第 01 讲 函数及其性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第11题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数极值点的辨析
2023年新Ⅱ卷，第4题,5分 函数奇偶性的应用 奇偶性求参数
抽象函数的奇偶性
2022年新I卷，第12题,5分 函数与导函数图象之间的关系
函数对称性的应用
2022年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 抽象函数的周期性求函数值
2021年新I卷，第13题,5分 由奇偶性求参数 无
2021年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的周期性的定义与求解
2021年新Ⅱ卷，第14题,5分 函数奇偶性的定义与判断 基本初等函数的导数公式
2020年新I卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 复合函数的单调性 对数函数单调性
2020年新Ⅱ卷，第8题,5分 函数奇偶性的应用 函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5分
【备考策略】1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法
2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值
3.能够利用函数的单调性解决有关问题
4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性
5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题
6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、
周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容.
知识讲解
1. 函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x，x
1 2
定义
当x<x 时，都有f(x)<f(x)，那么就说函数 当x<x 时，都有f(x)>f(x)，那么就说函数
1 2 1 2 1 2 1 2
f(x)在区间D上是增函数 f(x)在区间D上是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间 D 叫做y＝f(x)的单调区间．(3)函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(3)对于任意的x∈I，都有
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
条件 f(x)≥M；
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(4)存在x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
2. 单调性的常见运算
（1）单调性的运算
①增函数（↗） 增函数（↗） 增函数↗
②减函数（↘） 减函数（↘） 减函数↘
③ 为↗，则 为↘， 为↘
④增函数（↗） 减函数（↘） 增函数↗
⑤减函数（↘） 增函数（↗） 减函数↘
⑥增函数（↗） 减函数（↘） 未知（导数）
（2）复合函数的单调性
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数： ，图象关于原点对称
偶函数： ，图象关于 轴对称
③奇偶性的运算4. 周期性（差为常数有周期）
①若 ，则 的周期为：
②若 ，则 的周期为：
③若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
④若 ，则 的周期为： （周期扩倍问题）
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若 ，则 的对称轴为
②若 ，则 的对称轴为
点对称
①若 ，则 的对称中心为
，则 的对称中心为
②若
6. 周期性对称性综合问题
①若 ， ，其中 ，则 的周期为：
②若 ， ，其中 ，则 的周期为：
③若 ， ，其中 ，则 的周期为：
7. 奇偶性对称性综合问题
①已知 为偶函数， 为奇函数，则 的周期为：
为奇函数， 为偶函数，则 的周期为：
②已知考点一、根据函数的单调性求参数值
1．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上单调递减，则a的取值范围是
______．
【答案】
【分析】按 值对函数 进行分类讨论，再结合函数 的性质求解作答.
【详解】由于函数 在区间 上单调递减，
①当 时，函数 ，在区间 上单调递减，符合题意；
②当 时，开口向下，对称轴为 ，则 ，可得函数 在区间 上单调递减，符合
题意；
③当 时，开口向上，对称轴为 ， 在区间 上单调递减需满足 ，因此
．
综上所述，a的取值范围是 ．故答案为：
1．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
________．
【答案】 .
【分析】先求得 的单调递增区间为 ，根据题意得到 ，即可求解.
【详解】由函数 ，可得函数 的单调递增区间为 ，
因为 在 上单调递增，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为
________．
【答案】
【分析】化简 ，根据题意得到 ，即可求解.
【详解】由函数 ，
因为 在 上单调递增，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【分析】先利用反比例函数的单调性得到 在 与 上单调递减，再利用参数分离法得
到 ，从而得到关于 的不等式组，解之即可.【详解】因为 在 与 上单调递减，
而 在 上单调递增，
所以 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
考点 二 、根据函数解析式判断函数单调性
1．（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
2．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
1．（2023·浙江·统考二模）下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是 向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可
以判断平移后的单调区间，进而判断 上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误.
【详解】对于 选项： 开口向上，对称轴 ，所以在 上单调递减，故不符合题意.
对于 选项： 是 向右平移了两个单位长度，所以在在 上单调递减，故不符合题意.
对于 选项： 是 向右平移了两个单位长度，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以不符合题意.
对于 选项： 是 向右平移了两个单位长度，
所以 在 上单调递增，则在 上单调递增，符合题意.
故选 .2．（2023·北京海淀·校考三模）下列函数中，在区间 上是减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A： 在定义域 上单调递增，故A错误；
对于B： 在定义域 上单调递增，故B错误；
对于C： 定义域为 ，因为 在 上单调递减且值域为 ，
又 在定义域上单调递减，所以 在 上单调递增，故C错误；
对于D： ，函数在 上单调递减，故D正确；
故选：D
3．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数单调性即可判断出A正确，C错误，再根据正切函数和指数函数图象即可得出BD错误.
