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当数学开始背模型:内卷、考试公平与教育经济
当数学开始背模型:内卷、考试公平与教育经济这是我几个月之前写过的一篇文章。 数学教辅
每当刷到数学教辅机构的文案或者教辅书推广，我感觉这些东西都在给孩子凭空增加新的负担。
各种机构为了吸引家长，会展示很多我们小时候从来没听过的东西。
什么鸟头模型、蝴蝶模型、燕尾模型……
如果家长本身不懂数学，很容易产生一种焦虑：这些东西孩子没学过，是不是已经落后了？
但很多所谓的新模型，其实并不是什么新知识。
拿燕尾模型来说，它本质上是用比例方法解决三角形面积问题。只是把推导过程省掉了，把最后的结论直接拿出来，起了一个名字。
于是原本需要学生自己推理出来的东西，变成了一个新的知识点，只要求记住结论。
今天学燕尾模型，明天学蝴蝶模型，后天再学别的模型。名字越来越多，但数学本身并没有增加什么新内容。
因为这些书里的很多内容，本质上都在做同一件事：把别人总结好的思考过程，变成需要记忆的知识。
如果被这套培训逻辑驯服，学习的重点会从理解数学，变成记忆模型；从思考问题，变成识别题型。 数学内卷
而这让我想到一个问题：国内数学培训的发展过程，其实很能体现什么叫做内卷。
数学学习最开始并不是这样的。
学生先学习基础知识，考试再利用这些基础知识设计一些有思考空间的问题。这些题不一定简单，但也不超纲。难点在于你能不能想到，而不是你有没有学过。
后来培训机构开始总结规律。学生需要自己发现的解题思路，被整理成方法；方法被整理成模型；模型被整理成体系。
于是大家都开始学模型。
等所有人都会模型以后，考试又失去了区分度。
为了继续筛选学生，题目只能变得更复杂。
开始考模型的组合、模型的变形，甚至考模型之外的东西。
然后培训机构再继续总结。
新的思路变成新的模型。
新的模型再变成新的知识点。
整个过程不断循环。
最后学生需要掌握的内容越来越多。命题和培训形成了一场持续的军备竞赛：考试不断制造陌生性，培训不断把陌生性重新整理成套路。每完成一轮，学生需要掌握的“知识”就再膨胀一层。 很多人会把这种现象理解为数学水平提高了。觉得知识学得越多，题做得越难，说明数学教育越成功。
但数学最珍贵的部分，其实不是那些被总结好的结论，而是结论出现之前的那段思考。
当所有东西都被总结成模型以后，学生越来越少有机会自己走那段思考的路。 考试公平
当越来越多原本需要思考的内容被总结成模型以后，考试会陷入一个两难的局面。
如果考试按照基础知识和推理能力来命题，那么那些提前背过模型的学生会占据明显优势。
因为别人需要思考的过程，他们已经直接记住了答案。
但如果考试为了区分这些背过模型的学生，继续提高难度，去考模型的变形、模型的组合，甚至模型之上的模型，那么那些没有接受过大量培训的学生就会被排除在外。
他们可能具备很好的数学直觉，可能拥有很强的推理能力，可能对数学充满兴趣。但因为没有学过这些不断扩张的模型体系，他们很难在同一张试卷上与别人竞争。
于是考试考察的内容，慢慢从数学能力本身，变成了数学能力加上模型储备。 一道题一旦被大规模总结成固定模型，它就逐渐失去了测量现场思维能力的功能。 在这种内卷环境里，真正被筛选出来的，未必是数学能力最强的学生。
遏制内卷与教育经济
几年前，国家曾经大力整治校外培训。今年夏天这股风又甚嚣尘上。
当所有人都不断加码培训的时候，最终比拼的未必是天赋和能力，而是谁投入了更多时间和金钱。遏制过度培训有助于降低资源投入对竞争结果的影响，也有助于提高教育公平。
但教育培训并不仅仅是一个教育问题，同时还是一个经济问题，有着庞大的市场需求。
在很多家庭眼里，教育支出甚至是最后才会被削减的消费。因为几代人都是在“知识改变命运”“高考定乾坤”“愚公移山”“铁杵成针”的语境中长大的。
每当刷到数学教辅机构的文案或者教辅书推广，我感觉这些东西都在给孩子凭空增加新的负担。
