文档文本内容
专题03 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性等性质的
综合应用
目录
01 析·考情精解...............................................................................................1
02 构·知能框架...............................................................................................2
03 破·题型攻坚...............................................................................................3
考点一 单调性、奇偶性...............................................................................3
真题动向
必备知识
知识1 单调性定义的等价形式：
知识2 判断函数奇偶性的常用方法
知识3 常见奇、偶函数的类型
命题预测
考向1 函数的单调性及应用 考向2 利用函数的单调性求参数
考向3 函数奇偶性及应用 考向4 奇函数+常数型求值
考向5 奇偶函数偏移 考向6 利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小
考点二 对称性、周期性.............................................................................26
真题动向
必备知识
知识1 函数的周期性 知识2 函数的对称性
知识3 函数的的对称性与周期性的关系 知识4 原函数与导函数的性质
命题预测
考向1 函数的周期性 考向2 函数的对称性
考向3 双对称一周期 考向4 类周期函数及其应用
考向5 原函数与导函数的奇偶性、对称性
命题
近三年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查为必考重点，分值占
1
轨迹
透视
比稳定。题型以选择题、填空题为主，偶在解答题中渗透考查；命题常将四类性质
结合考查，且多与函数图像、零点、不等式等知识综合。虽考查形式多样、综合性
强，但核心仍围绕性质的理解与应用，部分题目在命题角度（如定性分析比较函数
值大小）和形式上有创新，侧重考查数形结合、逻辑推理等数学思想，基础题易得
分，压轴题则对综合运用能力要求较高。
考点
频次
总结
考点
2025 年
2024 年
2023 年
函数的性质
一卷T5，5 分
二卷T10，6 分
I 卷T6，5 分
II 卷T8，5 分
甲卷（文）T11，5
分
乙卷（理）T4，5 分
乙卷（文）T5，5 分
I 卷T4，5 分
II 卷T4，5 分
2026
命题
预测
2026 年全国卷对函数奇偶性、单调性、对称性、周期性的考查仍为必考重点，考情
稳定。题型以选择、填空为主，偶在解答题中渗透，分值占比固定。命题延续多性
质综合特点，常与函数图像、零点、不等式结合。部分题目在命题角度有创新，核
心聚焦性质应用与思想运用，难度梯度分明。
2
考点一 单调性和奇偶性
1．（2023·全国乙卷·高考真题，4，5 分）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题，4，5 分）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
【答案】B
【详解】因为
为偶函数，则
，解得
，
当
时，
，
，解得
或
，
则其定义域为
或
，关于原点对称.
，
故此时
为偶函数.
3
故选：B.
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题，4，5 分）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
4．（2023·全国甲卷·高考真题，13，5 分）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
4
5．（2023·全国甲卷·高考真题，11，5 分）已知函数
．记
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
知识1 单调性定义的等价形式:
1、函数
在区间
上是增函数:
任取
，且
，都有
；
5
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
2、函数
在区间
上是减函数:
任取
，且
，都有
；
任取
，且
，
；
任取
，且
，
；
知识2 判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函
数的定义域是关于原点对称的，再判断
与
之一是否相等.
2、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（
轴）对称.
3、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个
偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
4、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法
也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
与
的关系.首先要特别注意
与
的
范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，
与
对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函
数的定义进行比较.
知识3 常见奇、偶函数的类型
1、
（
且
）为偶函数；
2、
（
且
）为奇函数；
6
3、
（
且
）为奇函数；
4、
（
且
）为奇函数；
5、
（
且
）为奇函数；
考向1 函数的单调性及应用
1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】
的定义域，由
，
若
，由不等式可解得函数定义域为
，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若
，解得函数定义域为
，
若为奇函数，必有
，解得
；
又
，
解得
，
故选：C.
2．（2025·山东滨州·模拟预测）已知函数
是周期为2 的偶函数，且当
时，
，则
的值为（ ）
7
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【详解】因为函数
是周期为2 的偶函数，且当
时，
，
所以
．
故选：C
3．（2024·宁夏固原·一模）已知
为奇函数，则
（ ）
A．－4
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【详解】因为
为奇函数，定义域为
，
则
，
所以
，则
，
此时
，
则
，满足题意
故
.
故选：B.
