确；
因为
1
1
f
= ，所以
1
1
f -
= ，
又
f x 在
0, ¥
+
单调递减，所以
f x 在
,0
¥
-
单调递增，
0
x ³
时
1
1
0
1,
f x
f
x
> =
Þ
£
<
0
x <
时
1
1
1
0,
f x
f
x
> =
-
Þ - <
<
所以
1
f x > 的解集为
1,1
-
，故D 正确.
故选：A.
19．已知
e
e
2
x
x
f x
x
-
=
-
-
，
ln 2
a
f
=
，
1
b
f
=
，
ln3
c
f
=
，则下面结论正确的是（ ）
A．c
a
b
>
>
B．c
b
a
>
>
C．b
a
c
>
>
D．b
c
a
>
>
【答案】B
【分析】先判断函数
f x 的单调性，利用函数的单调性比较大小.
【详解】因为
e
e
2
x
x
f x
x
-
=
-
-
，所以
e
e
2
x
x
f
x
-
=
+
-
¢
2 e
e
2
0
x
x
-
³
×
-
=
（当且仅当
0
x =
时取等
号），
所以函数
f x 在
,
-¥ +¥ 上单调递增.
又2
e
3
<
<
Þ ln 2
ln e
ln3
<
<
，即ln 2
1
ln3
< <
，所以
ln 2
1
ln3
f
f
f
<
<
，
即a
b
c
<
<
.
故选：B
20．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，且
1
f x
f x
+
= -
，则
（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的最小正周期是2
C．
f x 关于点
2,0 中心对称
D．
3
f x +
是奇函数
【答案】A
【详解】由
1
f x
f x
+
= -
，得
2
1
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数
0
f x =
满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B 错误；
由于周期为2，所以
2
f
x
f x
+
=
，
2
2
f
x
f
x
f
x
-
=
+ -
=
-
，
又
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，得
f x
f
x
=
-
，所以
f x 是偶函数，A 正确；
由
2
2
f
x
f
x
+
=
-
只能推出对称轴为
2
x =
，无中心对称的推导依据，C 错误；
令
3
g x
f x
=
+
，由
f x 是偶函数且
2
T =
，
得
3
3
1
g
x
f
x
f x
f x
-
=
- +
=
-
=
+
，又
3
1
g x
f x
f x
=
+
=
+
，
所以
g x
g
x
=
-
，所以
3
f x +
为偶函数，D 错误.
21．（2025 高三·全国·专题练习）已知
4 2015
2
cos
1
1
2015
1
x
x
f x
x
x
x
×
+
=
+
- £
£
+
，设函数
f x 的最大值是
M，最小值是N，则（ ）
A．
8
M
N
+
=
B．
8
M
N
-
=
C．
6
M
N
+
=
D．
6
M
N
-
=
【答案】C
【分析】令
3
g x
f x
=
- ，则
g x 在
1,1
-
上是奇函数，利用奇偶性即可求解.
【详解】
2015
1
3
cos
2015
1
x
x
f x
x
x
-
-
=
+
+
，令
3
g x
f x
=
- ，
则
g x 在
1,1
-
上是奇函数，
故有
max
min
max
min
3
3
0
g x
g x
f x
f x
é
ù
é
ù
+
=
-
+
-
=
ë
û
ë
û
，
max
min
6
f x
f x
+
=
，
即
6
M
N
+
=
，
故选：C．
22．已知
f x 是定义在R 上的函数，
f x 的图象关于点
0,0 对称，对任意
1
2
,
0,
x x Î
+¥ ，都有
1
2
1
2
1
f x
f x
x
x
-
< -
-
．若
2
2
1
1
2
f a
f a
a
a
-
+
-
+
+
>
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
1
a < - 或
2
a >
B．
2
a < - 或
1
a >
C．2
1
a
- <
<
D．
1
a < 或
2
a >
【答案】C
【分析】构造函数
( )
g x
f x
x
=
+
，然后结合函数的单调性和奇偶性求解．
【详解】因为
f x 是定义在R 上的函数，
f x 的图象关于点
0,0 对称，
所以
f x 为奇函数，
f
x
f x
-
= -
，
因为
1
2
1
2
1
f x
f x
x
x
-
< -
-
，即
1
2
1
2
1
0
f x
f x
x
x
-
+ <
-
，所以
1
1
2
2
1
2
(
)
[ (
)
]
0
f x
x
f x
x
x
x
+
-
+
<
-
，
构造函数
( )
g x
f x
x
=
+
，则有
1
2
1
2
(
)
(
)
0
g x
g x
x
x
-
<
-
，所以
g x 在R 上单调递减，
因为
g
x
f
x
x
f x
x
g x
-
=
-
-
= -
-
= -
，所以
g x 为奇函数，
2
2
1
1
2
f a
f a
a
a
-
+
-
+
+
>
变形
2
2
]
1
[
1
1
(
1)
f a
a
f a
a
-
+
>
+
-
-
-
-
，
则有
2
(
1)
(
1)
g a
g a
-
> -
-
，即
2
(
1)
(1
)
g a
g
a
-
>
-
，
所以
2
1
1
a
a
- < -
，即
2
2
0
a
a
+
-
<
，解得2
1
a
- <
< ，
即实数a 的取值范围为2
1
a
- <
< .
