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重难点培优03 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的
高级应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★）....................................................................4
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★）............................................................8
题型三 周期性及其应用（★★★★★）..................................................................................................12
题型四 对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★）..............................................................................................17
题型五 对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★）..........................................................................................20
题型六 对称性结合周期性（★★★★★）..............................................................................................24
题型七 类周期性（★★★★）..................................................................................................................28
题型八 函数性质的综合应用（★★★★★）..........................................................................................33
题型九 导函数与原函数的对称性（★★★★）......................................................................................39
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................44
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................44
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................62
1、单调性技巧
（1）几条常用的结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或减）函数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同．
（5）若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记
，
，则
．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
．
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶．
（7）复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
．
5、对称性技巧
（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于
轴对称，函数
与
关于原点对称．
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题
【技巧通法·提分快招】
1、奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y 轴对称
对称区间的单调性相反；
⇔
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称
对称区间的单调性相同；
⇔
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
在
处有意义，则有
；
（2）对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：** 错误的表达式 **函数
或函数
．** 错误的表达式 **函
数
．
** 错误的表达式 **函数
或函数
** 错误的表达式 **函数
或函数
．
注意：关于** 错误的表达式 **式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：** 错误的表达式 **函数
．** 错误的表达式 **函数
．
** 错误的表达式 **函数
类型的一切函数．
3、已知
奇函数
，
，则
（1）
（2）
1．（24-25 高三下·重庆·月考）已知函数
（
为常数），则（ ）
A．
，
为偶函数
B．
，
为奇函数
C．
，
为既奇又偶函数
D．
，
为非奇非偶函数
【答案】B
【分析】由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得
,进而判断函数的奇偶性.
【详解】根据题意，
，有
，即
，若
存在奇偶性，
则定义域对称，必然有
，即
，
此时
，则
，则
为奇函数.
故选：B．
2．（2025·江西·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由
，
，可排除B.
【详解】因为
，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当
时，
，所以
，排除B.
故选：A.
3．（23-24 高三上·天津·期末）如图为函数
的大致图象，其解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】用排除法，利用特值法以及函数的奇偶性，零点即可排除其他选项，从而可得答案.
【详解】对A，因为
，与图象不符，故A 错误；
对B，
，
，所以函数
是奇函
数，这与图象不符，
故B 错误；
对D，当
时，
，
，所以此时
无零点，与图象不符，故D 错误.
故选：C.
4．若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质
来求解
的值，进而得出
的值.
【详解】由题可得
的定义域为
.
因为
为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以
，
.
所以
，则
，
因为对任意的
，
恒成立，
所以
，所以
.
故选：C.
5．已知函数
是奇函数，当
时，
，则
．
【答案】
【分析】由奇函数定义计算即可.
【详解】由函数
是
上的奇函数，得
，
而当
时，
，所以有
．
综上所述，
故答案为：
6．（23-24 高三上·安徽安庆·月考）已知函数
在区间
上的最大值为
，最小
值为
，则
．
【答案】6
【分析】设
，分析可知
为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解.
【详解】设
，
则
的定义域为
，且连续不断，
由
，可知
为奇函数，
设
在
上的最大值为
，
由奇函数的对称性可知
在
上的最小值为
，
则函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
所以
.
故答案为：6.
7．（23-24 高三下·江西·开学考试）已知
且
，函数
在
的最大值为
，则
在
的最小值为 ．
【答案】
【分析】计算
，从而可得出函数
的对称性，再根据函数的对称性即可得出答案.
【详解】函数
的定义域为
，关于原点对称，
由
，得
，
令
，则
，
所以函数
为奇函数，
因为函数
在
的最大值为
，
所以函数
在
的最大值为
，
所以函数
在
的最小值为
，
所以
在
的最小值为
.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：求出
，得出函数
的对称性是解决本题的关键.
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
【技巧通法·提分快招】
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
在
上是奇函数，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
在
上是奇函数，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号
加绝对值）；
③
关于
对称，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
关于
对称，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
④
关于
对称，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
关于
对称，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
1．（2025·北京通州·一模）已知函数
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数
在
上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶
性即可得解.
【详解】因为
，
所以函数
为偶函数，
，
令
，则
，
所以函数
，
即当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，
所以
.
故选：A.
2．（24-25 高三下·河南·月考）已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于
的不等式，求出
的取值范围.
【详解】因为奇函数
在
上有定义，所以
，
所以
所以
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故选：D.
3．（2025·广西河池·二模）设函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增.若实数
满
足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【分析】根据偶函数
可将不等式
转化为
，再结合函数在
上单调递增的性质得到关于
的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出
的取值范围.
【详解】由于
是偶函数，根据偶函数的定义，
.
因此，不等式
可以转化为
.
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，解得
或
.
故选：C.
4．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单
调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，探讨函数
的奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，
，
，
则函数
是
上的奇函数，而函数
在
上都单调递减，
因此
在
上单调递减，不等式
，则
，
解得
，所以所求解集是
.
故选：B
5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过函数的奇偶性和单调性即可判断.
【详解】因为
的图象关于直线
对称，所以
的图象关于
轴对称，所以
为偶函数，
又
在
上单调递减，所以
在
上单调递增.
由题得
，
又
，因
，则
所以
，
即
.
故选：D.
6．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，若对任意的
，
，都有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可.
【详解】因为
为偶函数，所以
的图象关于
对称，
又对任意的
，
，都有
，
即
在
上单调递增，结合对称性则在
上单调递减，
所以
，
即①
，显然无解；
或②
，解之得
.
故选：C
7．若定义在
上的偶函数
在
上单调递减，且
，则满足
的
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数是偶函数及函数单调性，分类讨论计算求解不等式即可.
【详解】因为定义在
上的偶函数
在
上单调递减，且
，则
，
则
；
；
当
即
时，
，
，
成立；
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
当
即
时，
，
所以
的取值范围是
．
故选：D．
8．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，求出函数
的奇偶性与单调性，
再将
转化为
，求解不等式即可求得结果.
【详解】构造函数
，
,因为
，
所以
，
由
，则
，所以
为奇函数.
易知
，
因为
（当且仅当
，即
时等号成立），
（当且仅当
，即
时等号成立），所以
，所以
在
上单调递增.
由
，得
，故
，
所以
， 即
，令
，求导得
,
因为
，所以
恒成立，且
，所以解
，得：
，
故选:B.
