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专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特
性以解析函数性质问题
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................7
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................17
题型一：函数单调性的合应用
17
题型二：函数的奇偶性的综合应用
22
题型三：已知f(x)=奇函数+M
26
题型四：利用轴对称解决函数问题
29
题型五：利用中心对称解决函数问题
33
题型六：奇偶性对称偏移
38
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
42
题型八：双对称与周期性
47
题型九：双函数与对称性
52
题型十：类周期与倍增函数
56
重难点突破：函数性质与导数
64
1
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从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
函数的性质
掌握函数性质，
熟练解题应用
2024 年新高考I 卷第8 题，5 分
2024 年新高考II 卷第11 题，6 分
2023 年新高考II 卷第4 题，5 分
2023 年新高考I 卷第4 题，5 分
2022 年乙卷第12 题，5 分
2022 年新高考II 卷第8 题，5 分
2021 年甲卷第12 题，5 分
2021 年新高考II 卷第8 题，5 分
预计2025 年高考中，题
目将更倾向于以小题（如选择
题或填空题）的形式来考察学
生，这些小题将可能融合在解
答题的解答过程中，作为一个
相对独立的考察点。具体来
说，可以预见的是：
（1）题目将采用选择题或填
空题的形式，旨在检验学生的
综合逻辑推理和解析能力。
（2）考试的热点将聚焦于函
数的单调性、奇偶性以及对称
性这三个特性的综合应用和分
析。
2
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3
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1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或减）函
数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．
4
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（5）若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记
，
，则
．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如
．
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶．
（7）复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
5
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4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，
且
．
5、对称性技巧
（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于
轴对称，函数
与
关于原点对称．
6
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1．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时
，所以
，
又因为
，
则
，
，
，
，
，则依次下去可知
，则B 正确；
且无证据表明ACD 一定正确.
故选：B.
2．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
7
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D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【解析】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
8
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，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
3．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
4．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为
，
9
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，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
10
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故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值，故D 错误.
故选：
.
5．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【解析】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
11
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又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
6．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可
得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为
．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
12
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解得
，取
，
所以
，则
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
7．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
13
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所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
所以
.
故选：D
8．（多选题）（2022 年新高考全国I 卷数学真题）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于
，因为
为偶函数，所以
即
①，所以
，所以
关于
对称，则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，所以
关于
对称，由①
14
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求导，和
，得
，
所以
，所以
关于
对称，因为其定义域为R，所以
，结合
关于
对称，从而周期
，所以
，
，故B 正确，D
错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知
周期为2，关于
对称，故可设
，则
，显然A，D 错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
15
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所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数值，
故A 错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
9．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）若
是奇函数，则
，
．
【答案】
；
．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
[方法二]：函数的奇偶性求参
16
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函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，在定义域
内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
10．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为
偶函数，当
时，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】[方法一]：
因为
是奇函数，所以
①；
因为
是偶函数，所以
②．
令
，由①得：
，由②得：
，
因为
，所以
，
令
，由①得：
，所以
．
思路一：从定义入手．
所以
．
[方法二]：
因为
是奇函数，所以
①；
因为
是偶函数，所以
②．
令
，由①得：
，由②得：
，
因为
，所以
，
令
，由①得：
，所以
．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数
的周期
．
18
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所以
．
故选：D．
11．（2021 年全国新高考II 卷数学试题）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为
奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
为偶函数，则
，可得
，
因为函数
为奇函数，则
，所以，
，
所以，
，即
，
故函数
是以
为周期的周期函数，
因为函数
为奇函数，则
，
故
，其它三个选项未知.
故选：B.
12．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设
是定义域为R 的奇函数，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得：
，
而
，
19
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故
.
故选：C.
题型一：函数单调性的合应用
【典例1-1】若函数
在区间
内不单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以函数
为偶函数.
由二次函数知识知函数
在
上递减，在
上递增.
所以由f (x)是偶函数，可知f (x)在
和
上递减，在
和
上递增.
①当
时，f (x)在
上递减，不满足条件；
②当
时，f (x)在
上递增，不满足条件；
③当
时，f (x)在
上递减，在
上递增，所以在
上不单调，满足条件；
④当k =1时，f (x)在
上递增，在
上递减，所以在
上不单调，满足条件；
⑤当
时，f (x)在
上递减，在
上递增，所以在
上不单调，满足条件.
综上，实数
的取值范围为
．
故选：A.
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【典例1-2】已知函数
是
上的偶函数，对任意
，且
都有
成立．若
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数
是
上的偶函数，则函数
的图象关于直线
对称，
又由对任意
，且
，都有
成立，则函数
在
上为增函数，
又
，
，
，
又
，所以
，由函数
的图象关于直线
对称，知
，
又
，所以
，故
，
故选：A．
函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或
定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。
【变式1-1】定义域为
的函数
满足条件：①对任意的
，恒有
；
②
；③
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
21
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【答案】A
【解析】因为
，恒有
，
所以
在(0,+ ∞)上恒成立，即
在(0,+ ∞)上单调递增，
因为
，所以
，即
是定义在
上的偶函数，
所以函数
在
上单调递减，又
，所以f (3)=0，
对于不等式
，
当
时，
，可得
；
当
时，
，可得
；
综上，不等式
的解集是
.
