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AI将数学证明的时间逼向极限,但数学之美在时间之外
AI将数学证明的时间逼向极限,但数学之美在时间之外数学研究的历史性时刻已经到来，就在10月6日，OpenAI一次公开了722篇数学论文、372个结果族（其中包含73个否定猜想的反例），覆盖17个数学分支，平均每个结果消耗约3小时算力。一个著名猜想的论证时间，从几十年变为几小时，有的问题曾是几代人的执念……从构造性反例到创造性直觉，AI已经彻底超越人类。“悲观者永远正确，乐观者积极前进。”面对历史的洪流，我们需要开放的心态，数学，本就不是独属于人类的语言。 上个月去清华大学听了布莱恩·格林的通识报告，顺便要了丘成桐老师的签名~格林老师在讲座中介绍了熵的概念，这正是时间箭头的热力学起源。他是弦论方向的专家，我在初中时就拜读了他的著作《隐藏的现实》，这本书介绍了顶尖物理学家在平行宇宙理论方面的探索，是我重要的科学启蒙读物之一。尽管平行宇宙听起来就很科幻而不科学，但它确确实实在量子力学（多世界诠释）和弦理论的研究范围内。 
关系性量子力学的奠基人卡洛·罗韦利有一句名言：“时间即无知”。他和合作者的研究表明，时间可以从量子力学的非对易代数中自然涌现。Tomita-Takesaki定理证明，冯·诺伊曼代数的态通过单参数模自同构定义了一个流，阿兰·科纳证明这种流等价于热力学时间（流）。这就是数学的力量，它仿佛存在于时间之外，指挥着宇宙中一切存在的运作。 构成我们物理世界的所有基本粒子，描述它们的量子态恰好对应我们时空的对称群的不可约基本表示。我们可以将其理解为，时空的各向同性（对称性）决定了哪些基本粒子在我们宇宙中能稳定存在（想象一下，如果做个旋转，时空维度就改变了，那么根本不会有什么基本的物理规律，更谈不上能稳定存在的基本粒子）。基本粒子就是时空对称性这种数学结构在关系中的显形，我们不能直接体验到基本粒子，但却能通过数学认识到它们。 我们的分析学依赖于实数，然而几乎所有实数都是不可计算的（如果存在有限步终止的算法可以计算一个实数到任意指定的精度，那么这个实数是可计算的，例如圆周率；可计算数是可数的）。数学分析里面有个关于求极限的洛必达法则，它和泰勒展开一起告诉我们，无限大（小）与无限大（小）之间也是有着巨大的差距的（发散或收敛到0的速度）。物理上，量子场论的重整化把无限与无限的差异直观地显现出来了，红外端和紫外端的理论可以非常不同。集合论里，超限序数和大基数不仅划分了各种层级的无穷，而且是否将某些大基数的存在作为公理还将影响实数连续统的构造……但是，可观测宇宙的基本粒子总数是有限的，我们在实际生活里的任何数值计算也只取一定精度……我们有限的世界，被根植于无限的数学精确地描述着，有限与无限之间的缺口与这种精确性形成了尖锐的对比。尽管有混沌现象，而且实际生活中许多复杂系统因为不能在单一尺度孤立建模而难以用数学很好地把握规律，但理论上只要能获得足够多的细节并不断发展更深刻和丰富的数学工具，我们就能得到越来越精确的数学描述，即便是神秘的量子物理现象也不例外。 从维度上讲，描述我们有限维时空中的物理规律的数学有不少来自无限维里的对象。顶点算子代数就是一个例子，这是一个只存在于无限维空间里的代数结构，它没有任何有限维的非平凡表示。然而这个生活于无限维空间中的怪物是描述二维共形场论的数学，而且其自同构群刚好是最大的散在单群——魔群，这是一个有限的对象。无限维的函数空间也是一个例子，像傅里叶变换（及其各种推广）这样的重要物理工具就密切依赖于无限维函数空间上的分析学。不同维度有不同的尖锐特性，二维空间有无限多的共形对称性（高维只有有限多个），三维空间里有无限多的扭结结构（这为DNA和蛋白质的出现奠定了基础；2维打不了结，高维中结可以通过额外维度经由连续变换自然消除），四维空间有无限多不等价微分结构（有物理学家认为这对我们4维时空的丰富物理有基础性作用；其它维度的微分结构是有限的）……在十维时空，我们有5种超弦理论和一个超引力理论，M理论则在十一维时空借助对偶性统一了这6个理论（第二次超弦革命，多出来的额外维度卷缩为卡拉比-丘流形）……2026年卡罗琳娜获首届薇拉·鲁宾新前沿奖，她的研究表明，不同量子场论共享相同的零点结构，这背后反映的是量子场论散射振幅被编码在某种高维几何对象（如振幅多面体）中。以往人们关心的是散射振幅的奇点，这编码了粒子最可能的行为，然而卡罗琳娜敏锐地觉察到，决定什么不可能的零点结构可能包含了被忽视的关键信息，她的工作和一系列相关研究一起，使得散射振幅的计算可以避开海量的费曼图而急剧简化……数学结构无关时间，一个几何对象的存在不需要你一步步构造出来后才被确认，就像你画出一个三角形它的三条高就一定交于一点，而不是依次画出这三条高并完成证明后这一事实才成立。 
除了几何对象，这些年来代数在物理中的地位也日益显著，在无法在时空背景上构造拉氏量的情况下，物理理论依然可以借助代数结构很丰富地发展。这一系列的工作，使我们怀疑，我们熟知的四维时空，甚至我们有限的物理世界，是否只是某种无限的有限截断或者投影？就像我们经常用无限维函数空间上的泰勒级数或傅里叶级数的有限截断来完成工程上的各种计算，就像一些非周期准晶的结构其实是高维周期晶格的投影……（见追问结构 | 阶梯永无止境！追问因果 | 如何用现代科学挖掘现实的Bug？） 在众多复杂的数学结构里，大部分都涉及无限——我们只知道定义它们的基本规则，知道它们存在（无逻辑矛盾），却无法具体构造出它们，甚至经常无法判定它们中任意对象的某一性质（与停机问题有关）！我们有限的物理世界，遵循包含这种“无知”（例如大部分实数都无法被我们认识）的数学语言，这本身就足够震撼。笔者在无限大是逻辑系统的必然 Bug 吗？一文中认为，无限是信息不完备的一种表现，与此处相呼应。不完备可以有很多称呼，比如因为信息不足而有无限可能性，比如随机，比如不可计算或不可预测，比如信息缺口中的“空无”……完备与否总是相对的，声称完备的系统无法论证自身的完备性，于是出现了不完备的裂口，在这种有无相生的辩证关系里，所有的称呼都是对它的降级，因而无法真正触及它，就像任何试图用数学描述自指的尝试都会把自指分裂成更多对象的关系一样，就像任何试图获取一个电子的完整当下状态的观测都会扰动其状态而无法获取完整信息一样（不确定性原理），就像量子场的真空总是充满了量子涨落以至于真空只是个相对的概念（真空可以隧穿和衰变）……观察者在相互作用的关系之网中从涨落的随机里“筛选”出结构，因果的结构，它们被我们以恰当的符号语言组织，从一层层的无知/无限中不断展开，永无止境，显现出惊人的美。但就连这种美也是观察者依赖的，想象一下，如果把所有数学都用集合论基本公理陈述，那么维度、流形、群这样的概念根本不会出现，有的只是一堆嵌套的杂乱无章的无穷集合……数学以何种方式被表达、理解和运用，本就带有主体性的独特品味，这是AI所无法替代的。 数学，是万物存在的语言，它在时间之外，贯穿所有存在……