文档文本内容
第03 讲函数的奇偶性、对称性与周期性
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：函数奇偶性...........................................................................................................................4
角度1：判断函数奇偶性.....................................................................................................................4
角度2：根据函数奇偶性求解析式......................................................................................................7
角度3：函数奇偶性的应用.................................................................................................................9
角度4：由函数奇偶性求参数...........................................................................................................11
角度5：奇偶性+单调性解不等式......................................................................................................12
高频考点二：函数周期性及其应用..........................................................................................................15
角度1：由函数周期性求函数值.......................................................................................................15
角度2：由函数周期性求解析式.......................................................................................................17
高频考点三：函数的对称性..................................................................................................................... 20
角度1：由函数对称性求解析式.......................................................................................................20
角度2：由函数对称性求函数值或参数............................................................................................23
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用.....................................................................................25
第一部分：基础知识
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都
有
，那么函数
是偶函数
图象关于
轴
对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都
有
，那么函数
是奇函数
图象关于原点
对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，
也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用
或
来判断奇偶性.
②
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
③若
是定义在区间
上奇函数，且
，则
（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数
关于直线
对称，则
①
；
②
；
③
（2）点对称：若函数
关于直线
对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数
关于直线
对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数
，如果存在一个非零常数
，使得当
取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数
为周期函数，称
为这个函数的周期，则
（
）也是
这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
的最小
正周期（若不特别说明，
一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数
，
.
①若
，则函数的周期
；
②若
，则函数的周期
；
③若
，则函数的周期
；
④若
，则函数的周期
；
⑤
，则函数的周期
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求余弦
（型）函数的奇偶性
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】指数幂的运算、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据奇函数性质判断选项
【详解】根据
得
可得
，故
为奇函数
故选：A
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)
；
(2)
；
(3)
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
(3)奇函数
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，化简函数解析式，根据其
与
的关
系判断结论；
（2）求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论；
（3）方法一：求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论，
方法二：画出函数图象，结合图象判断结论.
【详解】（1）由
，得
，
即函数
的定义域是
，关于原点对称．
因此
，所以
，
因此函数
是偶函数．
（2）
的定义域为
，关于原点对称．
又
，所以
既是奇函数又是偶函数．
（3）方法一（定义法） 当
时，
；
当
时，
，
所以
为奇函数．
方法二（图象法）
如图，
作出函数
的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数
为奇函数．
精练高频考点
1．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.
【详解】对于A，令
，
，而
，
则
，
，所以
是非奇非偶函数，故A 错误；
对于B，令
，
，又
，
所以
是偶函数，故B 错误；
对于C，令
，
，又
，
所以
是奇函数，故C 正确；
对于D，因为
的定义域为
，所以
是非奇非偶函数，故D 错误.
故选：C.
2．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于
轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.
【详解】A 选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为
，A 选项错误；
B 选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B 选项错误；
C 选项，因为
，所以函数为偶函数，图像关于
轴对称，C 选项正确；
D 选项，函数定义域为
，不是偶函数，D 选项错误.
故选：C.
3．（多选）（2026 高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域
【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，
的定义域为
，
，
为奇函数，A
不是；
对于B，
的定义域为
，
，
为偶函数，B 是；
对于C，
的定义域为
，该函数为非奇非偶函数，C 不是；
对于D，
的定义域为R，
，该函数为偶函数，D 是.
故选：BD
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数
是定义域为
的偶函数，且当
时，
，则当
时，（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得.
【详解】当
时，
，则
，
∵函数
是定义域为
的偶函数，∴
，
∴
.
故选：A.
例题2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当且仅当
时，
，则当
时，
的解析式为 .
【答案】
.
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数函数的解析式
【分析】利用奇函数的定义，将求
时的解析式转化为
时的情况，直接代入已知解析式即可.
【详解】解析：因为
是奇函数，当
时，
，
所以当
时，
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·辽宁丹东·期中）已知函数
是偶函数，当
时，
，则当
时，
.
【答案】
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式
【分析】首先设
，
，根据偶函数的性质，结合
的函数的解析式，即可求解.