【详解】由幂函数性质可知， 定义域为 ，且在定义域内单调递增；即A正确；
在其定义域 ， 上分别单调递减，即C错误；
由正切函数图像可知， 为周期函数，在定义域内不是单调递增，B错误；
由指数函数性质可知， 在 上为单调递减，所以D错误.
故选：A
考点三、 根据函数单调性解不等式
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
【答案】(0，1)
【分析】利用函数的单调性解不等式.
【详解】解：因为 在R上递减， 在(－2，＋∞)上递增，
所以 在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
∴ ，
解得0<a<1.
故答案为：(0，1)
2．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知函数 ，若 ，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】讨论 与0、1的大小关系，写出 的解析式，解出不等式后，再求并集即为答案.
【详解】因为 .
①当 时， .
②当 时， .
③当 时， .
综上所述： .
故选：D.1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在区间 上的函数，且在该区间上单调递增，则
满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知有 ，即可求取值范围.
【详解】因为函数 是定义在区间 上的增函数，满足 ，
所以 ，解得 .
故选：D
2．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数 在 上为减函数，
函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，
且 .
所以函数 在 上为减函数.
由 得 .解得 .
故选:A.
考点 四 、根据函数单调性比较函数值大小关系1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数解析式可知 是 上的减函数，可得出 ， ， ，然后即
可得出 ， ， 的大小关系，进而得出 ， ， 的大小关系．
【详解】解： 是 上的减函数， 是 上的减函数，
是 上的减函数，
， ， ，
，
．
故选： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增，记 ，
， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得 的大小，再利用 的单调性可得答
案
【详解】因为 是单调递减函数，所以 ，
因为 是单调递增函数，
所以 ，
所以 ，又函数 在 上单调递增，所以 ，
故选：C.
【点睛】比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；
（2）作差法比较大小；
（3）作商法比较大小；
（4）中间量法比较大小.
1．（2021·江苏淮安·统考二模）已知函数 ，设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解析式可判断 的定义域及其对应的单调区间，利用有理数指数幂的性质判断
的大小关系，根据 的区间单调性判断函数值的大小.
【详解】 ， ，
∴ ，
由函数解析式知： ，即 ，又 在 上单调递增，
∴ .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对数运算性质，借助中间量 得 ，进而在结合函数的单调性比较大小即可.
【详解】解：由 得 ，解得 ，所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，
由于函数 在 上单调递减，函数 在定义域上单调递增，
所以，根据复合函数的单调性得 在 上单调递减，
因为 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以， ，
所以，由函数单调递减的性质得 .
故选：A
考点 五 、根据函数的奇偶性求参数值
1．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）若 为偶函数，则 ________．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
4．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】方法一：由偶函数的性质 ，即可求得 的值；方法二：由偶函数图像关于 轴对称，
求出二次函数对称轴，列出方程求解即可．
【详解】方法一：因为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
解得 ；
方法二： ，
因为 是偶函数，
所以 图像关于直线 对称，
所以 ，解得 ，
故选：D．
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知函数 为偶函数，
则 的值为___________.
【答案】 /0.4
【分析】根据偶函数的定义即可求解解析式，代入即可求解.
【详解】 函数 （ ）是偶函数，
， ， ,
故答案为：3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数 为偶函数，则
______________．
【答案】1
【分析】根据偶函数的性质 即可得到 对 均成立，从而求出参数的值.
【详解】由题设， ，
所以 ，得 ，得 对 均成立．
所以 ，解得 ．
经检验， 满足要求.
故答案为：
4．（2023·河北·校联考一模）若函数 的图象关于原点对称，则实数m的值为__________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质根据 ，即可求解.
【详解】依题意， ，即 ,所以 ，解得 ，当 时，
，定义域 不关于原点对称，故舍去，
当 时， ，定义域为 ，符合要求，故 ，
故答案为：
考点 六 、抽象函数奇偶性的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则
（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例 即可排除选项
D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【详解】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
2．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
1．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知 ， 都是定义在 上且不恒为0的函数，则
（ ）
A． 为偶函数
B． 为奇函数
C．若 为奇函数， 为偶函数，则 为奇函数
D．若 为奇函数， 为偶函数，则 为非奇非偶函数
【答案】AD
【分析】根据奇函数和偶函数的定义判断即可.【详解】选项A：
设 ，
因为 是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
，所以 为偶函数，故A正确；
选项B：
，
因为 是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ， ，所以 为偶函数，
故B错误；
选项C：
设 ，
因为 ， 都是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ，
所以 为偶函数，故C错误；
选项D：
设 ，
因为 ， 都是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
，
因为 是不恒为0的函数，
所以 不恒成立，所以 不是奇函数，
，
因为 是不恒为0的函数，所以 不恒成立，
所以 不是偶函数，所以 是非奇非偶函数，故D正确，
故选：AD.
