文档文本内容
重难点2-2 函数性质的灵活应用
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
近三年高考中，对函数基本性质
的考查以选择题和填空题为主，
是高考必考且重点考查的内容之
一．常将函数的单调性、奇偶
性、周期性与对称性结合在一起
考查，考查形式多样且综合性强.
2025 年新I 卷，第5 题,5 分
2025 年新Ⅱ卷，第10 题,6 分
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
2024 年新I 卷，第8 题,5 分
2024 年新Ⅱ卷，第6 题,5 分
2024 年新Ⅱ卷，第11 题,6 分
从近几年高考命题来看，本节是
高考的一个重点，函数的单调
性、奇偶性、对称性、周期性是
高考的必考内容，重点关注周期
性、对称性、奇偶性结合在一
起，与函数图像、函数零点和不
等式相结合进行考查．
一、单调性的技巧
：
1、证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
2、函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
秒杀技巧与性质一：若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
秒杀技巧与性质二：若
和
均为增(或减)函数，则在
和
的公共定义域上
为
增(或减)函数；
秒杀技巧与性质三：若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
秒杀技巧与性质四：若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
二、奇偶性的技巧
：
1、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
2、奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称.
3、若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
.
4、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
5、若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
6、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
7、复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
秒杀技巧与性质五：常见的奇函数
①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
秒杀技巧与性质六：常见的偶函数：
①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
三、周期性的技巧
：
1、周期函数：
对于函数
，如果存在一个非零常数
，使得当
取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数
为周期函数，称
为这个函数的周期.
2、最小正周期：
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的最小正周
期.
秒杀技巧与性质七：周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝
,则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－
,则T＝2a(a>0)．(4)若
,则T＝6a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝
,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝
,则T＝4a(a>0)．
四、对称性的技巧
：
1、对称轴：若函数
关于直线
对称，则
．
2、对称中心：若函数
关于点
对称，则
．
3、若
,则
图像关于直线
对称；
4、f (a+x)+f (b−x)=c ，函数y=f ( x)关于点
( a+b
2
, c
2 )
对称.
秒杀技巧与性质八：若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
秒杀技巧与性质九：若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函
数，且
；
秒杀技巧与性质十：若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是
周期函数，且
.
重难点题型【一】、函数的奇偶性
考向1 函数奇偶性的判断
1．（24-25 高二下·广东深圳·期末）设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据奇函数的定义即可得出判断．
【详解】对于A，
，设
，
，所以
为奇函数，故A 符合题意；
对于B，
，
，
定义域关于原点不对称，所以是非奇非偶函数，故B 不合题意；
对于C，
，
设
，
则
，不为奇函数，故C 不合题意；
对于D，
，
定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数，故D 不合题意；
故选：A．
2．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数
是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】利用函数奇偶性的定义判断可得结论．
【详解】因为
的定义域为R，又因为
，所以
是偶函数，不符合题意；
令
，则
，所以
是偶函数，不符合题意；
令
，则
，所以
是偶函数，不符合题意；
令
，则
，所以
是奇函数，符合
题意．
故选：D．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别
【分析】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定.
【详解】由已知，
定义域为
，且
，
所以函数
为偶函数，
故
图象关于
轴对称，
又
，排除B，D 选项；
当
时，
，排除C，故A 正确．
故选：A．
4．（2024·重庆·模拟预测）（多选题）函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求对数型复合函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、求指数函数在区间内的值域
【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数
的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.
【详解】因为函数
的定义域为R，
又
，所以函数
为偶函数，
由
恒成立，可知函数
的定义域为
，
又
，
所以
，即函数
为奇函数，
对于A，因为
，
所以函数
既不是奇函数，也不是偶函数，故A 错误；
对于B，因为函数
的定义域为
，又
，
所以函数
为奇函数，故B 正确；
对于C，由指数函数
，
的值域可知，
恒成立；
所以函数
的定义域为
，又
，
所以函数
是奇函数，故C 正确；
对于D，令
，则函数
的定义域为
，又
，
所以函数
为偶函数，即函数
为偶函数，故D 错误.
