专题01 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、
对称性综合应用
题型
考情分析
考向预测
1 ．函数的单调性及其应用
2．函数奇偶性的应用（参数、图像、求值
问题）
3．单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
4．函数的周期性及其应用
5．函数的对称性及其应用
6．函数的对称性结合周期性
7．函数性质的综合应用
8．原函数结合导函数的对称性
2025 年全国一卷：第5 题考查了
周期性结合奇偶性应用
2025 年全国二卷：第10 题考查了
函数奇偶性的应用
2024 年新高考卷Ⅰ：第6 题考查了
根据分段函数的单调性求参数
以抽象函数作为载
体，考查函数的单调
性、奇偶性、周期性
及对称性
1、利用单调性解不等式的相关结论
（1）正向结论：若
( )
y
f x
=
在给定区间D 上单调递增，则当
1
2
,
x x
D
"
Î
，且
1
2
x
x
<
时，
1
2
(
)
(
)
f x
f x
<
；
1
2
,
x x
D
"
Î
，且
1
2
x
x
>
时，
1
2
(
)
(
)
f x
f x
>
．
（2）逆向结论：若
( )
y
f x
=
在给定区间D 上单调递增，
1
2
,
x x
D
Î
，则当
1
2
(
)
(
)
f x
f x
<
时，
1
2
x
x
<
；当
1
2
(
)
(
)
f x
f x
>
时，
1
2
x
x
>
．
2、解决含参数的函数的单调性问题应注意两点
首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右
侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值．
3、设
1
2
,
[ , ]
x x
a b
Î
，
1
2
x
x
¹
，
若有
1
2
1
2
(
)
0
[
]
x
x
f x
f x
-
>
-
或
1
2
1
2
( )
(
)
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则
( )
f x 在闭区间[
]
,a b 上是增函数；
若有
1
2
1
2
(
)
0
[
]
x
x
f x
f x
-
-
<
或
1
2
1
2
(
)
(
)
0
f x
f x
x
x
-
<
-
，则
( )
f x 在闭区间[
]
,a b 上是减函数
1．（25-26 高三上·山东淄博·月考）已知
1.1
1.1
a =
，
1.1
0.9
b
-
=
，
ln 2
c =
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．c
a
b
<
<
B．c
b
a
<
<
C．a
b
c
<
<
D．b
c
a
<
<
2．函数
2
ln
2
3
y
x
x
=
-
+
+
的单调递减区间为（ ）
A．
1,1
-
B．
,1
-¥
C．
1,+¥
D．
1,3
3．设函数
3
x x a
f x
-
=
在区间
1,1
-
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
, 2
-¥ -
B．
2,0
-
C．
0,2
D．
2,+¥
4．（25-26 高三上·陕西宝鸡·月考）已知函数
2
(
1)
e
x
f x
-
-
=
．记
2
3
1
(
),
(
),
( )
2
2
2
a
f
b
f
c
f
=
=
=
，则
（
）
A．b
c
a
>
>
B．b
a
c
>
>
C．c
b
a
>
>
D．c
a
b
>
>
5．（25-26 高三上·北京海淀·月考）下列函数在区间(0,
)
+¥ 上单调递增的是（ ）
A．
2
1
( )
f x
x
x
=
+
B．
( )
ln(
1)
ln
f x
x
x
=
+
-
C．
( )
2
2
x
x
f x
-
=
+
D．
2
( )
lg
1
f x
x
=
-
6．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
y
f x
=
是定义在R 上的减函数，且
4
0
f
=
，则不等式
0
xf x <
的解集为（ ）
A．
,0
-¥
B．
0, ¥
+
C．
,0
4,
-¥
È
+¥
D．
,0
4,
¥
¥
-
È
+
7．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）已知函数
ln
9
,
e ,
,
7
2
x
f x
a
f
b
f
c
f
x
æ
ö
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
a
c
>
>
C．b
c
a
>
>
D．c
b
a
>
>
8．已知函数
2
1
( )
log
(
0
2
a
f x
x
ax
a
æ
ö
=
-
+
>
ç
÷
è
ø
且
1)
a ¹
，对任意的
1
2
,
[1,
)
x x Î
+¥ ，且
1
2
x
x
¹
时，满足
2
1
2
1
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．3 ,
2
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
C．
1,2
D．
2,+¥
题型2 函数奇偶性的应用（参数、图像、求值问题）
1、奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y 轴对称⇔对称区间的单调性相反；
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同；
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
( )
y
f x
=
在
0
x =
处有意义，则有
(0)
0
f
=
；
（2）对于运算函数有如下结论：奇± 奇=奇；偶± 偶=偶；奇± 偶=非奇非偶；
奇( )
´ ¸ 奇=偶；奇( )
´ ¸ 偶=奇；偶( )
´ ¸ 偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
1
( )
(
)
0
1
x
x
a
f x
m
x
a
+
=
¹
-
(
) 或函数
1
( )
(
)
1
x
x
a
f x
m a
-
=
+
．②函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
= ±
-
．
③函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
+
=
=
+
-
-
或函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
-
=
=
-
+
+
④函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
=
+ +
或函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
=
+ -
．
注意：关于①式，可以写成函数
2
( )
(
0)
1
x
m
f x
m
x
a
=
+
¹
-
或函数
2
( )
(
)
1
x
m
f x
m
m
R
a
=
-
Î
+
．
偶函数：①函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a-
= ±
+
．②函数
( )
log (
1)
2
mx
a
mx
f x
a
=
+
-
．③函数
(|
|)
f
x
类型的一切函数．
3、已知
( )
f x =奇函数M
+
，
[
, ]
x
a a
Î -
，则
（1）
(
)
( )
2
f
x
f x
M
-
+
=
（2）
max
min
( )
( )
2
f x
f x
M
+
=
1．（2026·四川宜宾·一模）若函数
( )
f x 为R 上的奇函数，且当
0
x ³
时，
( )
ex
f x
m
=
-
，则
1
(ln
)
4
f
=
（ ）