4．（2025·黑龙江伊春·二模）已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A．
B．
8
C．
D．
【答案】A
【详解】观察图象可以看到，函数是奇函数，且在
处函数值为负，
对于A：
,
，满足，A 正确；
对于B：
，不满足，B 错误；
对于C：
，不满足，C 错误；
对于D：
，
，不满足，D 错误；
故选：A.
5．（2025·广东珠海·三模）（多选）已知偶函数
满足：当
时，
，则
（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．函数
在区间
上有零点
【答案】ACD
【详解】对于A，
，A 正确；
对于B，当
时，
，则
，B 错误；
对于C，当
时，
，当且仅当
时取等号，则
，
当
时，
，因此
，C 正确；
对于D，
，
，即
，
因此
在区间
上有零点，D 正确.
故选：ACD
9
6．（2025·山西吕梁·一模）定义在
上的两个函数
，恒有
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】B
【详解】由
，则
，
则
，又
定义域为
，故
为偶函数，故B 正确；
由已知得不到
与
关系，也得不到
是否为
，故A、C、D 错误.
故选：B.
7．（2025·广西南宁·一模）（多选）已知
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．方程
有两个不相等的实数根，则
【答案】BD
【详解】因为
，
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
①，
所以
，即
②，
联立①②解得
，
对A，
10
，A 错误；
对B，
，B 正确；
对C，因为
都是在
上的增函数，所以
在
上单调递增，
由
为奇函数，所以不等式
，
即
，解得
，C 错误；
对D，方程
有两个不相等的实数根，则
有两个不相等的实根，
整理得
，
令
，则
有两个不相等的正实根，
由韦达定理和判别式可得
，解得
，D 正确.
故选：BD
考向2 利用函数的单调性求参数
8．（2025·陕西安康·模拟预测）（多选）已知定义在
上的偶函数
在
上单调递增，则
可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【详解】
的定义域为
，不是
，不符合题意，故A 错误；
11
令
，则在
上函数单调递增，且
，而
单调递减，
由复合函数的单调性知
在
上单调递减，故B 错误；
的定义域为
，且
，所以函数为偶函数，
又当
时，
单调递增，故C 正确；
，所以函数的定义域为
，且
，函数为偶函数，
当
时，
，由幂函数性质知，函数为增函数，故D 正确.
故选：CD
9．（2025·广东江门·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
且
，得
，即
或
，
所以函数
的定义域为
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，
所以函数
的单调递增区间为
.
故选：B.
10．（2024·湖北荆门·一模）函数
的单调递减区间为（ ）
12
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
是减函数，根据复合函数的单调性，可得
的单调递减区间为
．
故选：D.
11．（2024·四川宜宾·二模）已知
，则函数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，
，易知
是减函数，
因为
，又
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
又当
时，
，当
时，
，
则函数
的最大值是
，
故选：C.
12．（2025·广东阳江·二模）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】函数
，
13
由
，解得
或
，
函数
的图象如图所示，
由图可知，函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
.
13．（2024·云南曲靖·三模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，递增区间是
B．
是偶函数，递减区间是
C．
是奇函数，递减区间是
D．
是奇函数，递增区间是
【答案】C
【详解】解：将函数
去掉绝对值得
，
画出函数
的图象，如图，观察图象可知，
14
函数
的图象关于原点对称，
故函数
为奇函数，且在
上单调递减，
故选：C
考向3 函数奇偶性及应用
14．（2025·宁夏中卫·一模）已知
，
，两个函数图象至少有一个在区间
上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由函数
的对称轴为
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
；
又由函数
，可得
，
若
在
上不单调，则满足
，解得
，
15
所以两个函数图象至少有一个在区间
上不单调，则有
或
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：D.
15．（2025·江苏南京·模拟预测）若函数
，在
上单调递增，则m 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若
，
，因为底数
，对数函数
为单调递增函数，
在
上的最大值为
.
若
，
，求导得
，
要使
单调递增，则需满足
①对所有
恒成立，解得
，
因为
，则
，所以
，
若
在
上单调递增，则
②，解得
，
所以
.
故选：C.
16．（2025·云南丽江·模拟预测）若函数
在区间
上不单调，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
16
又函数
在区间
上不单调，所以
，
故选：B．
17．（2025·吉林松原·二模）已知函数
，对任意的
，且
，都
有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据题意，函数
对任意的
，且
，都有
，
所以
在
上为增函数，
又
，
所以有
，
即
，解得
，
故选：D．
18．（2025·四川成都·一模）若函数
在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，根据指数函数
在
上单调递增，可知
.