故选：BC．
考向2 利用函数奇偶性求参数值
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出
值，再检验即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
故选：B.
6．（2025·浙江·一模）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域、对数的运算
【分析】根据奇函数定义域关于原点对称得出
，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数
，最后
计算求解.
【详解】
的定义域，由
，
若
，由不等式可解得函数定义域为
，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若
，解得函数定义域为
，
若为奇函数，必有
，解得
；
又
，
解得
，
故选：C.
7．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数
的图象关于y 轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断、指数函数的判定与求值
【分析】根据题意得到
，从而得到方程，变形化简得到
，求出
.
【详解】
图象关于y 轴对称，故
，
即
，即
，
即
，
要想上式恒成立，则
恒成立，即
，故
，
所以
.
故选：B
8．（2022·全国乙卷·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
【答案】
；
．
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，在定义
域内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
9．（2025·广东广州·模拟预测）若函数
是奇函数，则实数
.
【答案】1
【难度】0.4
【知识点】由奇偶性求参数、对数的运算
【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解.
【详解】
，
所以
，
因为
为奇函数，
所以
，
所以
，
即
，所以
，
所以
，
所以
，解得
，
此时定义域为
，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意.
故答案为：1.
10．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数、求含sinx 的函数的奇偶性
【分析】由
为奇函数即可求解.
【详解】因为函数
为偶函数，
而
是偶函数，
是奇函数，
所以
为奇函数，
，得
；
若
，函数
，定义域为空集，函数不存在，
若
，代入验证符合题意.
故答案为：
考向3 利用函数奇偶性求解析式或函数值
11．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，且当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】根据偶函数的性质，结合条件求
，再代入求值.
【详解】由偶函数的性质可知，
，得
，
即
时，
，
.
故选：C
12．若函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用
【分析】根据奇函数的定义，结合题意计算即可求解.
【详解】因为
为奇函数，
所以
.
故选：A
13．（2024·广东佛山·一模）已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数、由奇偶性求函数解析式
【分析】利用奇函数的定义计算出函数
在
时的解析式，可得出
、
的值，由此可计算出
的值.
【详解】因为
是奇函数，
设
，则
，所以
，
即
，
所以
，即
，则
.
故选：A.
14．（2025·湖南·模拟预测）已知
为
上的奇函数，当
时，
，则
的图象在
处的切线方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】根据奇函数的性质，结合导数的几何意义进行求解即可.
【详解】设
，则
，又
为
上的奇函数，
所以
，
即当
时，
，当
时，
，
所以
的图象在
处的切线方程为
，即
．
故答案为：
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
是奇函数，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式
【分析】根据奇函数的定义
结合题意求出当
时函数的解析式即可求解.
【详解】当
时，
，所以
，即
则
，
．
故答案为：
重难点题型【二】、函数的周期性
1．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】根据条件，利用函数的性质，得
，再将
代入
，即可求解.
【详解】因为
奇函数，又
，知
的一个周期为
，
所以
，
又当
时，
，所以
，则
，
故选：D.
2．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
是周期为2 的偶函数，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、对数的运算
【分析】根据函数的周期性和偶函数的性质，结合对数的运算性质、代入法进行求解即可.
【详解】因为函数
是周期为2 的偶函数，且当
时，
，
所以
．
故选：C
3．（2025·广东梅州·模拟预测）设
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】利用函数的奇偶性和周期可得
，再利用解析式即可求解.
【详解】
是定义在
上且周期为2 的奇函数，
，
当
时，
，
，
.
故选：B.
4．（2025·湖南·三模）已知函数
的定义域为R，且
，当
时，
，
则
的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】对数的运算性质的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据函数性质将问题转换为
，代入求值即可.
【详解】因为
，
所以
，
又
，所以
．
故答案为：
.
