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【高中数学】虚设函数解决极值点偏移问题

发布时间：2026-10-16 12:48:54 最近访问：2026-10-16 12:48:56

【高中数学】虚设函数解决极值点偏移问题

题目：若有两个零点、，求证：

法一（标准答案的思路原理版本）ALG不等式：

由

有两个零点

、

即

，

即

①

即

②

②-①：

左右同时除以

：

令

原不等式则写为

那么

原式得证。

可能大家看标准答案的思路会有两个疑问，第一个是为什么要用②-①？第二个是ALG不等式不能直接用，那么我们怎么写过程呢？

对于第一个问题，我的回答是——构造②-①可以配凑出ALG不等式所需要的

、

，方便ALG不等式的放缩。

对于问题二，我的回答是将ALG不等式的证明过程写出来就得证了。

法二（标准答案的考试书写版本）：

由

有两个零点

、

（不妨设

）

即

，

即

①

即

②

②-①：

左右同时除以

：

令

那么

令

化简可得：

令

原不等式则写为

那么

原式得证。

看到这里，大家肯定会有个疑问，这个作者是不是标题党？说好的虚设函数构造法呢？别急，下面就是虚设函数构造法。

我们注意到，这道题很多条件是不必要的，因此我把这道题改编了一下，改得非常简洁暴力。

改编版题目：已知

，且

有两个零点

、

，求证

显然，如果证明了这个，那么之前那道ALG不等式的题便迎刃而解。（当时考试我的直觉告诉我这个成立，导致我思路想偏了，采取了积分证明法，然而改卷老师没注意看我的方法，以至于我被扣6分，怨念很深）

解题方法：虚设函数构造法：

令

不妨假设

则

则

则

由

因此

，

，

单调递减

因此

，

，

单调递增

因此

假设

，则

，则

则

单调递增

由

，

，

那么

即

即

（与题目条件

矛盾，舍去）

因此

不可能成立

又

必然存在

由排中律：

得证。

因此这道题还有法三（虚设函数构造法）（内容就是把上面的内容抄一遍，我还是写下来吧）：

解题方法：虚设函数构造法：

显然

，

，

令

不妨假设

则

则

则

由

因此

，

，

单调递减

因此

，

，

单调递增

因此

假设

，则

，则

则

单调递增

由

，

，

那么

即

即

（与题目条件

矛盾，舍去）

因此

不可能成立

又

必然存在

由排中律：

这个方法在解决极值点偏移时很重要，甚至可以称为bug级的招数，他甚至可以绕开函数本身，只截取其中少量的性质，就可以证明你的问题。

当然，这里附上个法四，就是我怨念极深的被扣6分的解法。（虽然后面仔细一想，想到了法三的解法，但考试时间太紧，虽然知道积分太麻烦老师肯定不会看，但第一反应的积分法写了太多写不下了，无法改了）

法四（冤魂不散积分法）：

显然，无论a、b取何值，

至多有两极值点。

若

仅有两零点

、

（不妨设

），那么

、

之间必然存在且仅存在一个极值点

（

）（无极值点和两极值点都将推出矛盾）

令

，

则

，

又

因此

因此

，

即

，

即

，

即

，

两式相加：

又因为：

因此

①若

，则

恒成立，因此

那么

那么

因此

又

，则

单调递减

又

，则

②若

，又因为有且仅有两个零点，那么其中一个零点与极值点重合。

1°若左极值点与零点重合，则

是右极值点

此时

，

因此

单调递增

因此

则

可以化简为：

因此

又因为

单调递增

则

2°若右极值点与零点重合，则

是左极值点

此时

，

因此

单调递减

因此

则

可以化简为：

因此

又因为

单调递减

则

综上所述：

当然，冤魂不散只是开玩笑的，我也知道改卷老师不容易，我自己看我的过程都想打人，但事实上，法四才是从数形结合上最接近本质的解法（只不过内容超级长）。

最后来个问题，普通高中生就不用看了，应该做不来的，希望有走过路过的大佬看到了帮忙解决下这一道题（题目来源

若

有两不同零点

、

，求证：

本人ALG不等式，令

，虚设函数都试过，甚至丧心病狂地尝试了

，还是解不出来，如果有走过路过的大佬，请在留言处帮忙，顶级膜拜。

-END-

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