17
当
时，
，所以
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上不单调；
当
时，
，所以
，
在
上单调递减.
综上，
.
故选：C.
19．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，根据对数函数的性质可知：函数
在
上单调
递增，符合题意；
当
时，由换底公式可得
，
因为函数
在
上单调递增，且函数
在
上单调递增，所以
.
又
，所以
，
，所以
，所以
，即
，解得
.
18
综上，a 的取值范围为
.
故选：A.
20．（2024·福建漳州·模拟预测）已知
是定义域为
的函数，且
是奇函数，
是偶函
数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数
的取
值范围是 .
【答案】
【详解】因为
是奇函数，
是偶函数，满足
，
可得
，
联立方程组
，解得
，
又因为对任意的
，都有
成立，
所以
，所以
成立，
构造
，
所以由上述过程可得
在
单调递增，
(i)若
，则对称轴
，解得
；
(ii) 若
，
在
单调递增，满足题意；
(iii) 若
，则对称轴
恒成立；
综上可得，
，即实数
的取值范围为
.
19
故答案为：
.
考向4 奇函数+常数型求值
21．（2025·河北保定·一模）已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】A
【详解】
，令
，定义域为
，关于原点对称，
则
，所以函数
为奇函数，
因为
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
则
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
所以
，即
，
所以
，所以
．
故选：A．
22．（2025·广东深圳·一模）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则
.
【答案】4
【详解】
=
=2+
，
令
,则
，所以
为奇函数，
的最大值与最小值的和为
0，
20
故
,
故
.
故答案为：4.
23．（2025·湖南湘潭·二模）已知
是定义在
上的奇函数，函数
的最大值与
最小值分别为A，a，则
.
【答案】4
【详解】
.因为
是定义在
上的奇函数，所以
，
故
关于
对称，所以
4.
故答案为：4.
24．（2024·甘肃平凉·二模）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
.
【答案】4052
【详解】
，
设
，定义域关于原点对称，
由
，知函数
为奇函数，
，
因为
，
，
所以
.
故答案为：4052.
21
考向5 奇偶函数偏移
25．（2025·广东韶关·二模）已知
是定义在
上的偶函数，且
为奇函数，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【详解】令
，
由
为奇函数，
得
，
又
为偶函数，∴
，
∴
，
用
替换
，则
，
∴
，即4 为
的周期．
根据
，
令
，得
，
令
，得
，
又
为偶函数，且
，∴
，
，
又
的周期为4，∴
，
，
∴
．
∵
余
，
∴
．
22
故选：A．
26．（2025·河南洛阳·二模）已知定义在
上的函数
满足：
为奇函数，
，
，且对任意
，都有
，则
．
【答案】3
【详解】由题设
，则
，
所以
，即
关于
对称，又
，则
，
由于
，又任意
都有
，
所以
，
由
，故
，
而
，故
，故
．
综上，
．
故答案为：3
27．（2025·广西玉林·一模）（多选）已知
是定义在
上的偶函数，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
，
C．
D．
【答案】BC
23
【详解】对于A 选项，对任意的
，
，当
时，
，
所以
，
在等式
中，令
，可得
，故
，A 错；
对于C 选项，因为函数
是定义在
上的偶函数，则
，
所以
，即
，
所以
，C 对；
对于B 选项，对任意的
，
，
所以
，即函数
是周期为
的函数，
要求函数
的值域，只需求函数
在
上的值域即可，
当
时，
，
则
，
当
时，
，
故当
时，
，
则当
时，
，
，
故当
时，函数
的值域为
，故
，
，B 对；
对于D 选项，因为
，则
，
故
，D 错.
故选：BC.
28．（2024·贵州铜仁·二模）已知
是定义域为
的奇函数，若
为偶函数，
，则
的值为 .
【答案】
24
【详解】∵
为偶函数，∴
，
又
是定义域为
的奇函数，∴
，且
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
是一个周期为20 的周期函数，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
29．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】因为
为奇函数，所以
．
令
，得
，所以
，B 错误．
将
代入
，得
，A 正确．
将
代入
，得
，所以
，C 正确．
将
代入
，得
，D 正确．
故选：ACD
25
考向6 利用单调性、奇偶性解不等式、比较大小
30．（2025·安徽黄山·一模）已知函数
，则满足不等式
的
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，
当
时，
，而
，
所以
是奇函数，当
时，
，
因此函数
在
时，单调递减，
而
，且该函数是实数集上的奇函数，
所以该函数在实数集上为减函数，
所以不等式
转化为
，即
，
解得
，
故选：A
31．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，
26
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增.