故选：A
【变式1-2】已知函数
是偶函数，当
时，
恒成立，设
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
当
时，
恒成立，
当
时，
，即
，
函数
在
上为增函数，
函数
是偶函数，即
，
函数
的图象关于直线
对称，
，
22
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又函数
在
上为增函数，
，
即
，
.
故选：B.
1．已知函数
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
为偶函数，图象关于
轴对称，且
在(0,+∞)单调递增，在
单调递减，
将
的图象向右平移一个单位可得
，
故
图象关于
对称，且
在(1,+∞)单调递增，在
单调递减，
由于
,故
，
又
得
，由于
，
综上可得
故选：D
2．设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，易知函数
是增函数，
23
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因为
在区间
上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，
在
上单调递减.
因为函数
在
上单调递减，
所以
，即
.
故选：D.
3．已知
，
是定义域为R 的函数，且
是奇函数，
是偶函数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
因为
是奇函数，
是偶函数，
所以
，
联立
，解得
，
又因为对于任意的
，都有
成立，
所以
，
所以
成立，
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构造
，
所以由上述过程可得
在
单调递增，
（1）若
，则对称轴
，解得
；
（2）若
，则
在
单调递增，满足题意；
（3）若
，则对称轴
恒成立；
综上，
.
故选：D.
题型二：函数的奇偶性的综合应用
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得：
，
的定义域为
；
，
为定义在
上的偶函数，
，
，
当
时，
，即
，又
，
，
，
在
上单调递增，又
为偶函数，
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图象关于
轴对称，在
上单调递减，
由
得：
，解得：
，
的解集为
.
故选：D.
【典例2-2】（2024·陕西商洛·一模）已知函数
，若不等式
成立，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，故
是奇函数．
不等式
等价于不等式
即不等式
因为
是奇函数，所以
易证
是
上的减函数，则
，即
，解得
．
故选：B.
函数的奇偶性是一个强大的工具，它能帮助我们简化计算，快速求解问题。通过验证函数是否满足奇
函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，
奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使
我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。
【变式2-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数
为定义在R 上的奇函数，且在
上单调递
减，满足
，则实数a 的取值范围为（ ）
26
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
为定义在R 上的奇函数，且在
上单调递减，
所以
在
上是减函数，
，即
，
所以
，
所以
，
所以
，即实数a 的取值范围为
.
故选：
.
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在
上的函数
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】记
，则
，
故
为
的奇函数，
又
，
因此
为
上的单调递增函数，
因为
，
由
可得
，进而
，
27
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故
，解得
，
故选：D
1．已知函数
，若
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，易知其定义域为R，
，
所以
为奇函数，且在
上
、
、
均递增，
所以
在
上单调递增，且函数在R 上连续，故
在定义域上递增，
由
，
所以
，显然该式在
上恒成立，
所以
.
故选：D
2．已知函数
是
上的奇函数，则
（ ）
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】B
28
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【解析】
，
是
上的奇函数，
又
为奇函数，则分母上的函数需为偶函数，
，
.
故选：
.
3．已知
为定义在R 上的偶函数，则函数
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是定义在R 上的偶函数，所以f (−x)= f (x)，即
，
所以
是定义在R 上的偶函数.
对于选项A，因为
，所以函数
定义域为(−1,1)，所以不满足题意；
对于选项B，函数
定义域为R，
，
是奇函数，不符合题意；
29
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对于选项C，函数
定义域为R，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
且
，所以
为偶函数，符合题意；
对于选项D，函数
定义域为R，
，
为奇函数，不符合题意；
故选：C.
题型三：已知f(x)=奇函数+M
【典例3-1】[新考法]已知函数
，当
时，记函数
的最大值为
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【解析】根据题意，
，
是偶函数，
当
时，
，
由二次函数的性质，
在
上的最大值为f (1)或
，
由偶函数对称性，
在
上的最大值为f (1)或
，
，则
，
30
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即
.
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
【典例3-2】已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
．
【答案】6
【解析】设
，
则
的定义域为
，且连续不断，
由
，可知
为奇函数，
设
在
上的最大值为
，
由奇函数的对称性可知
在
上的最小值为
，
则函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，
所以
.
故答案为：6.
已知
奇函数
，
，则
（1）
（2）
31
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【变式3-1】[新考法]函数
的最大值为
，最小值为
，若
，则
．
【答案】1
【解析】
，
设
，则
，
记
，
因为
，
所以
是在
上的奇函数，最大值为
，最小值为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
故答案为：1．
【变式3-2】已知函数
，若
，则
．
【答案】
【解析】由
，则
，
又
，故
．
故答案为：
1．设函数
的最大值为M，最小值为m，则
.
【答案】4046
【解析】
，
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设
，定义域关于原点对称，
由
，知函数
为奇函数，
因为
，
，
所以
.
故答案为：4046.
2．若关于x 的函数
的最大值和最小值之和为4，则
．
【答案】2
【解析】当
时，
，当
或
时，
，
所以f (x)的定义域为
.
