【市一等奖】小学数学低年级“画数学”促进算理理解的实践探究

摘要:算理理解构成了小学数学低年级学生掌握运算规则、形成运算能力的关键支撑,其中心环节在于协助学生建立数量之间的内在关联并清晰地把握运算的逻辑脉络。在小学数学低年级运算教学过程中,学生对算理的把握程度会直接影响运算的准确程度和灵活程度。文章阐述了小学数学低年级“画数学”促进算理理解的实践现状,分析了算理理解的特点和“画数学”促进算理理解的实践指向,提出了圈画建立对应数量感知、分步绘制拆解运算过程、图式转换贯通多元方法、自主构图整合运算经验的“画数学”的教学策略,旨在凭借图形表征将隐性的算理思维显性化,从而推动学生对运算意义的深度把握和持续内化。

关键词:小学数学;算理理解;实践探究

«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»指出:“重视数学内容的直观表述,处理好直观与抽象的关系。”这一要求揭示了低年级数学教学中的基本遵循。教学需要在直观感知和抽象理解之间构建有效的过渡桥梁,使学生对数学知识的把握可以植根于对本质的深刻领会。在低年级数学教学过程中,算理理解属于学生由具体操作向着抽象运算迈进的重要途径,而“画数学”作为十分契合低龄学生思维特性的教学方法,可以将图形当作媒介直观呈现运算的内在逻辑,帮助学生构建由感知抵达理解的桥梁,促使算理学习的每一步都构筑在可观察、可追溯的直观基础上。

一、小学数学低年级算理理解的实践现状

(一)数量对应模糊,运算依据难以追溯

部分学生在完成算式填写后,对数字所指向的具体数量感知能力较为薄弱,其运算过程仅展现为符号的机械变换。教师在批阅课堂练习时发现,部分学生计算结果错误的原因在于对加数和减数所代表的数量认定并不清晰,在运算过程中将数字当作孤立的符号而非数量的标记。教师开展个别询问时,部分学生无法指出算式中的某个数字在运算前后对应着多少实物或者图形单位,对数量合并或移除的轨迹描述含混不清。教师翻阅学生当堂练习记录时注意到,部分学生多次出现同一类型的数量对应偏差,且偏差模式在不同课时的练习中反复呈现。

(二)运算步骤跳跃,中间过程缺少留痕

部分学生在完成两步以及两步以上的运算时,会将多个运算环节压缩成一次快速应答,在练习本上仅保留算式和最终得数这两项内容。教师巡视课堂时观察到,部分学生得出答案所用的时间短于逐步骤推演所要求的基本时长,在中间环节的思考痕迹未以任何形式留存在书面上。教师回收课堂练习后逐一翻阅便会发现,部分学生面对进位加法或退位减法时,练习本上仅留算式,无法判断学生在凑整环节的数量调配是否经过审慎考量。教师发现在课堂提问环节,部分学生可以准确报出计算结果,但对运算中的数量变化交代得并不清楚。

(三)表征方式单一,算理迁移受到限制

部分学生在面对不同运算内容时,会持续运用同一种记录方式。一旦数字范围出现变化,原有记录方式的契合度会降低。教师通过对比分析同一学生前后两周的练习记录,发现其在数字较小时所采用的逐一点数记录方式,在数字增大后依然被沿用,记录效率伴随数字增长明显下滑,然而记录方式却未做调整。教师在翻阅全班练习本时还注意到,多数学生面对同一道算式所选择的记录形式趋于一致,个体之间缺少记录形式上的差异以及变通尝试。在启动新授单元教学时,教师注意到部分学生会将前一单元惯用的记录方式直接套用到新运算情境中,导致记录方式与新运算内容之间会出现适配上的偏差。

(四)依赖外部指令,独立梳理尚存困难

部分学生在教师逐句引导的练习环节中,尚能对运算过程进行完整梳理、在独立练习时,面对算式却迟迟未能启动书写。教师在布置自主练习任务并巡视教室时观察到,部分学生在接受练习指令后的初始时段保持不动笔的状态,目光反复投向教师或是周围学生。教师在查阅学生独立完成的课后练习时还发现,部分学生在缺少教师引导的作业中,运算步骤的呈现顺序与课堂跟随练习时出现出入,步骤的前后关系较为混乱或者部分环节有所缺失。教师回收阶段性检测卷并加以分析后看到,部分学生面对课堂练习中曾正确作答过的同类型算式,在独立检测时出现了步骤编排不够合理的状况。