又因为
，且
时
，
所以当
时，
，
当
时，
.
由奇函数的性质：当
时，
，
当
时，
.
对于不等式
，
当
时，只需
，所以
或
，
解得
或
，又
，则
；
当
时，只需
，所以
或
，
解得
或
，又
，则
.
综上所述，
的取值范围是
.
故选：D.
32．（2024·云南玉溪·一模）已知奇函数
的定义域为
，当
时，
，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】易得
在
上单调递增，且
.因为
是奇函数，
27
所以
在
上单调递增，且
.
由
，得
，
得
或
，解得
或
，
所以不等式
的解集为
.
故选：D
33．（2025·山东济宁·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，对任意的
，都有不
等式
成立.设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由对任意的
，都有不等式
，得函数
在
上单调递增，
由
是R 上的偶函数，得
在
上单调递减，而
，
因此
，所以
的大小关系为
.
故选：C
34．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知
是定义域为
的偶函数，且在区间
上单调递减，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
28
【详解】因为
是定义域为
的偶函数，所以
，
在区间
上单调递减，则在区间
上单调递增，
可知
，所以
，即
.
故选：C.
35．（2024·广西柳州·一模）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
的图象如图所示，
则
的零点个数是 ；不等式
的解集为 .
【答案】 3
【详解】由图象可知：当
时，
；
；当
时，
；
因为
是定义在
上的奇函数，则
，
且当
时，
；
；当
时，
；
综上所述：
的零点为
，0，1，共3 个；
对于不等式
，可知
与
同号，
可得
或
，所以不等式
的解集为
.
故答案为：3；
.
36．（2025·四川内江·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，若对任意的
、
，且
，都有不等式
，且
，则不等式
的解集是 .
29
【答案】
【详解】不妨设
，由
可得
，
不等式
两边同除
得
，
令
，则
，故函数
在
上为增函数，
因为函数
为
上的奇函数，由题意可知，函数
的定义域为
，
，故函数
为偶函数，
故函数
在
上为减函数，
因为
，则
，
由
可得
，
当
时，
，即
满足不等式
，
当
时，则
，由
可得
，
所以
，解得
；
当
时，则
，由
可得
，
，解得
；
综上所述，不等式
的解集是
.
故答案为：
.
考点二 对称性和周期性
30
1．（2025·全国一卷·高考真题，5,5 分）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，11,6 分）（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
31
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
32
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）
的对称轴为
；（2）
关于
对称
；（3）任何三次函数
都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是
的解，即
是三次函数的对称中心
知识1 函数的周期性：
①若
，则
；②若
，则
；
③若
，则
；④若
，则
；
⑤若
，则
（
）；
知识2 函数的对称性：
对称轴：（1）函数
对于定义域内任意实数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别地当
时，函数
关于直线
对称；
（2）若
是偶函数，则
关于直线
对称
对称中心：（1）对任意
，都有
，则点
称为函数
的对称中心；
33
（2）若
是奇函数，则
关于直线
对称
知识3 函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2 ）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
知识4 原函数与导函数的性质
（1）若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f ' (x) 的图像关于x=m 轴对称
（2）奇函数的导数为偶函数
（3）若函数f (x)是可导函数，且图像关于(m,n)对称，则其导函数f ' (x) 的图像关于x=m 轴对称
（4）偶函数的导数为奇函数
（5）若函数f (x)是可导函数，且图像关于x=m 对称，则其导函数f ' (x) 的图像关于(m,0)对称
偶函数的导数为奇函数
（6）若定义在R 上的函数f (x)是可导函数，且周期为T，则其导函数f ' (x) 是周期函数，且周期也为T
（7）若函数f (x)是可导函数，定义域为D，其导函数f ' (x) 的图像关于x=m 轴对称，则f (x)图像关于
(m,
f (x0)+f (2m−x0)
2
)对称，x 0
为定义域内任意一点
考向1 函数的周期性
34
1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知定义域为
的偶函数满足
，且
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据
为偶函数及
，
.
故选：D
2．（2025·河北保定·三模）已知函数
是周期为2 的奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【详解】由题函数
是周期为2 的奇函数，且
，
所以
.
故选：A
3．（2025·四川绵阳·一模）设
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
的值为 ．
【答案】
【详解】由题设
，
所以
是周期为3 的奇函数，则
.