A．-4
B．-3
C．3
D．4
2．（23-24 高三下·上海·月考）已知函数
,
y
f x
x
=
ÎR 为奇函数，当
0
x ³
时，
3
2
2
1
x
f x
x
=
+
- ，当
0
x <
时，
f x 的表达式为（ ）
A．
3
2
2
1
x
x +
-
B．
3
2
2
1
x
x
-
-
+
C．
3
2
2
1
x
x
-
-
+
-
D．
3
2
2
1
x
x
-
-
+
3．（2025·吉林长春·二模）已知函数
2
2
1
f
x
x
a
x
a
=
+
-
+
-
为奇函数，则a 的值是（ ）
A．3
B．1 或3
C．2
D．1 或2
4．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数
sin
ln
f x
x
x
=
×
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）若函数
2
3
1
x
f x
a
=
+
- 为奇函数，则实数a =（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
6．已知
f x 为奇函数，
g x 为偶函数，且满足
ex
f x
g x
x
+
=
+
，则
f x =（ ）
A．e
e
2
x
x
-
-
B．e
e
2
x
x
-
+
C．e
e
2
2
x
x
x
-
-
-
D．e
e
2
2
x
x
x
-
-
+
7．已知函数
2
5
2
1
1
x
x
f x
x
+
+
=
+
在区间
2025,2025
-
上的最大值为M ，最小值为N ，则
2025
1
M
N
+
-
的值
为（ ）
A．1
B．1
-
C．
2025
2
D．0
8．（25-26 高三上·广东珠海·月考）已知
( )
e
e
sin
x
x
f x
x
x
-
=
-
+
-
，若正实数m，n 满足
(2 )
(
1)
0
f
m
f n
+
-
=
，则1
4
6
3
1
m
n
+
+ 的最小值为（ ）
A．3
4
B．5
4
C．7
4
D．9
4
题型3 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递增 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
>
+ x
x
；
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递减 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
<
+ x
x
；
②
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递增 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x >
（不变号加绝对值）；
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递减 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x <
（变号
加绝对值）；
③
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递增 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
>
+
；
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递减 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
<
+
；
④
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递增 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
>
-
2
1
（不变号加绝对值）；
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递减 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
<
-
2
1
（不变号加绝对值）；
1．（2027 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的偶函数
f x 在
0,+¥ 上单调递增，若
ln
2
f
x
f
<
，则x 的取值范围是（ ）
A．
2
0,e
B．
2
e
,
-
+¥
C．
2e ,+¥
D．
2
2
e ,e
-
2．（25-26 高三上·广东·期中）已知函数
3
f x
x x
x
=
+
，满足
2
1
3
0
f
a
f a
-
+
-
<
，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
2,
-
+¥
B．
0, ¥
+
C．
1,2
-
D．
2,+¥
3．（2026·天津滨海新区·一模）已知
( )
f x 是定义在R 上的偶函数，且
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递增，设
3
log 2
a
f
=
-
，
0.5
(ln e),
0.3
b
f
c
f
-
=
=
，则, ,
a b c 的大小关系是（ ）
A．c
b
a
<
<
B．b
c
a
<
<
C．c
a
b
<
<
D．b
a
c
<
<
4．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
2
2
2 ,
0
2 ,
0
x
x
x
x
f x
x
x
-
ì
+
³
= í
+
<
î
，若
3
2
2
1
f
a
f
a
-
<
+
，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
, 3
1,
-¥ -
+¥
U
B．
3,1
-
C．
1
,
3,
5
æ
ö
-¥
+¥
ç
÷
è
ø
U
D．1 ,3
5
æ
ö
ç
÷
è
ø
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
2
( )
cos
f x
x
x
=
-
，则
ln 2
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø，
ln3
3
f æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
ln5
5
f æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的大小
关系为（ ）
A．
ln5
ln3
ln 2
5
3
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
B．
ln 2
ln5
ln3
2
5
3
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
<
-
<
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
C．
ln5
ln 2
ln3
5
2
3
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
<
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
D．
ln3
ln5
ln 2
3
5
2
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
<
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
6．已知函数
f x 是定义在
,0
0,
-¥
+¥
U
上的奇函数，且
1
0
f -
=
，若对于任意两个实数
1
2
,
0,
x x Î
+¥ 且
1
2
x
x
¹
，不等式