2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数 ，满足 ， 都有
．则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D． 为偶函数【答案】BD
【分析】令 和 ，即可判断选项AB；令 ，即可判断选项CD.
【详解】令 ，则 ，∴ 或1．
令 ，则 ，若 ，则 ，与 不恒为0矛盾，∴ ，
∴选项B正确选项A错误；
令 ，则 ，∴ ，∴ 为偶函数，∴选项D正确选
项C错误.
故选：BD．
3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知偶函数 与奇函数 的定义域均为R，且满
足 ， ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．f（1）=3
C．g（x）=-g（x+3） D．
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性及所给抽象函数的性质，利用 换为 可判断A，利用赋值可判断B，推理
得出 后赋值可判断C，由条件推理可得 ，即可判断D.
【详解】由 ，将 换为 知 ，故A对；
，奇函数 中 ，
则 ， ，由 为偶函数， ，故B错；
， ，
又 ， ，
， ，故C错，
，则 ，即 .
， ，
，即 ，
为偶函数， ，
①， ②
由①②知 ，故D对.
故选：AD.4．（2023·云南昆明·云南省昆明市第十中学校考模拟预测）（多选）定义在 上的函数 满足
，当 时， ，则函数 满足（ ）
A． B． 是奇函数
C． 在 上有最大值 D． 的解集为
【答案】AB
【分析】由抽象函数满足 ，令 可得 ，利用奇偶性，单调性的定义可推
导函数的奇偶性和单调性，可求函数在区间 上的最大值，利用单调性解不等式 可得解集.
【详解】因为定义在R上的函数 满足 ，
令 ，得 ，即 ，A正确，
令 ，得 ，即 ，函数为奇函数，B正确，
设 ，则 ， ，
由题， ，即 ，
所以 ，函数 在R上单调递减，所以C错误，
不等式 可化为 ，由 在R上单调递减，所以 ，即 ，不等式解集为
，D错误.
故选：AB.
5．（2023·浙江台州·统考模拟预测）（多选）已知定义在 上的函数 ，满足： ， ，
，则（ ）
A．函数 一定为非奇非偶函数
B．函数 可能为奇函数又是偶函数
C．当 时， ，则 在 上单调递增
D．当 时， ，则 在 上单调递减
【答案】BC
【分析】对于AB：令 ，结合奇偶性的定义即可求解；对于CD：利用单调性的定义结合已知条件
求解即可
【详解】对于AB：令 ，则 ，
所以 或 ，当 时，
令 ，则 ，
则 ，
所以此时 既是奇函数又是偶函数；
故A错误，B正确；
对于C：当 时， ，则 ，
又 ，
所以 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
所以 ，
由于 ，
取 ，得 ，
所以 ，
则当 时， ，则 ，
所以 ，
则 在 上单调递增，故C正确；
对于D： 设 ，则 ，则 ，
所以 ，
则 在 上单调递增，故D错误；
故选：BC
6．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）定义在 上的函数 ，满足 为偶函数，
为奇函数，若 ，则 __________.
【答案】1
【分析】根据 为偶函数、 为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.
【详解】若 为偶函数， 为奇函数，
则 ， ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故答案为：1.
考点 七 、函数周期性的综合应用
1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
1．（2023·江苏二模）定义在R上的连续函数 满足 ，且 为奇函数.当时， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先根据题意，得到 ， ，从而得到函数 的周期为 ，再
根据 求解即可.
【详解】因为函数 满足 ，所以 关于 对称，
即 ①.
又因为 为奇函数，所以 ，
即 ②.
由①②知 ，
所以 ，
即 ，所以函数 的周期为 ，
所以 ，
,
因为 时， ，
所以 ，
又 为奇函数，所以当 时， ，
所以 ，
故选：B.
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
为偶函数， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为3 B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得 ， ，由此可得
，再证明 为周期为 的函数，通过赋值可得 ， ，由此判断B，
结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断CD .【详解】因为 为奇函数，
所以 ，
将 代换为 可得， ，
取 可得， ，取 可得， ，
又 ，所以 ，
因为 为偶函数，
所以 ，
将 代换为 可得， ，又
所以 ，
将 代换为 可得， ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为4，
由 取 可得 ，又 ，
所以 ，B错误；
，C 错误；
，D正确；
因为 ， ，所以函数 不是周期为3的函数，A错误；
故选：D.