故选：C
23．已知函数
3
1
( )
lg
2
1
x
f x
x
x
+
=
+
+
-
，则关于x 的不等式
( )
(2
1)
4
f x
f
x
+
-
<
的解集为（ ）
A．
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．
1
, 3
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
【答案】A
【分析】根据题意，设
3
1
lg1
x
g x
x
x
+
=
+
-
分析函数
g x 的奇偶性以及单调性，据此可得
( )
(2
1)
4
f x
f
x
+
-
<
转化为( )
(1
2 )
g x
g
x
<
-
，进而解
1 2
1
1
1 1 2
1
x
x
x
x
< -
ì
ï- <
<
í
ï- < -
<
î
可得x 的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数
3
1
( )
lg
2
1
x
f x
x
x
+
=
+
+
-
设
3
1
lg1
x
g x
x
x
+
=
+
-
，则有1
0
1
x
x
+
>
-
，解可得1
1
x
- <
< ，
即函数
g x 的定义域为
1,1
-
，关于原点对称，
又由
3
3
3
1
1
1
lg
lg
lg
1
1
1
x
x
x
g
x
x
x
x
g x
x
x
x
-
+
+
æ
ö
-
= -
+
= -
-
= -
+
= -
ç
÷
+
-
-
è
ø
，即函数
g x 为奇函数，
设
1
1
x
t
x
+
= -
，则
lg
y
t
=
，
1
2
1
1
1
x
t
x
x
+
=
= -
-
-
-
，在
1,1
-
上为增函数，而
lg
y
t
=
在
0, ¥
+
上为增函数，
故
1
lg1
x
y
x
+
=
-
在区间
1,1
-
上为增函数，
又
3
y
x
=
为增函数，所以
3
1
lg1
x
g x
x
x
+
=
+
-
在区间
1,1
-
上为增函数，
不等式
2
1
4
f x
f
x
+
-
<
即为
2
2
1
2
4
g x
g
x
+
+
-
+
<
，
也即
2
1
1 2
g x
g
x
g x
g
x
< -
-
Þ
<
-
，
所以
1 2
1
1
1 1 2
1
x
x
x
x
< -
ì
ï- <
<
í
ï- < -
<
î
，解得
1
0
3
x
<
<
.
故选：A.
24．（25-26 高三上·山东济宁·月考）已知函数
f x 的定义域为R，且满足
2,
4
,
1
f
x
f x
f x
f x
f x
-
+
=
+
=
¹ -
，当
0,2
xÎ
时，
π
sin
1
2
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，则
2025
1
i
f i
=
=
å
（ ）
A．2026
B．2025
C．2027
D．2024
【答案】A
【分析】根据条件，整理计算，可得
f x 的周期为4，根据解析式，代入数据，可得
(0),
(1),
(2)
f
f
f
的
值，代入条件，可得
(3),
(4)
f
f
，根据
f x 的周期性，代入计算，即可得答案.