【详解】当
时，可得
，
又因为当
时，
，所以
，
因为
是偶函数，所以
，
所以当
时，
.
故答案为：
.
2．（24-25 高三上·广东茂名·阶段练习）设
是
上的奇函数，
是
上的偶函数，并且
，则
的解析式是 ．
【答案】
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】依题意可得
，解方程组即可得解.
【详解】因为
，
又因为
是奇函数，
是偶函数，所以
．
由
、
解得
．
故答案为：
3．（24-25 高三上·陕西汉中·期中）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
在
上的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式
【分析】根据奇函数的定义求出
时函数的解析式，从而判断函数在区间
上的单调性，即可求
最值.
【详解】由题意，设
，则
，所以
，
因为
是定义在
上的奇函数，所以
；
故
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
的最大值为
；
故答案为：
.
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2025·四川·一模）函数
，若
．则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】D
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】应用已知结合奇偶性计算求值.
【详解】函数
，
若
，则
，
则
.
故选：D.
例题2．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知函数
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．.3
【答案】C
【知识点】诱导公式二、三、四、函数奇偶性的应用
【分析】计算得
即可得到.
【详解】因为
，
，
设
，
则
，解得
.
故选：C．
精练高频考点
1．（24-25 高二下·贵州黔南·期中）已知函数
，a，b，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用
【分析】设
，则
，且
是奇函数，利用奇函数的性质及题中条件即可
求解.
【详解】设
，则
，且
，
∴
是奇函数，∴
.
又
，
，
∴
，解得
.
故选：C.
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知定义域为
的奇函数
，则
的值为 ．
【答案】0
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【详解】因为奇函数
的定义域为
，所以
，解得
，又因为
，所以
，所以
，所以
．
3．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知
，其中
为常数，若
，则
.
【答案】2
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】利用函数的解析式特征，推出
，再代值计算即得.
【详解】
，
.
故答案为：2.
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·广东·期中）若
为偶函数，则
（ ）
A．－4
B．－2
C．0
D．2
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【分析】列出
的表达式并化简，根据
为偶函数的定义即可求出
的值.
【详解】
，
则
，
由于函数是偶函数，有
，
故
，
所以
，从而得到
，解得
.
故选：D.
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】A
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解．
【详解】函数的定义域为
，
因为
是奇函数，
所以
恒成立，
所以
，
故选：A．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【知识点】由奇偶性求参数、指数幂的化简、求值
【详解】因为
为偶函数，
为奇函数，所以
为奇函数，所以
，所以
．
2．（2025·湖南长沙·一模）已知
为奇函数，则实数a 的值是 ．
【答案】4
【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出
，再检验即可求解．
【详解】由题意知
，得
，
令
，解得
或
，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以
，解得
，即
，
令
，其定义域为
，
，满足题意，
故答案为：4．
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·湖南·期中）已知函数
，则使
成立的
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】先判断函数
是偶函数，再利用指数函数的单调性，以及奇偶性可得
，解不等
式即可得出结论.
【详解】函数
，定义域为
，关于原点对称，
又因为
，易知
是偶函数，
当
时，
，则
在
上单调递增．
由
，得
，解得
．
故选：B
例题2．（多选）（24-25 高二下·重庆·阶段练习）已知函数
，若
，
则实数t 的值不可能是（ ）
A．
B．1
C．2
D．0
【答案】AD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式
【分析】首先根据题意得到
为奇函数且在
为增函数，再解不等式
即可.
【详解】函数
，定义域为
，
，所以
为奇函数，
，
当且仅当
，即
取等号.
所以
在
为增函数.
，
即
，解得
.
故选：AD
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广西·期中）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调
性解不等式
【分析】当
时，利用函数的单调性解不等式，再利用
是偶函数解不等式即可.
【详解】由对数函数和一次函数的单调可得
是增函数，且
，
所以当
时，
的解集为
，
因为
是奇函数，易知
是偶函数，当
时，
可得
，
根据偶函数知：当
时，
可得
，
故选：A.
