学高中物理的孩子做卫星变轨题总搞反?一个「供需」判据管全部

卫星一「变轨」，孩子就发懵：明明写着「点火加速」，怎么最后的速度反而变小了？想追上前面的空间站，为什么正确做法偏偏是「先减速」？上一期双星留下的那道思考题，答案就藏在这一篇里。其实这一整块知识只靠一个判据——供需。这篇先把判据讲透，再用四道高考真题落地，最后配六道训练（答案统一附在文末，让孩子先做完再对）。

一、先讲透理论：一个判据管全部

模型：质量为 m 的卫星，在距地心 r 处以速度 v 飞行，地球质量 M。

核心判据：供需对比。 卫星能不能「安分守己」地绕圈，就看两件事谁大谁小——

• 供给：地球实际提供的万有引力 F₁ = GMm/r²；

• 需求：若要以当前速度 v 绕半径 r 的圆，所需要的向心力 F₂ = mv²/r。

供需一比，三种结局一目了然——

① F₁ = F₂：供需恰好平衡　→　圆轨道，安稳绕圈；

② F₁ < F₂（加速，v 变大）：引力拉不住　→　离心运动，轨道被甩高；

③ F₁ > F₂（减速，v 变小）：拉力过剩　→　近心运动，轨道被压低。

💡 记忆口诀：加速就跑远，减速就靠近。

主线二：稳住之后，四条规律一口气推出。 对稳定的圆轨道，供需恰好相等，于是

一口气解出四个量：

💡 口诀：高轨低速大周期。 轨道越高，v、ω、a 都越小，只有 T 越大。

【关键一条】加速度只看位置。a = GM/r² 只跟 r 有关——不管卫星在什么轨道上（圆的、椭圆的、刚点完火的），只要它此刻在同一个位置，加速度就一定相同。高考最爱在这儿设问（2016 北京、2009 山东、2024 湖北卷全在这埋雷）。

【必须掰开】两个 a 根本不是一回事。 上面那个 a = GM/r²，和运动学里那个 a = v²/r，孩子特别容易当成"同一个东西的两种写法"。不是。它们来路完全不同——

a₁ = GM/r²——引力给的加速度。 它就是前面 F₁ 约掉 m 的结果，只看位置：你待在哪儿，引力就给你多少。这一路是动力学（先知道受力，再求加速度）。

a₂ = v²/r——维持当前圆周所需要的加速度。 它就是 F₂ 约掉 m 的结果，只看速度：你跑多快，维持这个圈就需要多少。这一路是运动学（只看运动状态，压根不管力是谁给的）。

📛 起个好记的名字：a₁ 叫"给的"，a₂ 叫"要的"。 课本上的标准叫法分别是引力加速度与向心加速度，但做题时记"给的／要的"更管用——它跟前面谈工资是同一套话：老板给的 vs 你要的。

⚠️ 它们相等不是定义，是结论。 只有当卫星恰好在做匀速圆周运动（供需平衡）时，两者才数值相等；GMm/r² = mv²/r 这个式子是平衡条件，不是恒等式。一旦点火，位置 r 没变——"给的"没变；速度 v 突变——"要的"立刻变。两者一分家，轨道就得变。这才是变轨真正的机制，也是整篇文章判据的本质。

💡 给孩子的一句话：一个从"力"来（理论预言），一个从"运动"来（实测数据），两边对得上，理论才算站住——物理学的每一次重大确认，都是这样两边对账对出来的。 而"给的"和"要的"一旦对不上，天体就不再走圆轨道，这正是变轨的全部故事。