题型三 周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
周期性技巧
1．（2024·陕西·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．2
【答案】B
【分析】根据题意，求得
且
，结合函数的周期性，即可求解.
【详解】因为
且
，可得
，
由
，可得
，
所以函数
的一个周期为
，则
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·江苏淮安·月考）已知函数
对于任意实数
满足条件
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知
求得
，从而得解.
【详解】因为
，
所以
，则
周期为4，
又因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
3．（2025·全国一卷·高考真题）设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为
的范围中求解.
【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】推导出函数
是周期为
的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得
的值.
【详解】因为
是定义域为
的奇函数，且
，
则
，故
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，由奇函数的性质可得
，
所以，
，
，
因此，
.
故选：D.
5．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
为偶函数，且满足
，当
，
，则
的值为( ).
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数
为偶函数，且满足
，得出周期为2，根据性质计算
即
可.
【详解】函数
为偶函数，且满足
，可得
，
，即有
，
可得
的周期为2，当
，
，可得：
.
故选：C.
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为
偶函数，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】C
【分析】由
和
推出
，进而得周期
即可求解.
【详解】由
为奇函数有
，
为偶函数有
，
所以有
，即
，
所以
函数
的周期为
，所以
，
又
，
故选：C.
7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】D
【分析】根据题设，分析可得函数
是周期为4 的周期函数，进而求出
，
再结合周期性质求解即可.
【详解】因为函数
是
上的奇函数，所以
，且
，
又
，所以
，
则
，即
，
所以函数
是周期为4 的周期函数，则
，
因为当
时，
，所以
，
由
，则
，
，
则
，
则
.
故选：D.
8．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，
函数
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用恒等式可推导
，得出周期性，再由偶函数可得函数
的图象是关于直线
对称的，再利用赋值思想即可求值.
【详解】因为
的值域为
，
所以可由
得：
，
则有
，
所以函数
是一个以4 为周期的函数，则有
，
又因为函数
为偶函数，所以
，
则函数
的图象是关于直线
对称的，即
，
又因为周期性可知
，所以
，
又由
可得：
，所以
，
因为
的值域为
，所以
，即
，
故选：B
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】用
代换
，可得
，联立方程组，求得
，结合函数
为偶函数，且
，得到
，可则
是周期为
的函数，令
，求
得
，结合
，即可求解.
【详解】由
，用
代换
，可得
，
联立方程组
，可得
，即
，
又由函数
为偶函数，且
，可得
与
同号，
所以
，可得函数
是周期为
的函数，
因为
，
与
同号，则
，
令
，可得
，所以
，
则
.
故选：C.
题型四 对称性Ⅰ—轴对称
【技巧通法·提分快招】
轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（2）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（3）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来
找出对称轴。
1．定义在R 上的函数
在
上是增函数，且
对任意
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和对称性求解即可.
【详解】因为
对任意
恒成立，
所以函数
关于
对称，
所以
，
又因为函数
在
上是增函数，
所以
，
所以
.
故选：A
2．（24-25 高三上·重庆·月考）函数
与
的图象（ ）
A．关于
轴对称
B．关于直线
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【答案】B
【分析】结合函数对称性的定义，设
，
可得
，即可得解.
【详解】设
，
，显然
，
故
与
的图象关于直线
对称.
故选：B.
3．（24-25 高三下·河南·月考）若函数
的图象关于直线
对称，则下列函数一定为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的对称轴结合平移得出奇偶性，再结合奇函数定义计算判断即可.
【详解】因为
的图象关于直线
对称，将
向右平移1 个单位长度，
所得图象关于y 轴对称，即
为偶函数，B 选项错误；
因为
的图象关于直线
对称，将
向左平移1 个单位长度，
关于直线
对称，不能得出
的奇偶性，A，C 选项错误；
对于D：
，
可得函数为奇函数，D 选项正确；
故选：D.
4．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
是增函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，得到
图象的对称轴为
，然后将问题转化为到对称轴距离的问题求
解.
【详解】解：由
，得
图象的对称轴为
，
又当
时，
是增函数，且
，
，
即
，解得
，
故选：A．
5．（24-25 高三上·四川成都·月考）定义在
上的函数
关于
对称，且满足：对任意
、
，且
，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析函数
的奇偶性以及函数
在
上的单调性，即可得出结论.
【详解】因为定义在
上的函数
关于
对称，则
，
即
，所以，函数
为偶函数，
对任意
、
，且
，都有
，
不妨设
，则
，即函数
在
上为增函数，
所以，
，即
.
故选：B.
6．（24-25 高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数
的图象关于直线
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线对称的性质，结合中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设函数
的图象为曲线
，该曲线关于
对称的曲线为
，
设曲线
上任意一点的坐标为
，则有
，
该点
关于直线
对称点的坐标为
，
因此有
，代入
中，
得
，
故选：C
7．（24-25 高三上·江苏·月考）若曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】求出函数
的定义域，利用对称性可得定义域关于直线
对称，再利用特值求出a，并验证
即得．
【详解】令
，
由
，得
或
，
故函数
的定义域为
，
由曲线
关于直线
对称，得定义域关于直线
对称，
则
，此时必有
，即
，解得
，
此时
，
因此函数
的图象关于直线
对称，即
，
满足题意，
故
.
故选：A．
题型五 对称性Ⅱ—中心对称
【技巧通法·提分快招】
中心对称结论如下：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平
均值）来确定对称中心的位置。
1．（24-25 高三上·陕西咸阳·月考）若函数
是奇函数，则函数
的图象的对称中心是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数
是奇函数可知
关于
对称，再由函数的平移关系可得出答案.
【详解】因为函数
是奇函数，所以
关于
对称，
函数
向右平移一个单位得到函数
的图象，
所以函数
关于
对称，
函数
向上平移一个单位得到函数
的图象，
所以函数
的图象关于
对称.
故选：B.
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
的图象关于点
对称，则点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】计算出
，
，故A 正确，BCD 错误.
【详解】ABC 选项，
，
故函数
的图象关于
中心对称，A 正确，BC 错误；
D 选项，
，故不关于
中心对称，D 错误.
故选：A
3．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知函数
，则函数
的图象的对
称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出
的解析式，进而可得
，由此可得
的对称中心，
即可得答案.
【详解】解：根据题意，函数
，
，
则有
，
故函数
的图象的对称中心的坐标为
故选：D .
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】D
【分析】根据求导公式和求导法则可得
，结合抽象函数的对称性即可求解.