重难点题型【三】、函数的对称性
1．（2025·安徽·模拟预测）“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
为偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、充要条件的证明
【分析】根据对称和偶函数定义判断.
【详解】若函数
的图象关于直线
对称，则
，
令
，则
，所以
，
是偶函数，
所以函数
是偶函数，
所以“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
是偶函数”的充分条件；
若函数
是偶函数，令
，则
是偶函数，
所以
，又
，所以
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
所以“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
是偶函数”的必要条件.
综上可知，“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
是偶函数”的充要条件，
故选：C.
2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求对数型复合函数的定义域、由函数对称性求函数值或参数
【分析】利用函数的定义域，结合对称性特点求出
，再验证得解.
【详解】函数
有意义，则
，由
的图象关于点
对称，
得
的定义域关于数2 对称，由
不在
的定义域内，得不在
的定义域内，
则
，即
，此时
，
，
，
因此函数
的图象关于点
对称，符合题意，
所以
.
故选：A
3．（2024·河北·模拟预测）（多选题）已知定义在
上的可导函数
是偶函数，且满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于点
中心对称
C．
的图象关于
对称
D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数
【分析】由题意可得
，
，从而可得
，即可判断A；由
，可得
，即可得函数关于点
对称，再结合函数为偶函数且周期为
4，可得函数关于
中心对称，从而判断B；对
两边求导，得
，从而
得函数
的图象关于
对称，从而判断C；由
，可得
，从而得
为
奇函数，又因为函数的定义为
，从而得
，
，从而判断D.
【详解】解：对于A，因为
是
上的偶函数，所以
，
又因为
，所以
，即
，
所以
，所以
，
所以函数是周期函数，
为函数的最小正周期，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，所以函数关于点
对称，
又因为函数为偶函数，所以函数关于点
对称，
又因为函数的周期为
，所以函数关于
中心对称，故B 正确；
对于C，因为
，所以
，即
，
所以函数
的图象关于
对称，故C 错误；
对于D，因为
，所以
，即
，
所以
为奇函数，且定义为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
即
，所以
是周期函数，
为最小正周期，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
4．（2025·福建福州·一模）（多选题）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、函数基本性质的
综合应用
【分析】根据函数奇偶性以及表达式
，可得
，则
的图象关
于点
对称，故A 错误；化简
可得
，故B 正确；又
，可得
，故C 正确；利用赋值法可求得
，故D 错误.
【详解】对于A，由题意
，
，且
，
又
，即
①，
用
替换
中的
，得
②，
由①+②得
，所以
的图象关于点
对称，故A 错误；
对于B，由
，可得
，即
，
所以
，
所以
是以8 为周期的周期函数，故B 正确；
对于C，由①可得
，则
，
所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
为偶函数，所以
，
令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
，
令
，则有
，
所以
，故D 错误.
故选：BC.
5．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
的图象关于直线
对称，则
【答案】－2
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数
【分析】根据函数
的定义域，结合函数图象对称性求出
，又由函数的对称性列出
，整理计算求出
即可.
【详解】函数
的定义域满足
，即
，
由题知
的定义域关于
对称，故
．
则
，
即
，故
，
则
，解得
．
故
．
故答案为：
.
6．（2025·江西·三模）若函数
的图象关于直线
对称，则
．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值、函数对称性的应用
【分析】由题意可得对任意
，恒有
成立，进而求解即可.
【详解】由题意知，对任意
，恒有
成立，
即
恒成立，化简得
，
故只能
，又
，则
．
故答案为：4.
重难点题型【四】、函数的单调性与奇偶性
1．（2025·广东肇庆·一模）已知
，若
成立，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数
的单调性解不等式
【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.
【详解】函数
的定义域为R，
，则函数
是奇函数，
而函数
在R 上都单调递增，则函数
在R 上单调递增，
不等式
，则
，解得
，
所以x 的取值范围是
.
故选：A
2．（2025·全国·模拟预测）设函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】分析函数奇偶性，得到函数为偶函数，再分析单调性，根据偶函数单调性相反即可把不等式转化
为
，解不等式即可.