故答案为：
35
4．（2025·安徽阜阳·一模）如果
且
，则
的值为（ ）
A．1012
B．2024
C．1013
D．2026
【答案】D
【详解】因为
，所以
，又
，所以
，
则
.
故选：D
5．（2025·四川德阳·模拟预测）已知定义在R 上的函数
满足
则
等
于（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】由题设，当
时，
，
即当
时，3 是函数
的一个周期，
则
．
故选：C.
6．（2024·河南驻马店·三模）（多选）已知定义在R 上的连续函数
是偶函数，且满足
，且
，
，
，都有
，则（ ）
A．
B．
在
单调
C．
D．
在
有三个极值点
【答案】CD
【详解】由
可知
，所以
，
36
A 错误；
因为
,
，
，都有
，所以
在
单调递增，又
为偶函数，所
以
在
单调递减，由周期性可知
在
单调递增，所以
在
不单调，B 错误；
由A 项知
的周期为8，所以
，又
，且
在
单调递增，故
，C 正确；
由
为偶函数知
是
的一个极值点，又
的周期为8，则
是
的一个极值点，又
，
，则
，所以
的图象关于直线
对称，即
是
的一个极值点，因此
在
内有三个极值点，D 正确；
故选：CD.
7．（2024·河南商丘·一模）已知
是定义在
上且周期为2 的函数，当
时，
，则
．
【答案】
【详解】
是定义在
上且周期为2 的函数，当
时，
，
则
，
，
所以
.
故答案为：
37
考向2 函数的对称性
8．（2025·山东东营·三模）已知函数
，则函数
的图像对称中心是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】任意取函数
上一点
，则
，
对于A，点
关于点
成中心对成的点为点
，
，故A 错误；
对于B，点
关于点
成中心对成的点为点
，
，故B 错误；
对于C，点
关于点
成中心对成的点为点
，
，故C 正确；
对于D，点
关于点
成中心对成的点为点
，
，故D 错误.
故选：C.
9．（2025·宁夏吴忠·一模）函数
的图像关于点
中心对称，则
.
38
【答案】
/
【详解】函数
的图像关于点
中心对称，
所以
，解得
，
所以
.
故答案为：
10．（2025·广西南宁·三模）已知函数
，则下列函数的图象关于
中心对称的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
，定义域为
，
则
，故函数为
奇函数，则关于原点对称，
因此函数
为函数
向右平移一个单位得到，
故函数
关于
对称，且函数
关于点
对称，
因此函数
关于点对称，
故选：B.
11．（2025·湖北随州·二模）函数
的图象的对称中心为 ．
【答案】
39
【详解】函数
，
则函数
的图象可由
的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位而得，
而函数
图象的对称中心为
，所以函数
的图象的对称中心为
.
故答案为：
12．（2024·安徽滁州·三模）已知函数
的定义域为
，满足
，且
在
上为严格减函数，则不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】由
，即
关于
对称，
又
在
上为严格减函数，则在
上为严格增函数，
由
，则
，即
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
13．（2025·山东烟台·一模）若函数
（
）满足
，且函数
的图象与
函数
的图象的交点分别为
，
，…，
，则
.
【答案】7
【详解】函数
（
）满足
，故其图象关于直线
对称，
函数
，其图象也关于直线
对称，
故它们图象的交点也关于直线
对称，
两函数图象的交点分别为
，
，…，
，
不妨设
，则必有
在直线
上，即
，
40
，
故
.
故答案为：7
考向3 利用双对称一周期
14．（2024·安徽淮南·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，满足
，且
在
上单调减，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，
又
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调减，
所以
在
上单调增，
所以
，
故选：C
15．（2025·辽宁抚顺·一模）函数
对任意
，
，且
为奇函数，给出下
列说法，其中错误的个数为（ ）
（1）若
时，
，则
；
（2）
的周期为
；
（3）
的图象关于点
对称；
41
（4）
.
A．个
B．
个
C．个
D．
个
【答案】C
【详解】
，
图象关于直线
对称；
为奇函数，
，
图象关于点
对称；
，
，
，即
，
，
的周期为
，（2）错误；
，
，又
，
，
为奇函数，
若
时，
，则
，（1）错误；
图象关于点
对称，周期为
，
图象关于点
对称，（3）正确；
，
，（4）错误.
故选：C.