3．（2023·浙江模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， 则 =（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据所给的等式可得 为奇函数且周期为2，再根据对数的运算求解即可.
【详解】由 可得 为奇函数，又 ，则 ，故，故 周期为2.
故
.
故选：D
4．（2023·福建厦门·统考模拟预测）（多选）已知函数 的定义域都为 为奇函数，且
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】对A，根据令 结合 为奇函数推导即可；对B，根据 结合 为奇函数，
再令 推导即可；对C，求出 判断即可；对D，根据奇偶性与周期性可得 ，进
而判断即可.
【详解】对A，由 ，令 可得 ，又 为奇函数，故 ，
，故A错误；
对B，由 及 可得 ，
又 为奇函数，则 ，令 则 ，
故 .故B正确；
对C，由 及 可得 ，当 时 不成立，故C错误；
对D，由AB可得 且 周期为2，故 ，故 ，故D正确；
故选：BD
5．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）函数 ， 满足 ，当
， ，则 ______.
【答案】1
【分析】根据 可得周期为2，由 可得答案.【详解】因为 满足 ，所以 的周期为 ，
.
故答案为：1.
6．（2023·山东烟台·统考三模）已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，若 ，
则 的值为________．
【答案】1
【分析】根据 得 的周期为4，且 ，再由 可
得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的周期为4，
所以 ， ， ，
即 ，
若 ，则 ，
即 ，
可得 ，所以 .
故答案为：1.
7．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数 的定义域均为 ， 是偶函数， 是
奇函数，且 ，则 _____； _____．
【答案】
【分析】①利用 是奇函数，求出 即可；②结合 是偶函数， 是奇函数，以
及 条件求出函数 为周期函数，再利用赋值法，结合 ，求出函数 在一
个周期内的函数值，进而利用周期求出 即.
【详解】因为 是奇函数，
所以 即 ，
由
，又 ，
所以 ，
又 是偶函数，
，
即 ，
，
，
由 ，
所以 ，①
即 ，②
② ①： ，
所以函数 的周期为4，
所以由 ，
则令 时， ，
再令 时， ，
所以 ，
由 ，所以由
所以
，
故答案为： ； .
考点 八 、函数对称性的综合应用
1．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+ ，则（）A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】 可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
1．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知函数 与 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，则下面判断错误的是( )
A． 的图象关于点 中心对称
B． 与 均为周期为4的周期函数
C．
D．
【答案】C【分析】由 为偶函数可得函数关于直线 轴对称，结合 和 可
得 的周期为4，继而得到 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项
【详解】因为 为偶函数，所以 ①，所以 的图象关于直线 轴对称，
因为 等价于 ②，
又 ③，②+③得 ④，即 ，即
，
所以 ，故 的周期为4，
又 ，所以 的周期也为4，故选项B正确，
①代入④得 ，故 的图象关于点 中心对称，且 ，故选项 正确，
由 ， 可得 ，且 ，故
，
故 ，
因为 与 值不确定，故选项 错误，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，
故 ，所以选项D正确，
故选: .
2．（2023·江苏无锡·校联考三模）（多选）已知函数 的定义域为 ， 为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
【答案】AD
【分析】根据抽象函数的奇偶性与对称性即可判断得答案.
【详解】因为 为奇函数，所以 ，所以函数 关于点 对称，
又 为偶函数，所以 ，所以函数 关于直线 对称.
故选：AD.
3．（2023·广东汕头·统考三模）（多选）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 上是减函数
C． 为奇函数
D．方程 仅有6个实数解
【答案】ACD
【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，推出函数 的一个周期为 、 的图象关于点
对称、关于直线 对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出 与
的大致图象，结合图像可判断D正确.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即函数 的一个周期为 .
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
又 ，所以 ，故A正确；
因为 在区间 上是增函数，且 的一个周期为 ，
所以 在 上单调递增，在 上不为减函数.故B错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 为奇函数，故C正确；
因为 为奇函数，所以 的图象关于点 对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
又当 时， ，
作出 与 的大致图象，如图所示.其中 单调递减且 ，所以两函数图象有6个交点，
故方程 仅有6个实数解，故D正确.
故选：ACD.
4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）（多选）定义在R上的偶函数 满足 ，
且 在 上是增函数，则（ ）
A． 关于 对称 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D选项，结合单调性得出C选项.
【详解】 为偶函数，
所以 ，所以 ，
所以 关于点 对称，A错误；
又 ，所以 ，B正确；
因为 在 上是增函数，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，而 的值不确定，故D错误.