各种机构为了吸引家长，会展示很多我们小时候从来没听过的东西。
什么鸟头模型、蝴蝶模型、燕尾模型……
如果家长本身不懂数学，很容易产生一种焦虑：这些东西孩子没学过，是不是已经落后了？
但很多所谓的新模型，其实并不是什么新知识。
拿燕尾模型来说，它本质上是用比例方法解决三角形面积问题。只是把推导过程省掉了，把最后的结论直接拿出来，起了一个名字。
于是原本需要学生自己推理出来的东西，变成了一个新的知识点，只要求记住结论。
今天学燕尾模型，明天学蝴蝶模型，后天再学别的模型。名字越来越多，但数学本身并没有增加什么新内容。
因为这些书里的很多内容，本质上都在做同一件事：把别人总结好的思考过程，变成需要记忆的知识。
如果被这套培训逻辑驯服，学习的重点会从理解数学，变成记忆模型；从思考问题，变成识别题型。
而这让我想到一个问题：国内数学培训的发展过程，其实很能体现什么叫做内卷。
数学学习最开始并不是这样的。
学生先学习基础知识，考试再利用这些基础知识设计一些有思考空间的问题。这些题不一定简单，但也不超纲。难点在于你能不能想到，而不是你有没有学过。
后来培训机构开始总结规律。学生需要自己发现的解题思路，被整理成方法；方法被整理成模型；模型被整理成体系。
于是大家都开始学模型。
等所有人都会模型以后，考试又失去了区分度。
为了继续筛选学生，题目只能变得更复杂。
开始考模型的组合、模型的变形，甚至考模型之外的东西。
然后培训机构再继续总结。
新的思路变成新的模型。
新的模型再变成新的知识点。
整个过程不断循环。
最后学生需要掌握的内容越来越多。命题和培训形成了一场持续的军备竞赛：考试不断制造陌生性，培训不断把陌生性重新整理成套路。每完成一轮，学生需要掌握的“知识”就再膨胀一层。
但数学最珍贵的部分，其实不是那些被总结好的结论，而是结论出现之前的那段思考。
当所有东西都被总结成模型以后，学生越来越少有机会自己走那段思考的路。
当越来越多原本需要思考的内容被总结成模型以后，考试会陷入一个两难的局面。
如果考试按照基础知识和推理能力来命题，那么那些提前背过模型的学生会占据明显优势。
因为别人需要思考的过程，他们已经直接记住了答案。
但如果考试为了区分这些背过模型的学生，继续提高难度，去考模型的变形、模型的组合，甚至模型之上的模型，那么那些没有接受过大量培训的学生就会被排除在外。
他们可能具备很好的数学直觉，可能拥有很强的推理能力，可能对数学充满兴趣。但因为没有学过这些不断扩张的模型体系，他们很难在同一张试卷上与别人竞争。
于是考试考察的内容，慢慢从数学能力本身，变成了数学能力加上模型储备。
遏制内卷与教育经济
几年前，国家曾经大力整治校外培训。今年夏天这股风又甚嚣尘上。
当所有人都不断加码培训的时候，最终比拼的未必是天赋和能力，而是谁投入了更多时间和金钱。遏制过度培训有助于降低资源投入对竞争结果的影响，也有助于提高教育公平。
但教育培训并不仅仅是一个教育问题，同时还是一个经济问题，有着庞大的市场需求。
在很多家庭眼里，教育支出甚至是最后才会被削减的消费。因为几代人都是在“知识改变命运”“高考定乾坤”“愚公移山”“铁杵成针”的语境中长大的。
培训需求并不会因为限制供给就自动消失。只要升学竞争和优质教育资源的稀缺仍然存在，家庭就仍然有购买额外训练的动力。供给被压缩以后，一部分需求可能消失，一部分则会转向更隐蔽、更昂贵的形式。
总之，竞争让社会重视效率，效率的比拼会催生内卷，而内卷又会让教育逐渐偏离初心。
内卷，是很多高度竞争社会必然经历的阶段。
当竞争不断加码，当优势不断被复制，当所有人都在投入更多时间和金钱去争夺有限的资源时，收益会越来越小，成本却越来越高。
教育内卷真正难解决的地方，不在某一家培训机构，也不在某一种教辅，而在于只要升学竞争和优质资源稀缺仍然存在，新的训练方式就会不断出现。
政府可以压低竞争强度，但最终仍需要整个教育系统、家庭预期寻找新的平衡。