16．（2025·辽宁本溪·一模））设函数
的定义域为
为偶函数且
.若
时，
，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】因为
为偶函数，所以
，
即
（①）可知
关于
对称，
42
通过
（②），
可知
（③），
联立①②式可得：
，
联立②③式可得：
，
易得
周期为4，
①中令
,②中令
可得
；
故
，
所以
，
故选：D.
17．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）设函数
的定义域为
，若
与
都是关于
的奇函数，
则函数
在区间
上至少有 个零点.
【答案】
【详解】∵
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
，
又
是关于
的奇函数，
∴
关于
对称，∴
关于
对称；
∴
，
∴
，∴
，
43
即
的周期为
.
又易知
，∴
，
∴
，
，
即
，
的一个零点恰为
．
∵
，令
，解得
，
又
，所以
，
所以
在区间
至少有
个零点．
故答案为：
18．（2025·河南开封·三模）（多选）已知定义在
上的奇函数
满足
，且
，
则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
C．
的最小正周期为6
D．
在
上至少有9 个零点
【答案】ABD
【详解】对于A，由
得
的图象关于点
对称，故A 正确；
对于B，由
，令
可得
，得
，故B 正确；
对于C，因为
是奇函数，由
，可知3 是
的一个周期，则其最小正周期
不大于3，所以
的最小正周期不可能是6，故C 错误；
对于D，
，
，
，
，
44
在
上至少有9 个零点，故D 正确．
故选：ABD.
19．（2024·河北唐山·二模）（多选）设函数
定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
上为减函数
D．
关于
对称
【答案】BC
【详解】由
为奇函数得：
，则
关于
对称，
所以
，即
，
则
，即
，
由
为偶函数得：
，则
关于
对称，
所以
，即
，
综上，
，则
，
故
，即
易知
的周期为，
所以
，而
为奇函数，故
为奇函数，B 正确；
因为
关于
对称且
关于
对称，
关于
，
对称，所以D 错误；
，A 错误；
因为
的周期为，所以
在
上的单调性与
在
上单调性一致，
由
时
单调递减，且
关于
对称，
所以
在
上也单调递减，所以
在
上为减函数，所以
在
上为减函数，C 正
45
确．
故选：BC
考向4 类周期函数及其应用
20．（2025·河北秦皇岛·一模）若函数
在
上满足：
.当
时，
，
且当
时，
.对
，都有
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，则函数
关于直线
对称，
当
时，
，且
时，
，
则
时，
，则
，即
；
时，
，则
，即
，且
；
作出函数
的大致图象，如图，
由图可知，
，则
，即
的最大值为
.
故选：B
21．（2025·吉林吉林·一模）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
，若对
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
46
【答案】D
【详解】解：
，
，
，
时，
，
，
，
时，
，
，
，
；
，
时，
，
，
，
；
，
时，
，
，
，
．
当
，
时，由
，解得
或
．
若对任意
，
，都有
，则
，即
．
故选：
．
【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思
想方法，属于中档题．
22．（2025·湖南湘潭·三模）设函数
的定义域为
，且满足
，当
时，
.若
时，
的最大值为1，则实数的取值范围是
A．
B．
47
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
.
；
当
时，
.
；
当
时，
.
；
当
时，
.
；
所以当
时，
解得
因为
的最大值为1，结合图像知
故选A.
【点睛】本题考查已知函数最值，求定义域，这类题一般画出图形，通过数形结合，解题．属于中档题．
23．（2025·浙江宁波·二模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
48
【答案】C
【详解】当
时，
.
因为
，所以
，即
.
在直角坐标系内，画出
时，
的图象（如图所示）.
由于
时，
的最小值为
，所以
时，当
时，
的最小值为
，
因此，为使
时，
恒成立，
需
，即
，解得
或
，故选C
【点睛】解答本题的关键，是弄清在不同区间上，函数解析式之间的关系，由于
，说明
时函数的图象，是
时函数的图象，沿
轴向左平移
个单位，然后纵坐标缩短到原来的
，因此函数的最小值得以确定.本题较好地考查考生的转化与化归思想、数形结合思想、基本运算能力.
24．（2024·广东湛江·三模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
.若存在
，使得不等式
成立，则实数的取值范围是
.
49
【答案】
【详解】因为
，所以当
时，
，
则
，
当
时，
,当
时，
,
所以当
时，
的最小值是
，
又因为存在
，使得不等式
成立，等价于
，
则
, 则实数的取值范围是
.