二、小学数学低年级教学中算理理解的特点

(一)算理依存具体数量,抽象符号退居其后

低年级学生在领会一种运算的算理时,其思维活动会紧密附着于图形数量或实物数量增减变化的过程。算式中的加号和减号,在学生目前的理解图景中还没有变成独立的逻辑符号,反而被转化成了两组图形彼此靠近合并或者一组图形被划掉移走的动作印象。算理是对运算方法、过程、原理和变化的深刻理解。在这个阶段,数字本身的大小比较以及符号推演并不构成算理理解的主要路径。教师在课堂中经常可以看到,学生面对算式时视线会先落在练习本上已经圈画好的图形上,然后才会将目光转移到算式中的数字符号上。算理理解在低年级课堂中一直表现为追随着具体数量变化所展开的感知伴随状态。

(二)算理获取依赖操作痕迹,听讲替代收效有限

低年级学生对算理的有效接受和其在纸面上亲手留下的画图痕迹之间存在一种紧密的联结关系。部分学生在听完教师口头算理推演过程后仅留存下模糊的听觉印象,在独立面对全新算式时,很难将这些听觉印象转变为可供调取的算理线索。在课堂中,学生经过亲自动手圈画数量、连线对应、标出移除部分的操作后,同一种算理在后续练习中的复现准确程度,会明显有别于仅依靠听讲所获得的情形。算理理解的获得在低年级学生中表现出对手部操作所留存下来的可视痕迹具备稳定的依附性。

(三)算理巩固需重复图式,一次性讲解难以留存

计算能力训练是一个循序渐进的过程。低年级学生对某一运算算理的掌握,在教师完成讲授之后仍需要经历连续多个课时的图形复现过程。例如,在一节新授课中,教师已经完整展现了算理推演,并且带领学生完成了相应的画图练习。可是间隔几天后,部分学生再次碰到同一种算式时还是会重新调取画图动作,从头梳理数量变化的轨迹。学生练习本上同类型算式下方多次出现结构相近的圈画图式,同时相邻画图之间在步骤完整程度与速度方面呈现缓慢递进的变动情况。算理理解的巩固在低年级阶段会表现出对同类图式重复绘制频次的累积依赖特性。

三、小学数学低年级“画数学”促进算理理解的实践指向

(一)指向数量关系外显,以图形构建算理理解载体

学生面对算式时,数字和符号所承载的数量关系难以直接感知,也就很难在头脑中自动浮现运算的意义。“画数学”的实践指向首先体现在将这一隐性的数量关系转化成由点、线、圈这类简易图形所构建的直观画面,使得每一次合并、移除、等量组合都获得相应的图形表征。图形在此充当算理理解的中转载体,算式中的每一个数都被赋予可见的图形单位,数量之间的对应、归属与变化不再依靠语言描述,而是凭借图形排列与组合的形式直接呈现在学生眼前。当图形跟数量完成逐一对应的建构后,算理便拥有了可以观察与追踪的物质依托。

(二)指向运算步骤的分解,以画图展现算理理解路径

运算过程是由若干连续的逻辑步骤相互衔接而构成的,每个步骤都对应一次独立的算理判断。因学生的思维习惯是将多个步骤压缩成单一结果,中间环节的算理依据容易在快速推演中被跳过。“画数学”实践活动的主要指向在于借助分步图示将运算过程拆解成逐一推进的画面序列,每一幅简图会定格住一个运算动作的发生时刻,前一画面的图形状态会成为后一画面图形变化的直接前提。因画图顺序和运算顺序严格对应,在绘制的过程中,学生就不得不逐幅处理数量的拆分、移动以及重组;算理运行的完整路径就此被强制展开,算理理解过程中存在的盲区在分步绘制的节奏控制下得以消除。