【详解】因为
4
f x
f x
+
=
，则
f x 的周期为4，
因为当
0,2
xÎ
时，
π
sin
1
2
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，
所以
π
(0)
sin 0 1
1,
(1)
sin
1
2,
(2)
sin π
1
1
2
f
f
f
=
+ =
=
+ =
=
+ = ，
因为
2
f
x
f x
-
+
=
，所以
( 1)
(1)
2
f
f
-
+
=
，则
( 1)
0
f -
=
，
又
f x 的周期为4，所以
(3)
( 1)
0,
(4)
(0)
1
f
f
f
f
=
-
=
=
= ，
所以
(1)
(2)
(3)
(4)
4
f
f
f
f
+
+
+
=
，
(2025)
(1)
2
f
f
=
=
，
故
2025
1
506
(1)
(2)
(3)
(4)
(2025)
506 4
2
2026
i
f i
f
f
f
f
f
=
=
+
+
+
+
=
´ +
=
å
.
故选：A
25．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
f x 是定义域为 R 的偶函数，满足
1
2
f x
f x
=
+
，则下
列选项一定正确的是（ ）
A．
2
0
f
=
B．
2
2
0
f
x
f
x
-
+
+
=
C．
2
3
2
3
f
x
f
x
-
=
+
D．
3
f x +
是偶函数
【答案】C
【分析】利用赋值法结合题目所给条件即可判断.
【详解】对于A：
0
x =
代入
1
2
f x
f x
=
+
得
1
(0)
(2)
f
f
=
，若
2
0
f
=
，
则
(0)
f
无意义，由题干知
f x 是定义域为R 的函数，
与
(0)
f
无意义矛盾，故A 错误；
对于B：
0
x =
代入
2
2
0
f
x
f
x
-
+
+
=
，得
2
0
f
=
，
与A 选项相同，故B 错误；
对于C：由
1
2
f x
f x
=
+
（①）可得
1
2
4
f x
f x
+
=
+
（②），
联立①②可得
( )
(
4)
f x
f x
=
+
，用
2
x - 代换x 得
(
2)
(
2)
f x
f x
-
=
+
（③）；
f x 是定义域为R 的偶函数，所以
f x
f
x
=
-
，
用
2
x - 代换x 得
2
2
f x
f
x
-
=
- +
（④），联立③④得
2
2
f
x
f
x
+
=
-
（⑤），
用3x 代换x 得
(2
3 )
(2
3 )
f
x
f
x
+
=
-
，故C 正确；
对于D：若
3
f x +
是偶函数，则易得
( )
f x 关于
3
x =
对称，
进而有
(2)
4
f
f
=
，而由题干知
1
(2)
4
f
f
=
，可得
2
4
1
f
= ，此条件不一定成立，故D 不一定正确.
故选：C.
26．已知函数
f x 定义域为R ，且
2
2
4
f
x
f
x
x
+
-
-
= -
，
1 3
f
x
+
关于
0,2 对称，则
2025
f
= （ ）
A．4046
-
B．4046
C．1
D．0
【答案】A
【详解】
令
2
g x
f x
x
=
+
，通过条件得到
g x 的对称性，进而得到其周期，再通过赋值求出
1
g
，进而通过
2025
2025
2 2025
f
g
=
- ´
计算求解即可.
【解答】
由题设条件得
2
2 2
2
2 2
f
x
x
f
x
x
+
+
+
=
-
+
-
，
令
2
g x
f x
x
=
+
，有
2
2
g
x
g
x
+
=
-
，
则
g x 的图象关于直线
2
x =
对称，
因
为
1 3
1 3
4
f
x
f
x
-
+
+
=
，
有
1 3
2 1 3
1 3
2 1 3
8
f
x
x
f
x
x
-
+
-
+
+
+
+
=
，
即
1 3
1 3
8
g
x
g
x
-
+
+
=
，
则
g x 的图象关于
1,4 对称.
所以
2
8
g x
g
x
+
-
=
，又
2
2
g
x
g
x
+
=
-
，
所以
2
8
g x
g
x
+
+
=
，
2
4
8
g x
g
x
+
+
+
=
，
所以
4
g
x
g x
+
=
，
所以4 为
g x 的一个周期，
因为
2
8
g x
g
x
+
-
=
把
1
x = 代入得
1
4
g
=
，
故
2025
4 406 1
1
4
g
g
g
=
´
+
=
=
，
有
2025
2025
2 2025
4046
f
g
=
- ´
= -
．
故选：A.