故选:BC．
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为
为奇函数，则（ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．函数 是周期函数
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的对称性可得 的图象关于 对称，结合函数变换可推出函数 是周期为 的
函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.
【详解】因为 为奇函数，则 ，所以 ，则函数 的图象
关于 对称，故A正确；
因为 ①， ②，
则①+②得： ，即 ③，
②-①得： ，即 ④，
由③得 代入④得 ，所以 ，则 ，则
函数 是周期为 的函数，故B正确；
由于 的图象关于 对称， 是周期为 的函数，无法确定是否关于点 对称，故C不正确；
将③代入①可得 ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
，
累加得： ，故可得
，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
6．（2023·山东泰安·统考模拟预测）（多选）定义在 上的函数 满足 ，函数
的图象关于 对称，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 是 的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【分析】由函数 的图象关于 对称，可得 ，即可判断A；先求出 最小正周期为 ，再推出由 可判断B；令 ，求出 可判断C；求出
，可判断D.
【详解】对于A，由函数 的图象关于 对称，可推得 ，
令 等价于 ，则 ， 的图象关于 对称，所以A正确.
对于B，令 由 ， ，
所以， ，所以 关于 对称.
由 ，所以 ，
所以， ，所以， 关于 对称.
令 等价于 ，则 ，
又因为 ，所以
令 等价于 ，
所以 ，
所以可得出 最小正周期为 .
， ，所以 不是 的周期，所以B错误.
对于C，令 ，则 ，所以，所以C正确.
对于D，因为 图象关于 对称，所以 ，
因为 ， ，因为 最小正周期为 ，
所以 ，所以 ，
，
有 ，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：令 是解题的关键，通过研究 的对称性和周期性得到 的性质，
即可求解.
7．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）（多选）已知函数 、 定义域均为 ，且
， 为偶函数，若 ，则下面一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件判断 关于 中心对称和 轴对称，可求出 是函数 的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.
【详解】由 可得函数 关于 中心对称，
且 ，又因为 为偶函数，
所以 ，令 等价于 ，所以
可知函数 关于 轴对称，再令 替换 ，所以 ，
所以 知， ，
，所以 ，即 是函数 的周期，
由 ，令 ，则 ，故A正确；
因为 ，由已知条件无法求出 ，故C不正确；
由 可得 ，所以B不正确；
由 可得 与 关于 中心对称，
所以 是函数 的周期， ，故D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：根据条件判断函数 ， 的对称性和周期性，利用函数的对称性和周
期性进行转化求解时解决本题的关键.
考点 九 、函数性质的全部综合应用
1．（全国·高考真题）设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .若
对任意 ，都有 ，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临
界点位置，精准运算得到解决．
【详解】 时， ， ， ，即 右移1个单位，图像变
为原来的2倍．
如图所示：当 时， ，令 ，整理得：， （舍）， 时， 成立，即
， ，故选B．
【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，
需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
1．（2023·广东广州·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数，
若 ，则 （ ）
A．116 B．115 C．114 D．113
【答案】C
【分析】由 可得函数 的周期为 ，
再结合 为偶函数，可得 也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
所以函数 的周期为 ，
又 为偶函数，
则 ，
所以 ，
所以函数 也为偶函数，
又 ，
所以 ， ，
所以 ，又 ，即 ，所以 ，
又 ， ，
，
所以
故选： .
2．（2023浙江·统考一模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增，若函数 为偶函数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，函数 关于 对称，作出函数的图象，数形结合可求解.
【详解】由函数 为偶函数，知函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，知函数 在 上单调递减，
由 ，知 ，作出函数的图象，如下：
由图可知，当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以不等式 的解集为： 或 ，
故选：C
3．（2023·山西临汾·统考二模）已知函数 是定义在 上的连续函数，且满足
， .则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ， ，代入原式可得 ，列出等式
， ， ， ，再利用累加法计算即可.【详解】令 ， ，因为 ，
，
得 ，即 ，
因为 ， ， ， ，
， ， ， ，
将上述 个式子累加得， ，
.
故选：D
【点睛】求解本题的关键是通过赋值法，令 ， ，将原式转化为
，列出等式，利用累加法计算即可.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，若 ，函数
为偶函数， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 为周期函数，确定该函数的周期，求出 、 、 、 的值，结合
周期性可求得 的值.
【详解】由 可得 ，①
对任意的 ， ，所以， ，②
由①②可得 ，所以函数 是周期为 的周期函数．
因为 为偶函数，则 ，
因为 ，由 可得 ，且 ，
由 可得 ，
因为 ，所以， ，故函数 为偶函数，
因为 ，则 ，所以， ，
由 可得 ，因为 ，所以，
.