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
恒成立，则不等式
0
xf x <
的解集为（ ）
A．
, 1
0,1
-¥ -
È
B．
, 1
1,
-¥ -
È
+¥
C．
1,0
1,
-
È
+¥
D．
1,0
0,1
-
U
7．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
3
2
2
2
1
x
f x
x
=
-
-
+
，若
2
1
2
0
f ax
f ax
+
-
+
>
恒成立，则a 的取
值范围为（ ）
A．
4,0
-
B．
4,0
-
C．
0,4
D．
0,4
8．（25-26 高三上·山东·月考）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间
0,+¥ 上单调递减，若
2
1
2
log
log
2
1
f
a
f
a
f
æ
ö
+
£
ç
÷
è
ø
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
1
0,
2,
2
¥
æ
ù È
+
ç
ú
è
û
B．
1 ,2
2
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
1
0,
2,
2
¥
æ
öÈ
+
ç
÷
è
ø
D．
1
,
2,
2
æ
ù
-¥
+¥
ç
ú
è
û
U
9．已知
f x 是定义在R 上的偶函数，
g x 是定义在R 上的奇函数，且
f x ，
g x 在
,0
¥
-
上单调递
增，则下列不等关系恒成立的是（ ）
A．
1
2
g g
g g
>
B．
1
2
g f
g f
<
C．
1
2
f g
f g
>
D．
1
2
f
f
f
f
>
10．（25-26 高三上·福建福州·月考）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，当
1
2
,
0,
x x Î
+¥ 且
1
2
x
x
¹
时，都
有
2
1
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
成立，
2026
2026
f
=
，则不等式
0
f x
x
-
>
的解集为（ ）
A．
, 2026
2026,
¥
¥
-
-
È
+
B．
2026,0
2026,
-
+¥
U
C．
2026,2026
-
D．
1
1
,
2026 2026
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
题型4 函数函数的周期性及其应用
周期性技巧
(
)
( )
(
)
( )
2
1
1
(
)
;
(
)
2
( )
( )
(
)
(
)
2
(
)
(
)
4
(
)
(
)
2(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
( )
(
)
(
)
2(
)
(
)
(
)
(
x
R
f x
T
f x
T
f x
T
f x
T
f x
T
f x
T
T
f x
f x
f x
T
f x
T
T
f x
T
f x
T
T
f a
x
f a
x
b
a
f b
x
f b
x
f a
x
f a
x
a
f x
f a
x
f a
x
b
a
f b
x
f b
x
f a
Î
+
=
+
= -
+
=
+
= -
+
=
-
+
= -
-
+
=
-
ì
-
í
+
=
-
î
+
=
-
ì
í
î
+
= -
-
ì
-
í
+
= -
-
î
函数式满足关系（
）
周期
为偶函数
)
(
)
2
( )
(
)
(
)
4(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
( )
(
)
(
)
4
( )
x
f a
x
a
f x
f a
x
f a
x
b
a
f b
x
f b
x
f a
x
f a
x
a
f x
f a
x
f a
x
a
f x
+
= -
-
ì
í
î
+
=
-
ì
-
í
+
= -
-
î
+
=
-
ì
í
î
+
= -
-
ì
í
î
为奇函数
为奇函数
为偶函数
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 满足对于任意的实数x ，都有
1
(
3)
f x
f x
+
=
，且
1
3
3
f
=
，则
2025
f
= （ ）
A．
1
3
-
B．1
3
C．1
-
D．1
2．（24-25 高三上·广东佛山·月考）
f x 是定义在R 上周期为2 的奇函数，当0
1
x
£
£ 时，
2
f x
x
x
=
-
，则
7
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
（ ）
A．
1
4
-
B．
1
2
-
C．1
4
D．
1
2
3．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
4
f x
f x
+
+
=
，且
0
0
f
=
，则
2026
f
= （ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
4．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，且
2
,
1
1
f
x
f x
f
- -
=
= ，则
2027
f
= （ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
5．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
1
2 ,
0,
1
2 ,
0,
x
a
x
f x
f x
f x
x
ì -
×
£
ï
= í
-
-
-
>
ïî
若
2025
1
f
= ，则实数a 的值
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
6．如果
f a
b
f a
f b
+
=
×
且
1
2
f
=
，则
1
3
5
2025
0
2
4
2024
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
L
的值为（ ）
A．1012
B．2024
C．1013
D．2026
7．（2026·浙江·模拟预测）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，满足
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，
1
1
f -
= ，则
1
2
2026
f
f
f
+
+
+
=
L
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
-
题型5 函数的对称性及其应用
1、轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
f x 满足
f a
x
f a
x
+
=
-
,则
f x 的一条对称轴为x
a
=
（2）若函数
f x 满足
2
f
a
x
f x
-
=
,则
f x 的一条对称轴为x
a
=
（3）若函数
f x 满足
2
f
a
x
f
x
+
=
-
,则
f x 的一条对称轴为x
a
=
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=a＋b
2 对称；
小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找
出对称轴。
2、中心对称结论如下：
（1）若函数
f x 满足
2
f a
x
f a
x
b
+
+
-
=
，则
f x 的一个对称中心为
,a b
（2）若函数
f x 满足
2
2
f
a
x
f x
b
-
+
=
，则
f x 的一个对称中心为
,a b
（3）若函数
f x 满足
2
2
f
a
x
f
x
b
+
+
-
=
，则
f x 的一个对称中心为
,a b .