27．（25-26 高三上·黑龙江·月考）设函数
2
log
4
1
x
f
x
x
=
+
-
，令
1
2
1
log 3
a
f æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
log 4
b
f æ
ö
=
ç
÷
è
ø ，
7
tan 4
c
f
p
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A．a
b
c
<
<
B．c
a
b
<
<
C．c
b
a
<
<
D．b
c
a
<
<
【答案】C
【分析】将
f x 整理为
2
log
2
2
x
x
f x
-
=
+
，求出
f x 的定义域为R ，根据偶函数的定义得到
f x 是
偶函数，构造函数
2
2
x
x
g x
-
=
+
，利用导数法求出
g x 的单调性，利用复合函数的单调性得到
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，由
f x 是偶函数，得
f
x
f x
=
，再由对数换底公式和运算性质求出
2
log 3
a
f
=
，
3
3
log 4
log 4
b
f
f
=
-
=
，
π
tan 2π
1
1
4
c
f
f
f
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，计算
3
3
3
2
log 4
log 4 log 2
log 3 =
×
，利用基本不等式得到
3
2
log 4
1
log 3 < ，从而得到
3
2
log 4
log 3
<
，继而得到
3
2
1
log 4
log 3
<
<
，由
f x 在
0, ¥
+
上单调递增得到c
b
a
<
<
.
【详解】
2
2
2
log
4
1
log 2
log
2
2
x
x
x
x
f x
-
=
+
-
=
+
Q
，
f x 的定义域为R ，
2
log
2
2
x
x
f
x
-
\
-
=
+
f
x
f x
\
-
=
，
f
x
\
是偶函数，
令
2
2
x
x
t
g x
-
=
=
+
，
2
2
ln 2
x
x
g
x
-
=
-
¢
，
当
0
x >
时，
0
g
x
¢
>
，
g x 在
0, ¥
+
上单调递增，
2
log
y
t
=
Q
在
0, ¥
+
上单调递增，
f
x
\
在
0, ¥
+
上单调递增，
由
f x 是偶函数，得
f
x
f x
=
，
再由对数换底公式和运算性质，
得
2
log 3
a
f
=
，
3
3
log 4
log 4
b
f
f
=
-
=
，
π
tan 2π
1
1
4
c
f
f
f
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
2
log 4
log 4
log 2
log 8
log 9
log 4 log 2
1
log 3
2
2
2
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
×
<
=
<
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以
3
2
log 4
log 3
<
，所以
3
2
1
log 4
log 3
<
<
，又
f x 在
0, ¥
+
上单调递增，
所以c
b
a
<
<
.
故选：C.
28．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为R 的偶函数
f x 满足
4
2
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且
f x 在
0,2 上是单调递增函数，若函数
1
g x
f x
f x
=
-
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
g x 为偶函数
B．
g x 在
2,3 上是单调递增函数
C．
1
3
g
g
>
D．
2
g x
g x
+
=
【答案】C
【分析】先通过题干求出
f x 的周期；根据偶函数定义判断A 选项；通过
1
g x
f x
f x
=
-
-
，结合
f x 的单调性与单调性运算性质可判断B 选项；利用作差法，结合函数
f x 的符号进行比较大小即可判
断C 选项；结合函数
f x 的周期性和对称性判断D 选项是否具有周期性.
【详解】已知
4
2
( )
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（①），将x 替换为
2
3
x +
得
4
2
(
2)
3
3
f x
f
x
f
x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（②），
由①+②得
2
f x
f x
+
= -
，则
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
即函数
f x 周期为4 ，且
(
2)
( )
f x
f x
+
= -
恒成立，
又
( )
f x 是定义域R 的偶函数，故
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，且
( )
f x 在[0,2]单调递增，
因此
(2)
(0)
f
f
>
，结合
(2)
(0)
f
f
= -
得
(0)
0
f
<
.