故选：B.
5．（2023·全国模拟）已知函数 的定义域为R， 为偶函数， ，当
时， （ 且 ），且 .则 （ ）
A．40 B．32 C．30 D．36
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性、周期性和对称性，求出参数a的值，即可求解.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，
用 代替 可得： ，所以 ，
所以函数 关于直线 对称，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 关于点 中心对称，
所以函数 的周期为 ，
因为当 时， （ 且 ），且 ，
所以 ，解得： 或 ，因为 且 ，所以 .
所以当 时， ，
所以 ， ， ，
， ， ，
，所以 ，
所以 ，
故选：D
6．（2023·云南大理·统考模拟预测）（多选）设函数 的定义域为R，且满足
，当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于点 对称
C．D．若 ，则有
【答案】BCD
【分析】根据题中条件可判断 的对称性以及周期性，即可判断A,结合已知区间上的解析式即可画出
函数图象，即可判断B,C,D.
【详解】由 可知 的图象关于 对称，由 的图象关于
对称，
故 ，所以 是周期函数且周期为8，结合函数
的性质以及 时， ，有： ，故A错误；
由 且周期为8，有 ，可知B正确；
由函数的性质可得函数图象（如图），由图象可知 ，
，故C正确；
由 在一个周期 内的图象可知， 在 有且仅有 ，1，3，5这几个零点，结合函数
周期为8，可知，函数 在R上的所有零点为全体奇数，即 ，故D正确，
故选：BCD．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·山西吕梁·统考三模）已知定义在 上的函数 满足 ， 为奇
函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意推出函数 的周期以及满足等式 ，赋值求得 ，利用函数的周
期性即可求得答案.【详解】因为 ，所以 ，所以 的周期为6，
又 为奇函数，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ,
所以 ，
故选：C.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【分析】方法一：可得 ，即可得到函数 关于 对称，从而得到 为偶函数；
方法二：求出 的解析式，即可判断.
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
所以函数 关于 对称，将 的函数图象向左平移 个单位，关于 轴对称，
即 为偶函数.
方法二：因为 ， ，
则 ，所以 为偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数；
又 ，故 ， ，
所以 ， ，故 为非奇非偶函数.故选：B
3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上
单调递减，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
则当 或 时， ；当 时， ，
不等式 化为 或 ，
所以 或 或 ，
解得 或 或 ，即 或 ，
即原不等式的解集为 ；
故选：C.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 是奇函数，函数 是偶函数．若 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性结合已知等式可得 ，联立可得 ，即得答案.
【详解】由函数 是奇函数，函数 是偶函数， ，
故 ，即 ，将该式和 相减可得 ，
则 ，
故选：C
5．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，且 ，
有 ，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式 转化为 或 ，根据奇偶性和单调性可解.
【详解】已知 是定义在 上的偶函数，则 ，
又对任意 ，且 ，都有 ，
所以函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，又 ，所以
，
根据函数 的单调性可知： 等价为 或 ，
即 或 ，解得 或 ，
即不等式的解集为 .
故选： .
6．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点
成中心对称.当 时， ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意和抽象函数图象的对称性可得 的图象关于原点中心对称，为奇函数，结合奇函
数的性质即可求解.
【详解】因为将 的图象向右平移1个单位长度后
得到函数 的图象且 的图象关于点 成中心对称，所以 的图象关于原点成中心对称，则 在 上是奇函数，
所以 .
故选：C.
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足 不恒为零，且 ，
， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． 的图像关于直线 对称 D． 在[0，10]上有6个零点
【答案】AB
【分析】通过给题中恒成立的等式赋值，求函数值，判断奇偶性、对称性和零点.
【详解】选项A：对于 ，令 ，得 ，对于 ，令 ，得
，所以 ，则 ，A正确；
选项B：由 得 ，由 得 ，所以
， 是奇函数，B正确；
选项C：由 ，得 ，所以12是 的一个周期，又 是奇函数，
所以 的图像关于点 对称，因为 不恒为零，所以 的图像不关于直线 对称，C错误；
选项D：由A知 ，对于 ，令 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ， ，所以 ，所以 在 上的零点为
0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误．
故选：AB．
8．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 和 分别为奇函数和偶函数，且 ，则
（ ）
A．
B． 在定义域 上单调递增
C． 的导函数
D．
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性可得 ，结合选项即可逐一求解,
【详解】由 得 ，由于函数 和 分别为奇函数和偶函数，所以，因此 ，
对于A, ,故A错误，
对于B，由于函数 在 单调递增， 在 单调递减，所以 在
单调递增，故B正确，
对于C， 当且仅当 时取等号，
而 ，所以C错误，
对于D， ，当且仅当 时取等号，所以D正确，
故选：BD
三、填空题
9．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足： 为偶函数；当
时， ．写出 的一个单调递增区间为______．
【答案】 （答案不唯一，符合题意即可）
【分析】根据题意可得函数 关于直线 对称，结合图象分析判断.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
所以函数 关于直线 对称，
结合题意可得函数 的图象，如图所示：
可得函数 的单调递增区间为： .