【详解】由
，可知函数
的图象关于直线
对称；
对
求导，得
，
则函数
的图象关于点
对称，所以ABC 错误，D 正确.
故选：D．
5．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知定义在
上的函数
满足
，若函数
与函数
的图象的交点为
，
，…
，则
（ ）
A．9
B．
C．12
D．
【答案】D
【分析】根据函数
和
都关于点
对称求解，即可得答案.
【详解】由已知得
，所以
关于点
对称，
令
，则
，
所以
关于点
对称，
所以两函数图象的交点也关于点
对称，
，
故选：
.
6．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）已知
R，
，函数
，则（ ）
A．当
时，函数
在其定义域上单调递减
B．当
时，函数
在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数
的图像是轴对称图形
D．当
时，函数
的图像恒为中心对称图形
【答案】D
【分析】求
的导数即可判断AB，计算
即可判断C，计算
是否为定
值即可判断D.
【详解】由已知
，
的定义域为
，
当
时，
的定义域为
，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
的定义域为
，
，函数
在
上单调递减，故B 错误；
当
时，
的定义域为
，
，函数
在
上单调递减，
故A 错误；
若
，故不存在
，故C 错误；
，
当
，即
时，
为定值
，则
关于
对称.
故选：
题型六 对称性结合周期性
【技巧通法·提分快招】
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
1．若函数
的定义域为
，其图象关于点
成中心对称，且
是偶函数，则
（ ）
A．2023
B．
C．4048
D．
【答案】C
【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.
【详解】由
是偶函数知，
的图象关于直线
对称，
①,
又
的图象关于
中心对称，所以
②,
则
③,
由①②③可得，
,故函数
的周期为4，
则
，
，
，则
，
则
．
故选：C
2．已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【分析】根据题意，得到
和
，推得
，得到函数
的
周期为4，结合
，即可求解.
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称，可得
，
又因为函数
的图象关于点
对称，可得
，
所以
，可得
，
所以函数
的周期为4，
因为当
时，
，所以
．
故选：D.
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给
定求和式的值.
【详解】由
为奇函数，得
，
所以
图象的对称中心为
，令
由
的图象关于直线
对称，得
，
由
得
，所以
，
则
的一个周期为4，则
则
．
故选：B.
4．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
【答案】D
【分析】根据
为偶函数可得函数图象的对称性，故可判断BCD 的正误；根据
可得函数的周期，故可判断A 的正误.
【详解】对于A，由
，得
，
则
，函数
的周期为4，
取
，则
，
为偶函数，
而
最小正周期为
，故A 错误；
对于B， 由
为偶函数，得
，
故
，
所以函数
的图象关于直线
对称且关于点
对称，B 错误；
对于C，由选项B 知，
，则函数
为偶函数，C 错误；
对于D，由
，
，得
，
则
，函数
的图象关于点
对称，D 正确.
故选：D
5．（24-25 高三下·湖南·月考）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题目条件得到
，
的一个周期为4，从而
.
【详解】
为奇函数，故
，
又
为偶函数，故
，
中，令
代替
得
，
结合
得
，
即
，又
，
故
，
的一个周期为4，
又
时，
，且
，
则
，则
，则
，
，
则
时，
，
故
.
故选：B
【点睛】结论点睛：设函数
，
，
，
．
（1）若
，则函数
的周期为2a；
（2）若
，则函数
的周期为2a；
（3）若
，则函数
的周期为2a；
6．（24-25 高三上·江苏·月考）已知函数
的定义域为R，
，
为偶函数，且函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．4 048
B．4 049
C．4 051
D．4 054
【答案】B
【分析】由题可得
关于
，
对称，据此可得
的一个周期为4，即可得答案.
【详解】因
为偶函数，则
，则
图象关于
对称；
因
的图象关于点
对称，则
，
，得
图象关于
对称；
则
，
.
则
，则
的一个周期为4.
则
.
又
，令
，可得
.
则
.
故选：B
【点睛】结论点睛：
的定义域为R.
若
为偶函数，则
图象关于
对称（
）；
关于
对称，则
图象关于
对称
；
图象关于
，
对称，则
的一个周期为
.
7．已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知等式关系结合函数的奇偶性与对称性即可求得函数
均是周期为4 的周期函数，
利用周期性与对称性计算，逐项判断即可得答案
【详解】因为
，
所以
，与
联立可得
，
即
的图象关于直线
对称，
又
为奇函数，则
，
所以
，即
，
所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
因为
，所以
也是周期为4 的周期函数，
因为
，
，所以
，
即
，从而
为偶函数，故A 错误．
又
为奇函数，则
，即
，
所以
，
故
，故C 错误．
由
，得
，则
不可能为奇函数，故B 错误．
可求
，
所以
，故D 正确．
故选D．
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
题型七 类周期性
【技巧通法·提分快招】
1、类周期函数
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函数值扩大
倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
2、倍增函数
若函数
满足
或
，则
横坐标每扩大
倍，则函数值扩大倍．
此函数称为倍增函数．
1．设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，若对于
，
都有
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
和当
时
可以逐次推出
，
，
上
的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求
时，函数值等于
时的自变量的值，
得到满足
的
的范围，即得t 的取值范围.
【详解】当
时，
，
；
因
，即x 每增大
，对应的纵坐标都变原来的
倍.
当
时，
，故
，
则
，
；
当
时，
，故
，
则
，
；
当
时，
，故
，
则
，
.
当
时，由
，可得
，解得
或
，
如下图所示：
由图可知，当
时，
恒成立，故实数的取值范围是
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题
关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范
围.
2．（2025·河北唐山·一模）对于
，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】采用赋值法，令
可得
，进而推出
；令
可得
，进而推出
，
，再结合函数的性质，可得
的值.
【详解】令
，则
.
所以
；进而
，
同理可得：
，
.
令
，则
，
所以
，
，
，
，
.
因为
，所以
，即
.所以
故选：C
【点睛】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最
后得出结论.
3．已知函数
，则
；若
在
上恒成立，则
整数的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】利用分段函数性质计算即可得空一；由题意画出函数图象，并可得函数满足
，可得当
时，有
或
，使得
，即可得
时，
恒成立，从而可得空二.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
所以
，
图象如图：
则
，
当
时，
；
当
时，
或
，
当
时，
，
所以
时，
恒成立，整数的最小值为
．
故答案为：
；
.
4．（2024·湖南永州·三模）已知函数
的定义域为
，
，
，且对于
，恒有
，则
.