选项A：(
)
(
)
(
1)
( )
(
1)
g
x
f
x
f
x
f x
f x
-
=
-
-
- -
=
-
+
（③），
由
(
2)
( )
f x
f x
+
= -
得
(
1)
(
1)
f x
f x
+
= -
-
，代入③式得(
)
( )
(
1)
g
x
f x
f x
-
=
+
-
，
而( )
( )
(
1)
g x
f x
f x
=
-
-
，显然(
)
( )
g
x
g x
-
¹
，故A 错误；
选项B：
[2,3]
xÎ
时，
( )
(
2)
f x
f x
= -
-
，
2
[0,1]
x - Î
，
(
2)
f x -
递增，
故
( )
f x 在[2,3]递减； 同时
1
[1,2]
x - Î
，
(
1)
f x -
在[1,2]上单调递增，
因此( )
( )
(
1)
g x
f x
f x
=
-
-
，根据单调性运算性质可知( )
g x 递减函数，故B 错误；
选项C：(1)
(1)
(0),
(3)
(3)
(2)
( 1)
(
(0))
(1)
(0)
g
f
f
g
f
f
f
f
f
f
=
-
=
-
=
-
- -
=
+
因此(1)
(3)
2 (0)
g
g
f
-
= -
，
已知
(0)
0
f
<
，故2 (0)
0
(1)
(3)
f
g
g
-
>
Þ
>
，故C 正确；
选项D：(
2)
(
2)
(
1)
( )
(
(
1))
[ ( )
(
1)]
( )
( )
g x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
g x
g x
¹
+
=
+
-
+
= -
- -
-
= -
-
-
= -
，故D 错误.
29．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R 上的函数
f x 满足
3
2
f x
f
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，且
1
2
2
f
x
f
x
+
+
-
=
，
1
0
f -
=
，
f
x
¢
为
f x 的导函数，则下列说法错误
．．的是（ ）
A．3 为
f x 的一个周期
B．
f x 关于点
0,1 对称
C．
f
x
¢
是偶函数
D．
2024
1
2025
i
f i
=
=
å
【答案】D
【分析】对于A，根据题目所给的两个等式，推导
f x 与
3
f x +
的关系即可；对于B，证明
2
f x
f
x
+
-
=
是否成立即可；对于C，对含
f x
f
x
+
-
的表达式两边求导即可；对于D，结合周期
性求解即可．
【详解】对于A，由
1
2
2
f
x
f
x
+
+
-
=
，令
1
x
t
= - ，则
3
2
f t
f
t
+
-
=
，即函数关于点3 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 中心
对称，
结合
3
2
f x
f
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，
3
3
3
2
3
2
2
2
2
f x
f
x
f
x
f
x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
-
-
=
-
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
所以
3
3
3
2
2
2
3
2
2
2
f x
f
x
f
x
f x
é
ù
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
-
-
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，
因此，3 是
f x 的一个周期，故A 正确；
对于B，由A 选项可知
3
2
f x
f
x
+
-
=
，且周期为3，令
3
x
x
=
+ ，得
3
2
f x
f
x
+
+
-
=
，
又因为
3
f x
f x
+
=
，所以
2
f x
f
x
+
-
=
，也即
f x 关于点
0,1 中心对称，故B 正确；
对于C，由B 选项可知
2
f x
f
x
+
-
=
，两边对x 求导，得
0
f
x
f
x
¢
¢
-
-
=
，即
f
x
f
x
¢
¢
=
-
，因此
f
x
¢
是偶函数，故C 正确；
对于D，由
2
f x
f
x
+
-
=
，令
0
x =
，得
2
0
2
f
=
，即
0
1
f
= ，
由周期为3，且
1
0
f -
=
，得
2
1 3
1
0
f
f
f
=
- +
=
-
=
，
由
1
2
2
f
x
f
x
+
+
-
=
，令
0
x =
，可得
1
2
2
2
f
f
=
-
=
，
进一步
3
0
1
f
f
=
= ，
根据周期性，
2024
1
674
1
2
3
2023
2024
i
f i
f
f
f
f
f
=
é
ù
=
+
+
+
+
ë
û
å
674 2
0 1
1
2
2024
f
f
=
+
+
+
+
=
，故D 错误．
本题选择错误的，故选：D．
30．（多选题）（25-26 高三上·河北保定·月考）设定义在R 上的函数
f x 与
g x 的导函数分别为
f
x
¢
和
g
x
¢
，且
2
1
2
f x
g
x
+
=
-
+
，
1
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，且
g x 的图象关于点
1,0 对称，则（ ）
A．1
1
g
=
B．
4
0
g
x
g
x
-
+ ¢
=
¢
C．
4
g
x
g x
-
=
D．
4
4
f x
g x
f x g x
+
+
=
【答案】BCD
【分析】根据函数的对称、周期性、导数性质等知识对每个选项进行判断即可.