【详解】函数
的定义域为
，且
，即
为偶函数．
当
时，
和
，
和
均在
上单调递增，所以
和
均在
上单调递增，则
在
上单调递增，所以不等式
等价
于
，即
，解得
或
．
所以不等式
的解集为
．
故选:D
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若对
，
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问
题、根据函数的单调性解不等式
【分析】利用定义法证明
为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明
在
上单调递增，由函
数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得
，结合导数求出
即可.
【详解】因为
，
，所以
为奇函数.
又
，
当且仅当
即
时等号成立，所以
在
上单调递增.
由
，所以
，所以
.
对任意
，由
，得
，所以只需
即可.
令
，则
，
令
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
所以
，所以
.
故选：D.
4．（2024·广东深圳·一模）已知
，则
的解集为 ．
【答案】
或
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，可得
为奇函数，且在定义上单调递减，从
而得到
，即可求解.
【详解】易知
的定义域为
，又
，
所以
为奇函数，又易知
在定义上单调递减，
故由
，可得到
，
所以
，即
，解得
或
，
所以
的解集为
或
，
故答案为：
或
.
5．（2024·陕西西安·三模）已知函数
，若
，则
的取值
范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可.
【详解】由条件知
，令
，
则
，
易知
，即
为奇函数，
又
，
易知
在
时单调递减，
由复合函数的单调性及奇函数的性质得
在R 上单调递减，
对于
，
所以
.
故答案为：
.
6．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根
据函数的单调性解不等式
【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，最后根据奇偶性与单调性将函数不等式
转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
又
，所以
在
上单调递增，
不等式
，即
，
等价于
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
重难点题型【五】、函数的奇偶性与周期性
1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数
是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数周期性的应用、对数的运算
【分析】根据已知确定在
时，函数
具有周期性，然后结合偶函数定义可把
转化到已知
解析式的区间上求解即可．
【详解】
，都有
，
即当
时，函数
具有周期性，且周期为4，
又
是偶函数，
.
故选：D.
2．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、函数图象的变换、函数奇偶性的应用
【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数
的图象关于
中心对称，得到
，进而求得
即可得答案.
【详解】由
的图象向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，可得函数
的图象，
因为函数
是奇函数，
即该函数图象关于
中心对称，
所以函数
的图象关于
中心对称，
所以
，
因此
，
，
，
所以
，
故选：A.
3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】利用函数的奇偶性和对称性推出函数的周期性，求出一个周期内的函数值，利用周期性即可求得
答案.
【详解】因
是
上的奇函数，则
，
又由
可得
，则
，
故
，即4 为函数
的一个周期.
因当
时，
，则
，
，
又
，
，
，
，
，
，
则
，
，
则
.
故选：B.
4．（2024·湖北黄冈·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，
为偶函数.当
时，
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、对数的运算
【分析】根据函数的奇偶性确定函数的周期，再利用对数运算计算即可.
【详解】由题意可知
，
所以
，
所以
的一个正周期为8，即
.
故答案为：
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
为奇函数，记
为
的导函数，若
，则
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】利用
的奇偶性与对称性，得到
的周期，结合
，求出
的值，再
利用导数的奇偶性与周期性，结合
，求出
的值，则切线可求．
【详解】解：因为
是定义在
上的偶函数，且
为奇函数，
所以
，
，
因此可得
可得
，即周期为8，且
，
对
和
分别求导可得
，
，
所以
，
所以
在点
处的切线方程为：
，
即
．
故答案为：
．
6．定义在
上的奇函数
满足
为偶函数，且当
时，
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】三角函数定义的其他应用、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用
【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得
的周期性；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可
求得函数值.
【详解】
是定义在
上的奇函数，
，
函数
是定义在
上的偶函数，
，
则
，
所以
，则
的周期是
，
.
故答案为：
.