(三)指向算理自主表达,以画图内化算理理解成果

算理是否真正被学生纳入已有的经验体系中,取决于学生能否脱离外部示范独立完成算理的可视化呈现。“画数学”这项实践所指向的最终落脚之处在于,将画图行为从教师指令下的操作任务转变成学生自发展开的表达方式。在面对算式时,学生可以自行决定选用何种图形样式,以及凭借何种排列方式将内在的算理理解外显出来。由此,画图成果成为算理理解的个体化注脚。同一算式在不同学生的笔下可能呈现出不一样的图形组织形态,然而图形背后所遵循的数量逻辑始终会和算理的内核保持契合。学生自主画图的过程,正是算理从外部知识向内部经验实现沉淀的关键环节。

四、小学数学低年级“画数学”促进算理理解的实践探究策略

(一)圈画建立对应数量感知,奠定算理理解基础

教师将算式中的数字转变为图形数量的指令,有意识地将抽象、精准的“数”与具象、直观的“形”有机融合,使其贯穿新授环节的全过程。在教学开始阶段,教师在板书算式之后随即下达圈画口令,学生同步在练习本上运用圆圈或者短竖画出与数字相等数量的标记。教师巡视时逐一核查图形数量与算式数字是否契合,对出现数量偏差的学生马上进行指正并且要求其重新圈画。伴随学生反复进行的圈画操作,教师逐步缩减口令提示的间隔时间,由逐题领画过渡到出示算式后由学生独立完成数量对应。在全班圈画准确率稳定之后,教师便开始在圈画图上增添括线以及合并符号,引导学生借助视觉确认两组数量合成一个整体的算理事实。

以北师大版数学一年级上册“１０以内数加与减”教学为例,教师围绕“乘车”这一情境设计圈画活动,以此规范课堂表达并达成当堂回授的效果。教师出示情境图:“车上有２人,到站后前门上来３人,后门上来２人。”随即在黑板上板书算式“２＋３＋２”,同时下达指令:“运用圆圈替代乘客,依照上车顺序分步开展画图。”学生首先在第一行画出２个圆圈表示车上原本的人数。教师通过巡视确认数量没有差错之后,要求学生换行再画出３个圆圈并说出“先算２加３等于５”。这时教师并不会急于向前推进,而是逐一核查两行圆圈的总数与算式前两步之间的对应关系;针对漏画或者多画的学生,马上加以指正并且引导其重新进行操作。在全班学生都可以准确完成后,教师让学生在第三行接着画出２个圆圈,并且同步追问:“再算什么?”学生齐答:“５加２等于７。”这时,第三行的圈画也就完成了。教师借助粉笔在黑板上将三行圆圈整体圈进一个大圈中,并在下方标注出“７”,引领学生观察图形合并的过程及其与连加算式各部分之间的对应。为了进一步强化算理,教师可以要求学生用斜线划掉圆圈的方法进行逆向检验,也就是从７个圆圈中先将后上车的２个划掉,再将先上车的３个划掉,观察剩余的数量是否又回到了最初的２。在整个过程中,教师会不断规范学生圈画的动作与口头表述的同步性,确保每一笔圈画都契合一句算理的陈述。这种将分步圈画同分步口算严格绑定的训练,会让学生在视觉操作与抽象符号之间构建稳固的联结,进而实现对连加运算顺序的准确内化。

(二)分步绘制拆解运算过程,厘清算理理解脉络

教师将一道完整算式的运算过程划分成若干个绘制环节,通过圈画图形,学生更容易掌握计算思路、方法与算理。每个环节对应一个独立的画图动作。在课堂上教师先完整演示一道算式的三步绘制流程,演示期间仅凭借动作展现画图的先后顺序。演示结束以后,教师擦除演示痕迹,同时要求学生对照算式在练习本上复现相同的三步绘制序列。教师巡回检查,查看学生绘制顺序是否正确,针对步骤有颠倒或者遗漏的学生,逐一开展单独示范和纠正。连续几个课时之后,教师改为只出示算式而不出示绘制步骤,由学生自行判断该算式需要划分成几步绘制。在此之后,教师收集学生绘制的分步图,从中挑选出顺序合理的作品,将其集中展示。