【答案】
/
【分析】赋值求得
，由
可得
，从
而可求
，进而求得当
时，
，从而利用
求解即可.
【详解】由
可得
，所以
，
，
，
，
.
因为对于
，恒有
，
所以当
时，
，而
，
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：关键点是根据题意求得
，
，进而求得当
时，
.
题型八 函数性质的综合应用
1．（24-25 高三下·江苏无锡·月考）已知
是定义在
上的偶函数，
，且
在
上单调递减，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件可得
的周期为2，再利用对数运算及对数函数单调性，结合
在
上单
调递减比较大小.
【详解】函数
是
上的偶函数，则
，
的周期为2，
，
，
，
，
，
，
又函数
在
上单调递减，则
，
所以
.
故选：A
2．（2025·陕西西安·二模）已知
是定义在R 上的奇函数且满足
，当
时，
．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】依题意可得
的奇偶性、对称性与周期性，即可得到
的图象，即可得到
，
，解得即可.
【详解】因为函数
是定义在R 上的奇函数，所以
，
又因为
，所以函数
的图象关于直线
对称，
且
，所以函数
是以4 为周期的周期函数.
因为当
时，
，所以函数
在
上单调递增.
函数
的草图如下：
根据图象可知，若
，则
，
，
解得
，
.
所以实数
的取值范围是：
，
.
故选：D
3．已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，且对任意的
、
，
，有
，则下列结论错误的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
的图象关于
对称
D．
【答案】D
【分析】推导出
是周期函数，
是它的一个周期，并计算出
，结合周期性可判断B 选项；利
用题中等式进行推导，结合函数的对称性可判断BC 选项；分析函数
在
上的单调性，结合函数
的周期性可判断D 选项.
【详解】因为函数
为奇函数，则
，
所以，
，可得
，
因为函数
为偶函数，则
，
所以，
，
所以，
，所以
是周期函数，
是它的一个周期.
对于A 选项，
，A 对；
对于B 选项，
，
所以，
，B 对；
对于C 选项，因为
，即
，
所以，函数
的图象关于点
对称，C 对；
对于D 选项，对任意的
、
，且
，有
，
不妨设
，则
，所以，函数
在
为增函数，
因为
，
，
因为
，则
，所以，
，D 错.
故选：D.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数
的图象关于直线
和
对称，则函数
的周期为
；
（2）若函数
的图象关于点
和点
对称，则函数
的周期为
；
（3）若函数
的图象关于直线
和点
对称，则函数
的周期为
.
4．已知函数
的定义域均为
，
的图象关于点
中心对称，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1003
【答案】C
【分析】根据题意，可得
，即
是
上的偶函数和以4 为周期的周期函数，从而
也是以4 为周期的周期函数，可得解.
【详解】因为
的图象关于点
中心对称，所以
①．
因为
，所以
②．
因为
③，所以
④．
③
④得，
，所以
是
上的偶函数，
所以①可变形为
，则
，
故
，所以
是以4 为周期的周期函数．
由④可得
，则
也是以4 为周期的周期函数．
因为
，又
，
所以
，所以
．
故选：C．
【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证
明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.
5．已知函数
是R 上的偶函数，对于
都有
成立，且
，当
，且
时，都有
．则给出下列命题：
①
；②函数
图象的一条对称轴为
；
③函数
在
上为严格减函数；④方程
在
上有4 个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】对于①，令
代入已知等式可求出
，再结合其为偶函数可得
，从而可求出
函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由
为偶函数，结合周期为6 分析判断；对于③，由
当
，且
时，都有
，可得
在
上为严格增函数，再结合其为
偶函数及周期为6 分析判断；对于④，由
，
的周期为6，及函数的单调性分析判断.
【详解】①：对于任意
，都有
成立，
令
，则
，解得
，
又因为
是R 上的偶函数，所以
，
所以
，所以函数
的周期为6，
所以
，
又由
，故
；故①正确；
②：由（1）知
的周期为6，
又因为
是R 上的偶函数，所以
，
而
的周期为6，所以
，
，
所以：
，
所以直线
是函数
的图象的一条对称轴．故②正确；
③：当
，且
时，都有
．
所以函数
在
上为严格增函数，
因为
是R 上的偶函数，所以函数
在
上为严格减函数，
而
的周期为6，所以函数
在
上为严格减函数．故③正确；
④：
，
的周期为6，所以
，
又
在
先严格递减后严格递增，所以
在
上除端点外不存在其他零点，
所以
在
和
上各有一个零点，
所以函数
在
上有四个零点．故④正确；
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法
求出
，从而可得
，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析
问题的能力，属于较难题.
6．（多选题）已知函数
是定义域为
的奇函数；且
，当
时，
，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于
对称
C．
的值域为
D．函数
有9 个零点
【答案】BCD
【分析】由题设条件得
即可求解判断A；先根据题
意求出
和
一个周期内的解析式，然后作出函数
的图象和直线
分析即可逐项求解判断
BCD.
【详解】对于A，因为
是
上的奇函数，
，
所以
，
所以
，故A 正确；
对于BC，因为
是
上的奇函数，
，
所以
，
所以
，所以
是周期为4 的奇函数.
当
时，
，所以
，
所以当
时，
，所以
，
所以
，
因为
的周期为4，
所以
，故
的周期为4，
所以
，
所以当
时
，当
时
，
当
时
，当
时
，
作出函数
的图象如图所示，
所以函数
的图象不存在对称轴且
的值域为
，故BC 错误.
对于D，令
，作出直线
图象如图，
则由图可知函数
的图象与直线
图象有7 个交点，
所以函数
有7 个零点，故D 错误.
故选：BCD.
7．（24-25 高三上·山东菏泽·开学考试）（多选题）已知函数
的定义域均为
的图象
关于
对称，
是奇函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，根据
的图象关于
对称，所以
关于
轴对称，故
，A 正
确；B 选项，由奇函数性质得到
，故
，B 错误；CD 选项，由题目条件得到
，结合
得到
，故
，推出
，得到周期，赋值法得到
，
，并利
用周期求出
.
【详解】A 选项，因为
的图象关于
对称，所以
关于
轴对称，
故
是偶函数，则
，故A 正确；
B 选项，因为
是奇函数，所以
，即
，故B 错误；
CD 选项，由
得
，
又
，所以
，又
，
即
，即
，则
，
所以
，所以
①，
即
②，
-
②①得
，所以函数
的周期为4，
令
，由
，得
，
再令
，则
，所以
，
又
，由
，
所以
，故C，D 正确.