小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均
值）来确定对称中心的位置。
1．（2026·陕西咸阳·一模）已知定义域为R 的函数
f x 满足
2
f x
f
x
=
-
，且当
1
x £ 时，
2x
f x =
，
则（ ）
A．
1
1
4
f
f
f
<
-
<
B．
1
4
1
f
f
f
<
<
-
C．
4
1
1
f
f
f
<
-
<
D．
1
4
1
f
f
f
-
<
<
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
1
lg
1
1
x
f x
x
-
=
+
+
，若
1
2
f a =
，则
f
a
-
的值为（ ）
A．3
2
B．
1
2
-
C．2
D．2
-
3．（24-25 高三上·江苏扬州·期中）已知函数
2
f x +
是偶函数，
f x 在
,2
-¥
上单调递增，则不等式
3
2
1
f
x
f x
+
<
+
的解集为（ ）
A．
1
1
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
B．
1 1
,
4 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．
1
1
,
,
2
4
æ
ö
æ
ö
-¥ -
È
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
1 1
,
2 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
4．已知函数
3
2
1
3
1
2
3
2
4
f x
x
x
x
=
-
+
+
，则函数
y
f x
=
的图像对称中心是（ ）
A．
13
1,12
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
11
2,12
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．3 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．5 25
,
4 24
æ
ö
ç
÷
è
ø
5．已知函数
( )
f x 为定义在R 上的奇函数，函数
( )
(
1)
1
F x
f x
=
-
+ ．则
1
2
3
3999
2000
2000
2000
2000
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
F
F
F
F
（ ）
A．2000
B．1999
C．4000
D．3999
6．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，满足
1
f x +
为奇函数，
2
f x +
为偶函
数，则（ ）
A．
0
1
f
=
B．
1
1
f
= -
C．
2
0
f
=
D．
3
0
f
=
7．（2024·浙江·模拟预测）已知函数
3
2
3
f x
x
x
=
-
，则
2025
2023
k
f k
=-
=
å
（ ）
A．8098
-
B．8096
-
C．0
D．8100
题型6 函数的对称性结合周期性
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
( )
y
f x
=
有两条对称轴x
a
=
，
(
)
x
b a
b
=
<
，则函数
( )
f x 是周期函数，且
2(
)
T
b
a
=
-
；
（2）若函数
( )
y
f x
=
的图象有两个对称中心( , ),( , )(
)
a c
b c a
b
<
，则函数
( )
y
f x
=
是周期函数，且
2(
)
T
b
a
=
-
；
（3）若函数
( )
y
f x
=
有一条对称轴x
a
=
和一个对称中心( ,0)(
)
b
a
b
<
，则函数
( )
y
f x
=
是周期函数，且
4(
)
T
b
a
=
-
.