以北师大版数学一年级下册“２０以内数与减法”教学为例,在“捉迷藏”这一课的教学中,教师将“画数学”的操作序列集中于“破十法”以及“平十法”的图示转化过程。教师首先展示算式“１３－８”,并且不做口头解释,只借助动作演示三步绘制:第一步,运用一个大圆圈将“１３”圈出来,同时在下方画出１捆小棒和３根小棒图;第二步,在“破十法”的演示中,教师用粉笔将１捆小棒圈出并且画出箭头分解成１０根散棒,紧接着用斜线划掉其中的８根;第三步,在剩下的散棒和原有的３根之间画出集合线,最后框出数字“５”。教师会将演示的痕迹擦除,让学生对照算式在练习本上复现这一绘制序列,规范课堂表达中动作和算理的对位关系。教师开展巡回查看,对步骤出现颠倒的学生进行单独纠正,确保学生凭借手部绘制动作建立“不够减时拆开一捆”的视觉记忆。在连续几课时之后,当开展“跳伞表演”中“比多几个”的教学时,教师会改为只出示对应情境图,让学生自己判断应当分几步来绘制。此时,教师观察到学生可以自发地运用之前所习得的序列:先画出１１个圆形来表示人数,再圈出其中的５个并且画出箭头指向下方表示“去掉”,最后运用大括号标注剩余部分并填写得数。教师收集学生的分步图,选取部分将“连减”过程完整拆解成“先减到１０再减余数”的合理作品进行投影展示,让全班在无声的图示对比中直观感受先分拆再抵消的运算逻辑。在这个过程中,教师专注于检验学生对算理步骤的内化程度,从而完成教学目标。

(三)图式转换贯通多元方法,深化算理理解层次

教师在学生熟练掌握圆圈图绘制方法之后,引入更简略的图形符号替代原本的繁复画法。画图法是一种能够帮助学生实现“数”与“形”相互转化的教学方式。在教学过程中,教师在黑板左侧保留学生所熟悉的圆圈图,右侧则并列呈现运用短线段或者方框表示相同算式的简略图式。教师在两幅图之间来回指认,引导学生观察不同图式在表达同一算理时的一致性。在这之后的每次练习中,教师都会向学生提出在完成圆圈图绘制后,还需要用简略图式再画一遍的要求。教师在批阅时,需重点关注两种图式有没有传达出相同的数量关系和运算逻辑。历经若干课时的双轨绘制训练,只要教师在板书中呈现简略图式,学生即可完成从繁到简的画图习惯过渡。

以北师大版数学二年级上册“数一数与乘法”教学为例,教师依托“甜甜屋清点甜品”这个情境开展双轨图式转换的训练。教学初始阶段,教师引导学生运用圆圈图表示“每行７块、总共２行”的甜品排列方式,学生则在纸上逐一画出１４个圆圈并且按行排列。随后,教师在黑板右侧借助短线段替代圆圈,每行画上７条短线段、上下两行共计两行,同时在两幅图之间反复进行指认:“圆圈图中的一行七个圈对应着线段图中的一行七条线。”教师要求学生当堂完成从圆圈图到线段图的同步绘制,并且在巡视过程中逐一检查,确认学生能否在两种图式中准确地对应“行数相同、每行数量相同”这一中心的数量关系。进入“儿童乐园”情境之后,教师要求学生在解决“坐小火车人数”问题时先用圆圈图画出４节车厢每节６人,再改用方框简图表示相同的结构。教师批阅时重点审视方框图是否清晰地保留了“４组、每组６个”的乘法原型,对出现组数混淆的学生则马上要求其对照自己原先的圆圈图进行修正。练习环节,教师在板书上只保留方框简图并且提问:“这幅图运用乘法算式要怎样表示?”要求学生可以脱离圆圈图直接凭借简略的图式说出乘数所代表的含义。教师借助当堂巡视回收学生的简图画纸,逐一核验每份作业中方框图的行列结构与乘法算式的一致性,从而确保全体学生在摆脱繁复画法之后依然可以准确表达“几个几相加”这一算理。这种图式转换训练使课堂表达可以趋向规范与统一,并让算理理解实现从具象依赖到符号抽象的平稳过渡。

(四)自主构图整合运算经验,形成算理理解能力