高中数学典型习题精选（6）——构造新数列

2018年全国卷III文科数学第17题，考的就是构造新数列求通项。

题目给了一个递推式：a₁=1，aₙ₊₁=3aₙ+1。第一问要证明{aₙ+1/2}是等比数列，并求通项。把递推式变形一下就能看出门道：

aₙ₊₁+1/2=3(aₙ+1/2)

这说明新数列首项是3/2，公比是3。一推导，原数列的通项公式就是 aₙ=(3ⁿ-1)/2。

第二问要证倒数和小于3/2。这里得放缩一下：因为 3ⁿ-1≥2·3ⁿ⁻¹，所以 1/aₙ≤1/3ⁿ⁻¹。把它看成首项为1、公比为1/3的等比数列求和，结果自然是小于3/2的。

文章后面还跟了一道变式题，思路完全一样，都是先凑出等比数列再求解。