1．（24-25 高三上·黑龙江·期末）已知定义域为R 的奇函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，且
(1)
1
f
= ，
则
(2022)
(2023)
(2024)
f
f
f
+
+
= （ ）
A．1
-
B．1
C．2
D．3
2．（24-25 高三上·甘肃武威·期末）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，
(
1)
f x +
为奇函数，
(
4)
( )
(1)
f x
f x
f
+
=
+
，则（ ）
A．
(4)
0
f
=
B．
(5)
0
f
=
C．
(6)
0
f
=
D．
2
0
f
=
3．已知定义域为R 的函数
( )
f x 满足
(
1)
(
1)
f x
f
x
+
= -
- +
，且
(
)
2
2
)
(
f
x
f x
-
+
=
，则
( 2025)
f -
=（ ）
A．24
B．16
C．0
D．24
-
4．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
y
f x
=
- 为奇函数，
1
y
f x
=
+
为
偶函数，若
2025
2
f
=
，则
3
f
=（ ）
A．1
B．1
-
C．0
D．3
-
5．已知函数
f x 满足
1
1
1
f x
f x
+
=
-
和
2
1
f
x
f x
-
=
+
，且当
1 ,1
2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
6
2
f
x
x
=
-
，则
2022
f
的值为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．5
6．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
4
f
x
f
x
x
+
-
-
=
．若
2
3
f
x -
的图象关于点
2,1 对称，且
0
0
f
=
，则
1
2
50
f
f
f
+
+×××+
= （ ）
A．0
B．50
C．2509
D．2499
7．（2026·新疆·模拟预测）设函数
f x 的定义域为R ，
1
f x -
为奇函数，
1
f x +
为偶函数，当
1,3
xÎ
时，
2
2
1
f
x
x
= -
-
+ ，则
0
2
4
2026
f
f
f
f
+
+
+×××+
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
题型7 函数性质的综合应用
1．（2026·山东青岛·一模）已知定义在R 上的函数
( )
f x 满足
( )
(2
)
0
f x
f
x
+
-
=
，
(1
)
(3
)
f
x
f
x
+
=
-
，当
[1,2]
xÎ
时，
3
2
( )
2
=
-
+
f x
x
x
x，则方程7 ( )
1
0
f x
x
-
+ =
所有根之和为（ ）
A．8
B．11
C．15
D．17
2．定义在R 上函数
y
f x
=
满足以下条件：①函数
1
y
f x
=
+
是偶函数；②对任意
1
2
,
,1
x x Î -¥
，当
1
2
x
x
¹
时都有
1
2
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
，则
0
f
，
3
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø，
3
f -
的大小关系为（
）
A．
3
3
0
2
f
f
f
æ
ö >
-
>
ç
÷
è
ø
B．
3
0
3
2
f
f
f
æ
ö
>
>
-
ç
÷
è
ø
C．
3
0
3
2
f
f
f
æ
ö >
>
-
ç
÷
è
ø
D．
3
3
0
2
f
f
f æ
ö
-
>
>
ç
÷
è
ø
3．若定义在R 上的奇函数
f x 满足
2
f
x
f x
-
=
，对任意
1
2
1
2
,
0,1
x x
x
x
Î
¹
，有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
f x 的图象关于点
2,0 中心对称
B．函数
f x 的图象关于直线
1
x = 轴对称
C．在区间
2,3 上，
f x 为减函数
D．
7
2
2
3
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
4．（2026·黑龙江吉林·一模）若定义在R 上的函数
f x 满足
1
1
2
f x
f x
f
+
+
-
=
，
1
f x +
是奇函
数，
1
1
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
6
1
2
1
2
k
k
k f
=
-
æ
ö =
ç
÷
è
ø
å
（ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
5．（多选题）（25-26 高三下·安徽阜阳·开学考试）已知函数
(
1)
y
f x
=
+
是定义在R 上的偶函数，且在
, 1
¥
-
-
上单调递增，则下列结论正确的有（ ）
A．函数
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
B．函数
( )
f x 在
1, ¥
+
上单调递减
C．
3
6
f
f
-
<
D．不等式
2
8
x
f
f
-
>
-
的解集为(
3)
,
-¥
6．（多选题）（2025 高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R 的函数
( )
f x 在
1,0
-
上单调递减，
1
1
f
x
f
x
+
=
-
，且图象关于
2,0 对称，则（ ）
A．
0
2
f
f
=
-
B．
( )
f x 的周期
2
T =
C．
( )
f x 在
2,3 上单调递增
D．
( )
f x 满足
2025
2026
2027
f
f
f
>
>
7．（多选题）已知函数
f x 对任意xÎR 都有
2
f x
f x
+
= -
，若函数
1
f x +
的图象关于= 1
x - 对称，
且对任意的
1
2
,
0,2
x x Î
，且
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，若
2
0
f -
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
2023
0
f
=
C．
7
5