故选：ACD.
题型九 导函数与原函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
导函数与原函数的对称性
为偶函数
为奇函数
为奇函数
为偶函数
为偶函数
有对称中心
注意：此处
或
同理：
有对称轴
有对称中心
关于
中心对称
有对称轴
注意：此处
或
1．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.
推广到一般的情况：如果函数
的图象有对称中心，那么其导函数
的图象会有对称轴；如果函数
的图象有对称轴，那么其导函数
的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数
的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．
有对称中心
B．
有对称中心
C．
有对称轴
D．
有对称轴
【答案】B
【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解.
【详解】因为函数
，定义域为
，
所以
，
导函数关于
对称，所以
关于
即
对称，
故选：B
2．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
【答案】C
【分析】对于A，对条件
求导可得；对于B，对条件
，两边同时除以
可得；对于C，反正法，假设C 正确，求导，结合条件
，可得
与
矛盾，
可判断C；对于D，求出
，
，所以有
，
，
，以
数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断.
【详解】因为
，所以
，即
，令
，得
，故
A 正确．
因为
，所以当
时，
，所以
的图象关于点
对称，故
B 正确．
对于C，假设
成立，求导得
，即
，
又
，所以
，所以
与
矛盾，故C 错误．
对于D，因为
，
所以
，
，又
，所以
，
又
，所以数列
的奇数项是以0 为首项，
为公差的等差数列，
数列
的偶数项是以
为首项，
为公差的等差数列，又
，
，
所以数列
是以0 为首项，
为公差的等差数列，
所以
，所以
，故D 正确．
故选：C．
3．（24-25 高三下·广东·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，记
且
，
为偶函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-2
【答案】D
【分析】首先根据
为偶函数和
得到
的一些等式关系，再通过对已知等式求导
进一步推导
的性质，如周期性等，然后求出
的值，最后根据
的奇偶性和
的周期性
求出
的值，进而得出结果.
【详解】解：因为
为偶函数，
，所以
，
对
两边同时求导，得
，
所以有
，所以函数
的周期为8，
在
中，令
，所以
，
因此
，因为
为偶函数，
所以有
（1），
（2），
由（1），（2）可得：
，所以
，
故选：D．
4．已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得函数
关于
对称，且关于点
对称，且
的周期是4，再由
，得到
，求得
，得到导函数
关于点
对称，且
，进而得到
，求得导函数
的周期是4，结合
，即可得到答案.
【详解】由函数
为偶函数，可得
，即
，
可得函数
关于
对称，则
，
又由
是奇函数，可得
，
所以函数
关于点
对称，则
，且
，
所以
，即
，即函数
的周期是4，
则
，
由
，可得
，
所以
，则
，
即
，所以
，
即导函数
关于点
对称，且
，
又由
，可得
，即导函数
的周期是4，
则
，所以
．
故选：D．
5．（24-25 高三下·浙江·期中）已知函数
，
的定义域为
，
，且
满足
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2025
D．2026
【答案】D
【分析】根据条件判断函数的对称性，并得到函数的周期性，再通过赋值法，结合函数的性质，即可求和.
【详解】由
可得：
，又因为.
.，
所以
，即
的对称中心为
；
由
可得：
，
即
（常数），
令
，则
，所以
，即
的对称轴为
；
所以
，
，故
，
，
所以
，
的周期
.
因为
，所以
；
因为
，令
代入，所以
；
根据对称性可知：
，
，
，
，
所以
.
故选：D
6．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数
与
是定义在
上的函数，它们的导函数分别为
和
，且满足
，且
，则
（ ）
A．1012
B．2024
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
得到
，故
，求导得到
，
两边求导得到
，从而得到
，故
，故
是
的一个周期，其中
，根据周期性求出答案.
【详解】由于
，则
，
两式相加得
，
故
，
所以
，
故
，即
，
其中
两边求导得，
，
故
，
故
，
将
替换为
得
，
又
，
故
，
将
替换为
得
，
则
，
故
是
的一个周期，
其中
，
故
，
故
.
故选：D
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若函数
是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的图象变换求解.
【详解】因为函数
是奇函数，
所以函数
的图象关于原点对称，
又函数
的图象是
的图象向左平移1 个单位，
向上平移2 个单位得到的，
所以函数
图象对称中心的是
，
故选：B
2．（2025·重庆·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得函数
在
上为减函数，再利用指数函数和幂函数的单调性得到
求
解.
【详解】因为函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，
所以函数
在
上为减函数，
又
，
，
所以
，则
，
故选：B
3．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
，则下列函数的图象关于直线
对称的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先判断
的奇偶性和对称性，再由图象的平移和正弦函数、余弦函数的对称性，可得结论．
【详解】因为函数
的定义域为
，且
，故函数
为偶函
数，图象关于
轴对称，
函数
的图象为函数
的图象向右平移1 个单位长度得到，故函数
的图象关于直线
对称，
而函数
的图象为函数
的图象向左平移1 个单位长度得到，故函数
的图象关于直线
对称，则可排除B,D 选项；
又函数
的图象关于直线
对称，因此函数
的图象关于直线
对称.
而又函数
的图象关于点
对称，故排除A 选项.
故选：C.
4．已知奇函数
满足
，且
的图象关于
对称，则
等于（ ）
A．
B．1
C．0
D．3
【答案】B
【分析】先由图象变换得出
的图象关于直线
对称，再结合奇函数，即可得出周期为
，最后利
用周期将
转化为
.
【详解】
的函数图象向左平移
个单位得到
的图象，
因函数
的图象关于直线
对称，则
的图象关于直线
对称，
则
因
为奇函数，则
，则
，
则
，得
，
所以
是周期为4 的周期函数，
则
．
故选：B
5．（2025·湖南·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得函数
关于
对称，且在
上单调递减，在
单调递增，将原不等式转化为
求解即可.
【详解】因为
，所以
，
即函数
关于
对称，
当
时，
单调递增，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
因为
，所以
，解得
，
即
的取值范围是
，
故选：B.
6．（2025·山东菏泽·一模）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据函数解析式判断出函数
的对称性与单调性，再利用函数
的对称性得到
，进而利用函数单调性即可比较大小.
【详解】由题知
，
，
即函数
图象的对称轴为
，且
在
上单调递增，在
上单调递减.
.
，
.