考向5 原函数与导函数的奇偶性、对称性
25．（2025·福建龙岩·二模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，已知
和
都是偶函数，且
，则
的值为（ ）
A．1
B．－1
C．2025
D．－2025
【答案】B
【详解】因为
为偶函数，所以
，
即
，
所以
关于直线
对称，求导得
关于点
对称，
即
，
又
为偶函数，则
，所以
关于直线
对称，
推导周期：
及
，
50
得
，
得
，
得
，
得函数
的周期为4，
由
，得
，
得
，
共
项和，因为
，
所以
，
故选：B.
26．（2024·河南周口·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，
，
为
的导函数，则下列说法错误的是（ ）
A．3 为
的一个周期
B．
关于点
对称
C．
是偶函数
D．
【答案】D
【详解】对于A，由
，令
，则
，即函数关于点
中心
对称，
结合
，
，
所以
，
51
因此，3 是
的一个周期，故A 正确；
对于B，由A 选项可知
，且周期为3，令
，得
，
又因为
，所以
，也即
关于点
中心对称，故B 正确；
对于C，由B 选项可知
，两边对x 求导，得
，即
，因此
是偶函数，故C 正确；
对于D，由
，令
，得
，即
，
由周期为3，且
，得
，
由
，令
，可得
，
进一步
，
根据周期性，
，故D 错误．
本题选择错误的，故选：D．
27．（2025·甘肃天水·二模）（多选）已知定义在
上的偶函数
可导，
的导数为
是奇函数，则（ ）
A．
B．
的一个周期为8
C．
D．
的图象关于
对称
【答案】BCD
【详解】因为
是奇函数，所以
，
令
，可得
，解得
，A 错误；
因为
是偶函数，则
，且
，
52
用
代替
可得
，即
.
又
，则
，所以
，从而有
，
所以
的一个周期为8，B 正确；
因为
是偶函数，则
，两边求导得
，
所以
是奇函数，所以
，C 正确；
由
，两边同时对
求导得
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称，D 正确.
故选：BCD
28．（2025·四川泸州·模拟预测）（多选）已知函数
和
的定义域均为R，且
是
的导函
数，若
和
均为奇函数，则（ ）
A．
B．0 是
的一个极值点
C．
和
均为周期函数
D．
【答案】ABC
【详解】因为
是奇函数，所以
，两边求导可得
，
所以
，因为
是
的导函数，即
，
所以
是偶函数，令
，可得
，所以
，
因为
均为奇函数，所以
，
令
，可得
，可得
，
53
又
是偶函数，所以
，故A 正确；
因为
是偶函数，所以
，求导可得
，
所以
，令
，可得
，从而可得
，
由
，可知
在
两侧导数值异号，所以0 是
的一个极值点，故B 正确；
由
，又
是偶函数，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
是以4 为周期的周期函数，因为
，
所以
，所以
，
所以
也是以4 为周期的周期函数，故C 正确；
由
以4 为周期的周期函数，
所以
，
又
是奇函数，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
，
无法确定，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：利用奇函数的导数偶函数，可确定
是周期函数，进而确定
是周期函数，
进而计算可判断D 的正确性.
29．（2025·江苏徐州·二模）设定义在
上的函数
与
的导函数分别为
和
，若
54
，且
为奇函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A，因为
为奇函数，所以
，取
可得
，A 正确．
对于B，因为
，所以
，
所以
．又
，
故
，所以函数
的图象关于点
对称，B 错误．
对于D，因为
，所以
，
所以
为常数．
因为
，所以
，
所以
，取
可得
，所以
．
又
，所以
，所以
，
所以
，故函数
为周期为4 的函数．
因为
，所以
，
所以
，
所以
，D 正确．
对于C，因为
，所以
，所以
，
55
故函数
为周期为4 的函数，
，
所以函数
为周期为4 的函数，又
，
所以
，
所以
，
C 正确．
故选：B.
30．（2025·云南保山·一模）已知函数
，则
．
【答案】2020
【详解】由于
的图象的对称轴为直线
，
所以
关于点
对称，
从而有
．
令
，
则
，
所以
，得
．
故答案为：2020.
31．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，则
.
【答案】0
56
【详解】
为偶函数，
，
，
为奇函数，
，
，即
，
，
，即函数的周期为4，
，
又
，
，
，
，即
，
由
，得
，
，
.
故答案为：0
57
58