【详解】因为
g x 的图象关于点
1,0 对称，所以
1
1
g x
g
x
+
= -
- +
，
令
0
x =
，可得1
0
g
=
，所以A 错误；
因为
2
1
2
f x
g
x
+
=
-
+
，所以
2
1
f
x
g
x
+
= - ¢
-
¢
，所以
3
0
f
x
g
x
¢
¢
+
-
=
，
又
1
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，所以
1
3
0
g
x
g
x
¢
¢
+
+
-
=
，所以
4
0
g
x
g
x
-
+ ¢
=
¢
，所以B 正确；
因为
1
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，所以
1
0
f x
g x
¢
é
ù
-
+
=
ë
û
，所以
1
f x
g x
c
-
+
=
（c 为常数），
因为
2
1
2
f x
g
x
+
=
-
+
，所以
3
2
f x
g
x
-
-
=
，所以
1
3
2
g x
g
x
c
+
-
-
=
- ，
令
1
x = ，可得
2
c =
，所以
1
3
g x
g
x
+
=
-
，所以
4
g
x
g x
-
=
，故C 正确；
由
4
g
x
g x
-
=
得，
g x 的图象关于直线
2
x =
对称，
又
g x 的图象关于点
1,0 对称，所以
2
2
g x
g
x
g x
+
=
-
= -
，
则
4
2
g x
g x
g x
+
= -
+
=
，则
g x 是周期为4 的周期函数，
则
4
g x
g x
+
=
，因为
2
1
2
f x
g
x
+
=
-
+
，所以
2
2
1
f x
g x
+
=
-
+
，
所以
6
2
5
2
1
2
f x
g x
g x
f x
+
=
-
+
=
-
+
=
+
，所以
4
f x
f x
+
=
，
故函数
f x 是周期为4 的周期函数，所以
4
4
f x
g x
f x g x
+
+
=
，所以D 正确．
故选：BCD
31．（多选题）已知
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，
(1
2 )
f
x
-
为偶函数，
(1)
3
f
=
，则（ ）
A．
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
B．
( )
f x 是周期为4 的函数
C．
(1)
(2)
(3)
(2026)
3
f
f
f
f
+
+
+
+
=
L
D．
( )
f x 的图象关于点(3,0)对称
【答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性及周期函数的求和求解即可.
【详解】因为
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，所以
f
x
f x
-
= -
，且
0
0
f
=
.
因为
(1
2 )
f
x
-
为偶函数，所以
1 2
1
2
f
x
f
x
-
=
+
.
选项A：由
1 2
1
2
f
x
f
x
-
=
+
，令
2
t
x
=
，则
1
1
f
t
f
t
-
=
+
，
所以函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，故A 正确.
选项B：因为
1
1
f
t
f
t
-
=
+
，即
1
1
f
x
f
x
-
=
+
,
所以
2
1
1
1
1
f x
f
x
f
x
f
x
f x
é
ù
é
ù
+
=
+
+
=
-
+
=
-
= -
ë
û
ë
û
，
4
2
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= - -
=
，
所以
( )
f x 是周期为4 的函数，故B 正确.
选项C：因为函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，所以
2
0
0
f
f
=
=
.
因为
( )
f x 是周期为4 的奇函数，所以
3
1
1
3
f
f
f
=
-
= -
= - ，
4
0
0
f
f
=
=
.
所以一个周期内的和
1
2
3
4
3
0
3
0
0
f
f
f
f
+
+
+
=
+
+ -
+
=
.
所以
1
2
3
2026
506 0
2025
2026
1
2
3
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
=
´ +
+
=
+
=
L
，故C 正确.