故选：A.
7．（2025·山西忻州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量
时，函数值的变化趋
势判断C.根据函数性质，判断B.
【详解】函数
的定义域为
，排除选项D；
，
故函数
为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当
时，
；
当
时，
，排除选项C；
综上所得，选项B 符合题意．
故选：B．
8．（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用特殊值结合对称性求出a 的值，可得函数解析式，再利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】依题意，
，其图象关于直线
对称，
则
，
所以
，所以
，解得
，
所以
，此时
，满足题意；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，
故选：B．
9．（2025·山东青岛·一模）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【答案】A
【分析】由已知条件推导出函数周期为4，
，可求
.
【详解】由
为偶函数，得
，即
，则
，
因此
，即
，则
，
于是
，函数
是周期为4 的周期函数，
由
，得
，因此
，
所以
．
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.
10．已知函数
满足
.若函数
与
图象的交点为
，
，…，
.则
等于（ ）
A．3m
B．6m
C．9m
D．12m
【答案】A
【分析】由
判断
关于点
成中心对称，进而判断函数
与
图象的交点关于点
对称，由此求出
和
的值，即可得答案.
【详解】由函数
满足
可得
，
即函数
关于点
成中心对称，
由函数
，其图象可由
向上平移3 个单位得到，
故
关于点
成中心对称，
则函数
与
图象的交点为
，
，…，
必关于点
对称，
不妨设
，
和
关于
对称，依此类推；
设
，则
，
故
，
同理令
，可得
，
故
，
故选：A
11．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，满足
，则恒有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性判断
的区间单调性，讨论
、
、
一正一负，结合不等式恒成立确定不等关系.
【详解】由
，且
的定义域为R，所以
是偶函数，
当
，令
，则
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
由偶函数的对称性，
在
上单调递减，
当
，由
，则
，
当
，由
，则
，
当
一正一负，不妨令
，则
，
显然与
矛盾，
综上，
.
故选：D
12．（24-25 高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数
的定义域为
，
，函数
是奇
函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】B
【分析】利用题中函数的对称性推导出
，
，结合函数的对称性逐
项推导，可得出合适的选项.
【详解】因为函数
的定义域为
，
，函数
是奇函数，
则对任意的
，
，可得
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，则
的值不确定，C 错；
因为函数
的图象关于直线
对称，
令
，所以，
，
即对任意的
，
，即
，
所以，函数
为奇函数，即函数
的图象关于点
对称，B 对；
因为
，而
不一定等于零，故函数
不一定是偶函数，A 错；
因为函数
的图象关于直线
对称，则
，
因为函数
的图象关于点
对称，则
，
所以，
，则
，
故
，D 错.
故选：B.
【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性的应用，可利用以下结论来转化：
①函数
的图象关于点
对称，则
；
②函数
的图象关于直线
对称，则
.
13．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数
的定义域为
，且有
，设
是
的导函数，若
为偶函数，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4052
【答案】D
【分析】首先，通过已知条件
，可以分析出函数
的对称轴，进而得到其导函数
的对称中心.再根据
为偶函数，确定
的具体对称中心，周期，然后利用周期性和对称中心
的性质来计算即可.
【详解】∵
，
∴两边求导得
，
∴
，可知
关于点
对称，
又∵
为偶函数，可知
关于直线
对称，
则
，即
，
由
，可得
，
因此
，可得
，
即
，可知4 为
的周期，
因此，当
，
时，
，
当
，
时，
，
∵
，∴
，
∴
，
，
所以
.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题关键是找出抽象函数的周期和对称性.
14．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数
．函数
均满足
，
下列说法：
①
；
②若数列
是公比为4 的等比数列．则
；
③点
是曲线
的对称中心：
④
．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】利用给定条件判断①，运用给定条件结合中心对称性的定义判断③，利用给定条件结合等比数列
的性质判断②，利用给定条件判断④即可.
【详解】令
，得到
，解得
，故①正确，
令
，由
得
，
由
得
，
得到
，
即
，故点
是曲线
的对称中心，即③正确，
因为
，所以
，
即
，得到
，
故
，因为数列
是公比为4 的等比数列，
所以
，故
，
故
，即②正确，
因为
，所以
，
故
，则④正确.
综上，正确说法的个数为
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用已知条件推理出
，然后再对得到所证
明的
即可．
15．（2025·天津和平·三模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数
在区间
上的最小值，根据题意得出
，解该不等
式即可得解.
【详解】当
时，
恒成立，则
，
因为定义域为
的函数
满足
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
因为
，此时
；
当
时，
，
则
，
因为
，则
，则
，所以
，
所以，函数
在
上的最小值为
，
所以，
，即
，即
，解得
或
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：A.
16．（多选题）已知定义在
上的偶函数
满足
，则下列命题成立的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．函数
为偶函数
D．函数
为奇函数
【答案】BD
【分析】由
及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.
【详解】因为函数
为偶函数，
所以函数
关于
轴对称，且
，又
，
所以
，且
，
所以函数
关于点
中心对称，且周期为
，
所以函数
关于
对称，A 选项错误；
，B 选项正确；
由
向右平移一个单位得到，则
关于点
对称，为奇函数，C 选项错误；
由
向左平移一个单位得到，则
关于点
对称，为奇函数，D 选项正确；
故选：BD.
17．（2025·宁夏银川·三模）（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
【答案】BCD
【分析】由
可判断A，由
，得到
，可判断C，由
和
可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，
，所以
不是奇函数，错误；
对于B：因为
为奇函数，
所以
，
由
，可得：
，
所以
，即
，
所以
，偶函数，正确；
对于C：由
，
可得
，所以
是周期为3 的周期函数，正确；
对于D，
，
所以
，
由周期性可得：
故选：BCD
18．（2024·海南·模拟预测）（多选题）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为
偶函数，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由
为奇函数得
，
因此
，所以
的图象关于点
对称，所以A 错误；
对于B 中，由
为偶函数得
，于是
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，所以B 正确；
对于C 中，
，
从而
，所以
以4 为周期，可得
，
由
中，令
，得
，所以C 正确；
对于D 中，由前面的分析可得
，
，
所以
，
所以D 正确．
故选：BCD.
19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选题）已知函数
满足关系式
，
，且
在
上的解析式为
，
为
的导函数，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇函数
【答案】ACD
【分析】先根据关系式
，
，求出对应的对称轴和对称中心，进而得到周
期，再结合
时，
，可画出
的图像，即可解决问题.