又
，
设
，则
，∴g(x)为奇函数；设g(x)的最大数值为M，最小值为
N，
则
，则
的最大数值为
，最小值为
，
∴
的最大值与最小值之和为
，得
．
故答案为：2．
3．函数
的最大值为
，最小值为
，若
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
33
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设
，
则
，
设
，
则
，
所以
是
上的奇函数，最大值为
，最小值为
，
所以
，
由
，得
，
故答案为：
题型四：利用轴对称解决函数问题
【典例4-1】已知偶函数
的定义域为
，对任意的
满足
，且
在区间
上
单调递减，若
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
关于
对称，
又因为
为偶函数，
所以
，
所以
为周期函数，
，
34
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因为
，且
，
所以
，
，
因为
，
所以
又因为
，
所以
，
因为
在
上单调递减，
为偶函数，
所以
在(0,1)上单调递增，
所以
，
所以
，
故选：D.
【典例4-2】（2024·辽宁·一模）已知函数
为偶函数，且当
时，
若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
为偶函数，故其图象关于y 轴对称，则
的图象关于直线
对称，
当
时，
，因为
在
上单调递增且
，
而
在
上单调递减，故
在
上单调递减，
则
在
上单调递增，
35
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故由
可得
，即
，
则
，故
，
故选：A
轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均
值来找出对称轴。
(1)已知函数
满足
,则
的对称轴为直线
.
(2)已知函数
满足
,则
的对称轴为直线
.
(3)已知函数
满足
,则
的对称轴为直线
.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数
的图象关于直线
对称，且函数
的最小值为1，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】D
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
恒成立，
即
恒成立，
即
恒成立，
所以
，即
，
所以
，
36
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又因为函数
有最小值为1，
所以
且
，即
，
所以
，即
，
所以
，所以不等式
，
即
，即
，
解得
或
，
故选：D．
【变式4-2】函数
满足：对
，都有
，则a+b 为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】因为函数
满足：对
，都有
，
所以
，即
，解得
，
经检验满足题意，所以
，
故选：C.
1．已知函数
，且满足
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
的图象关于
对称，
而
关于
对称，
所以
，
.
37
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故选：B.
2．已知函数
的图象关于直线
对称，则函数
的单调递增区间为
A．(0，2)
B．[0，1)
C．(
∞
﹣，1]
D．(0，1]
【答案】D
【解析】函数f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线x=1 对称⇒f(2﹣x)=f(x),可求得a=2,利用复合函数的单调性解
求得答案.∵函数f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线x=1 对称,
∴f(2﹣x)=f(x),即ln(2﹣x)+ln[a
(2
﹣
﹣x)]=lnx+ln(a﹣x),
即ln(x+a
2)+
﹣
ln(2﹣x)=lnx+ln(a﹣x),
∴a=2.
∴f(x)=lnx+ln(2﹣x)=lnx(2﹣x),
.
由于y=x(2﹣x)=
(
﹣x
1)
﹣
2+1 为开口向下的抛物线,其对称轴为x=1,定义域为(0,2),
∴它的递增区间为(0,1],
由复合函数的单调性知,
f(x)=lnx+ln(2﹣x)的单调递增区间为(0,1],
故选：D.
3．已知
是方程
的根，
是方程
的根，则
的值为（ ）
A．2016
B．2017
C．2018
D．1009
【答案】C
【解析】由题意，
是
和
的图像的交点，
是
和
的图像的交点，
又
和
的图像关于直线
对称，且
和
垂直且交于
，
所以
和
关于
对称，故
.
故选：C.
38
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题型五：利用中心对称解决函数问题
【典例5-1】（2024·广东广州·一模）已知函数
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由诱导公式可得
，
，
，
．
故选：B.
【典例5-2】[新考法]已知：定义在
上的可导函数
的图象关于点
对称的充要条件是导函数
的图象关于直线
对称.任给实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】设函数
，则
，其图像关于
对称，故原函数
的图像
关于点
对称，且
，故对称点的坐标为
．
又由已知可得
，
，则
，
又当
时，
知
在
上恒单调递增．
故点
与点
关于点
对称．所以
即
．
故选：B．
39
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点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点
（即平均值）来确定对称中心的位置。
（1）已知函数
满足
，则
的对称点为点（0，0）．
（2）已知函数
满足
，则
的对称点为点（a，0）．
（3）已知函数
满足
，则
的对称点为点（a，b）．
（4）已知函数
满足
，则
的对称点为点
．
【变式5-1】（2024·四川宜宾·一模）已知函数
满足
，若函数
与
图象的交点为
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，
），
∴
的图象关于直线
对称，、
又
的图象关于直线
对称，
当
为偶数时，两图象的交点两两关于直线
对称，
∴
．
当
为奇数时，两图象的交点有
个两两对称，另一个交点在对称轴上，
∴
故选B．
40
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【变式5-2】（2024·高三·山西·期中）已知函数
，其中
为函数
的导数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将函数解析式变形为
，求得
，进而可求得所求代数式的值.
，
所以，
，
，函数
的定义域为
，
，
所以，函数
为偶函数，
因此，
.
故选：B.