故答案为： .
10．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）定义在R上的奇函数 满足 R，
，且当 时， ，则 _________．【答案】1012
【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.
【详解】因为 是奇函数，且 ，
所以 ，
故 是周期为4的周期函数．
所以 ，
令 ,可得 ，所以 ，
因为函数为奇函数且周期为4，所以 ，
则 ，
则 ．
故答案为:1012.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，
且 是偶函数，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据 是偶函数和 得到 是 的一个周期，然后利用周期性求函数值
即可.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 是 的一个周期，
因为 ，所以 ， ，
.
故选：C.
2．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，
为偶函数， ，则下列结论一定正确的是（ ）A．函数 的周期为3 B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得 ， ，由此可得
，再证明 为周期为 的函数，通过赋值可得 ， ，由此判断B，
结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断CD .
【详解】因为 为奇函数，
所以 ，
将 代换为 可得， ，
取 可得， ，取 可得， ，
又 ，所以 ，
因为 为偶函数，
所以 ，
将 代换为 可得， ，又
所以 ，
将 代换为 可得， ，
所以 ，
所以函数 为周期函数，周期为4，
由 取 可得 ，又 ，
所以 ，B错误；
，C 错误；
，D正确；
因为 ， ，所以函数 不是周期为3的函数，A错误；
故选：D.
二、多选题
3．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）定义在R上的偶函数 满足 ，且 在上是增函数，则（ ）
A． 关于 对称 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据对称中心和对称轴定义结合得出周期判断A,B,D选项，结合单调性得出C选项.
【详解】 为偶函数，
所以 ，所以 ，
所以 关于点 对称，A错误；
又 ，所以 ，B正确；
因为 在 上是增函数，
所以 ，故C正确；
因为 ，
所以 ，而 的值不确定，故D错误.
故选:BC．
4．（2023·河北·校联考一模）设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，当 时，
，若方程 在 上恰有 个实数解，则（ ）
A． 的周期为4 B． 在 上单调递减
C． 的值域为 D．
【答案】AD
【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A、B，结合所给函数解析式求出函数的值域，即
可判断C，画出函数 与 的图象，数形结合，即可判断D.
【详解】由 的图象关于 对称可得 ，
再由 为偶函数可得 ，故 ，即 的周期为4，即A正确；
当 时，由 ，可得 在 上单调递增，故 在 上单调递增，即B错误；
又 ， ，故 的值域为 ，即C错误；
在同一坐标系下画出函数 与 的图象如图所示.由图可知，要使 与 在 上恰有 个不同交点，
只需 ，即 ，解得 ，即 的取值范围为 ，故D正确.
故选：AD
5．（2023·河北·校联考一模）已知符号函数 ，偶函数 满足 ，当
时， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的周期性及给定函数，求出函数 的值域，再结合符号函数逐项判断作答.
【详解】当 时， ，而 是偶函数，则当 ， ，
因此当 时， ，其取值集合为 ，又 ，即 是周期为2的函数，
于是函数 的值域为 ， 的部分图象，如图，
当 时， ，A错误；
，B错误；
当 时， ，C正确；
当 时，取 ，则 ，
此时 ，D错误.故选：ABD
6．（2023·广东汕头·统考三模）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 上是减函数
C． 为奇函数
D．方程 仅有6个实数解
【答案】ACD
【分析】根据 为奇函数， 为偶函数，推出函数 的一个周期为 、 的图象关于点
对称、关于直线 对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出 与
的大致图象，结合图像可判断D正确.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即函数 的一个周期为 .
在 中，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
又 ，所以 ，故A正确；
因为 在区间 上是增函数，且 的一个周期为 ，
所以 在 上单调递增，在 上不为减函数.故B错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 为奇函数，故C正确；
因为 为奇函数，所以 的图象关于点 对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，又当 时， ，
作出 与 的大致图象，如图所示.
其中 单调递减且 ，所以两函数图象有6个交点，
故方程 仅有6个实数解，故D正确.
故选：ACD.
