初中数学解题技巧——怎样进行因式分解之一题多解与综合运用

学习一题多解，对比不同方法优劣；掌握因式分解在不定方程、方程组求值、连锁约分三大模型的综合应用，把因式分解作为代数解题工具。

一题多解：同一个多项式，可以选用多种不同路径因式分解，目的不是单纯写出多种解法，而是对比方法的计算量，在考试中快速挑选最简方法，多种解法还可以互相验算结果。

• 路径 1：提公因式 → 公式法（平方差、完全平方）

• 路径 2：分组分解 → 拆项添项 → 套用乘法公式

• 路径 3：试根法 → 多项式长除法 → 十字相乘

考题很少单独考因式分解，更多是把因式分解作为变形工具，对式子因式分解之后，再结合整数性质、整体代入、分式约分完成求解。

① 二元二次不定方程整数解：因式分解拆为两个整式乘积，利用整数乘积性质枚举求解；

② 二元二次方程组求值：两式相加 / 相减，因式分解降次，构造整体代入；

③ 通项公式构造约分：对通项因式分解，实现连锁约分、裂项相消。

• 一题多解只追求写出多种解法，不对比方法优劣，考试选用计算量大的方法；

• 不定方程整数解容易漏掉负整数解；

• 综合求值题目，因式分解完成后，不会构造整体，卡在代入求值环节；

• 分解结束忘记检验，没有确认分解彻底。

1、因式分解：x³-4x²+6x-4

【解析】

可选用试根法、拆项分组法两条路径，两种方法互相验证结果

【答案】

解：

方法一：试根法

有理根候选：±1、±2、±4，代入x=2

原式=8-16+12-4=0，因此含有因式(x-2)

多项式除以(x-2)，得到二次因式x²-2x+2

x²-2x+2判别式小于 0，实数范围内不能继续分解。

原式= (x-2)(x² - 2x + 2)

方法二：拆项分组法

观察系数，拆分-4x²、6x

分组后提取公因式：

原式= (x³ - 2x²) - (2x² - 4x) + (2x - 4) 

= x²(x-2)-2x(x-2)+2(x-2) 

= (x-2)(x² - 2x + 2)

2、求6xy+4x-9y-7=0的整数解

【解析】

因式分解进行主元分组，写成两个整式乘积等于常数，利用整数乘积性质分类讨论。

【答案】

解：

6xy+4x-9y-7=0

2x(3y+2)-3(3y+2)-1=0

(2x-3)(3y+2)=1

整数相乘等于1，只有两种情况

• 2x-3=1

• 3y+2=1

或

• 2x-3=-1

• 3y+2=-1

解得“：

第一组：x=2，y=-1/3，y不是整数，舍去；

第二组：x=1，y=-1.为整数解

综上整数解：x=1，y=-1

3、若x²+xy+y=14，y²+xy+x=28，求x+y的值

【解析】

两式相加，合并式子，因式分解，构造整体(x+y)求解

【答案】

解：两式相加

x²+xy+y+y²+xy+x=14+28

x²+2xy+y²+x+y=42

(x+y)²+(x+y)-42=0

(x+y+7)(x+y-6)=0

∴x+y=-7或x+y=6