【详解】由
，可得到函数
图像的对称轴为
，
由
，可得到函数
图像的对称中心横坐标为
，
所以函数
的周期
.
因为
时，
，根据对称性和周期性，可画出
的图像，如图所示.
由周期性可知，
，故A 正确；
根据周期性可知，
，故B 错误；
，由图可知，
，
，所以
，故C 正确；
由图可知，函数
在
轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即
为奇函数，
故D 正确；
故选：ACD.
20．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
关于点
对称
B．函数
关于直线
对称
C．函数
的周期为4
D．
【答案】AC
【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解.
【详解】对于A，因为
为奇函数，所以
，
所以函数
关于点
对称，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，即
，
所以函数
的图象关于点
对称，故B 错，
对于C，因为
，所以
，所以
，为常数，
因为
，所以
，所以
，
取
，可得
.所以
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以
，所以函数
是周期函数，且周期为
，
又
，即
，
所以函数
也是以
周期得周期函数，故C 正确；
对于D，因为
，
，
所以
，即
，
所以
，则
，
所以
，
，无法确定该值，故D 错误.
故选：AC.
21．（2025·河南郑州·二模）（多选题）已知对于任意非零实数
，函数
均满足
，
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
关于点
中心对称
C．
关于
轴对称
D．
【答案】ABD
【分析】由
中令
可得A 正确；由
可得B 正确；由
可得C 错误；换元法求出
可得D 正确.
【详解】对于A，由
可得
；
对于B，由
可得
，即
，
所以
关于点
中心对称，故B 正确；
对于C，由
可得
，所以
关于
轴对称，故C 错误；
对于D，由
中令
可得
，
设
，①
又
，②
由①②可得
，
所以
，即
，
所以
，所以
所以
，故D 正确；
故选：ABD
22．（24-25 高三上·宁夏中卫·期中）函数
满足
，当
，
，则
．
【答案】1
【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知
，
求得
，从而得解.
【详解】∵
，∴
，
则函数
的周期为4，
∴
，
又∵
，
，∴
，
所以
.
故答案为：1
23．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
【答案】
【分析】由
为奇函数即可求解.
【详解】因为函数
为偶函数，
而
是偶函数，
是奇函数，
所以
为奇函数，
，得
；
若
，函数
，定义域为
,不关于原点对称，函数不是偶函数，
若
，代入验证符合题意.
故答案为：
24．（23-24 高三上·安徽·期中）函数
的最大值为
，最小值为
，若
，则
．
【答案】1
【分析】将函数解析式边形为
，设
，则
，记
，由奇函数的定义得出
为奇函数，得出
在
的最
值，结合
，即可求出
．
【详解】
，
设
，则
，
记
，
因为
，
所以
是在
上的奇函数，最大值为
，最小值为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
故答案为：1．
25．已知
是定义在
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式.
【详解】由
是定义在
上的奇函数，得
，
是
上的偶函数，由
，得
，
则
，由
在
上递增，得
在
上递减，
当
时，
，不等式
成立，因此
；
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
26．（23-24 高三上·河北邯郸·月考）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
．
【答案】
【分析】根据条件先判断出
是周期为的周期函数，然后根据奇偶性和周期性将
变形为
，结合
和已知解析式可求结果.
【详解】因为函数
是定义在
上的奇函数，所以
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
是周期为8 的周期函数，
当
时，
，所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：
.
27．（2024·广西南宁·二模）定义域为R 的函数
的图象关于点
对称，函数
的图象
关于直线
对称．若
，则
．
【答案】2499
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解.
【详解】因为
的图象关于点
对称，所以
，
则
即
，
又
的图象关于直线
对称，则
，
所以
，即
，
可得
，则
是以4 为周期的函数.
因为
，
由
，令
，得
，
所以
，
，
，
所以
.
故答案为：2499.
【点睛】关键点睛：本题关键是根据条件判断出
是以4 为周期的函数.
28．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数
为
上的单调递增函数，且当
时，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据奇函数的性质得到
与
的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小
值.
【详解】已知
是奇函数，则
.
因为
，所以
.
又因为
在
上单调递增，所以
，即
.
由
可得
.
则
.
将
展开可得：
.
因为
，所以
，
.
根据基本不等式，则
，当且仅当
时等号成立.
所以
.
故答案为：
.
29．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为
偶函数，
，则
.
【答案】4048
【分析】根据题中
为奇函数，
为偶函数，从而可得出
为周期为4 的函数，从而
可求解.
【详解】由题意得
为奇函数，所以
，即
，
所以函数
关于点
中心对称，
由
为偶函数，所以可得
为偶函数，则
，所以函数
关于直线
对称，
所以
，从而得
，所以函数
为周期为4 的函数，
因为
，所以
，则
，
因为
关于直线
对称，所以
，
又因为
关于点
对称，所以
，
又因为
，又因为
，所以
，
所以
.
故答案为：4048.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内
的值，最后求和即可.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，且
也是偶函数，且
，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据函数
是定义在
上的偶函数得
，再求导得
，结合函
数
也是偶函数，得
，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数
的单调性即可解出实数
的范围.
【详解】由题意，
是定义在
上的偶函数，则
，所以
，
即
，又
也是偶函数，所以
，
所以
，即
，
因为函数
是R 上的减函数，
也是减函数，
所以函数
是R 上的减函数；
令
，即
，解得
，
当
时，
，此时函数
在
上单调递增，
当
时，
，此时函数
在
上单调递减，
又函数
是
上的偶函数，
所以由
，可得
，解得
，
因此，实数
的范围是
，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据
，求导得
，进而得导函数的解析
式，再利用导函数研究函数的单调性.
2．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，
函数
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用恒等式可推导
，得出周期性，再由偶函数可得函数
的图象是关于直线
对称的，再利用赋值思想即可求值.
【详解】因为
的值域为
，
所以可由
得：
，
则有
，
所以函数
是一个以4 为周期的函数，则有
，
又因为函数
为偶函数，所以
，
则函数
的图象是关于直线
对称的，即
，
又因为周期性可知
，所以
，
又由
可得：
，所以
，
因为
的值域为
，所以
，即
，
故选：B
3．函数
的定义域为
，满足
，且
时，
，若
，恒有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件分段求出解析式及对应函数值集合，再利用数形结合，可求得结果
【详解】因为
，且
时，
，
所以当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以当
时，
，解得
或
，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，
，恒有
，必有
，
即
的取值范围是
，
故选：B
【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，考查二次函数的性质，考查分段函数的性质，解题的关键
是根据已知条件求出函数的解析式，再根据解析式画出图象，利用图象求解即可，考查数形结合思想，属
于较难题.