2．（2025·江西·二模）已知函数
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据解析式
直接判断函数的单调性
【分析】根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，再应用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】由
，
在R 上都单调递减，且都是奇函数，
所以
是单调递减的奇函数，
故
，则
，即
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
3．（24-25 高三上·广东·期中）已知函数
，则不等式
的解集是
.
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】先判断
为奇函数，再分析其单调性，发现为增函数，故可利用单调性得到自变量的大小，
由此可得到解集.
【详解】因为
，且函数
的定义域为
，所以
为奇函数，
又因为
和
在
上均为增函数，所以
为增函数，
由
，得
，
故
，解得
，所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
4．（24-25 高三上·广东潮州·期末）已知函数
，且满足
，则实数m 的取
值范围是 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函
数奇偶性解不等式
【分析】根据奇偶函数的定义证明
的奇偶性，根据指数型复合函数的单调性判断
的单调性，结
合函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】因为
，所以
为奇函数，
，
又
在R 上单调递增，所以
在R 上单调递增，
所以
为R 上的增函数.
因为
，
为奇函数，
所以
，
又
为R 上的增函数，所以
，即
，
解得
或
，即实数m 的取值范围为
.
故答案为：
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
【答案】D
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值
【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案.
【详解】由题意得
，用
代替x，得
.
两式相加，得
，所以
，所以函数
是以6 为周期的周期函数.
因为
，所以
，又因为
，所以
.
又因为
，即
，解得
，
所以
.
故选：D.
例题2．（24-25 高三下·浙江绍兴·期中）已知函数
对任意
，都有
，
的
图象关于原点对称，且
，则
【答案】2
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由已知可得
，可得周期为6，又可得
，从而可求
/
【详解】函数
对任意
，都有
，所以
，
所以
，所以
是心6 为周期的周期函数，
又
的图象关于原点对称，所以
是奇函数，即
，
所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·北京·期中）已知
是定义在
上的偶函数，并且
，当
时，
，则
.
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值、由函数的周期性求函数值
【分析】结合已知条件求出
的一个周期为6，进而得
，代入已知函数求值即可求解.
【详解】由
得
，又
，故
，
故
的一个周期为6，又当
时，
，
所以
.
故答案为：
2．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】求函数值、对数的运算、由函数的周期性求函数值
【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出
，然后根据解析式求出
即可得出答
案.
【详解】由已知
可知，函数
为周期函数，且周期为4.
所以，
.
又当
时，
，
所以，
，
.
故答案为：
.
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
．
(1)求证：
是周期函数
(2)若
，求
的值．
(3)若
时，
，试求
时，函数
的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、由周期性求函数的解析式
【分析】（1）由题意条件推出
，得到函数的周期；
（2）由（1）中的函数周期得到
；
（3）根据函数的周期和
时的函数解析式，求出
时的函数解析式，再由函数周期及
，求出
时的函数解析式，得到答案.
【详解】（1）证明：由题意知
，则
．用
代替x 得
，故
是周期为4 的周期函数．
（2）若
，则
．
（3）当
时，
，则
，又周期为4，
所以
．
当
时，
，则
，
根据周期为4，则
．
又
，所以
．
所以解析式为
.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义在
上的周期函数，周期
，函数
（
）是奇函数．又已知
在
上是一次函数，在
上是二次函数，且在
时函数取得最小值
．
(1)证明：
；
(2)求
的解析式；
(3)求
在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由函数的周期性求函数值、由周期性求函数的解析式、函数奇偶性的应用、已知函数类型求解
析式
【分析】（1）根据函数周期性，可得
，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出
在
的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴
，
又∵
是奇函数，∴
，∴
（2）当
时，由题意可设
，
由
，得
，∴
，
∴
.
（3）根据（2）中所求，可知
；又
在
上是奇函数，故
，
故当
时，设
，则
，解得
.
故当
时，
.
又
在
上是奇函数，故当
时，
.
综上，则
时，
.
因为
时，
.
所以当
时，
，所以
；
当
时，
，所以
，
综上所述，
.
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上以
为周期的周期函数，且
是偶函数，
在区间
上，
.求
时，
的解析式．
【答案】
，
.
