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重难点培优03 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的
高级应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★）....................................................................4
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★）............................................................6
题型三 周期性及其应用（★★★★★）....................................................................................................7
题型四 对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★）................................................................................................9
题型五 对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★）..........................................................................................10
题型六 对称性结合周期性（★★★★★）..............................................................................................11
题型七 类周期性（★★★★）..................................................................................................................13
题型八 函数性质的综合应用（★★★★★）..........................................................................................14
题型九 导函数与原函数的对称性（★★★★）......................................................................................15
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................16
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................16
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................20
1、单调性技巧
（1）几条常用的结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或减）函数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同．
（5）若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记
，
，则
．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
．
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶．
（7）复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
．
5、对称性技巧
（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于
轴对称，函数
与
关于原点对称．
题型一 奇偶性中的参数、图像、求值问题
【技巧通法·提分快招】
1、奇偶函数的性质
（1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y 轴对称
对称区间的单调性相反；
⇔
（2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称
对称区间的单调性相同；
⇔
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数
在
处有意义，则有
；
（2）对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：** 错误的表达式 **函数
或函数
．** 错误的表达式 **函
数
．
** 错误的表达式 **函数
或函数
** 错误的表达式 **函数
或函数
．
注意：关于** 错误的表达式 **式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：** 错误的表达式 **函数
．** 错误的表达式 **函数
．
** 错误的表达式 **函数
类型的一切函数．
3、已知
奇函数
，
，则
（1）
（2）
1．（24-25 高三下·重庆·月考）已知函数
（
为常数），则（ ）
A．
，
为偶函数
B．
，
为奇函数
C．
，
为既奇又偶函数
D．
，
为非奇非偶函数
2．（2025·江西·三模）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三上·天津·期末）如图为函数
的大致图象，其解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5．已知函数
是奇函数，当
时，
，则
．
6．（23-24 高三上·安徽安庆·月考）已知函数
在区间
上的最大值为
，最小
值为
，则
．
7．（23-24 高三下·江西·开学考试）已知
且
，函数
在
的最大值为
，则
在
的最小值为 ．
题型二 单调性综合奇偶性解不等式与比较大小
【技巧通法·提分快招】
单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
在
上是奇函数，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
在
上是奇函数，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号
加绝对值）；
③
关于
对称，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
关于
对称，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
④
关于
对称，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
关于
对称，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
1．（2025·北京通州·一模）已知函数
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·河南·月考）已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·广西河池·二模）设函数
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增.若实数
满
足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
4．（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单
调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
在
上单调递减.设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的定义域为
，
为偶函数，若对任意的
，
，都有
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若定义在
上的偶函数
在
上单调递减，且
，则满足
的
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三 周期性及其应用
【技巧通法·提分快招】
周期性技巧
1．（2024·陕西·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．2
2．（24-25 高三上·江苏淮安·月考）已知函数
对于任意实数
满足条件
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
3．（2025·全国一卷·高考真题）设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
为偶函数，且满足
，当
，
，则
的值为( ).
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为
偶函数，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
7．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
8．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，
函数
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型四 对称性Ⅰ—轴对称
【技巧通法·提分快招】
轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（2）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（3）若函数
满足
,则
的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称；
小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来
找出对称轴。
1．定义在R 上的函数
在
上是增函数，且
对任意
恒成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·重庆·月考）函数
与
的图象（ ）
A．关于
轴对称
B．关于直线
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
3．（24-25 高三下·河南·月考）若函数
的图象关于直线
对称，则下列函数一定为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．定义在
上的函数
满足
，且当
时，
是增函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·四川成都·月考）定义在
上的函数
关于
对称，且满足：对任意
、
，且
，都有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·吉林长春·开学考试）下列函数中，其图象与函数
的图象关于直线
对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·江苏·月考）若曲线
关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
题型五 对称性Ⅱ—中心对称
【技巧通法·提分快招】
中心对称结论如下：
（1）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（2）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
（3）若函数
满足
，则
的一个对称中心为
.
小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平
均值）来确定对称中心的位置。
1．（24-25 高三上·陕西咸阳·月考）若函数
是奇函数，则函数
的图象的对称中心是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知函数
的图象关于点
对称，则点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知函数
，则函数
的图象的对
称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数
的导函数为
，且满足
，则
（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
的图象关于点
对称
5．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知定义在
上的函数
满足
，若函数
与函数
的图象的交点为
，
，…
，则
（ ）
A．9
B．
C．12
D．
6．（24-25 高三下·江苏泰州·开学考试）已知
R，
，函数
，则（ ）
A．当
时，函数
在其定义域上单调递减
B．当
时，函数
在其定义域上单调递增
C．存在实数a，使函数
的图像是轴对称图形
D．当
时，函数
的图像恒为中心对称图形
题型六 对称性结合周期性
【技巧通法·提分快招】
函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
1．若函数
的定义域为
，其图象关于点
成中心对称，且
是偶函数，则
（ ）
A．2023
B．
C．4048
D．
2．已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，
则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．0
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
为奇函数
D．函数
的图象关于点
对称
5．（24-25 高三下·湖南·月考）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
.则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·江苏·月考）已知函数
的定义域为R，
，
为偶函数，且函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．4 048
B．4 049
C．4 051
D．4 054
7．已知函数
的定义域均为
为奇函数，且
，则
（ ）
A．
不为偶函数
B．
为奇函数
C．
D．
题型七 类周期性
【技巧通法·提分快招】
1、类周期函数
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函数值扩大
倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
2、倍增函数
若函数
满足
或
，则
横坐标每扩大
倍，则函数值扩大倍．
此函数称为倍增函数．
1．设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，若对于
，
都有
恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北唐山·一模）对于
，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，则
；若
在
上恒成立，则
整数的最小值为 ．
4．（2024·湖南永州·三模）已知函数
的定义域为
，
，
，且对于
，恒有
，则
.