【变式5-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）设函数
的定义域为D，若对任意的
，且
，恒有
，则称函数
具有对称性，其中点
为函数
的对称中
心，研究函数
的对称中心，求
41
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（ ）
A．2022
B．4043
C．4044
D．8086
【答案】C
【解析】令函数
，则
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，
可得
的图象关于
点中心对称，
即当
，可得
，
设
，
所以
所以
.
故选：C.
1．设函数
的定义域为
，若对于任意
、
，当
时，恒有
，
则称点
为函数
图象的对称中心．研究函数
的某一个对称中心，并利用对
称中心的上述定义，可得到
的值为（ ）
42
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A．
B．4031
C．
D．8062
【答案】C
【解析】∵
，
∴当
时，
，
∴根据对称中心的定义，可得当
时，恒有
，
∴
．
故选：C．
2．已知函数
，则
（ ）
A．4025
B．-4025
C．8050
D．-8050
【答案】D
【解析】应用倒序相加法求和．∵
，
记
，
则
，
∴
，
．
故选：D.
3．若函数
的图象关于原点对称，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
43
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【解析】由题可知，函数
的图象关于原点对称，则其为奇函数，
因为
为奇函数，则
为偶函数，
故
，即
，则
.
因为
恒成立，则
，
解得
.
故选：B
题型六：奇偶性对称偏移
【典例6-1】（2024·高三·浙江·期中）已知函数
的定义域为
，且
是偶函数，
是奇
函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
为偶函数，则
，
令
可得
，所以，
，
因为函数
为奇函数，则
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，关于点
对称，
又因为函数
的定义域为
，则
，则
，
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、
、
的值都不确定.
故选：D.
【典例6-2】已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，
为偶函数．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
为偶函数，
，
图象关于直线
对称，
；
为奇函数，
，
图象关于点
对称；
.
故选：A.
（1）若
为奇函数，则
．
（2）若
为奇函数，则
．
（3）若
为偶函数，则
．
（4）若
为偶函数，则
．
【变式6-1】已知
是定义域为
的奇函数，
是定义域为
的偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，所以函数
关于点
对称，且
因为
是定义域为
的偶函数，
所以
，所以函数
关于直线
对称，
所以
，即
.
故选：A
【变式6-2】已知
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，且当
时，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，故可得
，
又
为偶函数，所以有：
，
所以，有
，即
所以
，故
以为周期，
故
．
因为当
时，
，
所以
.
故选：B
【变式6-3】（多选题）已知
是定义在
上的奇函数，
为偶函数，且
，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
的图象关于点
中心对称
D．
【答案】BCD
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【解析】由
是定义在
上的奇函数可知
，且
；
又
为偶函数，可得
，
令
，所以
，即A 错误；
由
可知
的图象关于直线
对称，即B 正确；
易知
关于
成中心对称，又关于直线
对称，
所以
的图象关于点
中心对称，即C 正确；
显然
，即
；
所以
，即
，所以
，
可得
是以8 为周期的周期函数，
即
，即D 正确.
故选：BCD
1．设
是定义域
的奇函数，
是偶函数，且当
，
.若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是定义域
的奇函数，所以
，
，
因为当
，
，所以
，从而
，
47
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因为
是偶函数，即
的图像关于
轴对称，
因为
图像是
图像向左平移一个单位得到的，
所以
的图像关于
对称，故
，
因为
，所以
，
因为
，
，
所以
.
故选：B.
2．奇函数
的定义域为R，若
为偶函数，且
，则
（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．1
【答案】B
【解析】由题意，奇函数
的定义域为R，若
为偶函数，
则
，即
，
则
，即
是周期为4 的周期函数，
，
，
则
，
故选：B．
3．已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
为奇函数，则
，可得
函数
为偶函数，则
，可得
，
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所以
，即
，即
，
即
，即
故函数
是以8 为周期的函数，
由
，令
，得
，知
由
，令
，得
，故A 正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故BCD 不一定成立.
故选：A
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例7-1】若
，且
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．
D．0
【答案】A
【解析】令
，
，得
，得
，
令
，
，
又
，故
，即
，
故
得到周期
，
令
，
，即
，故
是偶函数，
又
，
，所以
得到图象关于
对称，
49
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所以
，
，
，
，
所以
.
故选：A
【典例7-2】已知函数
的定义域为
，
，且
，则
（ ）
A．1
B．
C．2024
D．
【答案】B
【解析】令
，
，则
，因为
，所以
，
令
，则
，
则
，
则
，所以
以6 为周期，
令
，得
，所以
，
则
．
故选：B．
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解题技巧关键在于：首先，通过代入特殊
值或利用已知条件判断函数的性质；其次，对于单调性，可利用导数或定义法判断；奇偶性
则通过观察函数表达式或图像来判断；周期性需找出函数重复出现的规律；对称性则需找出
函数图像的对称轴或对称中心。最后，结合这些性质，可以简化函数表达式，求解最值、解
不等式或证明等式等问题，提高解题效率和准确性。
【变式7-1】已知函数
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
50
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【答案】C
【解析】由题，
，
，
令
，可得
，
则
，
即
，即
，
所以
，函数
是周期为12 的周期函数，
则
.
故选：C.