【知识点】由周期性求函数的解析式、由奇偶性求函数解析式
【分析】首先由奇偶性求出函数在
上的解析式，再根据周期性可得当
时
，即可得解.
【详解】当
，即
，所以
，
又
为偶函数，所以
，所以
，
又
是以
为周期的周期函数，
于是当
，即
时，有
，
所以
，
，
，
.
2．（23-24 高三上·吉林白山·阶段练习）设
是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有
．当
时，
．
(1)求证：
是周期函数；
(2)当
时，求
的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由周期性求函数的解析式、由奇偶性求函数解析式
【分析】（1）由题意
，分析即得解；
（2）由
，
，
，结合
时，
，即得解.
【详解】（1）证明：∵
，
∴
．
∴
是周期为4 的周期函数．
（2）∵
，∴
，∴
，
∴
．
∵
，
即
．
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（23-24 高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数
的图象关于直线
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】由对称性求函数的解析式、对数的运算性质的应用
【分析】设所求函数的图象上任意一点
，求得关于
对称的点为
，代入已知函数，
即可求解.
【详解】设所求函数的图象上任意一点
，则点
关于
对称的点为
，
由题意知点Q 在
的图象上，可得
，
即函数
关于
对称的函数解析式为
．
故选：D．
例题2．（24-25 高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，
，求实数
的取值范围;
(2)若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式;
【答案】(1)
(2)
(3)零点个数为1，理由见解析
【知识点】由对称性求函数的解析式、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、求函
数零点或方程根的个数
【分析】（1）利用导数求
的最大值即可求解；
（2）结合函数的对称中心求出函数解析式；
（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.
【详解】（1）
由题意得，
，令
，解得
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
所以
的最大值为
，
由于
时，
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）由题意得，
．
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的图象关于点
对称，则
．
【答案】
【知识点】由对称性求函数的解析式
【分析】设
是
上一点，关于点
的对称点为
，得到
，将其代入
函数
的解析式，即可求得
的解析式.
【详解】设
是
图象上任意一点，且点
关于点
的对称点为
，
可得
，解得
，
将其代入函数
，可得
，所以
，
即
.
故答案为：
.
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x 的图象关于直线x＝2 对称，则g（x）
＝ ．
【答案】ln （4－x）
【知识点】由对称性求函数的解析式、函数对称性的应用
【分析】利用对称的定义求解即可.
【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2 对称的点为（4－x，
y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x 的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即
,
故答案为：
3．（23-24 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
．
(1)判断
在
上单调性并证明；
(2)当
时，
，且
，
，求
的解析式．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由对称性求函数的解析式
【分析】（1）根据单调性的定义证明，设
，且
，
；
（2）由
转化为
，设
时，则
，代入解析式，即可求解.
【详解】（1）设
，且
，
，
，
，则
，
即
，所以
在
上单调递增.
（2）当
时，
，
由
，
，即
，
当
时，则
，则
，
则当
时，
，
故函数
的解析式为
.
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·上海·期末）若函数
的图像关于直线
对称，则
【答案】120
【知识点】由函数对称性求函数值或参数
【分析】利用图像的对称性列方程组求解即可.
【详解】由题意得函数的图像关于直线
对称，
则
，
，
解得：
，
.
故答案为：120.
例题2．（24-25 高三上·上海·期末）若函数
的对称中心是
则
【答案】1
【知识点】由函数对称性求函数值或参数
【分析】根据函数图象关于点
对称，可得
，整理可求出
的值.
【详解】因为函数
的对称中心是
，
所以
.
即
.
整理得：
，
所以
，所以
.
故答案为：1
精练高频考点
1．（2025·河南郑州·三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关于
对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数奇偶性的应用
【分析】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值
即可得到答案.
【详解】因为
，所以
，
因为
是奇函数，
，所以
，
因为函数
的图象关于
对称，所以
，
即
.
故选：D.
2．（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、对数的运算
【分析】由题意可知
，计算即可得出结果.
【详解】因为
关于点
中心对称，
所以
，
所以
，可得
，
故选：C．
3．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于点
对称，则
.