🎬 动画：供需一失衡，轨道就变脸

调大速度，卫星立刻被甩向外层；调小速度，它掉头向地球俯冲。

红箭头是所需向心力（需求），蓝箭头是引力（供给），谁长谁说了算

二、情况一：低轨抬到高轨，要点两次火

🎬 动画演示

两次点火加速，最后速度反而更小

流程分三步：

1. 在低圆轨道上的 P 点第一次点火加速——需求瞬间大于供给，离心，被甩上椭圆「转移轨道」；

2. 沿椭圆一路爬向远地点 Q，引力做负功，速度一路掉到很低；

3. 在 Q 点第二次点火加速——把速度补到高圆轨道该有的值，才留得住。

四个速度的大小关系（本讲最值钱的一句话）：

三步推出来，一步都不用背：

• v_P > v₁：要在 P 点离心，必须 mv_P²/r₁ > GMm/r₁² = mv₁²/r₁；

• v₁ > v₂：稳定圆轨道「越高越慢」，v = √(GM/r)；

• v₂ > v_Q：若在 Q 点不补这一脚，卫星会被拉回近心——说明此刻供给大于需求，v_Q 偏小。

💡 一句话串起来：两次都点火加速，最后的速度却比出发时小。

能量解释：稳定圆轨道的机械能 E = E_k + E_p =  - GMm/2r。r 变大，E 变大（发动机做正功），但动能 E_k = GMm/2r 反而变小——加进去的能量全变成了引力势能，自己反而慢了下来。

三、情况二：高轨降到低轨，两次刹车

把情况一反过来走：在高轨道上减速——供给大于需求，近心，被压上向下弯的椭圆；滑到近地点时速度已经很大，再减速一次，才能贴着低圆轨道安稳转。神舟飞船返回地面，走的就是这条路。

⚠️ 注意方向感：从高往低走，两次都是刹车；但滑到低轨附近时，瞬时速度反而比在高轨上大——这又是「越高越慢」的另一面。

四、情况三：摩擦变轨——「越磨越快」

卫星一头扎进稀薄大气，会发生一件违反直觉的事：

• 阻力做负功 → 机械能减小 → 轨道半径缓慢减小；

• 半径减小 → 引力做正功 → 动能反而增大 → 速度变大、周期变小；

• 而且引力势能的减小量，一部分变成了动能，只有一部分用来克服阻力——所以克服阻力做的功 < 引力势能的减小量。

💡 一句话：有阻力反而越跑越快——但它是在螺旋掉高度，最后坠毁。

⚠️ 四个最容易踩的坑

• 坑一：把「加速度」和「速度」搅在一起。 同一位置加速度一定相同（a = GM/r²），速度不一定——2016 北京卷、2024 湖北卷都考这一条。

• 坑二：以为点火加速之后速度一定更大。 低轨升高要点两次火，最终速度反而比出发时小。

• 坑三：以为有阻力就变慢。 摩擦变轨里速度反而变大。

• 坑四：以为同一条轨道上加速就能追上前面的目标。 恰恰相反，会越落越远——见下一节。

五、情况四：变轨对接——为什么「追人要先踩刹车」

为什么同一条轨道上加速追不上？ 同轨道一加速，卫星立刻离心跑到更高的椭圆上；半长轴变大 → 周期变长 → 角速度变小——它比目标转得还慢，差距只会越拉越大。

正确的两步这样走：

1. 先减速降档：把自己压到更低的轨道上，周期更短、角速度更大，飞快地补上相位差；

2. 再加速抬升：相位追平后，沿半个转移椭圆上去，和目标会合对接。

💡 口诀：追人要降档，等人才升档。

🎬 动画演示

加速的落后，减速的领先——同一张图看明白

六、例题：四道真题，覆盖全部理论

覆盖说明：例 1 覆盖「供需判据 + 椭圆上的速度变化」；例 2 覆盖「加速度只看位置」；例 3 覆盖「变轨对接」；例 4 覆盖「能量 + 高轨低速大周期」。四道做完，理论全部落地。

🤝 例 1（2021·天津·5）

2021 年 5 月 15 日，天问一号探测器着陆火星取得成功，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，两轨道相切于近火点 P，则天问一号探测器（　　）