题型八 函数性质的综合应用
1．（24-25 高三下·江苏无锡·月考）已知
是定义在
上的偶函数，
，且
在
上单调递减，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西西安·二模）已知
是定义在R 上的奇函数且满足
，当
时，
．若
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，且对任意的
、
，
，有
，则下列结论错误的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
的图象关于
对称
D．
4．已知函数
的定义域均为
，
的图象关于点
中心对称，
，
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1003
5．已知函数
是R 上的偶函数，对于
都有
成立，且
，当
，且
时，都有
．则给出下列命题：
①
；②函数
图象的一条对称轴为
；
③函数
在
上为严格减函数；④方程
在
上有4 个根；
其中正确的命题个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（多选题）已知函数
是定义域为
的奇函数；且
，当
时，
，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于
对称
C．
的值域为
D．函数
有9 个零点
7．（24-25 高三上·山东菏泽·开学考试）（多选题）已知函数
的定义域均为
的图象
关于
对称，
是奇函数，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型九 导函数与原函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
导函数与原函数的对称性
为偶函数
为奇函数
为奇函数
为偶函数
为偶函数
有对称中心
注意：此处
或
同理：
有对称轴
有对称中心
关于
中心对称
有对称轴
注意：此处
或
1．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.
推广到一般的情况：如果函数
的图象有对称中心，那么其导函数
的图象会有对称轴；如果函数
的图象有对称轴，那么其导函数
的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数
的对称性，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．
有对称中心
B．
有对称中心
C．
有对称轴
D．
有对称轴
2．已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，且
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
3．（24-25 高三下·广东·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，记
且
，
为偶函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．-2
4．已知函数
及其导函数
的定义域都为R，且
为偶函数，
为奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·浙江·期中）已知函数
，
的定义域为
，
，且
满足
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2025
D．2026
6．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数
与
是定义在
上的函数，它们的导函数分别为
和
，且满足
，且
，则
（ ）
A．1012
B．2024
C．
D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若函数
是奇函数，则下列各点一定是函数
图象对称中心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·重庆·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在
上为增函数，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
，则下列函数的图象关于直线
对称的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知奇函数
满足
，且
的图象关于
对称，则
等于（ ）
A．
B．1
C．0
D．3
5．（2025·湖南·模拟预测）设函数
，则使得
成立的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·山东菏泽·一模）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·山西忻州·模拟预测）函数
的大致图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·山东青岛·一模）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
10．已知函数
满足
.若函数
与
图象的交点为
，
，…，
.则
等于（ ）
A．3m
B．6m
C．9m
D．12m
11．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
，若对任意的
，满足
，则恒有（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数
的定义域为
，
，函数
是奇
函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
13．（2025·安徽·模拟预测）已知可导函数
的定义域为
，且有
，设
是
的导函数，若
为偶函数，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．4050
D．4052
14．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数
．函数
均满足
，
下列说法：
①
；
②若数列
是公比为4 的等比数列．则
；
③点
是曲线
的对称中心：
④
．
其中正确说法的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15．（2025·天津和平·三模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）已知定义在
上的偶函数
满足
，则下列命题成立的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．函数
为偶函数
D．函数
为奇函数
17．（2025·宁夏银川·三模）（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
18．（2024·海南·模拟预测）（多选题）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为
偶函数，则（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
的图象关于直线
对称
C．
D．
19．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）（多选题）已知函数
满足关系式
，
，且
在
上的解析式为
，
为
的导函数，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇函数
20．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）（多选题）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
关于点
对称
B．函数
关于直线
对称
C．函数
的周期为4
D．
21．（2025·河南郑州·二模）（多选题）已知对于任意非零实数
，函数
均满足
，
，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
关于点
中心对称
C．
关于
轴对称
D．
22．（24-25 高三上·宁夏中卫·期中）函数
满足
，当
，
，则
．
23．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
24．（23-24 高三上·安徽·期中）函数
的最大值为
，最小值为
，若
，则
．
25．已知
是定义在
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，则不等式
的解集为 .
26．（23-24 高三上·河北邯郸·月考）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
．
27．（2024·广西南宁·二模）定义域为R 的函数
的图象关于点
对称，函数
的图象
关于直线
对称．若
，则
．
28．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数
为
上的单调递增函数，且当
时，
，则
的最小值为 .
29．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为
偶函数，
，则
.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·广西柳州·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，且
也是偶函数，且
，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，
函数
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．函数
的定义域为
，满足
，且
时，
，若
，恒有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数
为定义在
上的偶函数，
，
，
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设
均是定义在
上的函数，且
，则
下列说法正确的是（ ）
A．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
B．若
是最小正周期为1 的函数，则
是最小正周期为3 的函数
C．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
D．若
是奇函数，则
6．（24-25 高三上·山西·期中）（多选题）已知定义域为
的函数
满足
，
为奇函数，
，则（ ）
A．8 是
一个周期
B．
为偶函数
C．
D．
7．（24-25 高三上·广东清远·月考）（多选题）设
与其导函数
的定义域均为
，
若
的图象关于
对称，
在
上单调递减，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
的图象关于原点对称
C．
D．
的极小值为3
8．（多选题）已知连续函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
为
奇函数，
的图象关于
轴对称，则（ ）
A．
B．
C．
在
上至少有2 个零点
D．
9．（多选题）设定义在
上的函数
的导函数分别为
，若
且
为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
的图象关于
对称
D．函数
为周期函数，且周期为4