重难点题型【六】、函数的对称性与周期性
1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在
上的函数
满足
，且
，当
时，
，当
时，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值、函数周期性的应用
【分析】由题，可得
的周期为4，由
求得
，
，结合对称性求得
在一
个周期内的值域，得解.
【详解】由
，即
，可得
的图象关于点
对称；
由
，即
，可得
的图象关于点
对称，
，所以
的周期为4．
易知
，所以
，所以
，
，
所以
在
上的值域为
．
又
的图象关于点
对称，所以当
时，
，
即
在一个周期内的值域为
，所以
的最小值为
.
故选：D．
2．（2025·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】由题意知
且
，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数
值之和，2025 项的和包含506 个周期之和及
，分别求值相加即可.
【详解】已知
为奇函数，所以
且
，
因为
，所以
，则
，函数
的周期为4，
因为
，
，
，
，
所以
，
因为
，前2024 项和为
，
，
所以
.
故选：C
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给
定求和式的值.
【详解】由
为奇函数，得
，
所以
图象的对称中心为
，令
由
的图象关于直线
对称，得
，
由
得
，所以
，
则
的一个周期为4，则
则
．
故选：B.
4．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，函数
，则
与
的图象所有交点的横坐标之和为
.
【答案】5
【难度】0.65
【知识点】函数图象的应用、函数对称性的应用、利用导数研究函数图象及性质、函数奇偶性的应用
【分析】由题可得
有对称轴为
轴，对称中心
，然后在同一坐标系中画出
与
图象，即
可得答案.
【详解】函数
的图象是中心对称图形，对称中心为
.
定义在
上的偶函数
满足
，
则函数
有对称轴为
轴，对称中心
；又当
时，
，
在同一坐标系在
内作出
与
的图象，
当
，
，
令
，
则
，且
，
所以存在
，使得当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
，即
，
结合图象可得，
与
的图象有5 个交点，
又
均是
与
的图象的对称中心，
则两函数所有交点的横坐标之和为5.
故答案为：5
5．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据已知条件可知
关于点
中心对称，结合偶函数定义可推导得到
的周期，根据周
期性和奇偶性可得
.
【详解】
为奇函数，
的图象关于点
中心对称，
，
又
定义域为
，
；
为偶函数，
，
，
是周期为
的周期函数，
.
故答案为：
.
6．关于函数
，有如下四个命题：
①若
，则
的图象关于点
对称；
②若
的图象关于直线
对称，则
；
③当
时，函数
的极值为
；
④当
时，函数
有两个零点．
其中所有真命题的序号是 ．
【答案】①②③
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、求函数零点或方程根的个数、由函数对称性求函数值或参数、求已
知函数的极值
【分析】利用函数对称性的定义可判断①；利用函数对称性的定义求出
的值，可判断②；利用函数的极
值与导数的关系可判断③；取
，解方程
，可判断④.
【详解】对于①，当
时，
，
则
，
所以，当
时，
的图象关于点
对称，①对；
对于②，若
的图象关于直线
对称，
则对任意的
，
，
即
，
即
，即
，解得
，②对；
对于③，当
时，
，该函数的定义域为
，
所以，
，令
，可得
；令
，可得
.
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，
所以，函数
的极小值为
，③对；
对于④，当
时，由
，可得
，
此时函数
只有一个零点，④错.
故答案为：①②③.
一、单选题
1．（2025·广东清远·一模）设函数
，则函数
为（ ）
A．奇函数，且在
单调递增
B．奇函数，且在
单调递减
C．偶函数，且在
单调递增
D．偶函数，且在
单调递减
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可.
【详解】易知
的定义域为
，且
，
所以
为奇函数，
因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
故选：A
2．（2025·天津·二模）已知函数
的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数图像的识别
【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解；
【详解】对于A：
，当
时，
，故排除A；
对于B：当
时，函数
为增函数，当
时，函数
为减函数，故排除B；
对于D，当
时，
，
，所以
在
上单调递增，故排除D；
对于C，
为偶函数，由
可得
，满足图象，故C 正确.