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）若定义在
上的函数
，满足
，
且
，则
（ ）
A．0
B．-1
C．2
D．1
【答案】D
【解析】令
，则有
，
又
，∴
.令
，
.
则有
，∴
.
令
，则有
.
∵
，∴
，∴
，
∴
.
故选：D.
51
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1．（多选题）若定义在R 上且不恒为零的函数
满足：对于
，总有
恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
，则
周期为6
【答案】ACD
【解析】令
，得
，所以
且函数
不恒为零,∴
，A 选项正确，B 选项错误；
令
，
，
即
.
∴
对任意的实数
总成立，
∴
为偶函数，C 选项正确；
若
，令
，得
，
所以
，
两式相加得
所以
，即得
所以
，可得函数f (x)周期为6.
故选：ACD.
52
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2．（多选题）已知函数
满足：
，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为周期函数
D．
【答案】ACD
【解析】取
，
代入
，
得
，解得
，故A 正确，B 错误；
令
，则
，即
，
故
，
所以
是周期为6 的周期函数，故C 正确；
又
，
，所以
，故D 正确．
故选：ACD
3．（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，
，且对任意
，都有
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是周期为4 的奇函数
B．
图象关于直线
对称
C．
在区间
上单调递增
D．
【答案】ABD
【解析】任意
，有
，
令
，则
，解得
，
任意x∈R，令
，则
，
即
，所以
是奇函数，则
的图象关于原点对称；
53
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又f (x +2)=−f (x)= f (−x)，则函数y = f (x)的图象关于直线
对称；
又f (x +2)=−f (x)，则f (x + 4)=−f (x +2)= f (x)，
所以函数y = f (x)为周期函数，4 为函数y = f (x)的一个周期，
故A 正确，B 正确；
C 项，对任意
，都有
，
故
在[−1,0]单调递增，又
图象关于原点对称，
则
在
单调递增，又
的图象关于直线
对称，
则
在
单调递减，故C 错误；
D 项，由
的周期为4，且
的图象关于直线
对称，
则
，故D 正确：
故选：ABD.
4．（多选题）若定义在
上的函数
满足：对任意
都有
且
，
则下列结论一定正确的是（ ）
A．点
是
图象的一个对称中心B．点
是
图象的一个对称中心
C．
是周期函数
D．
【答案】ABD
【解析】令
，则
，有
，
令
，则
，得
，
又
，所以点
是
图象的一个对称中心，故A 正确；
令
，则
，
54
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令
，则
，又
，
所以点
是
图象的一个对称中心，故B 正确；
设
，符合题意，但不是周期函数，故C 错误；
令
，有
，则
，
令
，有
，
，
所以
时
是3 为首项1 为公差的等差数列，
这样
，故D 正确.
故选：ABD
题型八：双对称与周期性
【典例8-1】设定义在
上的函数
的图象关于
对称，
为奇函数，若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．2025
【答案】B
【解析】在
上的函数
的图象关于
对称，则
，
由
为奇函数，得
，于是
，
，因此函数
是以4 为周期的周期函数，
由
，得
，由
，得
，
而
，则
，所以
.
55
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故选：B
【典例8-2】已知函数
对称轴为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以当
时，
，即
，
又函数
对称轴为
，所以
，
令
，则
，解得
，
故选：D
（1）已知函数
关于直线
和直线
对称，则
的周期为
．
（2）已知函数
关于点（a，0）和点（b，0）对称，则
的周期为
．
（3）已知函数
关于点（a，0）和直线
对称，则
的周期为
．
【变式8-1】若函数
的定义域为
，其图象关于点
成中心对称，且
是偶函数，则
（ ）
A．2023
B．
C．4048
D．
【答案】C
【解析】由
是偶函数知，
的图象关于直线
对称，
①,
又
的图象关于
中心对称，所以
②,
56
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则
③,
由①②③可得，
,故函数
的周期为4，
则
，
，
，则
，
则
．
故选：C
【变式8-2】（2024·贵州黔西·一模）已知函数f (x)的定义域为R，
，
为奇函数，
且
，则
（ ）
A．4047
B．2
C．
D．3
【答案】C
【解析】由函数
为奇函数，可得
关于点
对称，且
，
所以
，即
，
又因为
，可得
，
即
，则
，所以
，
所以函数
是周期为
的周期函数，
因为
，
，可得
，
，
所以
.
故选：C.
1．已知
及其导函数
的定义域为
，
为偶函数，
的图象关于点
对称，则
57
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
为偶函数，得
，则
．
两边取导数，得
①．
由
的图象关于点(1,0)对称，得
②．
①
②，得
，所以
，
则数列
中所有奇数项是公差为2 的等差数列，所有偶数项是公差为2 的等差数列．
在
中，令
，得
．
在
中，令
，得
．
在
中，令
，得
，
所以
，
所以数列
是以0 为首项，1 为公差的等差数列，所以
，
则
．
故选：D．
2．[新考法]已知函数
的定义域为
，且
的图象关于直线
对称，
是奇函数，则
下列选项中值一定为0 的是（ ）
A．
B．
C．f (1)
D．
【答案】B
【解析】
的图象关于直线
对称，则
.
58
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即
，令
，则
，
则
也关于
对称.