选项D：奇函数
f x 的定义域为R，且
3
3
0
f
= - ¹
，因此
f x 的图象关于点
3,0 不对称，故D 错误.
32．（多选题）已知函数
f x 的定义域为
,
1
f x +
R
是奇函数，
1
f x -
是偶函数，当
1,3
xÎ
时，
1
f x
x
=
- ，则（）
A．
f x 的图象关于直线
1
x = - 对称
B．
f x 是周期函数
C．
f x 在
4,0
-
上单调递减
D．
f x 在
5,3
-
内有4 个零点
【答案】AB
【分析】由
1
f x -
是偶函数可得
f x 关于直线
1
x = - 对称，所以A 正确；由
1
f x +
是奇函数可得
f x
关于点
1,0 对称，结合选项A 可推出
f x 的周期为8，由此判断B；由
f x 关于点
1,0 对称及
1,3
xÎ
时，
1
f x
x
=
- ，可知
f x 在
1,3
-
单调递增，由此判断C；根据函数的对称性和周期性可求出
f x 在
5,3
-
内的零点个数，由此判断D.
【详解】对于A：
1
f x -
Q
是偶函数，
1
1
f
x
f x
\
- -
=
-
，
f
x
\
关于直线
1
x = - 对称，故A 正确；
对于B：由A 可知
f x 关于直线
1
x = - 对称，
2
f
x
f x
\
-
=
-
①，
又
1
f x +
是奇函数，
1
1
f
x
f x
\
- +
= -
+
，即
1
1
0
f
x
f x
- +
+
+
=
，
f
x
\
关于点
1,0 对称，
2
0
f
x
f x
\
-
+
+
=
②，
由①②可得
2
2
0
f x
f x
-
+
+
=
，即
4
0
f x
f x
+
+
=
，
4
8
0
f x
f x
\
+
+
+
=
，
8
f x
f x
\
=
+
，
f
x
\
的一个周期为8，故B 正确；
对于C：由B 知
f x 关于点
1,0 对称，
1,3
xÎ
Q
时，
1
f x
x
=
- 单调递增，
f
x
\
在
1,3
-
也单调递增，又
f x 关于直线
1
x = - 对称，
∴
f
x
\
在
4, 1
-
-
上单调递减，
1,0
-
上单调递增，故C 错误；
对于D：
f x
Q
定义域为R ，关于
1,0 对称，
1
0
f
\
=
，
又
f x 关于直线
1
x = - 对称，
3
1
0
f
f
\
-
=
=
，
又
f x 在
1,3
-
也单调递增，
f x 关于直线
1
x = - 对称，
f
x
\
在
5,3
-
内有2 个零点，故D 错误，
故选：AB.
33．（多选题）已知函数
f x 满足对任意的
R
xÎ
，都有
2
f x
f x
+
= -
，
1
3
f
= ，若函数
1
y
f x
=
-
的图象关于点
1,0 对称，且对任意的
1
x ，
2
0,1
x Î
，
1
2
x
x
¹
，都有
1
1
2
2
1
2
2
1
x f x
x f x
x f x
x f x
+
>
+
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
B．
f x 是偶函数
C．
5
2
3
f
f
-
=
D．
5
5
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【答案】AC
【分析】根据平移结合已知可推得
y
f x
=
的图象关于点
0,0 对称，
f x 是奇函数.进而根据奇函数的性
质，结合已知即可判断A 项，以及求出函数周期，进而判断C 项；根据已知结合函数单调性的定义，即可
得出函数在
0,1 上的单调性，结合函数的周期性以及对称性，即可判断D 项.
【详解】对于A、B 项，由已知函数
1
y
f x
=
-
的图象关于点
1,0 对称，
可得，
y
f x
=
的图象关于点
0,0 对称.
又
y
f x
=
定义域为R，所以
f x 是奇函数，故B 项错误.
由
f x 是奇函数，可得
f
x
f x
-
= -
.
又由已知
2
f x
f x
+
= -
可得，
2
f x
f
x
+
=
-
，
所以有
1
1
f
x
f
x
+
=
-
，所以
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，故A 项正确；
对于C 项，由
2
f x
f x
+
= -
可得，
4
2
f x
f x
+
= -
+
，
所以有
4
f x
f x
+
=
，
所以
f x 的周期为4，所以
5
1
3
f
f
=
= .