【答案】
【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数
【分析】法一：设
是
的图象上一点，则
也在
的图象上，计算可得
，再计算出
即可得解；法二：利用对称性结合定义域可得
，再借助
的图
象关于点
对称，可得
.
【详解】设
是
的图象上一点，
关于点
的对称点为
，
由题知点
也在
的图象上，则
，
两式相加得
，
所以
恒成立，故
，
且
，整理得
.
若
，则
，此时
的图象不关于点
对称，不符合要求；
若
，则
，符合要求，所以
.
法二：
由
的图象关于点
对称，得函数
的定义域关于
对称，
即
的解集关于
对称，得
，所以
，
设
，
则
，
故
的图象关于点
对称，
故
的图象关于点
对称，
所以
，所以
.
故答案为：
.
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高二下·湖南长沙·期中）已知函数
与
的定义域均为
，且
，若
为偶函数，则（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
【答案】BCD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数周期性的应用
【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.
【详解】A 选项，
是偶函数，图象关于
对称，将
的图象的横坐标放大为原来的两
倍，得到
的图象，则
是偶函数，图象关于直线
对称；将
的图象向左平移1 个单
位长度，得到
的图象，则
的图象关于直线
对称，A 选项错误；
B 选项，由
，以
替换x 得
，
由
得
，
令
得
，
由于
的图象关于直线
对称，所以
，B 选项正确；
C 选项，由
，以
替换x 得
，
由
得
，
令
得
，所以
的图象关于点
对称，C 选项正确；
D 选项，
的图象关于直线
对称，
，由
，
，
以
替换x 得
，所以
，
，
的周期为4，
，
，
，D 选项正确．
故选：BCD．
例题2．（多选）（24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习）设函数
满足
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
中心对称
C．
是函数
的图象的一条对称轴
D．
【答案】AD
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】围绕函数
，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对
称中心以及计算函数值的和等性质.
【详解】对于A，令
，代入等式可得
.得到
，开方后解得
，所以A
选项正确.
对于B，令
，则原等式变为
.
因为前面已求得
，所以
，即
，移项可得
.
根据偶函数的定义，可知函数
是偶函数，所以B 选项错误.
对于C，令
，原等式变为
.
由于
，则
，即
.
令
，则
，那么
.
根据周期函数的定义，所以
是函数
的一个周期.
当
，
时，可得
，
可得
，①；
当
时，可得
②.
由①+②可得
，由于
，
所以
，
代入②式得到
，由于
，进而解得
.
令
，原等式变为
.
因为
，所以
，移项可得
.
又因为
，所以
.
根据函数对称中心的性质可知
是函数
图象的一个对称中心.
因为
是函数
的一个周期，
，所以
也是函数
图象的一个对称中心，
所以C 选项错误.
对于D，根据前面的分析，有
，
，
，
，且
是函数
的一个周
期，所以
.
因为
，所以
，所以D 选项正确.
故选：AD.
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高二下·湖南·阶段练习）已知函数
的定义域均为
是偶函数，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
是
的对称轴
【答案】ACD
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据函数的基本性质，理解抽象函数的基本性质，通过特殊值和换元法判断选项是否正确.
【详解】对A，
，令
，
，
解得
，所以A 正确.
对B，
是偶函数，
，
，
故
，
所以
是偶函数，B 错误.
对C，
①，
可得
， ①式带入得
，
所以
，即
，
所以C 正确.
对D，由C 选选项可知
，由B 选项可知
，
所以
，可知
是
的对称轴.
所以D 选项正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2025·河北石家庄·三模）已知函数
是定义在R 上的偶函数，
是定义在R 上的奇
函数，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称
B．
是周期为2 的函数
C．
D．
【答案】AC
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为
是R 上的奇函数，其图象关于原点对称，
又
可看成是函数
向左平移1 个单位得到，所以
的图象关于点
中心对称，故
A 正确；
对于B，由
是R 上的奇函数，可得
，即
，
又
，则
，所以
，故
是周期为4 的函数，故
B 错误；
对于 C，由
，令
，得
，则
，
，故C 正确；
对于D，由
，则
，又
，
是周期为4 的函数，
则
，
而
的值无法确定，故D 错误.
故选：AC.