故选：C．
3．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求含
sinx 的函数的奇偶性
【分析】根据奇偶性的定义，判断各函数的奇偶性，再判断值域即可.
【详解】对于函数
，定义域为
，而
，∴该函数不是奇函数.故A 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是偶函
数，不是奇函数.故B 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为
，不是
.故C 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.当
趋
于正无穷时，
趋于正无穷；当
趋于负无穷时，
趋于负无穷；并且函数在定义域内是连
续的，
值域为
.故D 正确.
故选:D.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由题意可得函数
为奇函数，由
代入计算可得
，由
代
入计算可得
，计算即可求解.
【详解】因为函数
定义域为
且
，
所以函数
是奇函数且
，
即
，所以
，
又
，所以
，所以
，即
.
故选：A．
6．（2025·广东·模拟预测）已知
是定义域为R 的奇函数，当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、由奇偶性求函数解析式
【分析】由奇函数性质求出当
时，
，再由基本不等式求解．
【详解】当
时，得
，
由函数
是定义域为R 的奇函数，
得
，
即当
时，
，等号成立时，
，
则当
时，
的最小值为1，
故选：A
7．（2024·山东济宁·三模）已知函数
为偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则
【分析】利用偶函数的性质求出
的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数
为偶函数，当
时，
，
则当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以曲线
在点
处的切线方程是
，即
.
故选：A
8．（2024·江西景德镇·三模）已知函数
是奇函数，则
时，
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求指数（型)函数的定义域、由奇偶性求函数解析式
【分析】设
，利用
时，
和
可求得
的解析式.
【详解】设
，则
，
所以
，
又函数
是奇函数，所以
，即
，
.
即
.
故选：C
9．（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为
的范围中求解.
【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
10．（2005·福建·高考真题）
是定义在R 上的以3 为周期的奇函数，且
．则方程在
在区间
内解的个数的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．7
D．5
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】根据题意，根据函数奇偶性和周期性的关系进行推导即可．
【详解】∵
是定义在R 上的奇函数，且周期是3，f（2）＝0，
故f（−2）＝−f（2）＝0，f（1）＝f（−2）＝0，f（3）＝f（0）＝0，
∴f（5）＝f（2）＝0，f（4）＝f（1）＝0，
根据周期性，f（−1.5）＝f（−1.5＋3）＝f（1.5），
再根据奇函数的性质可得f（1.5）＝−f（1.5），
∴f（1.5）＝−f（1.5）＝0．
又f（4.5）＝f（4.5−3）＝f（1.5）＝0，
故在区间（0，6）内，
f（1）＝0，f（1.5）＝0，f（2）＝0，f（3）＝0，f（4）＝0，f（4.5）＝0，f（5）＝0，
故选：C．
11．（2025·山东·模拟预测）函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．
B．ln2
C．0
D．1
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、函数图象的变换、求零点的和
【分析】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数
与函数
的
图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为
，
，则
，
是方程
的解.根据
是方
程
的解得
，再由对称性可知
是方程
的解，即可求解
.
【详解】∵
，
∴函数
的图象由
的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到的.
根据反比例函数的性质可知
在
和
上单调递减，又
在
上单调递增，
故在同一平面直角坐标系下画出函数
与函数
的图象如下图所示.
由图可知：函数
与函数
的图象共有两个交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为
，
，则
，
是方程
的解.
若
是方程
的解，即
.
又
，∴
是方程
的解，
∴
，则
.
故选：C.
12．（2025·山东泰安·二模）定义在
上的奇函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】由奇函数的性质，可得函数的单调性与函数值为零的点，从而可得函数值与零的大小关系，结合
不等式，可得答案.
【详解】由函数
奇函数，且在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
且
，
，
当
时，
；当
时，
，
由当
时，
，当
时，
，
则不等式
的解集为
.
故选：D.
13．（2025·河北石家庄·一模）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】由函数奇偶性、单调性即可求解.