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
f x 的图象关于
1,0 对称
8．（多选题）（2026·甘肃兰州·一模）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数且在区间
0,3 上单调，函数
3
g x
x
f x
=
-
的图象关于点
3,0 中心对称，则以下说法正确的是（ ）
A．
3
f x
f x
+
=
B．若1
1
g
= - ，则
1
5
2
f
=
C．若
g x 在区间
0,2 上是增函数，则
g x 在区间
4,6 上是增函数
D．若
3
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
g x 在区间
5,6
-
上的零点之和为0
题型8 原函数结合导函数的对称性
导函数与原函数的对称性
（1）
( )
f x 为偶函数Û
'( )
f
x 为奇函数
（2）
( )
f x 为奇函数
'( )
f
x 为偶函数
（3）
'( )
f
x 为偶函数
( )
f x 有对称中心(0, )
c 注意：此处
0
c =
或
0
c ¹
同理：
（4）
( )
f x 有对称轴x
a
=
Û
'( )
f
x 有对称中心( ,0)
a
（5）
( )
f x 关于( , )
a c 中心对称Û
'( )
f
x 有对称轴x
a
=
注意：此处
0
c =
或
0
c ¹
1．（25-26 高三下·青海西宁·开学考试）已知函数
( )(
R)
f x xÎ
是奇函数，( )
g x 是
( )
f x 的导函数(
R)
x Î
，
且
( )
f x 满足
(4
1)
( 4 )
f
x
f
x
+
=
-
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
(2025)
0
f
=
B．( )
(
)
g x
g
x
=
-
C．
(
2)
( )
g x
g x
+
=
D．(2025)
0
g
=
2．已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
¢
的定义域均为R ，记( )
( )
g x
f
x
=
¢
，已知
(2
1)
f
x +
和(
2)
+
g x
都是偶函
数，且(2)
1
g
= ，则
2025
0
( )
k
g k
=å
的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2025
D．－2025
3．（多选题）（2025·四川绵阳·一模）已知定义在R 上的偶函数
f x 可导，
f x 的导数为
,
2
f
x
f x
¢
+
是奇函数，则（ ）
A．
2
2
f
=
B．
f x 的一个周期为8
C．
0
0
f ¢
=
D．
f
x
¢
的图象关于
2
x =
对称
4．（多选题）（25-26 高三上·江苏淮安·月考）设定义在R 上的函数
f x 与
g x 的导函数分别为
f
x
¢
和
g
x
¢
，且
2
2
2,
2
f x
g
x
f
x
g
x
¢
+
=
¢
=
-
+
+
，且
g x 的图象关于点
1,0 对称，则（ ）
A．
3
3
f
=
B．
2
4
0
g
x
g
x
¢
¢
-
+
+
=
C．
4
2
g
x
g x
-
=
+
D．
8
8
f x
g x
f x g x
+
+
=
5．（多选题）（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数
( )
f x 满足
1 2
3
2
f
x
f
x
-
=
+
，
0x
$
ÎR ，使得
0
0
f x
¹
，
( )
f
x
¢
为函数
( )
f x 的导函数且
( )
f
x
¢
的定义域为R ，则下列结论正确的有（ ）
A．
(4)
0
f
=
B．
(
4)
( )
f x
f x
-
=
C．
4
0
f
x
f
x
¢
-
+
+
=
¢
D．
2026
0
f ¢
=
1．已知定义在R 上的奇函数
f x ，且当
[0,
)
x Î
+¥ 时，
f x 单调递增，则不等式
2
1
1
0
f
x
f
+
+
³
的
解集是（ ）
A．(
,1)
-¥
B．( 1,
)
- +¥
C．[ 1,
)
- +¥
D．(
,1]
-¥
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知
( )
f x 的定义域为R ，满足
3
( )
(1)
(
),
3
f
f x
f
x = -
+
=
，则
(2026)
f
= （ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3
3．（25-26 高三上·四川·月考）已知偶函数
f x 在
0,+¥ 上单调递增，且
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则不等式
2
1
0
f
x -
<
的解集为（ ）
A．1 3
,
4 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1
3
,
,
4
4
æ
ö
æ
ö
-¥
È
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
C．
1 3
,
4 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．
1
3
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥ -
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
4．（25-26 高三上·黑龙江·期中）函数
log (9
)
a
y
ax
=
-
（
0
a >
且
1
a ¹ ）在区间(1,3)上是减函数，则a 的取
值范围是（ ）
A．( 0, 1)
B．(1,9)
C．(1,3)
D．(1,3]
5．（2026·河北邯郸·一模）若定义在R 上的偶函数
f x 满足
2
0
f x
f
x
+
-
=
，且当0
1
x
£
£ 时，
1
2
2x
f x
x
-
=
-
，则
2026
f
= （ ）
A．
1
2
B．0
C．
1
2
-
D．2
-
6．（2026 高三·全国·专题练习）下侧图象对应的函数解析式可能是（ ）
A．
1
sin
y
x
x
=
B．
1
cos
y
x
x
=
C．
1
1
sin
y
x
x
=
D．
1
1
cos
y
x
x
=
7．（2024·宁夏银川·一模）若函数