4．（24-25 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
为定义在
上的偶函数，
，
，
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知，可得
，设
，则函数
在
上单调
递减，则不等式
即
，则
，又函数
为定义在
上的偶函数，则得到不等
式
的解集.
【详解】由题意，
，
，则
，
由
，得
，
即
，
因为
，
，得
，
即
，
设
，则函数
在
上单调递减，
又
，则
，
则不等式
，即
，
则
，
所以
，
又函数
为定义在R 上的偶函数，
所以当
时，
，
又
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由
，可构造函数
，可得
在
上单调递减，可利用单调性解出不等式.
5．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设
均是定义在
上的函数，且
，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
B．若
是最小正周期为1 的函数，则
是最小正周期为3 的函数
C．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
D．若
是奇函数，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由
是偶函数可得
，由此可判断A；对于B，由题干可知
是最小正周期为1 的函数，由此可判断B；对于C，类似于A，由
是偶函数可得
，由此可判断C；对于D，由
是奇函数可得
，因此
的图象关于点
对称，由此可判断D.
【详解】对于A，因为
是偶函数，所以
，
所以
，即
的图象关于直线
对称，故A 错误；
对于B，因为
是最小正周期为1 的函数，所以
是最小正周期为1 的函数，
设
的最小正周期为
，由
，得
，故B 正确；
对于C，由
，得
，
又
是偶函数，所以
，
所以
，则
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，由C 项可知，
，
因为
是奇函数，所以
，即
，
则
，所以
，
因此
的图象关于点
对称，且
，
所以
，故D 正确．
故选：BCD．
6．（24-25 高三上·山西·期中）（多选题）已知定义域为
的函数
满足
，
为奇函数，
，则（ ）
A．8 是
一个周期
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】通过已知等式得函数的对称性、周期性，再借助性质赋值（式）求解可得.
【详解】由
，得
，
则
，即函数图象关于
对称；
因为
为奇函数，所以
，
则
，即函数图象关于
中心对称.
A 项，由对称性可知，
，
所以
，即
，
所以
，
则是
的一个周期，故A 正确；
B 项，由对称性与周期性可知，
，
所以
是偶函数，故B 正确；
C 项，
，得
，
所以
，故C 错误；
D 项，由周期性和
，得
，
所以
，同理
，
由
，得
，
所以
，则
，
所以
，
故D 正确.
故选：ABD.
7．（24-25 高三上·广东清远·月考）（多选题）设
与其导函数
的定义域均为
，
若
的图象关于
对称，
在
上单调递减，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的图象关于原点对称
C．
D．
的极小值为3
【答案】AB
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为
的图象关于
对称，所以
，
即
，则
为偶函数，故A 正确；
由
得，
，两边取导数得，
，
即
，所以
，则
是奇函数，
所以
图象关于点原点对称，故B 正确；
由上可知，
，又由
得
，
所以
，则
，
所以有
，即函数
是一个周期函数且周期为8；
又由
，令
得，
，
则
，故C 错误；
由
在
上单调递减，又
的图象关于点
对称可知，
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
又
的图象关于
对称，所以
在
上单调递增，
由周期性可知，
在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值，即
，故D 错误，
故选：AB.
8．（多选题）已知连续函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为
奇函数，
的图象关于
轴对称，则（ ）
A．
B．
C．
在
上至少有2 个零点
D．
【答案】ACD
【分析】根据
的图象关于y 轴对称，结合求导可求得
的图象关于点
对称，再根
据
为奇函数，可得
的图象关于点
对称且关于直线
对称，进而可得为
和
的一个周期，从而可判断选项A，B，C，根据
的图象关于
对称，从而可判断选项D．
【详解】定理1：若函数
连续且可导，则
图象关于直线
对称
导函数
图象关于点
对称．
定理2：若函数
连续且可导，则
图象关于点
对称
导函数
图象关于直线
对
称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数
图象关于直线
对称，则
，
则
，所以导函数
图象关于点
对称．
若导函数
图象关于点
对称，则
，
令
，则
，则
(c 为常数)，
又
，所以
，
则
，所以
图象关于直线
对称．
若函数
图象关于点
对称，则
，
则
，所以
图象关于直线
对称．
若导函数
图象关于直线
对称，则
，
令
，则
，则
(c 为常数)，
又
，所以
，
则
，所以
图象关于点
对称．
故下面可以直接引用以上定理．
对于ABC，由
的图象关于y 轴对称，
则
，两边求导得
，
即
，
的图象关于点
对称，
又由定理2，所以
的图象关于直线
对称．
又
为奇函数，则
，
的图象关于点
对称，
又由定理1，则
的图象关于
对称．
为
和
的一个周期，
，∴A 正确；
，∴B 错误；
对由
，得
在
上至少有2 个零点．∴C 正确；
对于D，由
的图象关于
对称，且周期为3，则
的图象关于
对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
D 正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性和定理1，定理2 来确定函数的对称性及周期
性．
9．（多选题）设定义在
上的函数
的导函数分别为
，若
且
为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
的图象关于
对称
D．函数
为周期函数，且周期为4
【答案】AC
【分析】对于A，根据
为偶函数求出
的表达式，然后给
的表达式两边求导，然后取
特值求解；对于D，根据
和
为偶函数找到
的关系，求出周期；B：根
据
的性质，取特值求解；C：根据已知推导出
.
【详解】A：因为
为偶函数，所以
，所以
，
令
，则
，所以
，故A 正确；
D：因为
，所以
，
用
代替原来的
得
，①
又
为偶函数，所以
，
用
代替原来的
得：
，②
由①②得
，③
又
，用
代替原来的
得：
，④
由③④联立得：
，⑤
用
代替原来的
得：
，⑥
⑥减去⑤得：
，故
为周期函数，且周期为，
用
代替原来的
得：
，⑦
因为
，用
代替原来的
得：
，⑧
因为
，用
代替原来的
得：
，⑨
由⑦⑧⑨得：
，
用
代替原来的
得：
，
所以
为周期函数，且周期为，故D 错误；
B：因为常函数
为满足题意得一组解，但
，故B 错误；
C：由
，则
，即
，
又
，则
，即
，故C 正确；
故选：AC.