A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在 P 处要加速D．沿轨道Ⅰ向 P 飞近时速度增大

✅ 讲解

第一步（两找）　找对象：天问一号探测器；找位置：两轨道相切的近火点 P，轨道Ⅰ在外、轨道Ⅱ在内。

第二步（两个分析）　受力：只受火星的万有引力，合力显然不为零；运动：沿椭圆轨道，近火点速度最大、远火点速度最小。

第三步（逐项判断）　

• A：只受万有引力，合力提供向心力，不是平衡状态——A 错；

• B：轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，由开普勒第三定律 a³/T² = k 知，半长轴大的周期大，所以在轨道Ⅰ上运行的周期更长——B 错；

• C：从外面的大椭圆Ⅰ进入里面的小椭圆Ⅱ，要在 P 点做近心运动，即让供给大于需求——只能减速，C 错；

• D：沿轨道Ⅰ向 P（近火点）飞近，引力做正功，动能增大，速度增大——D 对。

✅ 答案：D

【拓展追问】（自编）若反过来，从轨道Ⅱ进入轨道Ⅰ呢？——在 P 点加速做离心运动。这正是「低轨升高要点火」的镜像：内外互换，加减号反过来。

🤝 例 2（2016·北京·18）

一颗人造卫星原来在椭圆轨道 1 绕地球 E 运行，在 P 点变轨后进入轨道 2 做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）

A．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的速度都相同B．不论在轨道 1 还是轨道 2 运行，卫星在 P 点的加速度都相同C．卫星在轨道 1 的任何位置都具有相同加速度D．卫星在轨道 2 的任何位置都具有相同动量

✅ 讲解

第一步（两找）　找对象：卫星；找位置：两轨道的交点 P（轨道 1 在此处的速度较小，需加速才能进入圆轨道 2）。

第二步（判断）　

• A：在 P 点要从轨道 1 进入轨道 2，得做离心运动——必须加速，所以轨道 2 上经过 P 的速度更大——A 错；

• B：加速度 a = GM/r² 只看位置。两轨道上卫星经过 P 点时 r 相同，加速度一定相同——B 对；

• C：轨道 1 是椭圆，不同位置 r 不同，加速度大小不同；方向虽始终指向地心，但方向时刻在变——C 错；

• D：动量是矢量，卫星在圆轨道上速度方向时刻在变，动量时刻在变——D 错。

✅ 答案：B

🎯 方法小结：凡是比较「加速度」，只看位置——同一位置不论什么轨道，加速度都相同；凡是比较「速度」「动量」，得看轨道和变轨时是加速还是减速。

🤝 例 3（2016·天津·3）

我国即将发射「天宫二号」空间实验室，之后发射「神舟十一号」飞船与「天宫二号」对接。假设两者都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（　　）

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

✅ 讲解

第一步（两找）　找对象：飞船（追赶方）与空间实验室（目标）；找位置：两条圆轨道，飞船的半径更小。

第二步（逐项判断）　

• A：同一轨道上飞船一加速就离心抬高，跑到更高的轨道上，周期变长、角速度变小，反而越落越远——A 错；

• B：空间实验室一减速就近心掉高度，自己先掉下去了——B 错；

• C：飞船先在小半径轨道上加速，做离心运动抬高轨道，逐渐靠近空间实验室，速度接近时对接——C 对；

• D：飞船本就在低轨，再减速就掉得更低，永远追不上——D 错。

✅ 答案：C

🎯 方法小结：对接题先分清「谁在低轨、谁在高轨」。在低轨的一方占便宜——周期短、转得快，负责「追」；要抬升对接就加速，要压低就让位就减速。同一轨道上加速追人，只会越追越远。

🤝 例 4（2011·大纲卷·19）

我国「嫦娥一号」探月卫星发射后，先在「24h 轨道」上绕地球运行（即绕地球一圈需要 24h）；然后，经过两次变轨依次到达「48 小时轨道」和「72h 轨道」；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比（　　）

