文档文本内容
第03 讲函数的奇偶性、对称性与周期性
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：函数奇偶性...........................................................................................................................3
角度1：判断函数奇偶性.....................................................................................................................3
角度2：根据函数奇偶性求解析式......................................................................................................5
角度3：函数奇偶性的应用.................................................................................................................5
角度4：由函数奇偶性求参数.............................................................................................................6
角度5：奇偶性+单调性解不等式.......................................................................................................6
高频考点二：函数周期性及其应用............................................................................................................7
角度1：由函数周期性求函数值.........................................................................................................7
角度2：由函数周期性求解析式.........................................................................................................8
高频考点三：函数的对称性.......................................................................................................................9
角度1：由函数对称性求解析式.........................................................................................................9
角度2：由函数对称性求函数值或参数............................................................................................11
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用.....................................................................................11
第一部分：基础知识
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都
有
，那么函数
是偶函数
图象关于
轴
对称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都
有
，那么函数
是奇函数
图象关于原点
对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，
也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用
或
来判断奇偶性.
②
，
在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
③若
是定义在区间
上奇函数，且
，则
（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数
关于直线
对称，则
①
；
②
；
③
（2）点对称：若函数
关于直线
对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数
关于直线
对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数
，如果存在一个非零常数
，使得当
取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数
为周期函数，称
为这个函数的周期，则
（
）也是
这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
的最小
正周期（若不特别说明，
一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数
，
.
①若
，则函数的周期
；
②若
，则函数的周期
；
③若
，则函数的周期
；
④若
，则函数的周期
；
⑤
，则函数的周期
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2026 高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)
；
(2)
；
(3)
精练高频考点
1．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于
轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2026 高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数
是定义域为
的偶函数，且当
时，
，则当
时，（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当且仅当
时，
，则当
时，
的解析式为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三上·辽宁丹东·期中）已知函数
是偶函数，当
时，
，则当
时，
.
2．（24-25 高三上·广东茂名·阶段练习）设
是
上的奇函数，
是
上的偶函数，并且
，则
的解析式是 ．
3．（24-25 高三上·陕西汉中·期中）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
在
上的最大值为 ．
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2025·四川·一模）函数
，若
．则
（ ）
A．
B．
C．0
D．3
例题2．（24-25 高三上·河南·开学考试）已知函数
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．.3
精练高频考点
1．（24-25 高二下·贵州黔南·期中）已知函数
，a，b，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
2．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知定义域为
的奇函数
，则
的值为 ．
3．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知
，其中
为常数，若
，则
.
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·广东·期中）若
为偶函数，则
（ ）
A．－4
B．－2
C．0
D．2
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）若函数
为偶函数，则实数a 的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
2．（2025·湖南长沙·一模）已知
为奇函数，则实数a 的值是 ．
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·湖南·期中）已知函数
，则使
成立的
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高二下·重庆·阶段练习）已知函数
，若
，
则实数t 的值不可能是（ ）
A．
B．1
C．2
D．0
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广西·期中）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·二模）已知函数
，则不等式
的解集是 .
3．（24-25 高三上·广东·期中）已知函数
，则不等式
的解集是
.
4．（24-25 高三上·广东潮州·期末）已知函数
，且满足
，则实数m 的取
值范围是 .
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
例题2．（24-25 高三下·浙江绍兴·期中）已知函数
对任意
，都有
，
的
图象关于原点对称，且
，则
精练高频考点
1．（24-25 高三下·北京·期中）已知
是定义在
上的偶函数，并且
，当
时，
，则
.
2．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
满足
，且当
时，
，则
的值为 ．
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
．
(1)求证：
是周期函数
(2)若
，求
的值．
(3)若
时，
，试求
时，函数
的解析式．
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义在
上的周期函数，周期
，函数
（
）是奇函数．又已知
在
上是一次函数，在
上是二次函数，且在
时函数取得最小值
．
(1)证明：
；
(2)求
的解析式；
(3)求
在[4，9]上的解析式．
精练高频考点
1．（2024 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上以
为周期的周期函数，且
是偶函数，
在区间
上，
.求
时，
的解析式．
2．（23-24 高三上·吉林白山·阶段练习）设
是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有
．当
时，
．
(1)求证：
是周期函数；
(2)当
时，求
的解析式．
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（23-24 高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数
的图象关于直线
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，
，求实数
的取值范围;
(2)若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式;
精练高频考点
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
与
的图象关于点
对称，则
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x 的图象关于直线x＝2 对称，则g（x）
＝ ．
3．（23-24 高一上·浙江宁波·期中）已知函数
．
(1)判断
在
上单调性并证明；
(2)当
时，
，且
，
，求
的解析式．
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·上海·期末）若函数
的图像关于直线
对称，则
例题2．（24-25 高三上·上海·期末）若函数
的对称中心是
则
精练高频考点
1．（2025·河南郑州·三模）已知函数
是定义在
上的奇函数，函数
的图象关于
对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
2．（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
3．（2025 高三·全国·专题练习）若函数
的图象关于点
对称，则
.
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高二下·湖南长沙·期中）已知函数
与
的定义域均为
，且
，若
为偶函数，则（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
例题2．（多选）（24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习）设函数
满足
，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于
中心对称
C．
是函数
的图象的一条对称轴
D．
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高二下·湖南·阶段练习）已知函数
的定义域均为
是偶函数，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
是
的对称轴
2．（多选）（2025·河北石家庄·三模）已知函数
是定义在R 上的偶函数，
是定义在R 上的奇
函数，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称
B．
是周期为2 的函数
C．
D．