f x 是定义在R 上的奇函数，
2
,
1
2
f
x
f x
f
-
=
=
，则
1
2
30
f
f
f
+
+
+
=
L
（ ）
A．2
B．0
C．60
D．62
8．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数
2
2
1
ln 1
1
f x
x
x
=
+
- +
，则不等式
1
2
3
f x
f
x
-
>
-
的解集为（ ）
A．4 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
B．4 ,2
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
,2
-¥
D．
4
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
9．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
( )
ln
1
x
a
f x
x
x
+
=
+
+
的图象关于(2,2)对称，且
1
a ¹ ，则实数a =
（ ）
A．5
-
B．1
-
C．0
D．5
10．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 是定义在R 上的偶函数，且
f x 在
,0
¥
-
上为增函
数，设
2
5
1
2
a
-
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，
2
2
3
5
3
3
b
c
=
= -
，
，则
,
,
f a
f b
f c 的大小关系是（ ）
A．
f a
f b
f c
>
>
B．
f a
f c
f b
>
>
C．
f c
f b
f a
>
>
D．
f c
f a
f b
>
>
11．（2025·四川·三模）已知函数
3
f x
x
x
=
-
，则函数
2
2
y
f x
=
+
+
的图象（ ）
A．关于点
2,2
-
对称
B．关于点
2, 2
-
对称
C．关于直线
2
x =
对称
D．关于直线
2
x = - 对称
12．已知函数
f x 的图象关于直线
1
x = 对称，当
2
1
1
x
x
>
> 时，
2
1
2
1
0
f x
f x
x
x
é
ù
-
-
<
ë
û
恒成立．设
1 ,
2 ,
3
2
a
f
b
f
c
f
æ
ö
=
-
=
=
ç
÷
è
ø
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c
a
b
>
>
B．b
a
c
>
>
C．a
c
b
>
>
D．c
b
a
>
>
13．已知函数
f x 的定义域为R ，
5
4
f
=
，
3
f x +
是偶函数，且
f x 在
3,+¥ 单调递增，则（ ）
A．
0
4
f
<
B．
1
4
f
=
C．
2
4
f
>
D．
3
0
f
<
14．（2026·黑龙江大庆·二模）已知函数
f x 是定义在R 上的奇函数，
1
f x +
是偶函数，当
0,1
xÎ
时，
2
f x
x
x
=
+
，则
2024
2025
2026
f
f
f
+
+
=（ ）
A．4
B．2
C．0
D．2
-
15．（25-26 高三上·海南海口·月考）已知函数
f x 为R 上的奇函数，且
3
0
f x
f x
+
+
=
，当
0,1
xÎ
时，
e
e
x
x
f x
a
=
-
，则
2025
2026
f
f
+
的值为（ ）
A．
1
e
e
-
B．0
C．1
e
e -
D．1
16．（2026·江西·模拟预测）已知函数
2
log
2
1
x
f x
x
=
+
-
，若
2
a
f
=
，
1
2
e
b
f æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
3 3
c
f
=
，
则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．c
a
b
>
>
D．c
b
a
>
>
17．（25-26 高三上·山东淄博·期中）设奇函数
f x 的定义域为R ，对任意的
1
x ，
2
0,
x Î
+¥ ，且
1
2
x
x
¹
，都有不等式
1
1
2
2
1
2
0
x f x
x f x
x
x
-
>
-
，且
2
1
f -
= - ，则不等式
2
2
2
x
f x
-
-
>
的解集是（ ）
A．
0,4
B．
0,2
4,
È
+¥
C．
,0
0,4
-¥
U
D．
,0
4,
-¥
È
+¥
18．（24-25 高三上·山东枣庄·月考）函数
f x 的定义域为R，且
f x 在
0,+¥ 单调递减，
1
1
f
= ，若
函数
(
1)
=
-
y
f x
的图象关于直线
1
x = 对称，则下列结论不正确的是（ ）
A．
y
f x
=
的图象关于直线
2
x =
对称
B．
f x 为偶函数
C．
x
" ÎR ，
0
f x
f
£
恒成立
D．
1
f x > 的解集为
1,1
-
19．已知
e
e
2
x
x
f x
x
-
=
-
-
，
ln 2
a
f
=
，
1
b
f
=
，
ln3
c
f
=
，则下面结论正确的是（ ）
A．c
a
b
>
>
B．c
b
a
>
>
C．b
a
c
>
>
D．b
c
a
>
>
20．（2026·福建龙岩·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足
2
2
f
x
f
x
+
=
-
，且
1
f x
f x
+
= -
，则
（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 的最小正周期是2
C．
f x 关于点
2,0 中心对称
D．
3
f x +
是奇函数
21．（2025 高三·全国·专题练习）已知
4 2015
2
cos
1
1
2015
1
x
x
f x
x
x
x
×
+
=
+
- £
£
+
，设函数
f x 的最大值是
M，最小值是N，则（ ）
A．
8
M
N
+
=
B．
8
M
N
-
=
C．
6
M
N
+
=
D．
6
M
N
-
=
22．已知
f x 是定义在R 上的函数，
f x 的图象关于点
0,0 对称，对任意
1
2
,
0,
x x Î
+¥ ，都有
1
2
1
2
1
f x
f x
x
x
-
< -
-
．若
2
2
1
1
2
f a
f a
a
a
-
+
-
+
+
>
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
1
a < - 或