A．卫星动能增大，引力势能减小B．卫星动能增大，引力势能增大C．卫星动能减小，引力势能减小D．卫星动能减小，引力势能增大

✅ 讲解

第一步（两找）　找对象：嫦娥一号卫星；找位置：24h → 48h → 72h，一条比一条高的圆轨道。

第二步（两个分析）　受力：只受地球引力；运动：每次变轨都是「周期变大 → 轨道半径变大」的抬高过程。

第三步（列式判断）　对稳定圆轨道：

轨道半径 r 变大：E_k 变小——动能减小；E_p 从更负变成不那么负——引力势能增大。变轨时发动机点火做正功，机械能增大，但增大的部分全进了引力势能。

✅ 答案：D

🎯 方法小结：圆轨道的动能、机械能都有现成公式：E_k = GMm/2r，E =  - GMm/2r。r 越大，动能越小、机械能越大——「能量在涨、速度在掉」两件事同时成立，不矛盾。

七、专题训练

以下六道题覆盖全部理论：训练 1、2 巩固「点火变轨」；训练 3 对应「摩擦变轨」；训练 4 对应「返回降轨」；训练 5 是「非常规变轨」里的加速度陷阱；训练 6 对应「对接」。先独立做完，答案和简析统一附在文末。

【训练 1】（2009·山东·18·多选）2008 年 9 月，我国成功实施了「神舟七号」载人航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 343 km 处点火加速，由椭圆轨道变成高度为 343 km 的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 min。下列判断正确的是（　　）

A．飞船变轨前后的机械能相等B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

【训练 2】（2010·江苏·6·多选）2009 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点（离地球更近）。关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有（　　）

A．在轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于经过 B 的速度B．在轨道Ⅱ上经过 A 的动能小于在轨道Ⅰ上经过 A 的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过 A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过 A 的加速度

【训练 3】（2013·新课标Ⅰ·20·多选）2012 年 6 月 18 日，「神舟九号」飞船与「天宫一号」目标飞行器在离地面 343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是（　　）

A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B．如不加干预，在运行一段时间后，「天宫一号」的动能可能会增加C．如不加干预，「天宫一号」的轨道高度将缓慢降低D．航天员在「天宫一号」中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用

【训练 4】（2022·浙江 6 月·6）神舟十三号飞船采用「快速返回技术」，在近地轨道上，返回舱脱离天和核心舱，在圆轨道环绕并择机返回地面。则（　　）

A．天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高，环绕速度越大B．返回舱中的宇航员处于失重状态，不受地球的引力C．质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行D．返回舱穿越大气层返回地面过程中，机械能守恒

【训练 5】（2024·湖北·4）太空碎片会给航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动。为了避开碎片，空间站在 P 点沿径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道其半长轴大于原轨道半径。则（　　）

A．空间站变轨前、后在 P 点的加速度相同B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小C．空间站变轨后在 P 点的速度比变轨前的小D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大

【训练 6】（2017·新课标Ⅲ·14）2017 年 4 月，我国成功发射的「天舟一号」货运飞船与「天宫二号」空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿「天宫二号」原来的轨道（可视为圆轨道）运行。与「天宫二号」单独运行时相比，组合体运行的（　　）

A．周期变大　　B．速率变大C．动能变大　　D．向心加速度变大

📖 参考答案与简析（先做完再看）

训练 1：BC。 点火加速，速度突然变大，发动机做正功，机械能增大——A 错；圆轨道上万有引力完全提供向心力，航天员处于完全失重，出舱前后都一样——B 对；周期 90 min 远小于同步卫星的 24 h，由 ω = 2π/T 知角速度更大——C 对；远地点与圆轨道上那一点是同一个位置，a = GM/r² 相同——D 错。

训练 2：ABC。 航天飞机在 A 点减速进入椭圆轨道Ⅱ（A 为远地点），所以轨道Ⅱ上经过 A 的速度小于轨道Ⅰ上经过 A 的速度——B 对；从 A（远地点）滑向更近的 B，引力做正功，速度增大——A 对；椭圆半长轴小于圆轨道半径，由开普勒第三定律知周期更小——C 对；A 点位置相同，加速度相同——D 错。