是奇函数，则
，
，
令
，则
，则
也关于
对称.且令
，得
.
由前面知道
，且令
，则
.
且
，令
，则
，
故
周期为4.则
.
，f (1)，都不确定是否为0．
故选：B.
3．（多选题）已知定义在
上的函数
分别满足：
为偶函数，
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
为周期函数
B．
C．
的图像关于点
中心对称
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由
可得
，即
的周期为2，A 正确.
对于B，因为
为偶函数，令
可得
无法确定，B 错误，
对于C，因为
为偶函数，所以
，
可得
，
59
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因此
关于点
中心对称，即C 正确；
对于D，
，
，
累加可得
，所以
，即D 正确.
故选：ACD
4．[新考法]（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，且
是奇
函数，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．若
，则
【答案】ACD
【解析】对于A，
，
，
，
，即
是周期
的周期函数，
，A 正确；
对于C，
为奇函数，
，
即
，
关于点
中心对称，C 正确；
对于B，
，
令
，则
，
，又
，
，B 错误；
对于D，
且
关于点
中心对称，
，
，
，
又
，
，
图象关于
轴对称，
60
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又
关于点
中心对称，
的图象关于
轴对称；
当
时，
，
，
，
，
，
，
，D 正确.
故选：ACD.
题型九：双函数与对称性
【典例9-1】已知函数
，则下列函数的图象关于直线
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
61
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【解析】因为函数
的定义域为
，且
，故函数
为偶函
数，图象关于
轴对称，
函数
的图象为函数
的图象向右平移1 个单位长度得到，故函数
的图象关于直线
对称，
而函数
的图象为函数
的图象向左平移1 个单位长度得到，故函数
的图象关于直线
对称，则可排除B,D 选项；
又函数
的图象关于直线
对称，因此函数
的图象关于直线
对称.
而又函数
的图象关于点
对称，故排除A 选项.
故选：C.
【典例9-2】函数
是定义在
上的奇函数，已知当
时，
图像与
的图像关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
与函数
图像关于
对称，所以即点
在
上，
则
在
上，所以当
时，
，因为是奇函数，
所以
，所以
，所以
.
故选：
.
（1）函数
和函数
关于
轴对称．
（2）函数
和函数
关于
轴对称．
62
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（3）函数
和函数
关于
对称．
（4）函数
和函数
关于
对称．
【变式9-1】（2024·上海黄浦·三模）若函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，且
，则实数
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，
所以
，
所以a=-1.
故选B
【变式9-2】[新考法]已知函数
为常数，
在
处取得最小值，则
函数
是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点(
，0)对称B．偶函数且它的图象关于点
对称
C．奇函数且它的图象关于点
对称D．奇函数且它的图象关于点(
，0)对称
【答案】D
63
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【解析】
，
.
∵f (x)在
处取得最小值，∴
，∴
，
∴
，
∴
是奇函数，且图象关于点
对称.
故选：D.
1．已知函数
与
的定义域均为
，且它们的图象关于
对称，若奇函数
满足
，下列关于函数
的性质说法不一定正确的有（ ）
A．
关于
对称
B．
关于点
对称
C．
是
的一个周期
D．
【答案】B
【解析】对于A，令
是函数
的图象上任意一点，则
在
的图象上，
即
，则
，由
为奇函数，得
，
则有
，函数
的图象关于点
对称，
又
，则
，函数
的图象关于
对称，A 正确；
对于C，
，即
，
则
，
的周期
，C 正确；
64
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对于D，
，则
，D 正确；
对于B，由
，得
，函数
的图象关于
对称，
若
图象关于点
对称，则
，即
，
而没有条件确保
恒成立，B 错误.
故选：B
2．已知函数
与
关于直线
对称，则
．
【答案】
【解析】在函数
上任取一点P(x , y)，
则点P(x , y)关于直线
的对称点为
，
由题意可知，点
在函数
图象上，
则
，
所以，
，解得
.
故答案为：
.
3．[新考法]已知函数
，若函数
和
的图象关于点
对称，
且对任意
，
恒成立，则
．
【答案】
【解析】由题意知
，
65
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又
恒成立，
所以函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，解得
．
故答案为：
题型十：类周期与倍增函数
【典例10-1】[新考法]对于函数
，有下列四个命题
①任取
，
，都有
；
②
（
为正整数），对一切
恒成立；
③若关于
的方程
有且只有两个不同的实根
，
，则
；
④函数
有5 个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】对于①，函数
的图象如图所示，由图可知
，
，
任取
，
，都有
，
故①正确；
66
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对于②，当
时，
，而由解析式可知
，
故②不正确；
对于③，函数
与函数
的图象如图所示，
若关于
的方程
有且只有两个不同的实根
，
，
则
，由对称性可知
，故③正确；
对于④，函数y = f (x)和
的图象如图所示，
由图可知两函数图象有个交点，所以函数
有个零点，
故④不正确；
所以四个命题中正确的个数为
.
故选：B.
【典例10-2】设函数
的定义域为
，满足
，且当x∈(0,2]时，
，若
对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
67
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，
则
，
即当
时，
，
同理当
时，
；
当
时，
.