又
f x 是奇函数，所以
0
0
f
=
.
由
2
f x
f x
+
= -
代入
0
x =
可得，
2
0
0
f
f
= -
=
，
所以，
5
2
3
f
f
-
=
，故C 项正确；
对于D 项，由
f x 的周期为4，可得
5
3
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
又
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，
所以，
3
1
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
5
3
4
4
f
f
æ
ö
æ
ö
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
所以，
5
1
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
由对任意的
1
x ，
2
0,1
x Î
，
1
2
x
x
¹
，都有
1
1
2
2
1
2
2
1
x f x
x f x
x f x
x f x
+
>
+
，
可得，
1
2
1
2
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
.
所以，
1
2
0
1
x
x
" <
<
< ，都有
1
2
0
f x
f x
-
<
，
所以，
f x 在
0,1 上单调递增.
所以，
1
3
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，即有
5
5
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
-
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，故D 项错误.
故选：AC.
34．（多选题）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数
f x 及其导函数
f
x
¢
的定义域均为R ，记
g x
f
x
=
¢
．若
2
5,
2
f
f x
f x
=
+
+
6
=
，
1 2
g
x
-
为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
4
f x
f x
+
=
B．
g
x
g x
-
=
C．
2
0
g
=
D．
2026
1
6080
i
f i
=
=
å
【答案】ACD
【分析】对
2
6
f x
f x
+
+
=
进行变形可判断A，分析
g x 的对称性和周期性可判断B，由已知变形得
到
0
g
和
2
g
的两个方程并联立可判断C，先计算得到
1
2
3
4
f
f
f
f
+
+
+
的值，由
f x 的周期性
及
1
f
和
2
f
的值计算可判断D.
【详解】对于A，由
2
6
f x
f x
+
+
=
，可得
2
4
6
f x
f x
+
+
+
=
，
两式相减可得
4
f x
f x
+
=
，故A 正确；
对于B，由
1 2
g
x
-
为偶函数，可得
1 2
1
2
g
x
g
x
-
=
+
，
即
1
1
g x
g
x
+
=
- +
，所以
g x 的图象关于直线
1
x = 对称，
由
4
f x
f x
+
=
，两边求导得
4
f
x
f
x
+
¢
=
¢
，即
4
g x
g x
+
=
，
所以
g x 是以4 为周期的周期函数，
则有
4
2
g x
g x
g
x
=
+
=
- -
，无法推出
g
x
g x
-
=
，故B 错误；
对于C，由
2
6
f x
f x
+
+
=
，两边求导得
2
0
f
x
f
x
¢
+
¢
+
=
，
即
2
0
g x
g x
+
+
=
，令
0
x =
，可得
0
2
0
g
g
+
=
，
又
1
1
g x
g
x
+
=
- +
，令
1
x = - ，可得
0
2
g
g
=
，
并联立
0
2
0
0
2
g
g
g
g
ì
+
=
ïí
=
ïî
，解得
0
2
0
g
g
=
=
，故C 正确；
对于D，由
2
6
f x
f x
+
+
=
，当
0
x =
时，
0
2
6
f
f
+
=
，又
2
5
f
=
，可得
0
1
f
= ，
当
1
x = 时，可得
1
3
6
f
f
+
=
，
由
1
1
g x
g
x
+
=
- +
，即
1
1
f
x
f
x
¢
¢
+
=
- +
，
所以
1
1
f x
f
x
c
+
= -
- +
+ ，令
1
x = ，可得
2
0
5 1
6
c
f
f
=
+
=
+ =
，
所以
1
1
6
f x
f
x
+
= -
- +
+ ，令
0
x =
，可得
2
1
6
f
=
，
1
3
f
=
，
3
3
f
=
，
由A 知
f x 的周期为4，则
4
0
1
f
f
=
= ，所以
1
2
3
4
12
f
f
f
f
+
+
+
=
，
2026
1
506
1
2
3
4
1
2
506 12
3
5
6080
i
f i
f
f
f
f
f
f
=
é
ù
=
´
+
+
+
+
+
=
´
+ +
=
ë
û
å
，故D 正确.