训练 3：BC。 所有圆轨道卫星的速度都小于第一宇宙速度 7.9 km/s——A 错；稀薄大气让轨道缓慢降低，由 v = √(GM/r) 知速度反而变大、动能增加——B、C 对；失重是引力全部用来提供向心力，不是不受引力——D 错。

训练 4：C。 由 v = √(GM/r)，轨道越高速度越小——A 错；失重不是不受引力——B 错；同一轨道上周期、角速度、线速度大小都由 r 决定，与质量无关——C 对；穿越大气层时摩擦阻力做负功，机械能减少——D 错。

训练 5：A。a = GM/r² 只看位置，P 点变轨前后加速度相同——A 对；半长轴变大，由开普勒第三定律知周期变大——B 错；径向喷气后速度是原速度与反冲速度的矢量和，肯定比原来大——C 错；变轨后沿椭圆运动，近地点速度大于 P 点速度，而 P 点速度已大于原圆轨道速度——D 错。

训练 6：C。 对接后组合体仍在原轨道上，轨道半径不变，由 T = 2π√(r³/GM)、v = √(GM/r)、a = GM/r² 知周期、速率、向心加速度都不变——A、B、D 错；但质量变大了，由 E_k = GMm/2r 知动能变大——C 对。

🎯 方法小结

变轨题一句话：抓「供需」，背「四速」，加速度只看位置，能量只看半径。

• 判断怎么变轨：比较供给 F₁ = GMm/r² 与需求 F₂ = mv²/r——需求大就离心（加速跑远），供给大就近心（减速靠近）；

• 比较四个速度：v_P > v₁ > v₂ > v_Q，两次点火、最后反而更慢；

• 比较加速度：只看 r，同一位置不论什么轨道都相同；

• 比较能量：E_k = GMm/2r、E_p =  - GMm/r、E =  - GMm/2r，r 越大动能越小、机械能越大；

• 追及对接：追人要降档，等人才升档，同一轨道上加速只会越追越远。

📚 领取配套资料

这篇的东西我都整理成文件了，两样东西，关注就能拿：

一份《卫星变轨与对接专题讲义》（PDF，两个版本都给）

讲解版：理论讲透 + 四道高考真题详解 + 六道训练的答案解析——连同这份方法一起讲，家长自己也能看懂。

打印版：只有题目和配图，答案统一附在全文末尾，专门给孩子练手——先做完，再对答案。

三个可交互动画网页

供需判据 / 两次点火 / 追及对接，就是文章里那三个小动图的「完整版」：能拖进度条、能暂停、能调倍速，还能自己动手改速度看轨道怎么变。用电脑或手机的浏览器直接打开就能用，不用装任何软件。

领取方式（百度网盘自取）

链接：https://pan.baidu.com/s/1hqzaU6ps7Lbk03X7fbK2pQ

提取码：7spq

复制整条链接到浏览器打开 → 输入提取码 → 下载解压就能用；手机上也可以直接打开百度网盘 App 粘贴。

怕链接失效的话，关注本号后私信回复「变轨」，会再发你一次最新的。

🔜 下期预告

下一篇拆卫星的发射：从地面到 3.6 万公里。火箭把卫星送上天的每一步都藏着物理：为什么发射场要尽量靠近赤道（蹭地球自转的"顺风车"）？卫星上天后为什么不直接一步到位，而要"先近地停泊、再点火抬升"？最后讲到两位主角——近地卫星（贴地飞、速度最快的"短跑冠军"，7.9 km/s）与同步卫星（悬在赤道上空 3.6 万公里、一丝一毫都挪不得的"长跑冠军"），把"发射"和"变轨"两条线拧成一股绳。

让孩子先想一想：一颗卫星想「永远停在」北京的正上方，它做得到吗？为什么？

这篇对您有用的话，点个「在看」，转发给正在一轮复习的孩子。孩子在变轨上卡在哪一步，欢迎留言，下期重点讲。