以此类推，当
时，都有
.
函数
和函数
在
上的图象如下图所示：
由图可知，
，
，解得
，
即对任意
，都有
，即
的取值范围是
.
故选：D.
68
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1、类周期函数
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函数值
扩大倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
2、倍增函数
若函数
满足
或
，则
横坐标每扩大
倍，则函数值扩大
倍．此函数称为倍增函数．
【变式10-1】已知函数
的定义域为
，若
是奇函数，
是偶函数，函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．
（
）
C．
在区间
内的最大值为4
D．若函数
有三个零点，则实数
【答案】B
【解析】令
，则
是
上的奇函数，
所以
，即
，
所以
，①
令
，则
是
上的偶函数，
所以
，即
，
所以
，②
由①②得
，
69
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对于A 项，当
时，
，
，
所以
，故A 项错误；
对于B 项，当
时，
，则
，
由A 项知，当
时，
，
同理可得：当
时，
，……
作出函数
的部分图象，如图所示，
因为
，所以
为奇数，设
，
，
由图可知，
，
，
，
，……
所以
，即
，
，故B 项正确；
对于C 项，当
时，
，
所以
在区间
的最大值为6，故C 项错误；
对于D 项，因为
有三个零点，
所以
的图象与
有三个交点，
70
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又因为直线
恒过定点
，
所以当直线
与
（
）相切时，
的图象与
有三个交点，
设切点为
（
），则
，
所以切线方程为
，
代入
得，
，
整理得：
，解得：
，
此时
，故D 项错误.
故选：B.
【变式10-2】函数
的定义域为
，满足
，且
时，
，若
，恒有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
时，
，
所以当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
所以当
时，
，解得
或
，
作出函数的大致图象，如图所示，
71
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由图可知，
，恒有
，必有
，
即
的取值范围是
，
故选：B
1．设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．则下列结论正确
的个数是（ ）
①
；
②若对任意
，都有
，则a 的取值范围是
；
③若方程
恰有3 个实数根，则m 的取值范围是
．
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】依题意，
，当
时，
，且
在区间
上的最大值为1，
当
时，
，
，
在区间
上的最大值为2，
当
时，
，
，
在区间
上的最大值为4，
当
时，
，
，
在区间
上的最大值为8，
显然
，①正确；
72
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作出函数
的部分图象，如图，
当
时，必有
，由
整理得：
，于是得
，
因为对任意
，都有
，因此
，所以a 的取值范围是
，②正确；
方程
恰有3 个实数根，即直线
与函数
的图象恰有3 个公共点，
显然直线
与
在区间
上的图象有且只有1 个公共点，
当直线
与
在区间
上的图象相切时，由
消去y 整理得：
，则
，解得
，
而
在区间
上的最大值为
，直线
，
当
时，
，此时该直线与
在区间
上的图象有两个公共点，
因此直线
与函数
在
时的图象有公共点时，公共点个数大于3，不符合题意，
当直线
与
在区间
上的图象相切时，由
消去y 整理得：
，则
，解得
，
73
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当直线
与
在区间
上的图象相切时，由
消去y 整理得：
，则
，解得
，
观察图象知，方程
恰有3 个实数根，则m 的取值范围是
，③错误.
所以正确结论的个数是2.
故选：C
2．设
是定义在
上的函数，若
是奇函数，
是偶函数，函数
，若对任意的
，
恒成立，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是奇函数，
是偶函数，
所以
，解得
，
由
，
当
时，则
，所以
，
同理：当
时，
，
以此类推，可以得到
的图象如下：
74
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由此可得，当
时，
，
由
，得
，解得
或
，
又因为对任意的
，
恒成立，
所以
，所以实数
的最大值为
.
故选：B.
3．已知函数
，其中
，给出以下关于函数
的结论：
①
②当
时，函数
值域为
③当
时方程
恰有四个实根④当
时，若
恒成立，则
．其中正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】当
时，
，
是把
向右平移2 个单位变成
后，再
把纵坐标变为原来的2 倍，得到
的图象，如图：
75
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∵
，故①正确；
由题知函数
在
上函数
值域为
，在
上函数
值域为
，在
上函数
值域为
，在
上函数
值域为
，故当
时，函数
值域为
，故②正确；
当
时有无数个实数根，故③错误；
当
时，函数
的图象与
的图象交于
点，结合图象
，即
，故④
正确,
故选：C
重难点突破：函数性质与导数
【典例11-1】已知可导函数
的定义域为
，
为奇函数，设
是
的导函数，
若
为奇函数，且
，则
（ ）
A．-1012
B．-506
C．506
D．1012
【答案】D
【解析】∵f (x−1)为奇函数，∴
，∴两边求导得
，
∵
，可知
关于直线
对称，
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又∵g(x +1)为奇函数，则
，可知
关于点(1,0)对称，
令
，可得
，即
，
由
可得
，
由
，可得
，即
，可得
，
即
，
令
，可得
；
令
，可得
;
且
，可知8 为
的周期，
可知
，
，
，
所以
故选: D
【典例11-2】[新考法]（多选题）已知函数
，
均是
上的连续函数，
，
分别为函数
和
的导函数，且
，
，若
为奇函数，则（ ）
A．
是周期函数
B．
为奇函数
C．
关于
对称
D．存在
，使
【答案】ACD
【解析】函数
，
均是定义在
上的连续函数，
①，
②，将②式中
换为
得
③，
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①+③得
，则
的图象关于点
中心对称；
将②式中
换为
得：
④，
①-④得：
，因此
不是奇函数，B 错误；
，即
，所以
关于
对称，C 正确；
由
及
为奇函数，得
，
即
，同时求导可得：
，
即
，所以
是周期函数，周期为2，故A 正确；
又
为奇函数，
，
，则
，结合
当
时，数列
是首项为3，公差为6 的等差数列，
则
，
当
时，数列
是首项为6，公差为6 的等差数列，
则
，因此
时，
，显然
满足上式，
即
，
，
令
，解得：
，D 正确.