7．（2023·广东韶关·统考模拟预测）已知 是周期为4的奇函数，且当 时，
.设 ，则（ ）
A．函数 是奇函数也是周期函数
B．函数 的最大值为1
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 的图象有对称中心也有对称轴
【答案】BCD
【分析】根据判断 判断奇函数， 判断周期性，求出 在 的解析式，根据图
象平移写出 在 上解析式并判断奇偶性，进而可得 解析式，结合周期性判断B、C，最后
利用 、 判断D.
【详解】由 ，
令 ，则 ，故 ；
令 ，则 ，故 ；
所以 ，
综上，一个周期内 ，
由 ，
而 ，故 不是奇函数，但周期为4，A错；所以， 是将 图象右移一个单位，故在一个周期 图象如下：
由图象平移知： ，且 为偶函数，
所以 ，故 的最大值为1，B对；
由周期性知： 在 上单调性同区间 ，即单调递减，C对；
由 ，
由 ，
注意：根据周期性有 、 ，
综上， 关于 中心对称、关于 轴对称，D对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用 奇函数、周期性判断 的奇偶性、周期性，再应用奇偶性求 解析式，
结合图象写出 解析式，最后求出 在一个周期内的解析式关键.
8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数 ， 在R上的导函数分别为 ， ，若
为偶函数， 是奇函数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是R上的奇函数 D． 是R上的奇函数
【答案】AD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误.
【详解】解：已知 为偶函数，可知 关于 对称，
所以 关于 对称，因为 是奇函数，可知 关于 对称，
所以 关于 对称，
又因为 ，则 ，即 ，
所以 与 关于 对称，
因为 关于 对称的点为 ，直线 关于 对称的直线为 ，
所以 关于 对称， 关于直线 对称， 是偶函数，
而 关于 对称， ，又 ，
则 ， ， ，
即 是周期为4的偶函数，故C选项错误；
由 关于直线 对称， ， 关于 对称， ，
则 ， ，
所以 ，即 是周期为4的偶函数，
由于 是周期为4的偶函数，则 ，
等号两边同时求导，可得 ，所以 是周期为4的奇函数，
同理，由于 是周期为4的偶函数，则 ，
等号两边同时求导，可得 ， 是周期为4的奇函数，
所以 与 均是周期为4的奇函数，故D选项正确；
由于 关于 对称， ， ，则 ，
所以 ，故A选项正确；
，故B选项错误；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的对称性得到函数的奇偶性及周期性，再利用复合函数的导
数可得导函数的性质进而即得.
9．（2023·江苏盐城·校考三模）让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他
发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数
，当 时，有 ，则（ ）．
A．函数 的最小正周期为B．点 是函数 图象的对称中心
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据函数 的表达式结合余弦函数的最小正周期可判断A；由已知推出 可
判B；根据函数的周期性以及 时，有 可判断C；令 代入函数表达式求值，判断D.
【详解】由于 ，
且 的最小正周期为 ，则 也是 的周期,
故 的最小正周期为 ，A错误；
，
故 ，即点 是函数 图象的对称中心，B正确；
由题意知 是偶函数，且当 时，有 ，
故 ，C正确；
由于 ，
令 ，则 ，
即 ，
所以 ，D正确，
故选：BCD三、双空题
10．（2023·江苏·统考模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，且函数
的图象关于点 对称，则 ______， ______.
【答案】 1 －2021
【分析】分析函数 的对称性，由 构造 ，由 周期性和对称
性即可求解.
【详解】因为 关于 对称，所以有 .
令 ，则 ， 的图象关于 对称，所以 .
由题设条件得 ，
令 ，有 ，则 的图象于 对称，
因为 ，有 ，
即 ，则 的图象关于 对称.
所以 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 为 的一个周期，
，所以 .
故答案为：1；－2021.
【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
3．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
4．（2020·北京·统考高考真题）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 和 的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，
不等式 的解为 或 .
所以不等式 的解集为： .
故选：D.
【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
5．（2021·全国·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
6．（2020·山东·统考高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总
有 成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.
故选：C
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
8．（2020·全国·统考高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质
可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而
得到结果.
【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的
性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
9．（2020·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
【答案】D【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】 可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
10．（2020·海南·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的
x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
11．（高考真题）已知 是定义在R上的单调函数，实数 ， ， ，
，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，若 ，通过图像可分析出 ，将 ， 代入即可求解.
【详解】解：已知 是定义在R上的单调函数， ，
而 ，
若为递减函数，如图
递增函数同理可得，
，即
，则 ，解得 ，
故选：A.
12．（2021·全国·统考高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
二、填空题
13．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，故答案为：1
14．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 _______．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