2
a >
B．
2
a < - 或
1
a >
C．2
1
a
- <
<
D．
1
a < 或
2
a >
23．已知函数
3
1
( )
lg
2
1
x
f x
x
x
+
=
+
+
-
，则关于x 的不等式
( )
(2
1)
4
f x
f
x
+
-
<
的解集为（ ）
A．
1
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．1 ,
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
D．
1
, 3
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
24．（25-26 高三上·山东济宁·月考）已知函数
f x 的定义域为R，且满足
2,
4
,
1
f
x
f x
f x
f x
f x
-
+
=
+
=
¹ -
，当
0,2
xÎ
时，
π
sin
1
2
f x
x
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，则
2025
1
i
f i
=
=
å
（ ）
A．2026
B．2025
C．2027
D．2024
25．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
f x 是定义域为 R 的偶函数，满足
1
2
f x
f x
=
+
，则下
列选项一定正确的是（ ）
A．
2
0
f
=
B．
2
2
0
f
x
f
x
-
+
+
=
C．
2
3
2
3
f
x
f
x
-
=
+
D．
3
f x +
是偶函数
26．已知函数
f x 定义域为R ，且
2
2
4
f
x
f
x
x
+
-
-
= -
，
1 3
f
x
+
关于
0,2 对称，则
2025
f
= （ ）
A．4046
-
B．4046
C．1
D．0
27．（25-26 高三上·黑龙江·月考）设函数
2
log
4
1
x
f
x
x
=
+
-
，令
1
2
1
log 3
a
f æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，
3
1
log 4
b
f æ
ö
=
ç
÷
è
ø ，
7
tan 4
c
f
p
æ
ö
=
ç
÷
è
ø
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A．a
b
c
<
<
B．c
a
b
<
<
C．c
b
a
<
<
D．b
c
a
<
<
28．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为R 的偶函数
f x 满足
4
2
3
3
f
x
f
x
f x
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，且
f x 在
0,2 上是单调递增函数，若函数
1
g x
f x
f x
=
-
-
，则下列结论正确的是（ ）
A．
g x 为偶函数
B．
g x 在
2,3 上是单调递增函数
C．
1
3
g
g
>
D．
2
g x
g x
+
=
29．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R 上的函数
f x 满足
3
2
f x
f
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，且
1
2
2
f
x
f
x
+
+
-
=
，
1
0
f -
=
，
f
x
¢
为
f x 的导函数，则下列说法错误
．．的是（ ）
A．3 为
f x 的一个周期
B．
f x 关于点
0,1 对称
C．
f
x
¢
是偶函数
D．
2024
1
2025
i
f i
=
=
å
30．（多选题）（25-26 高三上·河北保定·月考）设定义在R 上的函数
f x 与
g x 的导函数分别为
f
x
¢
和
g
x
¢
，且
2
1
2
f x
g
x
+
=
-
+
，
1
f
x
g
x
¢
¢
=
+
，且
g x 的图象关于点
1,0 对称，则（ ）
A．1
1
g
=
B．
4
0
g
x
g
x
-
+ ¢
=
¢
C．
4
g
x
g x
-
=
D．
4
4
f x
g x
f x g x
+
+
=
31．（多选题）已知
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，
(1
2 )
f
x
-
为偶函数，
(1)
3
f
=
，则（ ）
A．
( )
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
B．
( )
f x 是周期为4 的函数
C．
(1)
(2)
(3)
(2026)
3
f
f
f
f
+
+
+
+
=
L
D．
( )
f x 的图象关于点(3,0)对称
32．（多选题）已知函数
f x 的定义域为
,
1
f x +
R
是奇函数，
1
f x -
是偶函数，当
1,3
xÎ
时，
1
f x
x
=
- ，则（）
A．
f x 的图象关于直线
1
x = - 对称
B．
f x 是周期函数
C．
f x 在
4,0
-
上单调递减
D．
f x 在
5,3
-
内有4 个零点
33．（多选题）已知函数
f x 满足对任意的
R
xÎ
，都有
2
f x
f x
+
= -
，
1
3
f
= ，若函数
1
y
f x
=
-
的图象关于点
1,0 对称，且对任意的
1
x ，
2
0,1
x Î
，
1
2
x
x
¹
，都有
1
1
2
2
1
2
2
1
x f x
x f x
x f x
x f x
+
>
+
，
则下列结论正确的是（ ）
A．
f x 的图象关于直线
1
x = 对称
B．
f x 是偶函数
C．
5
2
3
f
f
-
=
D．
5
5
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
34．（多选题）（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知函数
f x 及其导函数
f
x
¢
的定义域均为R ，记
g x
f
x
=
¢
．若
2
5,
2
f
f x
f x
=
+
+
6
=
，
1 2
g
x
-
为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
4
f x
f x
+
=
B．
g
x
g x
-
=
C．
2
0
g
=
D．
2026
1
6080
i
f i
=
=
å