故选：ACD
（1）若函数
关于直线
对称，则导函数
关于点（a，0）对称．
（2）若函数
关于点（a，b）对称，则导函数
关于直线
对称．
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（3）若函数
为奇函数，则导函数
为偶函数；若函数
为偶函数，则导函数
为奇函数．
（4）若导函数
为奇函数，则函数
为偶函数；若导函数
为偶函数，则函数
不一定为奇函数．
（5）若原函数为周期函数，则导函数一定为周期函数，且原函数和导函数周期相同．
（6）若导函数为周期函数，则原函数不一定为周期函数．
【变式11-1】已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
为偶函数，
，
，
为奇函数，
，
，即
，
，
，即函数的周期为4，
79
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，
，
，
，
，即
，
由
得
，
，
.
故选：
.
【变式11-2】已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，记
的导函数
为
，则下列函数为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为奇函数，
为偶函数，
所以
，
，
所以
为偶函数，故B 错误；
又对
两边求导，得
，
即
，所以
是偶函数，故D 错误；
由
，可得
，
由
，可得
，
80
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所以
，即
，即得
，
所以
是周期为4 的函数，则
，两边求导，得
，
所以
是奇函数，故A 正确；
由
，可得
，即
，
又由
，可得
，
所以
，即
为偶函数，所以
为偶函数，故C 错误.
故选：A.
1．（多选题）已知定义域为
的函数
满足
，f
' (x)为
的导函数，
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
D．对
，
，
【答案】ABC
【解析】由题意定义域为
的函数
满足
令
，则
，
令
，则
，即
，
故
为奇函数，A 正确；
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由于f (−x)=−f (x)，故
，即
，
则f
' (x)为偶函数，由
可得
，
由
，令
得
，
故
，令
，则
，B 正确；
又
，
则
，
令
，则
，
由柯西方程知，
，故
，
则
，由于
，故
，
即
，则
，C 正确；
对
,
故
，D 错误，
故选：ABC.
2．（多选题）已知函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
和
都是奇函数，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
关于点
对称
B．
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C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A：把
的图象向左平移1 个单位，可得g(x +1)的图象，
又g(x +1)为奇函数，图象关于原点
对称，所以
的图象关于点(1,0)对称，故A 正确；
对于B：由g(x +1)为奇函数，则
，
又
为
的导函数，所以
，即
，则
，
又
为奇函数，所以
，即
，
由上得f (x−2)=−f (x)，故
，故f (−x)=−f (x)，
即
，即
是奇函数，故B 正确；
对于C：由于
，
故
，即f (4 + x)= f (x)，故4 是
的一个周期，
又
，即g(x)= g(4−x)，所以
为周期为4 的周期函数，
因为
，令
可得
，即
，
所以
，故C 错误；
对于D：因为
是
上的奇函数，故
，结合
得
，
，
故
，故D 正确．
故选：ABD
3．（多选题）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，记
.若
，
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均为奇函数，且
，则（ ）
A．
关于直线
对称
B．
关于点
对称
C．
的周期为4
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由f (2 x +1)为奇函数可得
，
故
关于(1,0)对称，故A 错误，
对于B，由于g(x +2)为奇函数，故
，故
关于点(2,0)对称，B 正确，
对于C，由
和g(x)= f
' (x)可得
，
令
，故
，故
，因此
，
结合
关于(1,0)对称可得
，
故
的周期为4，C 正确，
对于D，由于
，故
，
且
，由于
，令
，则
，
，故D 正确，
故选：BCD
4．（多选题）已知定义在
上的函数
，
，其导函数分别为
，
，
，
，且
为奇函数，则（ ）
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A．
的图象关于
对称
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得
，两式相减可得
①，
所以
,令
，可得
,
所以
，
所以
的图象关于
对称，故A 正确；
因为g(x +2)为奇函数，所以
关于(2,0)中心对称，
所以
②，②式两边对
求导可得
，
结合
，可得：
所以
，令
，可得：
，
所以
即
，故B 错，
因为
，可知
也是周期为4 的周期函数，
即
，两边求导可得
，所以
，故C 正确；
是周期为4 的周期函数，所以
，
因为
，令
，则
，即
，
又
，所以
，又因为
是周期为4 的周期函数，
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则
，由
可得
，
所以
，所以
，D 正确.
故选：ACD
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