【详解】易知函数定义域为
，
又
，故为偶函数，
当
时，
，所以
，
令
，结合对勾函数
在
单调递增，
在
单调递增，
由复合函数的单调性可知：
在
上单调递增，
又
在
上单调递增，
故
在
上单调递增，
易知
在
上单调递增，
结合函数为偶函数，
所以由
可得
，
平方得：
，
解得
或
，
所以不等式
的解集为
，
故选：D
14．（25-26 高二上·云南·开学考试）定义在
上的偶函数
满足
，且
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、对数的运算
【分析】先得到函数的一个周期为4，再根据偶函数可得
，利用对数的性质即可
得答案．
【详解】定义在上的函数满足
，所以函数
的周期为4，
因为
是定义在
上的偶函数，∴
，
所以
.
因为
，
所以
所以
所以
.
故选：
.
15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】推导出函数
是周期为
的周期函数，结合奇函数的性质和周期性可求得
的值.
【详解】因为
是定义域为
的奇函数，且
，
则
，故
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，由奇函数的性质可得
，
所以，
，
，
因此，
.
故选：D.
16．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据题设，分析可得函数
是周期为4 的周期函数，进而求出
，
再结合周期性质求解即可.
【详解】因为函数
是
上的奇函数，所以
，且
，
又
，所以
，
则
，即
，
所以函数
是周期为4 的周期函数，则
，
因为当
时，
，所以
，
由
，则
，
，
则
，
则
.
故选：D.
17．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为
的函数
为偶函数，
为奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数的判定与求值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用
【分析】根据函数奇偶性可求得
是以4 为周期的周期函数，可判断A 错误，代入计算可得B 正确，结
合周期性计算可得
，即C 错误，易知
可得D 错误.
【详解】依题意可知
，
；
所以
，即
，
因此
，即
，
所以可得
，即
是以4 为周期的周期函数，
对于A，由分析可知
，即A 错误；
对于B，由
，可知
；
显然
，所以
，
所以
，即B 正确；
对于C，易知
，可得C 错误；
对于D，显然
，即D 错误.
故选：B
18．（2025·山东青岛·一模）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用
【分析】由已知条件推导出函数周期为4，
，可求
.
【详解】由
为偶函数，得
，即
，则
，
因此
，即
，则
，
于是
，函数
是周期为4 的周期函数，
由
，得
，因此
，
所以
．
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用偶函数的性质，结合已知等式，探讨函数的周期性是求解问题的关键.
19．（23-24 高三上·江苏南京·期末）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则方程
所有根
之和为（）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数、函数周期性的应用
【分析】根据给定条件，探讨函数
的性质，在同一坐标系内画出函数
与函数
的图象，
确定两个图象的交点个数并求得所有根之和即可．
【详解】由
，得函数
的图象关于点
对称，
由
，得
，则函数
的图象关于直线
对称，
且有
，则
，于是
是以4 为周期的周期函数，
又当
时，
，即函数
在
上单调递增，
又
，根据对称性可知，函数
在
上单调递增，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
由
，得
，
则方程
的根即为函数
的图象与直线
交点的横坐标，
而直线
关于点
对称，即函数
的图象与直线
都关于点
对称，
在同一坐标系内作出函数
的图象与直线
，如图所示.
观察图象可知，函数
的图象与直线
在
上有6 个交点，
由中心对称的性质知，函数
的图象与直线
在
上有6 个交点，
因此函数
的图象与直线
的所有交点横坐标和为
，
所以方程
所有根之和为13．
故选：D.
二、多选题
20．（2025·湖南·模拟预测）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据偶函数定义判断A，B，奇函数定义判断C，D.
【详解】函数
的定义域都为
，
对于A，因为
，所以
是偶函数，故A 正确；
对于B，因为
为奇函数，所以
，则
是偶函数，故B 正确；
对于C，因
为偶函数，则
，即
是偶函数，故C 错误；
对于D，因
，则
为偶函数，又因为
为奇函数，则
是奇函数，故D 正确.
故选：ABD.
21．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
关于
对称
C．
的周期为2
D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶
性的应用
【分析】根据奇函数的性质判断A；由
得函数的对称性判断B；根据奇函数性质和对称
性可得函数的周期性判断C；利用函数周期性求值判断D.
【详解】对于A：因为
是
上的奇函数，所以
，即
，正确；
对于B：由
，知
图象关于
对称，正确；
对于C：因为
，
所以
，
所以
，即
的周期为4，错误；
对于D：
，正确.
故选： ABD
22．（2025·广西·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
在
内单调递减，则
函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的应用、函数基本性质的综合应用、函数图像的识别
【分析】令
，其中
，分析函数
的对称性与单调性，结合排除法可得出合适的
选项.
【详解】令
，其中
，
则
，
，则
，
故函数
的图象关于直线
对称，排除B 选项，
因为函数
是定义在
上的奇函数，且函数
在
上单调递减，
故函数
在
上单调递减，
故当
时，
，此时
，故函数
在
上单调递减，
排除D 选项.
故选：AC.
23．（2025·云南昆明·一模）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域上单调递减
B．曲线
关于点
对称
C．当
时，
D．
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】比较对数式的大小、对数函数的概念判断与求值、判断或证明函数的对称性、对数型复合函数
的单调性
【分析】先求出函数定义域，再由特殊函数值大小比较判断A；通过
是否成立判断B；
由对数复合函数的单调性计算判断C；根据解析式及对数运算性质求函数值判断D.
【详解】对于A，由
，可得
或
，
所以函数定义域为
，而
，错误；
对于B，
，
所以曲线
关于点
对称，正确；
对于C，由
在区间
上单调递减，
当
时，
，正确；
对于D，
，错误．
故选：BC
三、填空题
24．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】由奇偶性求参数、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
25．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
为偶函数，则实数
的值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由
为偶函数，确定
为奇函数，进而可求解.
【详解】
为奇函数，
当函数
为偶函数时，函数
为奇函数，
所以
，
解得：
．经验证符合题意，
故答案为：
26．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数
的图象存在对称轴，则
的最小值为
．
【答案】
【难度】0.15
【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、利用函数单调性求最值或值域
【分析】设
的对称轴为
，则
，从而得到方程，求出
，故
，令
，换元并配方得到当
时，
取得最小值，最小值为
.
【详解】设
的对称轴为
，则
，
即
，
化简得
，
，
，
故需满足
，解得
，
故
，
令
，故
，
则
，
故当
时，即
时，
取得最小值，最小值为
.
故答案为：
27．（2025·宁夏银川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式
【分析】由题意，根据奇函数的性质，可得函数
与零的大小关系，利用整体思想，可得答案.
【详解】由题意可得函数
在
上单调递减，
，
，
则当
时，
，当
时，
，
由
，则
，解得
，
由
，则
，解得
，
所以
的解集为
.
故答案为：
.
28．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，
当
时，
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据题意，推得
，可得出
，得到函数
是周期为8 的周期函数，
分别求得
，
，得到
，结合周期性，即可求解.
【详解】因为函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，
可得
，
所以函数
的图象关于
对称，且关于
对称，
则
，所以
，
所以
，即
，
则
，所以函数
是周期为8 的周期函数，
由
可得
，
，
，
，
所以
，
当
时，
，则
，
因为
，则
.
故答案为：
.
29．（2023·广东·二模）设奇函数
的定义域为
，且
是偶函数，若
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】因为
是奇函数，且
是偶函数，
所以
，
所以
，即
，
故
是4 为周期的周期函数，且有
，
则
.
故答案为：
30．（2025·甘肃·模拟预测）已知奇函数
的图象关于直线
对称，且
，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用
【分析】利用奇函数可求得
，进而利用对称性可求得
的值.
【详解】因为
是奇函数，所以
.又
的图象关于直线
对称，
所以
.
故答案为：
.
